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  • 本篇内容主要是对线性代数中向量和外补充,同时说明一下向量的四则运算,如果对向量向量空间相关含义有所遗忘的话可以回顾:1、算法工程师的数学基础|线性代数中的向量向量空间 数学中的运算包括:加减...

    线性代数主要包含向量、向量空间(或称线性空间)以及向量的线性变换和有限维的线性方程组。本篇文章主要介绍线性代数部分中的向量和向量空间。

    本篇内容主要是对线性代数中向量点积和外积补充,同时说明一下向量的四则运算,如果对向量和向量空间相关含义有所遗忘的话可以回顾:1、算法工程师的数学基础|线性代数中的向量和向量空间

    数学中的运算包括:加减乘除,同样向量的运算也包括这几项,需要注意的是,保证向量的维度相同。

    1、向量加减法

    加法和减法是可逆的运算,比如加一个数m可以转变为减去这个数m的负数-m。

    2、向量乘法

    3、向量乘以常数

    4、内积

    向量的内积又称为点乘或者数量乘。

    5、外积

    两个向量的外积又叫叉乘或者叉乘向量积,其运算结果是一个向量,并且两个向量的外积与这两个向量组成的平面垂直。

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  • 向量着实是高中数学重要内容,但是如今教学将它处理得实在是太差了,沦落成代入公式和计算。向量是通向从一维到高维,从数量到空间桥梁。其中起到关键作用,正是那个被无数学生和老师遗忘平面/空间向量...

    向量着实是高中数学里的重要内容,但是如今的教学将它处理得实在是太差了,沦落成代入公式和计算。向量是通向从一维到高维,从数量到空间的桥梁。其中起到关键作用的,正是那个被无数学生和老师遗忘的平面/空间向量基本定理。你别看它又抽象又没有显而易见的应用,所有的传统几何问题,通过向量基本定理做概括,理论上都能被完全解决。

    平面向量基本定理,说白了就是告诉你平面上的点和二维坐标

    是一对一的。这不就是平面坐标系吗?结合了内积以后,不就进一步变成了平面直角坐标系吗?所以说,整个依赖于直角坐标系的解析几何,完全就是向量的产物。可千万不要小看向量和坐标系了。

    这时你可能说,我不就是想讲一个烂俗的方法吗。的确,建立坐标系是太常规不过的解决几何问题的方法了。但是如果我不解释原因,如何才能说服你去真心实意地主动采取坐标系的方法观察几何问题呢?这看似无关紧要,但实实在在地影响着你对问题的解决啊。

    平面凸四边形

    满足
    满足

    作为平面几何问题,还涉及到内积,你把它放在平面直角坐标系里总没有问题吧。

    为了体现出
    的条件,取

    然后可以写出

    通过

    求出

    接下来利用最后一个条件,列出方程

    做到这一步,接下来就没有太多价值了。这道题的计算太复杂,而且这还是在适当优化了计算步骤的情形,很明显不适合作为考试题。

    另外,分析一下这道题的复杂度。如果以

    为基向量建立坐标系,那么还是要考虑有类似复杂度的
    总体来说复杂度应该差不多。只要
    都斜向,最后一步的复杂度都是那样。然而如果以
    为基向量,会使
    变得更复杂。综上,似乎无法通过普通方法降低问题的复杂度。采用传统方法,夹角、投影也都很复杂。

    结合恒等式

    解得

    1.

    2.

    此时

    的纵坐标

    不满足

    是凸四边形。

    综合以上结论,计算得到

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  • 向量的点乘,也叫向量的内积、数量积,对两个向量执行点乘运算,就是对这两个向量对应位一一相乘之后求和操作,点乘结果是一个标量。点乘公式对于向量a和向量b:a和b点积公式为:要求一维向量a和向量b行列数...

    向量点乘(内积)和叉乘(外积、向量积)概念及几何意义解读(经典)。向量是由n个实数组成的一个n行1列(n*1)或一个1行n列(1*n)的有序数组;

    向量的点乘,也叫向量的内积、数量积,对两个向量执行点乘运算,就是对这两个向量对应位一一相乘之后求和的操作,点乘的结果是一个标量。

    点乘公式

    对于向量a和向量b:

    2c0cf501dec6d17a391dbb7a1e9e9ecf.png3c021fa09befd76bffb9ebb0f13d9d75.png

    a和b的点积公式为:

    9f7ce1302f8ced113deec71b72432de0.png

    要求一维向量a和向量b的行列数相同。

    点乘几何意义

    点乘的几何意义是可以用来表征或计算两个向量之间的夹角,以及在b向量在a向量方向上的投影,有公式:

     33619f22d1348a0afb950a0944eb0617.png 

    推导过程如下,首先看一下向量组成:

     936010bf823e1c3bf65c88f253251dda.png 

    定义向量:

    f4bcc58391730250e15e78043a9471af.png

    根据三角形余弦定理有:

    a9fac9dbb8e8a6b8bedbe5fce049bcea.png

    根据关系c=a-b(a、b、c均为向量)有:

    268028dc74c226523376502a324a660d.png

    即:

    d1984b9e9ba1904bacaaa9d3d701c66b.png

    向量a,b的长度都是可以计算的已知量,从而有a和b间的夹角θ:

    5ee685a50ee924392a1f73a8a7906f87.png

    根据这个公式就可以计算向量a和向量b之间的夹角。从而就可以进一步判断这两个向量是否是同一方向,是否正交(也就是垂直)等方向关系,具体对应关系为:


    a·b>0 方向基本相同,夹角在0°到90°之间

    a·b=0 正交,相互垂直

    a·b<0 方向基本相反,夹角在90°到180°之间

    叉乘公式

    两个向量的叉乘,又叫向量积、外积、叉积,叉乘的运算结果是一个向量而不是一个标量。并且两个向量的叉积与这两个向量组成的坐标平面垂直。

    对于向量a和向量b:

    97e346484358d174eafa74de75fa708e.png

    a和b的叉乘公式为:

    73ef89f83f3393b9e4b44ee79c24ec0b.png

    其中:

    7c57642dfbe568d0a4b4225d6f571a44.png

    根据i、j、k间关系,有:  ad6fdf9ca22ebb4f5aec73f1c93298b5.png

    叉乘几何意义

    在三维几何中,向量a和向量b的叉乘结果是一个向量,更为熟知的叫法是法向量,该向量垂直于a和b向量构成的平面。

    在3D图像学中,叉乘的概念非常有用,可以通过两个向量的叉乘,生成第三个垂直于a,b的法向量,从而构建X、Y、Z坐标系。如下图所示:

    2520d6854d34a49a952aa65078be2531.png

    在二维空间中,叉乘还有另外一个几何意义就是:aXb等于由向量a和向量b构成的平行四边形的面积。

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  • 向量内积的几何解释就是一个向量在另一个向量上的投影的积, 也就是同方向的积特别的。 如果一个向量如a是某个坐标轴的单位坐标向量, 那么,两个向量的内积就是向量b在此坐标轴上的坐标值。...
     

    内积和外积的物理意义

    字数 277阅读 6,276
    1. 向量的内积
      ab=ab cos(θ)

       向量a和b的长度之积再乘以它们之间的夹角的余弦;
       向量内积的几何解释就是一个向量在另一个向量上的投影的积,
       也就是同方向的积特别的。
       如果一个向量如a是某个坐标轴的单位坐标向量,
       那么,两个向量的内积就是向量b在此坐标轴上的坐标值。
       这个结论非常重要,这是傅立叶分析的理论基础。
       ----------------------------------------------------------
       其他几何意义:从内积数值上我们可以看出两个向量的在方向上的接近程度。
       当内积值为正值时,两个向量大致指向相同的方向(方向夹角小于90度);
       当内积值为负值时,两个向量大致指向相反的方向(方向角大于90度);
       当内积值为0时,两个向量互相垂直
      

    2.向量的外积
    ab=ab sin(θ)

      a × b为一个新生成的向量,这个向量垂直于a 和 b展成的平面 
     (图中的虚线平行四边形,由线段oa和ob 所确定的平面);  
      同样向量b × a也垂直这个平面,
      但方向与a × b所指的方向相反,
      即 a × b = b × a;(右手法则)
    

    reference: 向量的基本几何意义

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