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  • 1.第三讲三维空间刚体运动-向量内积(点乘)和外(叉乘)概念及几何意义
    2021-02-17 21:18:51

    向量内积(点乘)和外积(叉乘)概念及几何意义

    向量内积(点乘)和外积(叉乘)概念及几何意义

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  • 向量及其意义

    千次阅读 2017-05-06 21:21:42
    更一般地,n维向量内积定义如下: 几何定义 设二维空间有两个向量   和   ,它们的夹角为   ,则内积定义为以下实数: 该定义只对二维和三维空间

    定义

    编辑

    代数定义

    设二维空间内有两个向量
       
       
    ,定义它们的数量积(又叫内积、点积)为以下实数:
    更一般地,n维向量的内积定义如下:

    几何定义

    设二维空间内有两个向量
       
       
    ,它们的夹角为
       
    ,则内积定义为以下实数:
    该定义只对二维和三维空间有效。

    点积的值

    编辑
    u的大小、v的大小、u,v夹角的余弦。在u,v非零的前提下,点积如果为负,则u,v形成的角大于90度;如果为零,那么u,v垂直;如果为正,那么u,v形成的角为锐角。
    两个单位向量的点积得到两个 向量夹角的cos值,通过它可以知道两个向量的相似性,利用点积可判断一个多边形是否面向摄像机还是背向摄像机。
    向量的点积与它们夹角的余弦成正比,因此在聚光灯的效果计算中,可以根据点积来得到光照效果,如果点积越大,说明夹角越小,则物理离光照的轴线越近,光照越强

    应用

    点乘的几何意义和用处就是计算两个向量之间的夹角,以及在某一方向上的投影。
    在生产生活中,点积同样应用广泛。利用点积可判断一个多边形是否面向摄像机还是背向摄像机。向量的点积与它们夹角的余弦成正比,因此在聚光灯的效果计算中,可以根据点积来得到光照效果,如果点积越大,说明夹角越小,则物理离光照的轴线越近,光照越强。物理中,点积可以用来计算合力和功。若b为单位矢量,则点积即为a在方向b的投影,即给出了力在这个方向上的分解。功即是力和位移的点积。计算机图形学常用来进行方向性判断,如两矢量点积大于0,则它们的方向朝向相近;如果小于0,则方向相反。矢量内积是人工智能领域中的神经网络技术的数学基础之一,此方法还被用于动画渲染(Animation-Rendering)。
    线性变换中点积的意义:
    根据点积的代数公式:a·b=a1b1+a2b2+……+anbn,假设a为给定权重向量,b为特征向量,则a·b其实为一种线性组合,函数F(a·b)则可以构建一个基于a·b+c = 0 (c为偏移)的某一超平面的线性分类器,F是个简单函数,会将超过一定阈值的值对应到第一类,其它的值对应到第二类。

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  • 二维向量叉乘:(x1,y1)×(x2,y2) = x1y2-x2y1 值为正,(x2,y2)在(x1,y1)逆时针方向 值为负,(x2,y2)在(x1,y1)顺时针方向 值为0,(x2,y2)和(x1,y1)共线 2.编程语言 # -*- coding: UTF-8 -*- from pylab import * x=...

    1. 自然语言

    • 二维向量叉乘:(x1,y1)×(x2,y2) = x1y2-x2y1
    • 值的绝对值是两向量同起点,构成平行四边形的面积
    • 值为正,(x2,y2)在(x1,y1)逆时针方向
    • 值为负,(x2,y2)在(x1,y1)顺时针方向
    • 值为0,(x2,y2)和(x1,y1)共线

    2.编程语言

    # -*- coding: UTF-8 -*-
    from pylab import *
    
    x=[-3, -2, -1, 2, 4]
    y=[-3,  1, -1, 0, 3]
    plt.axis("equal")
    #             线的形状      颜色         透明度      线的宽度     标签
    plt.plot(x, y, 'ro-', color='#4169E1', alpha=0.8, linewidth=1, label='example')
    # 显示标签,如果不加这句,即使在plot中加了label参数,最终还是不会显示标签
    plt.legend(loc="upper right")
    plt.xlabel('x')
    plt.ylabel('y')
    #plt.show()
    
    for i in range(3):
      tx = x[i]-x[i+1]
      ty = y[i]-y[i+1]
      xx = x[i+2]-x[i+1]
      yy = y[i+2]-y[i+1]
      print (tx,ty),(xx,yy),tx*yy-ty*xx
    
    • 程序中5点4线如下图图
    • 输出:

    -1 -4 1 -2 6
    -1 2 3 1 -7
    -3 -1 2 3 -7

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  •   向量之间的叉乘和点乘,概念易混淆,分别不清楚,因此本文专门对这个概念进行了详细分析介绍。

      向量之间的叉乘和点乘,概念易混淆,分别不清楚,因此本文专门对这个概念进行了详细分析介绍。首先,介绍一下向量(Vector),在几乎所有的几何问题中,向量(有时也称矢量)是一个基本点。向量的定义包含方向和一个数(长度)。
      在二维空间中,一个向量可以用一对x和y来表示。向量:既有方向又有大小的量。通常情况下会将向量放到坐标系中,常用的是笛卡尔坐标系,向量起始点通常放到原点(注:没有固定的起点,只要方向相同,大小相等,就认为两向量是相同的,但为了用数值坐标来表示向量,将起始点放到原点

    一、点乘 (Dot Product)

    向量的点乘,也叫向量的内积、数量积,对两个向量执行点乘运算,就是对这两个向量对应位一一相乘之后求和的操作,点乘的结果是一个标量。点乘,也叫数量积。结果是一个向量在另一个向量方向上投影的长度,是一个标量。
    假设向量a和向量b:
        在这里插入图片描述
    a和b的点积公式(要求一维向量a和向量b的行列数相同)为:
                  在这里插入图片描述

    对应点乘的几何意义为

      点乘的几何意义是可以用来表征或计算两个向量之间的夹角,以及在b向量在a向量方向上的投影,有公式:
    a·b = |a||b|cos(θ)
    θ是向量a和向量b见的夹角。这里|a|我们称为向量a的模(norm),也就是a的长度, 在二维空间中就是|a| = sqrt(x2+y2)。这样我们就和容易计算两条线的夹角: cos(θ) = a·b /(|a||b|)
    对于推导过程可以稍微利用余弦定理如下,
    首先看一下向量组成:  在这里插入图片描述
    定义向量: c = a - b
    根据三角形余弦定理有:
              在这里插入图片描述
    根据关系c = a - ba、b、c均为向量)有:
        在这里插入图片描述
     向量a,b的长度都是可以计算的已知量,从而有ab间的夹角θ:
                 在这里插入图片描述
      根据这个公式就可以计算向量a和向量b之间的夹角。从而就可以进一步判断这两个向量是否是同一方向,是否正交(也就是垂直)等方向关系,具体对应关系为:
       a·b>0    方向基本相同,夹角在0°到90°之间
       a·b=0    正交,相互垂直
       a·b<0    方向基本相反,夹角在90°到180°之间
    总结就是:
    假如 向量a 为(x1, y1),向量b为(x2, y2)
      点积(也叫内积)结果 为a·b = x1 * x2 + y1 * y2 = |a||b| cos<a,b>,可以理解为向量a在向量b上投影的长度乘以向量b的长度。

    应用:

            
    在这里插入图片描述

    二、叉乘(cross product)

      两个向量的叉乘,又叫向量积、外积、叉积,叉乘的运算结果是一个向量而不是一个标量,并且两个向量的叉积与这两个向量组成的坐标平面垂直。
    对于向量a和向量b
                 在这里插入图片描述
    ab的叉乘公式为,其中i = (1,0,0)、 j = (0,1,0)、k = (0,0,1)
      在这里插入图片描述根据i、j、k间关系,有:
    在这里插入图片描述

    对应叉乘的几何意义为

       在三维几何中,向量a和向量b的叉乘结果是一个向量,更为熟知的叫法是法向量,该向量垂直于a和b向量构成的平面。叉乘的结果是个向量,方向在z轴上,在二维空间里,让我们暂时忽略它的方向,将结果看成一个向量,那么这个结果类似于上述的点积,有公式:
                axb = |a||b|sin(θ),
    然而角度 θ和上面点乘的角度有一点点不同,他是有正负的,是指从a到b的角度。因此 ,向量的外积不遵守乘法交换率,因为向量a×向量b=-向量b×向量a在物理学中,已知力与力臂求外积,就是向量的外积,即叉乘。
       在3D图像学中,叉乘的概念非常有用,可以通过两个向量的叉乘,生成第三个垂直于a,b的法向量,从而构建X、Y、Z坐标系。如下图所示:
              在这里插入图片描述
      在二维空间中,叉乘还有另外一个几何意义就是:aXb等于由向量a和向量b构成的平行四边形的面积。
                    在这里插入图片描述
      叉积的绝对值就是A和B为两边说形成的平行四边形的面积。也就是AB所包围三角形面积的两倍。在计算面积时,我们要经常用到叉积。

    方向判定:

      向量c的方向与a,b所在的平面垂直,且方向要用“右手法则”判断。判断方法如下:
     1.右手手掌张开,四指并拢,大拇指垂直于四指指向的方向;
     2.伸出右手,四指弯曲,四指与A旋转到B方向一致,那么大拇指指向为C向量的方向。
        在这里插入图片描述
    总结就是:
    假如 向量a 为(x1, y1),向量b为(x2, y2)
      叉积(也叫外积)的模为a x b = x1 * y2 - x2 * y1 = |a||b| sin<a,b>,可以理解为平行四边形的有向面积(三维以上为体积)。外积的方向垂直于这两个方向。

    应用:

          在这里插入图片描述
    此文参考了众多博主的内容,感谢下面博主:
    -牧野-
    pangshaohua
    知乎问题:点乘和叉乘的区别是什么?
    炒饭大师
    AndyJMR

    展开全文
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向量内积的物理意义