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  • 向量函数的导数与积分0.0 问题引入1.0 向量值函数与空间曲线1.1 二维向量值函数1.2 三维向量值函数1.3 例11.4 例22.0 向量值函数的极限2.1 例32.2 例43.0 向量函数的导数3.1 定理13.2 例53.3 光滑曲线3.4 例63.5...

    0.0 问题引入

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    1.0 向量值函数与空间曲线

    1.1 二维向量值函数

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    1.2 三维向量值函数

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    1.3 例1

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    1.4 例2

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    2.0 向量值函数的极限

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    2.1 例3

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    2.2 例4

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    3.0 向量值函数的导数

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    3.1 定理1

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    3.2 例5

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    3.3 光滑曲线

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    3.4 例6

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    3.5 物理意义

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    例7

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    4.0 向量值函数的求导法则

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    例8

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    5.0 向量值函数的积分

    5.1 原函数

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    5.2 向量值函数的不定积分

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    5.3 例9

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    5.4 例10

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    5.5 向量值函数的定积分

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  • 4. 向量值函数的可导性(向量函数的导数、切向量、切线、法平面、光滑曲线) 5. 向量值函数的物理意义(运动速度、速率、加速度) 6. 向量值函数的求导法则 7....

     

    1. 问题引入

     

    2. 向量值函数(二维向量值函数、三维向量值函数)

     

    3. 向量值函数的极限及连续性

     

    4. 向量值函数的可导性(向量值函数的导数、切向量、切线、法平面、光滑曲线)

     

     

    5. 向量值函数的物理意义(运动速度、速率、加速度)

     

    6. 向量值函数的求导法则

     

    7. 向量值函数的不定积分

     

    8. 向量值函数的定积分

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  • 向量的数量函数的导数

    千次阅读 2014-05-08 16:11:47
    公式: 向量

    一、重要公式


    二、相关理论及证明

    2.1 向量的数量函数对向量的导数

    2.1.1 定义

    中向量的数量函数,则的导数(即数量函数的梯度)为


    在此,数量函数是指函数的输出是标量。由以上定义可知,我们所说的对向量的导数是函数关于向量元素的偏导数。因此,得到的导数结果是一向量,与向量的维度一致

    2.1.2 公式及相关证明

    以下证明机器学习等工程应用中经常见到的一个关于二次型的向量求导公式。



    证明:

        

             

                      

               

                     

    类似地,我们也可以证明出如下公式:



    其中是向量。如果你不想推导,只想记下求导结果的话,那么切记标量函数关于向量的导数得到的结果与维度一致,这样你就不会混淆结果到底是还是了。

    2.2 向量的数量函数对向量的导数

    2.2.1 定义

    码字比较麻烦,下面直接贴出标量函数关于矩阵的导数:

                                           

    本质上,向量就是矩阵,如果理解了数量函数关于向量的导数,就不难理解数量函数关于矩阵的导数。

    2.2.2  公式及相关证明



    接着再来看两个重要的公式:



    其中分别是m维和n维的向量,是秩为m×n的矩阵。以下我们证明第一个公式:

    证明:


             

             

             

    于是有

                             

    因此,


    类似地,我们可以证明第二个公式。


         到此,我们可以做个小总结,要顺利地理解向量函数对向量或者矩阵的导数,我们需要记住其实我们求的是关于向量或者矩阵元素的偏导。如果有兴趣,大家可以看下向量的向量函数对向量的导数。



    参考:刘丁酉《矩阵分析》(下载请点击链接)

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  • 在微积分1中已经附上了一个常见函数形式的导数,下文主要是关于向量函数及其导数,以及在机器学习和神经网络中常见的Logistic函数、Softmax函数的导数形式。 1. 向量函数及其导数 2. 按位计算的向量函数及其导数...

    同步于Buracag的博客;音尘杂记

    在微积分1中已经附上了一个常见函数形式的导数,下文主要是关于向量函数及其导数,以及在机器学习和神经网络中常见的Logistic函数、Softmax函数的导数形式。

    1. 向量函数及其导数

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    2. 按位计算的向量函数及其导数

    假设一个函数f(x)f(x)的输入是标量xx。对于一组KK个标量x1,...,xKx_1, ... , x_K,我们可以通过f(x)f(x)得到另外一组KK个标量z1,...,zKz_1, ... , z_K
    (1.4)zk=f(xk),k=1,...,K z_k = f(x_k), ∀k = 1, ... ,K \tag{1.4}
    为了简便起见,我们定义x=[x1,...,xK]Tz=[z1,...,zK]Tx = [x_1, ... , x_K]^T,z = [z_1, ... , z_K]^T
    (1.5)z=f(x) z = f(x) \tag{1.5}
    其中f(x)f(x)是按位运算的,即[f(x)]i=f(xi)[f(x)]_i = f(x_i)

    xx为标量时,f(x)f(x)的导数记为f(x)f′(x)。当输入为KK维向量x=[x1,...,xK]Tx = [x_1, ... , x_K]^T时,其导数为一个对角矩阵。
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    3. Logistic函数的导数

    关于logistic函数其实在博文’Logistic loss函数’中已经有所介绍,接下来要说是更广义的logistic函数的定义:
    (1.7)logistic(x)=L1+exp(k(xx0)) logistic(x) = \frac{L}{1 + exp(−k(x − x_0))} \tag{1.7}
    其中,x0x_0是中心点,LL是最大值,kk是曲线的倾斜度。下图给出了几种不同参数的Logistic函数曲线。当xx趋向于−\infty时,logistic(x)接近于0;当xx趋向于++\infty时,logistic(x) 接近于LL
    在这里插入图片描述

    当参数为(k=1,x0=0,L=1k = 1, x_0 = 0, L = 1) 时,Logistic 函数称为标准Logistic 函数,记为f(x)。
    (1.8)f(x)=11+exp(x) f(x) = \frac{1}{1 + exp(−x)} \tag{1.8}
    标准logistic函数有两个重要的性质如下:
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    当输入为KK维向量x=[x1,...,xK]Tx=[x_1, ..., x_K]^T时,其导数为:
    (1.11)f(x)=diag(f(x)(1f(x))) f'(x) = diag(f(x) \odot (1 − f(x))) \tag{1.11}

    4. Softmax函数的导数

    Softmax函数是将多个标量映射为一个概率分布。对于KK个标量x1,...,xKx_1, ... , x_K,softmax 函数定义为
    (1.12)zk=softmax(xk)=exp(xk)i=1Kexp(xi) z_k = softmax(x_k) = \frac{exp(x_k)}{\sum_{i=1}^{K}exp(x_i)} \tag{1.12}
    这样,我们可以将KK个变量x1,...,xKx_1, ... , x_K转换为一个分布:z1,...,zKz_1, ... , z_K,满足
    (1.13)zk[0,1],k,k=1Kzk=1 z_k \in [0, 1], ∀k, \quad \sum_{k=1}^{K}z_k = 1 \tag{1.13}
    当Softmax函数的输入为KK维向量xx时,
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    其中1K=[1,...,1]K×11_K = [1, ... , 1]_{K×1}KK维的全1向量。

    Softmax函数的导数为
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    其中式(1.16)请参考 ‘微积分1-导数’ 式(1.13)。

    主要参考https://github.com/nndl/nndl.github.io

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  • MATLAB中使用diff函数求一元函数的导数,多元函数的偏导以及矩阵向量的差分
  • 文章目录2.3 数学:求导学习目标1 常见函数的导数2 导数的四则运算3 练习4 矩阵(向量)求导 \[了解\]5 小结 2.3 数学:求导 学习目标 知道常见的求导方法 知道导数的四则运算 1 常见函数的导数 2 导数的四则运算 ...
  • 一些matlab的基础资料-Matlab 与 一元函数的导数和微分.doc 这些是我在学习期间自己做的一些笔记,简洁明了,分享给大家,希望对刚学习的朋友有所帮助,主要是高等数学内容 逻辑运算:matlab编程基础の基础....

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