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  • 二维空间中的一个向量场的散度
    千次阅读
    2018-03-05 09:04:00

    $$\bex \p_1\f{x_1}{r^2\ln r}+\p_2\f{x_2}{r^2\ln r} =-\f{1}{r^2\ln^2r},\quad r=\sqrt{x_1^2+x_2^2}. \eex$$ 

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    场就是某种物理量在空间或平面上分布,按照某种物理量是向量还是数量,称为向量场或数量场。 场的表示 可以表示为给定区域内的函数(也就是函数) 数量场: 场中每个点表示一个数值(我的理解) 常见的是: 等值线:...

    场:

    场就是某种物理量在空间或平面上分布,按照某种物理量是向量还是数量,称为向量场或数量场。

    场的表示

    可以表示为给定区域内的函数(也就是函数)

    数量场:

    场中每个点表示一个数值(我的理解)
    常见的是:
    等值线: V = V ( x , y ) = C V=V(x,y)=C V=V(x,y)=C(其中C是一个常量)(比如等高线和等温线)
    等值面: V = V ( x , y , z ) = C V=V(x,y,z)=C V=V(x,y,z)=C(其中C是一个常量)
    在这里插入图片描述

    向量场:

    场中每个点表示一个向量(我的理解).

    向量场通常用向量线来表示。比如下图中的向量线和向量场中的向量.
    在这里插入图片描述
    三维空间向量场可以表示为:
    A ˉ ( x , y , z ) = { P ( x , y , z ) , Q ( x , y , z ) , R ( x , y , z ) } = P ( x , y , z ) i ˉ + Q ( x , y , z ) j ˉ + Z ( x , y , z ) k ˉ \bar{A}(x,y,z)=\{P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)\}=P(x,y,z)\bar{i}+Q(x,y,z)\bar{j}+Z(x,y,z)\bar{k} Aˉ(x,y,z)={P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)}=P(x,y,z)iˉ+Q(x,y,z)jˉ+Z(x,y,z)kˉ其中 P , Q , Z P,Q,Z P,Q,Z是值函数

    散度

    散度表示某个点上,向量场的发散程度,如果是正的,代表这些向量场是往外散出的.如果是负的,代表这些向量场是往内集中的.散度计算结果是标量。
    计算:
    ▽ A = ∂ P ∂ x + ∂ Q ∂ y + ∂ R ∂ z \bigtriangledown A=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z} A=xP+yQ+zR

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    一.二维的散度

    我们已经学习过二维的散度,在二维向量场内

    有一个区域R

    区域的边界是闭合曲线c

    在这里插入图片描述
    格林定理告诉我们

    它的通量就是通过边界c的向量F与单位法向量的点击的积分
    在这里插入图片描述
    也等于微小面积dA的散度的积分
    在这里插入图片描述
    而由向量场的方向,我们基本可以判定散度和通量的情况

    如下

    左图向量场向外,散度为正

    中图流出总体等于流入,散度为0

    由图向量朝内,散度为负
    在这里插入图片描述

    那么在三维中,以下图为例

    R则从面积变为体积

    边界s则从曲线变为面

    在这里插入图片描述
    如果它的散度为正,向量场是从里向外发散的

    在这里插入图片描述
    所以三维的通量是通过变面积的向量与单位法向量的积分,因此是双重积分

    这也等于球体内微小的小块体积的散度的积分


    下面看一个例子

    三维向量场F,

    三维体R的表面是S

    面积S的积分就等于微小体积dV的散度积分

    散度是 ∇ \nabla 算子与向量场标量的点积

    在这里插入图片描述

    在这里插入图片描述

    与F的标量在这里插入图片描述

    的点积

    1.对于
    在这里插入图片描述
    左边偏导就是x,有编制数部分全部为0

    2.对于
    在这里插入图片描述
    左边对y求导得到x,右边的导数为0

    3.对与
    在这里插入图片描述
    对z求导,相当于常数,导数为0

    所以得到:
    在这里插入图片描述
    接下来确定积分边界

    在这里插入图片描述
    可以看出先对有积分,可以达到z的表达式,再对z积分可以得到x的表达式

    因此我们按照这个顺序积分

    在这里插入图片描述
    2x的原函数等于2xy

    在这里插入图片描述
    带入边界2-z得到
    在这里插入图片描述
    在求2-z对于z的原函数
    在这里插入图片描述
    带入边界 1 − x 2 1-x^2 1x2得到
    在这里插入图片描述
    在求 3 x − 2 x 3 − x 5 3x-2x^3-x^5 3x2x3x5的原函数
    在这里插入图片描述
    带入边界
    在这里插入图片描述
    得到的值为0

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    散度(divergence)可用于表征空间各点矢量场发散的强弱程度,物理上,散度的意义是场的有源性。当div F>0 ,表示该点有散发通量的正源(发散源);当div F<0 表示该点有吸收通量的负源(洞或汇);当div F=0,表示该点无源。

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空空如也

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