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  • 叉乘是向量积,记作a×b,a×b=|a|·|b|sinθ,其中|a|、|b|是两向量的模,θ是两向量之间的夹角(0≤θ≤π).以上a与b均为向量。 |向量c|=|向量a×向量b|=|a||b|sin<a,b> 向量c的方向与a

    点乘、数量积、内积

    向量的点乘即数量积,记作a·b;其中a·b=|a|·|b|cosθ,|a|、|b|是两向量的模,θ是两向量之间的夹角(0≤θ≤π).以上a与b均为向量,点乘,也叫向量的内积、数量积
    几何意义:一个向量长度和它在另一个向量投影长度乘积

    叉乘、向量积

    叉乘是向量积,记作a×b,a×b=|a|·|b|sinθ,其中|a|、|b|是两向量的模,θ是两向量之间的夹角(0≤θ≤π).以上a与b均为向量。
    |向量c|=|向量a×向量b|=|a||b|sin<a,b>
    向量c的方向与a,b所在的平面垂直,且方向要用**“右手法则”**判断(拇指与其他四指为90度,用右手的四指先表示向量a的方向,然后手指朝着手心的方向摆动到向量b的方向,大拇指所指的方向就是向量c的方向

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  • 向量内积和外

    万次阅读 2019-07-19 10:40:29
    一、向量内积 ... 1.1向量内积定义 概括地说,向量内积(点乘/点/数量)就是对两个向量执行点乘运算,即对这两个向量对应位一一相乘之后求和的操作,如下所示,对于向量a和向量b: ...

    本文参考:https://www.cnblogs.com/gxcdream/p/7597865.html

    • 一、向量的内积

    • 1.1向量内积的定义

    概括地说,向量的内积(点乘/点积/数量积)就是对两个向量执行点乘运算,即对这两个向量对应位一一相乘之后求和的操作,如下所示,对于向量a和向量b:

                                                   a=[a_{1},a_{2},...a_{n}]                b=[b_{1},b_{2},...b_{n}]

    a和b的点积公式为:

                                                        a\cdot b=a_{1}\cdot b_{1}+a_{2}\cdot b_{2}+...+a_{n}\cdot b_{n}

    这里要求一维向量a和向量b的行列数相同。注意:点乘的结果是一个标量(数量而不是向量).

    定义:两个向量a与b的内积为 a·b = |a||b|cos∠(a, b),特别地,0·a =a·0 = 0;若a,b是非零向量,则a与b正交的充要条件是a·b = 0。

    • 1.2向量内积的性质

    1. a^2 ≥ 0;当a^2 = 0时,必有a = 0(正定性)
    2. a·b = b·a (对称性)
    3. (λa + μb)·c = λa·c + μb·c,对任意实数λ, μ成立(线性)
    4. cos∠(a,b) =a·b/(|a||b|)
    5. |a·b| ≤ |a||b|,等号只在a与b共线时成立
    • 1.3向量内积的几何意义

    内积(点乘)的几何意义包括:

    1. 表征或计算两个向量之间的夹角
    2. b向量在a向量方向上的投影

    公式a\cdot b=\left | a \right |\left | b \right |cos\theta推导过程如下,首先看一下向量组成:

    根据余弦定理有:

                                                                                     c^{2}=a^{2}+b^{2}-2\left | a \right |\left | b \right |cos\theta

    将c=a-b带入上式中得出:

                                            (a-b)(a-b)=a^{2}+b^{2}-2a\cdot b=a^{2}+b^{2}-2\left | a \right |\left | b \right |cos\theta

    因此可以得出:

                                                                               a\cdot b=\left | a \right |\left | b \right |cos\theta

    向量a,b的长度都是可以计算的已知量,从而有a和b间的夹角θ:

                                                                               \theta =arccos(\frac{a\cdot b}{\left | a \right |\left | b \right |})

    进而可以进一步判断两个向量是否同一方向或正交(即垂直)等方向关系,具体对应关系为:

    a∙b>0→方向基本相同,夹角在0°到90°之间 
               a∙b=0→ 正交,相互垂直 
               a∙b<0→ 方向基本相反,夹角在90°到180°之间

    • 二、向量的外积

    • 2.1向量外积的定义

    概括地说,两个向量的外积,又叫叉乘、叉积向量积,其运算结果是一个向量而不是一个标量。并且两个向量的外积与这两个向量组成的坐标平面垂直。

    定义:向量a与b的外积a×b是一个向量,其长度等于|a×b| = |a||b|sin∠(a,b),其方向正交于a与b。并且,(a,b,a×b)构成右手系。 特别地,0×a = a×0 = 0.此外,对任意向量a,a×a=0。

    对于向量a和向量b:

                                                                        a=(x_{1},y_{1},z_{1})

                                                                        b=(x_{2},y_{2},z_{2})

    a和b的外积公式为:

                                a\times b=\begin{vmatrix} i & j & k\\ x_{1}& y_{1} & z_{1}\\ x_{2}& y_{2} & z_{2} \end{vmatrix}=(y_{1}z_{2}-y_{2}z_{1})i-(x_{1}z_{2}-x_{2} z_{1})j+(x_{1}y_{2}-x_{2} y_{1})k

    其中:

                                                   i=(1,0,0)             j=(0,1,0)            k=(0,0,1)

    根据i、j、k间关系,有:

                                                    a\times b=(y_{1}z_{2}-y_{2}z_{1},-(x_{1}z_{2}-x_{2} z_{1}),x_{1}y_{2}-x_{2} y_{1})

    • 2.2向量外积的性质

    1. a × b = -b × a. (反称性)
    2. (λa + μb) × c = λ(a ×c) + μ(b ×c). (线性)
    • 2.3向量外积的几何意义

    在三维几何中,向量a和向量b的外积结果称为法向量,该向量垂直于a和b向量构成的平面。在3D图像学中,外积的概念非常有用,可以通过两个向量的外积,生成第三个垂直于a,b的法向量,从而构建X、Y、Z坐标系。如下图所示:

    在二维空间中,外积还有另外一个几何意义:|a×b|在数值上等于由向量a和向量b构成的平行四边形的面积。

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  • 向量内积(点乘)定义概括地说,向量内积(点乘/数量)。对两个向量执行点乘运算,就是对这两个向量对应位一一相乘之后求和的操作,如下所示,对于向量a和向量b: a和b的点公式为:这里要求一维向量a和向量b的...

    向量的内积(点乘)

    定义

    概括地说,向量的内积(点乘/数量积)。对两个向量执行点乘运算,就是对这两个向量对应位一一相乘之后求和的操作,如下所示,对于向量a和向量b:

    a和b的点积公式为:

    这里要求一维向量a和向量b的行列数相同。注意:点乘的结果是一个标量(数量而不是向量)

    定义:两个向量a与b的内积为 a·b = |a||b|cos∠(a, b),特别地,0·a =a·0 = 0;若a,b是非零向量,则a与b****正交的充要条件是a·b = 0。

    向量内积的性质:

    a^2 ≥ 0;当a^2 = 0时,必有a = 0. (正定性)

    a·b = b·a. (对称性)

    (λa + μb)·c = λa·c + μb·c,对任意实数λ, μ成立. (线性)

    cos∠(a,b) =a·b/(|a||b|).

    |a·b| ≤ |a||b|,等号只在a与b共线时成立.

    向量内积的几何意义

    内积(点乘)的几何意义包括:

    表征或计算两个向量之间的夹角

    b向量在a向量方向上的投影

    有公式:

    推导过程如下,首先看一下向量组成:

    定义向量c:

    根据三角形余弦定理(这里a、b、c均为向量,下同)有:

    根据关系c=a-b有:

    即:

    a∙b=|a||b|cos⁡(θ)

    向量a,b的长度都是可以计算的已知量,从而有a和b间的夹角θ:

    θ=arccos⁡(a∙b|a||b|)

    进而可以进一步判断两个向量是否同一方向或正交(即垂直)等方向关系,具体对应关系为:

    a∙b>0→方向基本相同,夹角在0°到90°之间

    a∙b=0→ 正交,相互垂直

    a∙b<0→ 方向基本相反,夹角在90°到180°之间

    向量的外积(叉乘)

    定义

    概括地说,两个向量的外积,又叫叉乘、叉积向量积,其运算结果是一个向量而不是一个标量。并且两个向量的外积与这两个向量组成的坐标平面垂直。

    定义:向量a与b的外积a×b是一个向量,其长度等于|a×b| = |a||b|sin∠(a,b),其方向正交于a与b。并且,(a,b,a×b)构成右手系。

    特别地,0×a = a×0 = 0.此外,对任意向量a,a×a=0。

    对于向量a和向量b:

    a和b的外积公式为:

    其中:

    根据i、j、k间关系,有:

    向量外积的性质

    a × b = -b × a. (反称性)

    (λa + μb) × c = λ(a ×c) + μ(b ×c). (线性)

    向量外积的几何意义

    在三维几何中,向量a和向量b的外积结果是一个向量,有个更通俗易懂的叫法是法向量,该向量垂直于a和b向量构成的平面。

    在3D图像学中,外积的概念非常有用,可以通过两个向量的外积,生成第三个垂直于a,b的法向量,从而构建X、Y、Z坐标系。如下图所示:

    在二维空间中,外积还有另外一个几何意义就是:|a×b|在数值上等于由向量a和向量b构成的平行四边形的面积。

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  • 向量内积(点乘) 定义 概括地说,向量内积(点乘/数量)。对两个向量执行点乘运算,就是对这两个向量对应位一一相乘之后求和...定义:两个向量a与b的内积为a·b= |a||b|cos∠(a, b),特别地,0·a=a·0= 0...

    向量的内积(点乘)

    定义

    概括地说,向量的内积(点乘/数量积)。对两个向量执行点乘运算,就是对这两个向量对应位一一相乘之后求和的操作,如下所示,对于向量a和向量b:

    a和b的点积公式为:

    这里要求一维向量a和向量b的行列数相同。注意:点乘的结果是一个标量(数量而不是向量)

    定义:两个向量ab的内积为 a·b = |a||b|cos∠(a, b),特别地,0·a =a·0 = 0;若ab是非零向量,则ab****正交的充要条件是a·b= 0。

    向量内积的性质:

    1. a^2 ≥ 0;当a^2 = 0时,必有a = 0. (正定性)
    2. a·b = b·a. (对称性)
    3. a + μbc = λa·c + μb·c,对任意实数λ, μ成立. (线性)
    4. cos∠(a,b) =a·b/(|a||b|).
    5. |a·b| ≤ |a||b|,等号只在ab共线时成立.

    向量内积的几何意义

    内积(点乘)的几何意义包括:

    1. 表征或计算两个向量之间的夹角
    2. b向量在a向量方向上的投影

    有公式:

    推导过程如下,首先看一下向量组成:

    定义向量c

    根据三角形余弦定理(这里a、b、c均为向量,下同)有:

    根据关系c=a-b有:

    即:

    a∙b=|a||b|cos⁡(θ)

    向量a,b的长度都是可以计算的已知量,从而有a和b间的夹角θ:

    θ=arccos⁡(a∙b|a||b|)

    进而可以进一步判断两个向量是否同一方向或正交(即垂直)等方向关系,具体对应关系为:

    a∙b>0→方向基本相同,夹角在0°到90°之间
    a∙b=0→ 正交,相互垂直
    a∙b<0→ 方向基本相反,夹角在90°到180°之间

    向量的外积(叉乘)

    定义

    概括地说,两个向量的外积,又叫叉乘、叉积向量积,其运算结果是一个向量而不是一个标量。并且两个向量的外积与这两个向量组成的坐标平面垂直。

    定义:向量ab的外积a×b是一个向量,其长度等于|a×b| = |a||b|sin∠(a,b),其方向正交于ab。并且,(a,b,a×b)构成右手系。
    特别地,0×a = a×0 = 0.此外,对任意向量aa×a=0

    对于向量a和向量b:

    a和b的外积公式为:

    其中:

    根据i、j、k间关系,有:

    向量外积的性质

    1. a × b = -b × a. (反称性)
    2. a + μb) × c = λ(a ×c) + μ(b ×c). (线性)

    向量外积的几何意义

    在三维几何中,向量a和向量b的外积结果是一个向量,有个更通俗易懂的叫法是法向量,该向量垂直于a和b向量构成的平面。

    在3D图像学中,外积的概念非常有用,可以通过两个向量的外积,生成第三个垂直于a,b的法向量,从而构建X、Y、Z坐标系。如下图所示:

    在二维空间中,外积还有另外一个几何意义就是:|a×b|在数值上等于由向量a和向量b构成的平行四边形的面积。

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空空如也

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向量内积的定义