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  • 一、向量的内积1.1向量内积的定义概括地说,向量的内积(点乘/点积/数量积)就是对两个向量执行点乘运算,即对这两个向量对应位一一相乘之后求和的操作,如下所示,对于向量a和向量b: a和b的点积公式为:这里要求一维...

    一、向量的内积

    1.1向量内积的定义

    概括地说,向量的内积(点乘/点积/数量积)就是对两个向量执行点乘运算,即对这两个向量对应位一一相乘之后求和的操作,如下所示,对于向量a和向量b:

    60ea5c2d9566647307d860dde0ed0ad5.gif                

    612f09b41819ba026c234b54deb951e2.gif

    a和b的点积公式为:

    ccc31bb38acd79ff8dbf47bc78eb453f.gif

    这里要求一维向量a和向量b的行列数相同。注意:点乘的结果是一个标量(数量而不是向量).

    定义:两个向量a与b的内积为 a·b = |a||b|cos∠(a, b),特别地,0·a =a·0 = 0;若a,b是非零向量,则a与b正交的充要条件是a·b = 0。

    1.2向量内积的性质

    a^2 ≥ 0;当a^2 = 0时,必有a = 0(正定性)

    a·b = b·a (对称性)

    (λa + μb)·c = λa·c + μb·c,对任意实数λ, μ成立(线性)

    cos∠(a,b) =a·b/(|a||b|)

    |a·b| ≤ |a||b|,等号只在a与b共线时成立

    1.3向量内积的几何意义

    内积(点乘)的几何意义包括:

    表征或计算两个向量之间的夹角

    b向量在a向量方向上的投影

    公式

    072df77d538161833430449df6678442.gif推导过程如下,首先看一下向量组成:

    ed8970a219f79032338f38f7396f36df.png

    根据余弦定理有:

    0727f8bfdf3848ea146f67e035c1ddb2.gif

    将c=a-b带入上式中得出:

    d58b2f9b7c48475e599849c107abea38.gif

    因此可以得出:

    072df77d538161833430449df6678442.gif

    向量a,b的长度都是可以计算的已知量,从而有a和b间的夹角θ:

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    进而可以进一步判断两个向量是否同一方向或正交(即垂直)等方向关系,具体对应关系为:

    a∙b>0→方向基本相同,夹角在0°到90°之间

    a∙b=0→ 正交,相互垂直

    a∙b<0→ 方向基本相反,夹角在90°到180°之间

    二、向量的外积

    2.1向量外积的定义

    概括地说,两个向量的外积,又叫叉乘、叉积向量积,其运算结果是一个向量而不是一个标量。并且两个向量的外积与这两个向量组成的坐标平面垂直。

    定义:向量a与b的外积a×b是一个向量,其长度等于|a×b| = |a||b|sin∠(a,b),其方向正交于a与b。并且,(a,b,a×b)构成右手系。 特别地,0×a = a×0 = 0.此外,对任意向量a,a×a=0。

    对于向量a和向量b:

    035047c03fd03cf3d4cfd75cf002cf74.gif

    c1d2722331c0cc0967aacfcec142f732.gif

    a和b的外积公式为:

    f73d66a29a9c3bf13f2ba35e3ebc4fd8.gif

    其中:

    f3d1dc29c9a97f93981b03523a8c69ec.gif             

    430951e8a6e9afa18088edc462000f93.gif            

    ddd411933d6aec66b149ef3de23a4bca.gif

    根据i、j、k间关系,有:

    a8ad4c2783eacac2a73527a272a08bb0.gif

    2.2向量外积的性质

    a × b = -b × a. (反称性)

    (λa + μb) × c = λ(a ×c) + μ(b ×c). (线性)

    2.3向量外积的几何意义

    在三维几何中,向量a和向量b的外积结果称为法向量,该向量垂直于a和b向量构成的平面。在3D图像学中,外积的概念非常有用,可以通过两个向量的外积,生成第三个垂直于a,b的法向量,从而构建X、Y、Z坐标系。如下图所示:

    802f3949746ee48618b2d4d173cf0efc.png

    在二维空间中,外积还有另外一个几何意义:|a×b|在数值上等于由向量a和向量b构成的平行四边形的面积。

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  • 向量的内积

    2019-10-14 10:58:00
    向量内积的理解向量内积的定义向量内积的性质向量内积的几何意义向量内积可以做什么 向量内积的定义 概括地说,向量的内积(点乘/数量积)。对两个向量执行点乘运算,就是对这两个向量对应位一一相乘之后求和的操作...

    向量内积的定义

    概括地说,向量的内积(点乘/数量积)。对两个向量执行点乘运算,就是对这两个向量对应位一一相乘之后求和的操作,如下所示,对于向量a和向量b:
    在这里插入图片描述在这里插入图片描述
    a和b的点积公式为:
    在这里插入图片描述
    这里要求一维向量a和向量b的行列数相同。注意:点乘的结果是一个标量(数量而不是向量)

    定义:两个向量a与b的内积为 a·b = |a||b|cos∠(a, b),特别地,0·a =a·0 = 0;若a,b是非零向量,则a与b为正交的充要条件是a·b = 0。

    向量内积的性质

    1. a^2 ≥ 0;当a^2 = 0时,必有a = 0. (正定性)
    2. a·b = b·a. (对称性)
    3. (λa + μb)·c = λa·c + μb·c,对任意实数λ, μ成立. (线性)
    4. cos∠(a,b) =a·b/(|a||b|).
    5. |a·b| ≤ |a||b|,等号只在a与b共线时成立.

    向量内积的几何意义

    内积(点乘)的几何意义包括:

    1. 表征或计算两个向量之间的夹角
    2. b向量在a向量方向上的投影
      公式:
      在这里插入图片描述

    向量内积可以做什么

    一个重要的应用就是可以根据内积判断向量a和向量b之间的夹角和方向关系,具体来说:

    a·b>0 方向基本相同,夹角在0°到90°之间
    a·b=0 正交,相互垂直
    a·b<0 方向基本相反,夹角在90°到180°之间
    简单来说就是内积可以反映出两个向量之间的某种关系或联系。

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  • 向量的内积(点乘)定义概括地说,向量的内积(点乘/数量积)。对两个向量执行点乘运算,就是对这两个向量对应位一一相乘之后求和操作,如下所示,对于向量a和向量b: a和b点积公式为:这里要求一维向量a和向量b...

    向量的内积(点乘)

    定义

    概括地说,向量的内积(点乘/数量积)。对两个向量执行点乘运算,就是对这两个向量对应位一一相乘之后求和的操作,如下所示,对于向量a和向量b:

    a和b的点积公式为:

    这里要求一维向量a和向量b的行列数相同。注意:点乘的结果是一个标量(数量而不是向量)

    定义:两个向量a与b的内积为 a·b = |a||b|cos∠(a, b),特别地,0·a =a·0 = 0;若a,b是非零向量,则a与b****正交的充要条件是a·b = 0。

    向量内积的性质:

    a^2 ≥ 0;当a^2 = 0时,必有a = 0. (正定性)

    a·b = b·a. (对称性)

    (λa + μb)·c = λa·c + μb·c,对任意实数λ, μ成立. (线性)

    cos∠(a,b) =a·b/(|a||b|).

    |a·b| ≤ |a||b|,等号只在a与b共线时成立.

    向量内积的几何意义

    内积(点乘)的几何意义包括:

    表征或计算两个向量之间的夹角

    b向量在a向量方向上的投影

    有公式:

    推导过程如下,首先看一下向量组成:

    定义向量c:

    根据三角形余弦定理(这里a、b、c均为向量,下同)有:

    根据关系c=a-b有:

    即:

    a∙b=|a||b|cos⁡(θ)

    向量a,b的长度都是可以计算的已知量,从而有a和b间的夹角θ:

    θ=arccos⁡(a∙b|a||b|)

    进而可以进一步判断两个向量是否同一方向或正交(即垂直)等方向关系,具体对应关系为:

    a∙b>0→方向基本相同,夹角在0°到90°之间

    a∙b=0→ 正交,相互垂直

    a∙b<0→ 方向基本相反,夹角在90°到180°之间

    向量的外积(叉乘)

    定义

    概括地说,两个向量的外积,又叫叉乘、叉积向量积,其运算结果是一个向量而不是一个标量。并且两个向量的外积与这两个向量组成的坐标平面垂直。

    定义:向量a与b的外积a×b是一个向量,其长度等于|a×b| = |a||b|sin∠(a,b),其方向正交于a与b。并且,(a,b,a×b)构成右手系。

    特别地,0×a = a×0 = 0.此外,对任意向量a,a×a=0。

    对于向量a和向量b:

    a和b的外积公式为:

    其中:

    根据i、j、k间关系,有:

    向量外积的性质

    a × b = -b × a. (反称性)

    (λa + μb) × c = λ(a ×c) + μ(b ×c). (线性)

    向量外积的几何意义

    在三维几何中,向量a和向量b的外积结果是一个向量,有个更通俗易懂的叫法是法向量,该向量垂直于a和b向量构成的平面。

    在3D图像学中,外积的概念非常有用,可以通过两个向量的外积,生成第三个垂直于a,b的法向量,从而构建X、Y、Z坐标系。如下图所示:

    在二维空间中,外积还有另外一个几何意义就是:|a×b|在数值上等于由向量a和向量b构成的平行四边形的面积。

    Reference

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  • notforcommercialuse平面向量内积的坐标运算与距离公式德清乾元职高朱见锋【教材分析】:本课是在平面向量坐标运算、内积定义基础上学习的,主要知识是平面向量内积的坐标运算与平面内两点间的距离公式,是后面学习...

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    平面向量内积的坐标运算与距离公式

    德清乾元职高

    朱见锋

    【教材分析】

    本课是在平面向量坐标运算、

    内积定义基础上学习的,

    主要知识是平面向量内积的坐标运算与平面内两点

    间的距离公式,是后面学习曲线方程的重要公式和推导依据,是进一步学习相关数学知识的重要基础。

    【教学目标】

    1.

    掌握平面向量内积的坐标表示,会应用平面向量内积的知识解决平面内有关长度、两向量的夹角和垂直的问题.

    2.

    能够根据平面向量的坐标,判断两向量是否垂直,求两向量的夹角等。

    3.

    通过学习平面向量的坐标表示,使学生进一步了解数学知识的相同性,培养学生辩证思维能力.提高学生数学知识

    的应用能力。

    【教学重点】

    :平面向量内积的坐标公式式,平面向量垂直的充要条件,平面内两点间距离公式的应用.

    【教学难点】

    :平面向量内积的坐标公式的推导和应用。

    【教学方法】

    本节课采用问题启发式教学和讲练结合的教学方法.

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  • 向量的内积和外积

    万次阅读 2019-07-19 10:40:29
    一、向量的内积 ... 1.1向量内积的定义 概括地说,向量的内积(点乘/点积/数量积)就是对两个向量执行点乘运算,即对这两个向量对应位一一相乘之后求和的操作,如下所示,对于向量a和向量b: ...
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  • 向量内积

    千次阅读 2017-12-22 18:03:17
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  • 向量的内积与外积

    2019-09-28 14:30:52
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  • 洛谷P1224 向量内积

    2019-02-07 17:49:00
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  • 向量代数:向量的内积和外积

    千次阅读 2014-11-18 17:35:51
    一. 内积 定义:两个向量a与b的内积
  • 向量的内积(点乘) 要求一维向量a和向量b的行列数相同。点乘的结果是一个标量而不是向量 ...向量内积的性质: a^2 ≥ 0;当a^2 = 0时,必有a = 0. (正定性) a·b = b·a. (对称性) (xa + yb)·...

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