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  • CDMA向量内积计算

    千次阅读 多人点赞 2020-03-03 14:02:39
    CDMA向量内积计算 在平面坐标上,有A点和B点,A点坐标是(x1, y1),B点坐标是(x2, y2)。![图1](https://img-blog.csdnimg.cn/20200303134826109.png?x-oss-process=image/watermark,type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk,...

    CDMA向量内积的计算

    在平面坐标上,有A点和B点,A点坐标是 ( x 1 , y 1 ) (x_{1}, y_{1}) (x1,y1),B点坐标是 ( x 2 , y 2 ) (x_{2}, y_{2}) (x2,y2)

    Alt

    图2


    A B → = ( x 2 − x 1 , y 2 − y 1 ) \overrightarrow{AB}=(x_{2}-x_{1},y_{2}-y_{1}) AB =(x2x1,y2y1)
      那么 A B → \overrightarrow{AB} AB 向量的模是
       ∣ A B ∣ = ( x 2 − x 1 ) 2 + ( y 2 − y 1 ) 2 \left|AB\right|=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^2+(y_{2}-y_{1})^2} AB=(x2x1)2+(y2y1)2
    即是线段AB的长度。
      若A点在原点,即 x 1 = 0 x_{1}=0 x1=0 y 1 = 0 y_{1}=0 y1=0,则 A B → = ( x 2 , y 2 ) \overrightarrow{AB}=(x_{2},y_{2}) AB =(x2,y2),如图2所示。

    图2

    三维空间的向量就是在三维空间的两个点之间的带有方向和大小的量。在三维空间中有A和B点两,A点坐标是 ( x 1 , y 1 , z 1 ) (x_{1}, y_{1},z_{1}) (x1,y1,z1),B点坐标是 ( x 2 , y 2 , z 2 ) (x_{2}, y_{2},z_{2}) (x2,y2,z2)。则
    A B → = ( x 2 − x 1 , y 2 − y 1 , z 2 − z 1 ) \overrightarrow{AB}=(x_{2}-x_{1},y_{2}-y_{1},z_{2}-z_{1}) AB =(x2x1,y2y1,z2z1)
    其他同理。
      如图3所示,在二维平面上有两个向量 a ⃗ = ( a 1 , a 2 ) \vec{a}=(a_{1},a_{2}) =(a1,a2) b ⃗ = ( b 1 , b 2 ) \vec{b}=(b_{1},b_{2}) b =(b1,b2),则内积 a ⃗ ⋅ b ⃗ = ∣ a ⃗ ∣ ∣ b ⃗ ∣ cos ⁡ θ ( 1 ) \vec{a} \cdot \vec{b}=\left|\vec{a}\right|\left|\vec{b}\right|\cos\theta\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad(1) b = b cosθ(1)

    图3

    a ⃗ \vec{a} b ⃗ \vec{b} b 垂直,则 cos ⁡ θ = 1 \cos\theta=1 cosθ=1
    a ⃗ ⋅ b ⃗ = ∣ a ⃗ ∣ ∣ b ⃗ ∣ cos ⁡ θ = ∣ a ⃗ ∣ ∣ b ⃗ ∣ ( 2 ) \vec{a} \cdot \vec{b}=\left|\vec{a}\right|\left|\vec{b}\right|\cos\theta=\left|\vec{a}\right|\left|\vec{b}\right|\qquad\qquad\quad(2) b = b cosθ= b (2)
    由(1)式可得
    a ⃗ ⋅ b ⃗ = a 1 b 1 + a 2 b 2 ( 3 ) \vec{a} \cdot \vec{b}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad(3) b =a1b1+a2b2(3)

    例1

    如图4所示,图中有两个向量 a ⃗ \vec{a} b ⃗ \vec{b} b ,A,B,C三点的坐标分别为A(1,2),B(2,4),C(3,1)。则
    a ⃗ = ( a 1 , a 2 ) = ( 2 − 1 , 4 − 2 ) = ( 1 , 2 ) \vec{a}=(a_{1},a_{2})=(2-1,4-2)=(1,2) =(a1,a2)=(21,42)=(1,2)
    b ⃗ = ( b 1 , b 2 ) = ( 3 − 1 , 1 − 2 ) = ( 2 , − 1 ) \vec{b}=(b_{1},b_{2})=(3-1,1-2)=(2,-1) b =(b1,b2)=(31,12)=(2,1)
    所以
    a ⃗ ⋅ b ⃗ = a 1 b 1 + a 2 b 2 = ( 1 × 2 + 2 × ( − 1 ) ) = 0 \vec{a} \cdot \vec{b}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}=(1×2+2×(-1))=0 b =a1b1+a2b2=(1×2+2×(1))=0
    因此,向量 a ⃗ \vec{a} a b ⃗ \vec{b} b 正交,且两向量垂直。
    规格化内积
    a ⃗ ⋅ b ⃗ = 1 2 ( a 1 b 1 + a 2 b 2 ) \vec{a} \cdot \vec{b}=\frac12(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}) b =21(a1b1+a2b2)
    而规格化内积
    a ⃗ ⋅ a ⃗ = 1 2 ( a 1 a 1 + a 2 a 2 ) = 1 2 ( 1 × 1 + 2 × 2 ) = 2.5 ≠ 1 \vec{a} \cdot \vec{a}=\frac12(a_{1}a_{1}+a_{2}a_{2})=\frac12(1×1+2×2)=2.5≠1 a =21(a1a1+a2a2)=21(1×1+2×2)=2.5=1
    假设码片向量是2维的,这个2维的向量是不能作为发送站的码片向量的。

    图4

    当两个m维向量有两个向量 a ⃗ = ( a 1 , a 2 , ⋯ a m ) \vec{a}=(a_{1},a_{2},{\cdots}a_{m}) =(a1,a2,am) b ⃗ = ( b 1 , b 2 , ⋯ b m ) \vec{b}=(b_{1},b_{2},{\cdots}b_{m}) b =(b1,b2,bm),则规格化内积为
    a ⃗ ⋅ b ⃗ = 1 m ∑ i = 0 m a i b i = 1 m ( a 1 b 1 + a 2 b 2 + ⋯ + a m b m ) ( 4 ) \vec{a} \cdot \vec{b}=\frac1m\displaystyle \sum^{m}_{i=0}{a_{i}b_{i}}=\frac1m(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots+a_{m}b_{m})\qquad\qquad\qquad(4) b =m1i=0maibi=m1(a1b1+a2b2++ambm)(4)

    例2在这里插入图片描述

    S站的码片序列S是(-1 -1 -1 +1 +1 -1 +1 +1)
    T站的码片序列T是(-1 -1 +1 -1 +1 +1 +1 -1)
    当数据码元比特为1时,发送信号 S x + T x S_{x}+T_{x} Sx+Tx是(-2 -2 0 0 2 0 2 0)
    因为 S → ⋅ ( S x → + T x → ) = S → ⋅ S x → + S → ⋅ T x → \overrightarrow{S}\cdot (\overrightarrow{S_{x}}+\overrightarrow{T_{x}})=\overrightarrow{S}\cdot \overrightarrow{S_{x}}+\overrightarrow{S}\cdot \overrightarrow{T_{x}} S (Sx +Tx )=S Sx +S Tx
    且规格化内积
    S → ⋅ S x → = 1 8 [ ( − 1 ) × ( − 1 ) + ( − 1 ) × ( − 1 ) + ( − 1 ) × ( − 1 ) + ( + 1 ) × ( + 1 ) + ( + 1 ) × ( + 1 ) + ( − 1 ) × ( − 1 ) + ( + 1 ) × ( + 1 ) + ( + 1 ) × ( + 1 ) ] = 1 \overrightarrow{S}\cdot \overrightarrow{S_{x}}=\frac{1}{8}[(-1)×(-1)+(-1)×(-1)+(-1)×(-1)+(+1)×(+1)+ (+1)×(+1)+(-1)×(-1)+(+1)×(+1)+(+1)×(+1)]=1 S Sx =81[(1)×(1)+(1)×(1)+(1)×(1)+(+1)×(+1)+(+1)×(+1)+(1)×(1)+(+1)×(+1)+(+1)×(+1)]=1
    规格化内积
    S → ⋅ T x → = 1 8 [ ( − 1 ) × ( − 1 ) + ( − 1 ) × ( − 1 ) + ( − 1 ) × ( + 1 ) + ( + 1 ) × ( − 1 ) + ( + 1 ) × ( + 1 ) + ( − 1 ) × ( + 1 ) + ( + 1 ) × ( + 1 ) + ( + 1 ) × ( − 1 ) ] = 0 \overrightarrow{S}\cdot \overrightarrow{T_{x}}=\frac{1}{8}[(-1)×(-1)+(-1)×(-1)+(-1)×(+1)+(+1)×(-1)+(+1)×(+1)+(-1)×(+1)+(+1)×(+1)+(+1)×(-1)]=0 S Tx =81[(1)×(1)+(1)×(1)+(1)×(+1)+(+1)×(1)+(+1)×(+1)+(1)×(+1)+(+1)×(+1)+(+1)×(1)]=0
    所以
    S → ⋅ ( S x → + T x → ) = S → ⋅ S x → + S → ⋅ T x → = 1 + 0 = 1 \overrightarrow{S}\cdot (\overrightarrow{S_{x}}+\overrightarrow{T_{x}})=\overrightarrow{S}\cdot \overrightarrow{S_{x}}+\overrightarrow{S}\cdot \overrightarrow{T_{x}}=1+0=1 S (Sx +Tx )=S Sx +S Tx =1+0=1
    所以S站发出的数据码元为1。
    若计算的结果为-1,则说明S站发出的数据码元为0,若计算结果为0,则说明S站没有发送数据。

    例3

    在这里插入图片描述

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  • 向量的常用计算公式

    千次阅读 2019-07-12 22:30:35
    向量的常用计算公式 本文提供全流程,中文翻译。 Chinar 的初衷是将一种简单的生活方式带给世人 使有限时间 具备无限可能 Chinar —— 心分享、心创新!记录并提供常用向量计算公式,备忘为初学者节省宝贵...

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    向量的常用计算公式


    本文提供全流程,中文翻译。

    Chinar 的初衷是将一种简单的生活方式带给世人

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    1

    Length —— 向量长度


    勾股定理: a 2 + b 2 = C 2 a^2+b^2=C^2 a2+b2=C2

    向量C的长度:C= a 2 + b 2 \sqrt{a^2+b^2} a2+b2


    举个例子

    在这里插入图片描述


    2

    Project —— 项目文件


    Unity 版本:2018.3.12

    项目文件为 unitypackage 文件包:

    下载导入 Unity 即可使用

    提取码:9449

    举个例子


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  • 向量数量的坐标运算与量公式PPT学习教案.pptx
  • 向量内积

    千次阅读 2017-12-22 18:03:17
    向量内积一般指点积; 在数学中,数量积(dot product; scalar product,也称为点积)是接受在实数R上的两个向量并返回一个实数值标量的二元运算。它是欧几里得空间的标准内积。[1]  两个向量a = [a1, a2,…, an...
    向量内积 一般指点积;
    在数学中,数量积(dot product; scalar product,也称为点积)是接受在实数R上的两个 向量并返回一个实数值 标量二元运算。它是 欧几里得空间的标准 内积[1]  
    两个向量a = [a1, a2,…, an]和b = [b1, b2,…, bn]的点积定义为:
    a·b=a1b1+a2b2+……+anbn。
    使用 矩阵乘法并把(纵列)向量当作n×1  矩阵,点积还可以写为:
    a·b=a^T*b,这里的a^T指示 矩阵a的 转置

    点乘的几何意义是可以用来表征或计算两个向量之间的夹角,以及在b向量在a向量方向上的投影,有公式:




    推导过程如下,首先看一下向量组成:





    定义向量:




    根据三角形余弦定理有:




    根据关系c=a-b(a、b、c均为向量)有:




    即:



    向量a,b的长度都是可以计算的已知量,从而有a和b间的夹角θ:




    根据这个公式就可以计算向量a和向量b之间的夹角。从而就可以进一步判断这两个向量是否是同一方向,是否正交(也就是垂直)等方向关系,具体对应关系为:


         a·b>0    方向基本相同,夹角在0°到90°之间

         a·b=0    正交,相互垂直  

         a·b<0    方向基本相反,夹角在90°到180°之间 



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  • 向量是由n个实数组成的一个n行1列(n*1)或...向量的点乘,也叫向量内积、数量积,对两个向量执行点乘运算,就是对这两个向量对应位一一相乘之后求和的操作,点乘的结果是一个标量。 点乘公式 对于向量a和向量b:


    向量是由n个实数组成的一个n行1列(n*1)或一个1行n列(1*n)的有序数组;


    向量的点乘,也叫向量的内积、数量积,对两个向量执行点乘运算,就是对这两个向量对应位一一相乘之后求和的操作,点乘的结果是一个标量


    点乘公式


    对于向量a和向量b:


                                                               


    a和b的点积公式为:



    要求一维向量a和向量b的行列数相同。


    点乘几何意义


    点乘的几何意义是可以用来表征或计算两个向量之间的夹角,以及在b向量在a向量方向上的投影,有公式:




    推导过程如下,首先看一下向量组成:





    定义向量:




    根据三角形余弦定理有:




    根据关系c=a-b(a、b、c均为向量)有:




    即:



    向量a,b的长度都是可以计算的已知量,从而有a和b间的夹角θ:




    根据这个公式就可以计算向量a和向量b之间的夹角。从而就可以进一步判断这两个向量是否是同一方向,是否正交(也就是垂直)等方向关系,具体对应关系为:


         a·b>0    方向基本相同,夹角在0°到90°之间

         a·b=0    正交,相互垂直  

         a·b<0    方向基本相反,夹角在90°到180°之间 


    叉乘公式


    两个向量的叉乘,又叫向量积、外积、叉积,叉乘的运算结果是一个向量而不是一个标量。并且两个向量的叉积与这两个向量组成的坐标平面垂直。


    对于向量a和向量b:




    a和b的叉乘公式为:




    其中:




    根据i、j、k间关系,有:




    叉乘几何意义


    在三维几何中,向量a和向量b的叉乘结果是一个向量,更为熟知的叫法是法向量,该向量垂直于a和b向量构成的平面。


    在3D图像学中,叉乘的概念非常有用,可以通过两个向量的叉乘,生成第三个垂直于a,b的法向量,从而构建X、Y、Z坐标系。如下图所示: 



    在二维空间中,叉乘还有另外一个几何意义就是:aXb等于由向量a和向量b构成的平行四边形的面积。


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空空如也

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向量内积的运算公式