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  • 内积和外积的物理意义Persistently关注2018.07.31 14:28:46字数 277阅读 6,276 向量的内积 ab=ab cos(θ) 向量a和b的长度之积再乘以它们之间的夹角的余弦; 向量内积的几何解释就是一个向量在另一个向量上的投影...
     

    内积和外积的物理意义

    字数 277阅读 6,276
    1. 向量的内积
      ab=ab cos(θ)

       向量a和b的长度之积再乘以它们之间的夹角的余弦;
       向量内积的几何解释就是一个向量在另一个向量上的投影的积,
       也就是同方向的积特别的。
       如果一个向量如a是某个坐标轴的单位坐标向量,
       那么,两个向量的内积就是向量b在此坐标轴上的坐标值。
       这个结论非常重要,这是傅立叶分析的理论基础。
       ----------------------------------------------------------
       其他几何意义:从内积数值上我们可以看出两个向量的在方向上的接近程度。
       当内积值为正值时,两个向量大致指向相同的方向(方向夹角小于90度);
       当内积值为负值时,两个向量大致指向相反的方向(方向角大于90度);
       当内积值为0时,两个向量互相垂直
      

    2.向量的外积
    ab=ab sin(θ)

      a × b为一个新生成的向量,这个向量垂直于a 和 b展成的平面 
     (图中的虚线平行四边形,由线段oa和ob 所确定的平面);  
      同样向量b × a也垂直这个平面,
      但方向与a × b所指的方向相反,
      即 a × b = b × a;(右手法则)
    

    reference: 向量的基本几何意义

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  • 特征值和特征向量的物理意义 ABSTRACT: 特征向量:它经过这种特定的变换后保持方向不变。只是进行长度上的伸缩而已。 特征值:一个变换(矩阵)可由它的所有特征向量完全表示,而每一个向量所对应的特征值,就...

    特征值和特征向量的物理意义

     

    ABSTRACT:

    特征向量:它经过这种特定的变换后保持方向不变。只是进行长度上的伸缩而已。

    特征值: 一个变换(矩阵)可由它的所有特征向量完全表示,而每一个向量所对应的特征值,就代表了矩阵在这一向量上的贡献率——说的通俗一点就是能量(power)。

    内积:内积可以简单的理解为两个函数的相似程度,内积值越大表示两个函数相似程度越大,内积为零表示完全不相似。两个函数内积为零则两个函数正交,在三维空间中它们的夹角为90度,在三维以上不是这样的。

    CONTENT

    矩阵(既然讨论特征向量的问题。当然是方阵。这里不讨论广义特征向量的概念)乘以一个向量的结果仍是同维数的一个向量。因此。矩阵乘法对应了一个变换。把一个向量变成同维数的另一个向量。那么变换的效果是什么呢?这当然与方阵的构造有密切关系。比如可以取适当的二维方阵。使得这个变换的效果就是将平面上的二维向量逆时针旋转30度。这时我们可以问一个问题。有没有向量在这个变换下不改变方向呢?可以想一下。除了零向量。没有其他向量可以在平面上旋转30度而不改变方向的。所以这个变换对应的矩阵(或者说这个变换自身)没有特征向量(注意:特征向量不能是零向量)。所以一个变换的特征向量是这样一种向量。它经过这种特定的变换后保持方向不变。只是进行长度上的伸缩而已(再想想特征向量的原始定义Ax= cx。你就恍然大悟了。看到了吗?cx是方阵A对向量x进行变换后的结果。但显然cxx的方向相同)。而且x是特征向量的话。ax也是特征向量(a是标量且不为零)。所以所谓的特征向量不是一个向量而是一个向量族。 另外。特征值只不过反映了特征向量在变换时的伸缩倍数而已。对一个变换而言。特征向量指明的方向才是很重要的。特征值不是那么重要。虽然我们求这两个量时 先求出特征值。但特征向量才是更本质的东西!

    比如平面上的一个变换。把一个向量关于横轴做镜像对称变换。即保持一个向量的横坐标不变。但纵坐标取相反数。把这个变换表示为矩阵就是[1 0;0 -1]。其中分号表示换行。显然[1 0;0 -1]*[a b]'=[a –b]'。其中上标 表示取转置。这正是我们想要的效果。那么现在可以猜一下了。这个矩阵的特征向量是什么?想想什么向量在这个变换下保持方向不变。显然,横轴上的向量在这个变换下保持方向不变(记住这个变换是镜像对称变换。那镜子表面上(横轴上)的向量当然不会变化)。所以可以直接猜测其特征向量是 [a 0]'(a不为0)。还有其他的吗?有。那就是纵轴上的向量。这时经过变换后。其方向反向。但仍在同一条轴上。所以也被认为是方向没有变化。

    当我们引用了Spectral theorem(谱定律)的时候,情况就不一样了。Spectral theorem的核心内容如下:一个线性变换A(用矩阵乘法表示)可表示为它的所有的特征向量的一个线性组合,其中的线性系数就是每一个向量对应的特征值,写成公式就是:
    T(x)=(V1x)λ1V1+(V2x)λ2V2+(V3x)λ3V3+。。。
    其中,V1 V2 V3等表示特征向量,λ1 λ2 λ3等表示特征值,V表示输入向量,T(x)即变换后的向量。

    从这里我们可以看出,一个变换(矩阵)可由它的所有特征向量完全表示(T(x)=Ax)。而每一个向量所对应的特征值,就代表了矩阵在这一向量上的贡献率——说的通俗一点就是能量(power),这种贡献是一种整体上的贡献率,对于单个向量来说还要考虑特征向量V与输入向量x的点积,即dot(V,x)部分。也就是说,即使λ1相比其它特征值来说很大,使得V1的贡献率很高,但是(V1x=0T(x)V1上也没有任何表现。

    我们知道,一个变换可由一个矩阵乘法表示,那么一个空间坐标系也可视作一个矩阵,而这个坐标系就可由这个矩阵的所有特征向量表示,用图来表示的话,可以想象就是一个空间张开的各个坐标角度,这一组向量可以完全表示一个矩阵表示的空间的特征,而他们的特征值就表示了各个角度上的能量(可以想象成从各个角度上伸出的长短,越长的轴就越可以代表这个空间,它的特征就越强,或者说显性,而短轴自然就成了隐性特征),因此,通过特征向量/值可以完全描述某一几何空间这一特点,使得特征向量与特征值在几何(特别是空间几何)及其应用中得以发挥。

    ---

    案例学习:二维空间直角坐标系下,有一向量x=[1 1]',求通过变换矩阵A=[1 2;3 4]后的向量。

    步骤1:题目中之所以强调直角坐标系,是因为想让大家清楚,日常生活中所默认的这种坐标系的变换矩阵为A0=[1 0; 0 1],其对应的2组特征值和特征向量为:横坐标即λ1=1,V1=[1 0]'; 纵坐标即λ2=1,V2=[0 1]'。V1和V2也可以称为二维空间的一组基。

    你可以发现T(x)=A0x=[1 0; 0 1] *[1 1]'=[1 1]'。根据谱定理也有:T(x)=(V1。x)λ1V1+(V2。x)λ2V2=dot(V1,x)* λ1*V1+dot(V2,x)* λ2*V2=[1 1]'。

    步骤2:下面看一下题目中的变换矩阵A=[1 2;3 4],其对应的特征值和特征向量为:λ1=-0。3723,V1=[-0。8246 0。5658]'; λ2=5。3723,V2=[-0。4160 -0。9094]'。如果不假思索直接得到T(x)=Ax=[3 7]',当然结果正确,但本案例旨在说明这个结果的意义和背后的故事。首先需要明白结果[3 3]'仍然是在直角坐标系下,即基为[1 0]'和[0 1]'。根据谱定理也有:T(x)=(V1。x)λ1V1+(V2。x)λ2V2=dot(V1,x)* λ1*V1+dot(V2,x)* λ2*V2=[2。8824 6。5294]'≈[3 7]'。将x变换前后的在直角坐标系中的向量图表示如下,图中得出:A对x的作用是旋转和缩放。

     

    步骤3: 更换直角坐标系的基,由原来的[1 0]'和[0 1]'变为由A的特征向量[-0。8246 0。5658]'和[-0。4160 -0。9094]'组成的一对正交基。将x映射到此正交基构成的坐标系中,得到[-0。2588   -1。3254]'(变换前的x)和 [1。4867   -7。6136](变换后的x)。下图给出了坐标系变换前后的对比图,图中可得:更换正交基是对整个坐标系进行旋转和缩放。

     

     

    转载于:https://www.cnblogs.com/ancientmoon/archive/2012/10/22/2733884.html

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  • 原文:...向量的点乘,也叫向量的内积、数量积,对两个向量执行点乘运算,就是对这两个向量对应位一一相乘之后求和操作,点乘结果是一个标量。点乘公式对于向量a和向量b: a和b...

    原文:http://blog.csdn.net/jacke121/article/details/55804353

    向量是由n个实数组成的一个n行1列(n*1)或一个1行n列(1*n)的有序数组;

    向量的点乘,也叫向量的内积、数量积,对两个向量执行点乘运算,就是对这两个向量对应位一一相乘之后求和的操作,点乘的结果是一个标量。

    点乘公式

    对于向量a和向量b:

                          

    a和b的点积公式为:

    要求一维向量a和向量b的行列数相同。

    点乘几何意义

    点乘的几何意义是可以用来表征或计算两个向量之间的夹角,以及在b向量在a向量方向上的投影,有公式:

    推导过程如下,首先看一下向量组成:

    定义向量:

    根据三角形余弦定理有:

    根据关系c=a-b(a、b、c均为向量)有:

    即:

    向量a,b的长度都是可以计算的已知量,从而有a和b间的夹角θ:

    根据这个公式就可以计算向量a和向量b之间的夹角。从而就可以进一步判断这两个向量是否是同一方向,是否正交(也就是垂直)等方向关系,具体对应关系为:

    a·b>0    方向基本相同,夹角在0°到90°之间

    a·b=0    正交,相互垂直

    a·b<0    方向基本相反,夹角在90°到180°之间

    叉乘公式

    两个向量的叉乘,又叫向量积、外积、叉积,叉乘的运算结果是一个向量而不是一个标量。并且两个向量的叉积与这两个向量组成的坐标平面垂直。

    对于向量a和向量b:

    a和b的叉乘公式为:

    其中:

    根据i、j、k间关系,有:

    叉乘几何意义

    在三维几何中,向量a和向量b的叉乘结果是一个向量,更为熟知的叫法是法向量,该向量垂直于a和b向量构成的平面。

    在3D图像学中,叉乘的概念非常有用,可以通过两个向量的叉乘,生成第三个垂直于a,b的法向量,从而构建X、Y、Z坐标系。如下图所示:

    在二维空间中,叉乘还有另外一个几何意义就是:aXb等于由向量a和向量b构成的平行四边形的面积。

    向量:u=(u1,u2,u3) v=(v1,v2,v3)

    叉积公式:u x v = { u2v3-v2u3 ,u3v1-v3u1 ,u1v2-u2v1 }

    点积公式:u * v = u1v1+u2v2+u3v33=lul*lvl*COS(U,V)

    对于向量的运算,还有两个“乘法”,那就是点乘和叉乘了.点乘的结果就是两个向量的模相乘,然后再与这两个向量的夹角的余弦值相乘.或者说是两个向量的各个分量分别相乘的结果的和.很明显,点乘的结果就是一个数,这个数对我们分析这两个向量的特点很有帮助.如果点乘的结果为0,那么这两个向量互相垂直;如果结果大于0,那么这两个向量的夹角小于90度;如果结果小于0,那么这两个向量的夹角大于90度.对于叉乘,它的运算公式令人头晕,我就不说了,大家看下面的公式自己领悟吧……

    向量c的方向与a,b所在的平面垂直,且方向要用“右手法则”判断(用右手的四指先表示向量a的方向,然后手指朝着手心的方向摆动到向量b的方向,大拇指所指的方向就是向量c的方向).

    若向量a=(a1,b1,c1),向量b=(a2,b2,c2),

    向量a·向量b=a1a2+b1b2+c1c2

    向量a×向量b=

    | i j k|

    |a1 b1 c1|

    |a2 b2 c2|

    =(b1c2-b2c1,c1a2-a1c2,a1b2-a2b1)

    (i、j、k分别为空间中相互垂直的三条坐标轴的单位向量).

    叉乘的意义就是通过两个向量来确定一个新的向量,该向量与前两个向量都垂直

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  • 向量的相关运算和几何意义(扫盲篇)

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    向量概念

    在数学中,向量指具有大小和方向的量。与向量对应的只有大小,没有方向的量叫做数量(物理学中称标量)。

    在物理学和工程学中,几何向量更常被称为矢量。

    数量积(内积、点积)

    定义:已知两个非零向量a,b,作OA=a,OB=b,则∠AOB称作向量a和向量b的夹角,记作θ并规定0≤θ≤π。

    定义:两个向量的数量积(内积、点积)是一个数量(没有方向),记作a·b。若ab不共线,则a·b = |a|· |b|· cosθ。

    向量的数量积的运算律:

       a·b=b·a交换律

       (λa)·b=λ(a·b)(关于数乘法的结合律)

    a+bc=a·c+b·c分配律

    向量积(外积、叉积)

    定义:两个向量ab的向量积(外积、叉积)是一个向量,记作a×b(这里“×”并不是乘号,只是一种表示方法,与“·”不同,也可记做“∧”)。若ab不共线,则a×b的模是:∣a×b∣=|a|·|b|·sin〈ab〉;a×b的方向是:垂直于ab,且aba×b按这个次序构成右手系。若ab垂直,则∣a×b∣=|a|*|b|(此处与数量积不同,请注意),若a×b=0,则a、b平行

    向量积的几何意义:

    向量积即两个不共线非零向量所在平面的一组法向量。



    end.

    参考链接:https://baike.baidu.com/item/向量/1396519?fr=aladdin (里面有向量的加法和其他运算)

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向量内积的物理意义