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  • 向量函数及其导数

    2020-06-26 12:34:10
    https://blog.csdn.net/breeze5428/article/details/25243263 https://www.zhihu.com/question/58312854 logistic函数导数,softmax函数及其导数:见邱锡鹏教材附录B.4

    https://blog.csdn.net/breeze5428/article/details/25243263

    https://www.zhihu.com/question/58312854

    logistic函数及导数,softmax函数及其导数:见邱锡鹏教材附录B.4

     

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  • 向量的数量函数导数

    千次阅读 2014-05-08 16:11:47
    公式: 向量

    一、重要公式


    二、相关理论及证明

    2.1 向量的数量函数对向量的导数

    2.1.1 定义

    中向量的数量函数,则的导数(即数量函数的梯度)为


    在此,数量函数是指函数的输出是标量。由以上定义可知,我们所说的对向量的导数是函数关于向量元素的偏导数。因此,得到的导数结果是一向量,与向量的维度一致

    2.1.2 公式及相关证明

    以下证明机器学习等工程应用中经常见到的一个关于二次型的向量求导公式。



    证明:

        

             

                      

               

                     

    类似地,我们也可以证明出如下公式:



    其中是向量。如果你不想推导,只想记下求导结果的话,那么切记标量函数关于向量的导数得到的结果与维度一致,这样你就不会混淆结果到底是还是了。

    2.2 向量的数量函数对向量的导数

    2.2.1 定义

    码字比较麻烦,下面直接贴出标量函数关于矩阵的导数:

                                           

    本质上,向量就是矩阵,如果理解了数量函数关于向量的导数,就不难理解数量函数关于矩阵的导数。

    2.2.2  公式及相关证明



    接着再来看两个重要的公式:



    其中分别是m维和n维的向量,是秩为m×n的矩阵。以下我们证明第一个公式:

    证明:


             

             

             

    于是有

                             

    因此,


    类似地,我们可以证明第二个公式。


         到此,我们可以做个小总结,要顺利地理解向量函数对向量或者矩阵的导数,我们需要记住其实我们求的是关于向量或者矩阵元素的偏导。如果有兴趣,大家可以看下向量的向量函数对向量的导数。



    参考:刘丁酉《矩阵分析》(下载请点击链接)

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  • 函数对矩阵或向量导数

    千次阅读 2017-05-10 23:58:39
    详细过程,今后再补。 可以参考张贤达的《现代信号处理》的附录,清华大学出版社。 感谢胡蝶老师提供的课堂讲义。...不能叫微分啦,要叫导函数…… 毕竟微分和导数有区别……

    详细过程,今后再补。

    可以参考张贤达的《现代信号处理》的附录,清华大学出版社。

    感谢胡蝶老师提供的课堂讲义。

    不能叫微分啦,要叫导函数……

    毕竟微分和导数有区别……



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  • 二次型对自变量向量导数

    千次阅读 多人点赞 2018-11-19 21:50:59
    将形如f=xTAxf=\boldsymbol{x^TAx}f=xTAx称为二次型,其中x\boldsymbol xx是nnn维列向量,A\boldsymbol AA为n×nn\times nn×...但是有个数学上的疑问,如何求二次型函数对自变量向量导数 (1)dfdx=? \frac{\text d...

    将形如 f = x T A x f=\boldsymbol{x^TAx} f=xTAx称为二次型,其中 x \boldsymbol x x n n n维列向量, A \boldsymbol A A n × n n\times n n×n的矩阵, f f f为标量。二次型由于其良好的正定性、凸性在控制理论中经常用在判断系统稳定性、最优控制等。但是有个数学上的疑问,如何求二次型函数对自变量向量的导数
    (1) d f d x = ? \frac{\text df}{\text d\boldsymbol x}=? \tag{1} dxdf=?(1)

    1. 标量对向量导数的定义

    控制理论中都会使用到标量函数对向量的导数,比如在李雅普诺夫第二法判断稳定性中,但大多数控制理论的教材都没有给出如何对向量求导数,实际上高等数学也未明确地讲这件事情。最近在看《最优控制理论与应用》-解学书编著,一本很老的书,发现该书花了一章来讨论数学基础。

    标量函数 f ( x ) f(\boldsymbol x) f(x) n n n维列向量 x = [ x 1 ,   x 2 . . .   x n ] T \boldsymbol x=[x_{1},~x_{2}...~x_{n}]^{\text T} x=[x1, x2... xn]T的导数定义为
    (2) d f d x = Δ [ d f d x 1 ,   d f d x 2 , . . . d f d x n ] T \frac{\text df}{\text d \boldsymbol x}\overset{\Delta}{=} \left[\frac{\text d f}{\text d x_1},~\frac{\text d f}{\text dx_2},...\frac{\text d f}{\text d x_n}\right]^{\text{T}} \tag{2} dxdf=Δ[dx1df, dx2df,...dxndf]T(2)
    实际上,式(2)的定义高等数学下中的梯度 g r a d f \bold{grad }f gradf,或者记为 ∇ f \nabla f f。也就是说,对列向量的导数是一个列向量。类似地,可以定义对行向量的导数。
    (3) d f d x T = Δ [ d f d x 1 ,   d f d x 2 , . . . d f d x n ] \frac{\text d f}{\text d \boldsymbol x^{\text T}} \overset{\Delta}{=} \left[\frac{\text d f}{\text d x_1},~\frac{\text d f}{\text d x_2},...\frac{\text d f}{\text d x_n}\right] \tag{3} dxTdf=Δ[dx1df, dx2df,...dxndf](3)

    2. 向量对向量导数的定义

    函数 f ( x ) = [ f 1 ( x ) ,   f 2 ( x ) . . .   f m ( x ) ] T \boldsymbol f(\boldsymbol x)=[f_{1}(\boldsymbol x), ~f_{2}(\boldsymbol x)...~f_{m}(\boldsymbol x)]^{\text{T}} f(x)=[f1(x), f2(x)... fm(x)]T n n n维列向量 x = [ x 1 ,   x 2 . . .   x n ] T \boldsymbol x=[x_{1},~x_{2}...~x_{n}]^{\text T} x=[x1, x2... xn]T m m m维函数向量。该向量函数对向量的导数定义为
    (4) d f d x = Δ d f d x T = Δ [ d f 1 d x 1 ,   d f 1 d x 2 , ⋯ d f 1 d x n d f 2 d x 1 ,   d f 2 d x 2 , ⋯ d f 2 d x n ⋮ ⋮ ⋯ ⋮ d f m d x 1 ,   d f m d x 2 , ⋯ d f m d x n ] \frac{\text d \boldsymbol f}{\text d \boldsymbol x}\overset{\Delta}{=}\frac{\text d \boldsymbol f}{\text d \boldsymbol x^{\text T}}\overset{\Delta}{=} \begin{bmatrix} \frac{\text d f_{1}}{\text d x_{1}},&~ \frac{\text d f_{1}}{\text d x_{2}}, &\cdots&\frac{\text d f_{1}}{\text d x_{n}} \\ \frac{\text d f_{2}}{\text d x_{1}},&~ \frac{\text d f_{2}}{\text d x_{2}}, &\cdots&\frac{\text d f_{2}}{\text d x_{n}} \\ \vdots &\vdots& \cdots& \vdots\\ \frac{\text d f_{m}}{\text d x_{1}},&~ \frac{\text d f_{m}}{\text d x_{2}}, &\cdots&\frac{\text d f_{m}}{\text d x_{n}} \end{bmatrix} \tag{4} dxdf=ΔdxTdf=Δdx1df1,dx1df2,dx1dfm, dx2df1, dx2df2, dx2dfm,dxndf1dxndf2dxndfm(4)
    可以根据上面的定义直接得到
    (5) d x d x T = d x T d x = I \frac{\text d \boldsymbol x}{\text d \boldsymbol x^{\text T}}=\frac{\text d \boldsymbol x^{\text T}}{\text d \boldsymbol x}=\boldsymbol I \tag{5} dxTdx=dxdxT=I(5)

    3. 二次型的导数

    有了上述的定义之后,可以根据定义得出对向量求导数的一些性质。
    (6) d ( a T b ) d x = d a T d x b + d b T d x a \frac{\text d (\boldsymbol{a^{\text{T}}b})}{\text d \boldsymbol x}=\frac{\text d \boldsymbol{a^{\text{T}}}}{\text d \boldsymbol x}\boldsymbol b+\frac{\text d \boldsymbol{b^{\text{T}}}}{\text d \boldsymbol x}\boldsymbol a \tag{6} dxd(aTb)=dxdaTb+dxdbTa(6)
    A = [ a 1 ,   a 2 ⋯ a m ] \boldsymbol A=[\boldsymbol a_{1},~\boldsymbol a_{2}\cdots\boldsymbol a_{m}] A=[a1, a2am] n × m n\times m n×m的矩阵,可以根据上面的定义和性质计算
    (7) d ( x T A ) d x = [ d d x ( x T a 1 ) ,   d d x ( x T a 2 ) ⋯ d d x ( x T a m ) ] \frac{\text d (\boldsymbol {x^{\text{T}}A})}{\text d\boldsymbol {x}}= [\frac{\text d}{\text d \boldsymbol x}\boldsymbol ({x^{\text{T}}}\boldsymbol a_{1}),~\frac{\text d}{\text d \boldsymbol x}(\boldsymbol {x^{\text{T}}}\boldsymbol a_{2})\cdots\frac{\text d}{\text d \boldsymbol x}(\boldsymbol {x^{\text{T}}}\boldsymbol a_{m})] \tag{7} dxd(xTA)=[dxd(xTa1), dxd(xTa2)dxd(xTam)](7)
    又因为,
    (8) d d x ( x T a i ) = d x T d x a i + d a i T d x x = a i \frac{\text d}{\text d \boldsymbol x}\boldsymbol ({x^{\text{T}}}\boldsymbol a_{i})=\frac{\text d\boldsymbol {x^{\text{T}}}}{\text d \boldsymbol x}\boldsymbol a_{i}+\frac{\text d{\boldsymbol a_{i}^{\text{T}}}}{\text d \boldsymbol x}\boldsymbol x=\boldsymbol a_{i} \tag{8} dxd(xTai)=dxdxTai+dxdaiTx=ai(8)
    所以,
    (9) d ( x T A ) d x = A \frac{\text d (\boldsymbol {x^{\text{T}}A})}{\text d\boldsymbol {x}}=\boldsymbol A \tag{9} dxd(xTA)=A(9)
    根据式(6)得到二次型函数 f = x T A x f=\boldsymbol{x^TAx} f=xTAx对自变量 x \boldsymbol{x} x的导数可以表为
    (10) d f d x = d x T d x A x + d ( A x ) T d x x = d x T d x A x + d ( x T A T ) d x x = A x + A T x = ( A + A T ) x \begin{matrix} \frac{\text df}{\text d\boldsymbol x} = \frac{\text d\boldsymbol{x^\text T}}{\text d\boldsymbol x}\boldsymbol{Ax}+\frac{\text d\boldsymbol{(Ax)^\text T}}{\text d\boldsymbol x}\boldsymbol{x}\\ = \frac{\text d\boldsymbol{x^\text T}}{\text d\boldsymbol x}\boldsymbol{Ax}+\frac{\text d\boldsymbol{(x^\text TA^{\text T})}}{\text d\boldsymbol x}\boldsymbol{x}\\ = \boldsymbol{Ax}+\boldsymbol{A^{\text T}x}\\ = (\boldsymbol{A+A^{\text T})x} \end{matrix} \tag{10} dxdf=dxdxTAx+dxd(Ax)Tx=dxdxTAx+dxd(xTAT)x=Ax+ATx=(A+AT)x(10)
    如果 A \boldsymbol A A是对称阵,则有
    (11) d f d x = d ( x T A x ) d x = 2 A x \frac{\text df}{\text d\boldsymbol x} =\frac{\text d(\boldsymbol{x^TAx})}{\text d\boldsymbol x} = 2\boldsymbol{Ax} \tag{11} dxdf=dxd(xTAx)=2Ax(11)
    这就是在教材上给出的结果。

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