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  • notforcommercialuse平面向量内积的坐标运算与距离公式德清乾元职高朱见锋【教材分析】:本课是在平面向量坐标运算、内积定义基础上学习的,主要知识是平面向量内积的坐标运算与平面内两点间的距离公式,是后面学习...

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    平面向量内积的坐标运算与距离公式

    德清乾元职高

    朱见锋

    【教材分析】

    本课是在平面向量坐标运算、

    内积定义基础上学习的,

    主要知识是平面向量内积的坐标运算与平面内两点

    间的距离公式,是后面学习曲线方程的重要公式和推导依据,是进一步学习相关数学知识的重要基础。

    【教学目标】

    1.

    掌握平面向量内积的坐标表示,会应用平面向量内积的知识解决平面内有关长度、两向量的夹角和垂直的问题.

    2.

    能够根据平面向量的坐标,判断两向量是否垂直,求两向量的夹角等。

    3.

    通过学习平面向量的坐标表示,使学生进一步了解数学知识的相同性,培养学生辩证思维能力.提高学生数学知识

    的应用能力。

    【教学重点】

    :平面向量内积的坐标公式式,平面向量垂直的充要条件,平面内两点间距离公式的应用.

    【教学难点】

    :平面向量内积的坐标公式的推导和应用。

    【教学方法】

    本节课采用问题启发式教学和讲练结合的教学方法.

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  • 向量内积的坐标运算 结论:两个向量的数量积等于它们 对应坐标的乘积的和。 即: x o B(b1,b2) A(a1,a2) y 所以,根据平面向量数量积的坐标表示,向量的数量积的运算可转化为向量的坐标运算。 二.探究新知: 2...

    向量积的坐标运及度量公式

    * * 向量数量积的 坐标运算与度量公式 一.复习回顾: 2. 二.探究新知: 三.新课讲授: 1.向量内积的坐标运算 结论:两个向量的数量积等于它们 对应坐标的乘积的和。 即: x o B(b1,b2) A(a1,a2) y 所以,根据平面向量数量积的坐标表示,向量的数量积的运算可转化为向量的坐标运算。 二.探究新知: 2.两向量垂直和平行的条件 平行 垂直 巩固提高: 二.探究新知: 3.向量的长度、距离、夹角公式 3.向量的长度、距离、夹角公式 ∴ =60o. θ 三.典型例题 例 1 已知a=(1,√3 ),b=(– 2,2√3 ), (1)求a·b; (2)求a与b的夹角θ. 解:(1)a·b=1×(–2)+√3×2√3=4; (2) a =√12+(√3 )2=2, b =√(– 2)2+(2√3 )2 =4, cos = = = , 4 2×4 a·b a b 1 2 θ 变式1: 练习A 1(4). A 3. x 0 y 例2 已知A(1,2),B(2,3),C(-2,5), 试判断?ABC的形状,并给出证明. A(1,2) B(2,3) C(-2,5) 练习A.2.3. 课堂练习: B D A ①②③④ 例3 已知四点坐标:A(-1,3)、B(1,1)、C(4,4)、D(3,5).(1)求证:四边形ABCD是直角梯形;(2)求∠DAB的大小. (1) 证明: AB = (1 – (-1), 1 – 3) = (2, -2), BC = (4 – 1,4 – 1) = (3, 3). DC = (4 – 3, 4 – 5) = (1, -1), ∵ AB = 2DC, x A B C D y ∴ AB⊥BC. ∵ AB·BC = 2×3 +(-2) ×3 = 0, ∴ AB//DC. 知识反馈 ∴ ABCD是直角梯形. 又∵ AB≠DC, x A B C D y (2)解: |AB| = √(1 – (-1))2 + (1 – 3)2 = 2√2 , AD = (3 – (-1), 5 – 3) = (4, 2), |AD| = √(3 – (-1))2 + (5 – 3)2 = 2√5 , AD·AB = 4×2 + 2× (-2) = 4, cos∠DAB = = = , AD·AB |AD||AB| 4 2√5 ·2√2 √10 10 ∴∠DAB = arccos . √10 10

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  • 向量内积的坐标表示7.11向量内积的坐标表示 授课人:邱群灯 * 7.11 向量内积的坐标表示 向量的内积 a⊥b a · b=0 (判断两向量垂直的依据) 运算律: 1. 2. 3. 平面向量基本定理: 如果 是同一平面内的两个不共 线...

    向量内积的坐标表示

    7.11向量内积的坐标表示 授课人:邱群灯 * 7.11 向量内积的坐标表示 向量的内积 a⊥b a · b=0 (判断两向量垂直的依据) 运算律: 1. 2. 3. 平面向量基本定理: 如果 是同一平面内的两个不共 线向量,那么对于平面内的任一向量a ,有且只有与一对实数 , 使 . 7.11 向量内积的坐标表示 ① _____ ② ______ ③ ______ ④ _____ 单位向量i 、j 分别与x 轴、y 轴方向相同,求 1 1 0 0 能否推导出 的坐标公式? 两个向量的内积等于它们对应坐标的乘积的和,即 7.11向量内积的坐标表示 (1)设a =(x,y),则 或|a |= . 性质 若设 、 则 即平面内两点间的距离公式. (2)写出向量夹角公式的坐标式,向量平行和垂直的坐 标表示式. 7.11向量内积的坐标表示 例题讲解 例1.设 , ,求 . 解: a 、b 夹角的余弦值? 7.11平面向量数量积的坐标表示 例2.已知 , , ,求证 是直角三角形. 证明:∵ ∴ 是直角三角形. 7.11 向量内积的坐标表示 例3.求 与向量的夹角为 的单位向量. 解:设所求向量为 ∵ a 与b 成 ∴ 又 ……② 联立解之: , 或 , ……① 另一方面 ∴ 7.11向量内积的坐标表示 练习: (1)已知 , 且 ,求 . (2)已知a =(4,2),求与a 垂直的单位向量. (3) 中, , ,求k 的值. *

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  • 一、什么叫量。量是为了衡量度量现象、物体或物质的特性而...因此我们引入了一个新的概念:向量,用来表示这种特殊的有大小和方向的矢量,并研究它的运算法则。为了方便理解向量的方向性,我们来看这样一个例子。...

    一、什么叫量。
    量是为了衡量度量现象、物体或物质的特性而创造的概念。
    以前我们学的量由表示大小的数字表示,只能表示其一个维度,即大小、高低等。
    这样的量叫标量,可以进行加减乘除运算。
    但是,生活中有一些量除了大小还有方向的特征,这样的量是不能简单的进行加减乘除运算的。
    因此我们引入了一个新的概念:向量,用来表示这种特殊的有大小和方向的矢量,并研究它的运算法则。
    为了方便理解向量的方向性,我们来看这样一个例子。举例:我们先往东跑400米,然后往北方向跑300米,我们现在的位置距离起点多远了?
    是700米(300+400)吗?
    显然不是,应该是500米。
    这很普通是吗?没错,这很奇怪,在面对位置这样的问题,我们的量是不能直接数字相加的。二、引入符号系统表示向量。1.在下图中,线段可以表示线段的大小(长度),箭头可以表示方向。因此我们用有箭头的线段,这种可以表示方向又可以表示大小的方法来表示向量。如:

    895622fe45a8cbf7d8dd0eaa00d52e41.png

    2.对于具体的向量如点A到点B的向量,我们表示为

    48abf4dbed3b43a0359c28164384a84f.png

    也可以简化为:下图的写法,在印刷题中为了方便表示可以用粗体小写字母表示,如a为了方便表示,下文中我们都用粗体小写字母表示向量。

    5d5852f25a5c19f47889bee45f82f7db.png

    向量在空间中的位置是不定的,它只表示某个特定方向和大小的量,好在它的运算性质并不随位置变化而改变。三、向量的模。
    我们把向量的大小叫做向量的模,用

    表示。

    模为0的向量,叫零向量,可以用加粗的0来表示。其方向是任意的,比较特殊,因此我们下面在介绍一些定理常常指出非零向量的限制条件。四、向量的计算方法。1.利用加减法互为逆运算,可以很容易得到向量减法的运算方法。2.向量的数乘运算很简单:ka的意义是不改变向量的方向,对向量的模进行改变
    这里引出了一个向量的定理:
    共线向量基本定理:方向相同的向量叫平行向量也叫共线向量,如果a与非零向量b共线,则存在唯一的实数k,使得a=kb。3.乘法运算稍微复杂一些,其来源于物理中功的定义。
    功:力与物体在力的方向的位移的乘积。
    其中力与位移都是矢量,因此我们把这种算法引入为向量的乘法,这只是向量的第一种乘法,名为数量积或内积,用a·b表示。除此以外,还有第二种乘法,叫做外积。
    在高中学段,我们只需要掌握内积(数量积)的乘法。
    我们定义内积为:a·b为向量a在向量b上的正投影与向量b的模的乘积。
    用图表示为:

    4d1f625a987b6aa36b072e810a18e6ee.png

    一个向量到另一个向量上的投影为图中粗线,它是一个标量:|a|cos<a,b>,其中<a,b>为两个向量之间的夹角
    因此数量积公式为:a·b=|a||b|cos<a,b>五、实战简便做题方法。
    我们现在已经可以对向量进行一些处理了,但是对于某平面上纷繁的向量,由于其位置不定,很难对它们进行分析。我们尝试用一些易于操作的方法来表示它们。
    平面向量基本定理:如果两个向量ab不共线,那么向量p与向量ab共面的充要条件是:存在唯一实数对x、y,使p=xa+yb
    换个简单的说法,平面向量基本定理说了两件事。
    第一:用平面上两个不共线的向量可以表示该平面上任何向量
    第二:如果向量P可以表示为p=xa+yb的形式,那么这三个向量共面。
    两个不共线的向量叫基底向量。
    这样表示的好处是什么呢?如果基底向量确定了,那我们可以用有序的实数对(x,y)来表示这个平面上纷繁的向量了,是不是很方便。
    如果p=2a+3b,m=4a+5b。那么我们就可以用(2,3)表示p,用(4,5)表示m.
    我们看看向量加法用有序实数对表示会怎么样了?p+m=(2a+3b)+(4a+5b)=6a+8b=(6,8)
    我们可以看到用基底表示的向量加减法很简单,可以继续用有序实数对表示。
    数量积运算了?p·m=(2a+3b)(4a+5b)=8a·a+22a·b+15b·b
    看得出来这个式子还是不够足够漂亮。
    怎么样会更加好看了?
    如果我们把基底a、b规定为互相垂直 的单位向量,那上面的式子中:a·a=1,a·b=0,b·b=1,则p·m=23。很好操作,这正是我们想要的 。
    像这种特殊的基底是互相垂直的单位向量,我们叫这种特殊的基底为正交基底
    观察一下这种特殊的基底,是不是和直角坐标系有很大的相似。(重点)这提示我们可以把向量放在直角坐标系中,实现向量的数据化,变成可以操作的数据。

    6b390520e8fb644b5657edbe4bdbb9ee.png

    对于这个坐标平面上的向量我们都可以用有序数对来表示它,进而用坐标进行向量的运算。


    向量的理论部分其实就这么多,并没有你想象的那么复杂。
    当然在实际的题目中,还需要灵活运用这些思想和方法。
    如果你是这样学习向量的话,再加上一些二级公式和做题技巧,向量这部分轻松解决。

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  • 向量的内积

    2019-10-14 10:58:00
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  • 向量的内外

    2019-11-21 20:06:51
    内积 向量内积与矩阵的乘法差不多,如下式计算所示: 外积 而向量的外积就几乎与矩阵的运算没有关系了,如以下公式 ...在外积的运算过程中引入^,此符号叫做反对称符号,就是向量a ^是一个反对称矩阵。 ...
  • 向量的内积和外积

    2021-02-06 08:07:43
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