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    梯度,散度,旋度的基石:带你走进向量场
    电子通信和数学
    发布时间:02-1110:49教育达人,优质创作者

    图一是最简单的向量,初高中的知识,往深的地方想,就是给坐标赋予了一个方向

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    如下就是比较高级的了,有很多向量,数学上叫他向量场,首先输入一个坐标值,将坐标值带入到函数式子中,而向量又是这个函数值来决定,所以形成了如下无数多的向量,

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    有二维的向量场,那就存在三维的,知识再二维的基础上增加了一个坐标轴

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    我们来详细解说下向量场:P,Q都是标量函数,将取决于X,Y值,而这些标量的函数决定了每个坐标点的向量,理解了把

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    在三个维度上,三维的矢量场看起来是这样的,它的向量取决于三个标量函数

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    我们来看一个例子:输入X,Y值,得到有X,Y决定的向量值,注意向量的起点必须是坐标点,它赋予了该点坐标一个方向

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    带入坐标(0,1)时,得到的时-i方向

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    同理如下

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    最终得到整个向量场

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    向量场的出现使我们更加容易,理解梯度,散度,旋度,它是这三个度的基石。

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    散度和旋度的出现,使得物理学大大推进,格林公式,斯托克斯公式,高斯定理,都离不开向量场下的旋度和散度。所以非常重要

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  • 这种思路对于具有多变量的函数应当也是适用,比如空间中曲面f(x,y):对于这样曲面,我们如果想要在 附近做线性近似,那当然应该找到它对应切平面。而切平面方程为: (切平面方程可以...

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    梯度

    如果我们把导数理解为微小变化引起的变化:

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    泰勒级数如下:

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    经常因为计算的原因我们可以利用线性的部分来做近似:

    这也 make sense,相当于我们找到

    处的切线,然后来看变化,毕竟这就是导数的本质定义。

    这种思路对于具有多变量的函数应当也是适用的,比如空间中的曲面f(x,y):

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    对于这样的曲面,我们如果想要在

    附近做线性的近似,那当然应该找到它对应的切平面。而切平面的方程为:

    (切平面的方程可以通过找到x方向与y方向的切线,然后cross product得到法向量来证明。)

    非常重要的是,上面这个式子同时也某种程度上回应了偏导数的本质,就是我们看x变量(方向)上的微小变化引起的变化,再加上y变量(方向)的微小变化引起的变化,就是总的变化。即使维度增加,线性模拟的式子应该也是类似的,比如函数 f(x,y,z) 在 (a,b,c) 处的线性近似应该是:

    这也帮我们自然而然的引出了梯度(gradient)的概念:

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    线性近似写成向量形式:

    梯度就定义为:

    Nabla算子:

    以上式子也告诉我们,如果我们从

    处动身:
    • 沿着梯度方向走,函数值增大
    • 沿着相反于梯度的方向走,函数值减小
    • 垂直于梯度方向,函数值不变

    同时这也呼应了许多算法,比如‘梯度下降法’,因为朝着相反梯度的方向,就是下降的最大的方向,同时因为以上我们指出的‘垂直于梯度方向,函数值不变‘,所以我们如果在等高线上看,我们总是朝着与等高线垂直的方向走:

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    当然多元函数可以更多元,比如对于3d空间中的温度函数 f(x,y,z),我们也可以求它的梯度,它的梯度我们计算出来就是一个三维空间中的向量场,这也是一个函数,如果我们代入空间中的每一点的数值,那么就可以知道其变化最快的方向和大小。当然也可以继续更多维度的函数

    .

    给我们一个多元函数,梯度的作用就是给了表示它变化的向量场。所以我觉得梯度跟导数更像一家人。

    继续来看二次近似:

    如果我们想把它推广到多元函数,那么我们会想应该也是类似的状况,除了前面的这一部分

    , 我们会想要再加上二次的部分:
    .

    通过类比或者计算,我们都可以得到以上的二次近似的结果。

    然后我们可以继续引出二次近似的向量形式:

    其中 H 是 Hessian 矩阵:

    当然我们也可以推广到更高的维度:

    Hessian 矩阵必定是一个对称矩阵(比如之前的线性近似这是内积

    , 按照内积的定义其实是看两个向量的对齐程度,这里我们某种程度上做的也是这件事,而在代表内积时,矩阵总是对称的,所以这里的矩阵也必定是对称的)。

    来看一下关于内积的梯度:

    如果这样来看:

    所以这个结果就是:

    其实跟就跟

    差不多。

    所以有一些对矩阵/向量求梯度的公式,都能找到对应的亲戚:

    同时这也在呼应之前的说法‘梯度和导数更像一家人’。o(╯□╰)o

    多元函数

    带来了梯度,梯度的表现方式是向量场,这个场告诉我们的是空间中的每一个点这个多元函数变化的大小和方向

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    画向量场,一般用箭头表示它的指向,箭头长度表示它的大小,但是因为如果画出实际的大小可能会很乱,所以有些是用颜色来代表大小,越暖(红)就是此处的向量越大,越冷(蓝)就是越小。

    向量场当然也是函数,因为对于空间中的每一点,都有一个对应的箭头,比如上图:

    实际生活中有许多向量场:电场、磁场、重力场、速度场。

    我喜欢将向量场想象为流动着的液体,这些液体在某一点的流速就是对应的箭头,这些液体当然不一定需要遵守物理规律,它们可以凭空出现或者消失,也可以随意的变换运动的方向。

    那么这样会有两个相关的问题产生:

    • 这些液体只是在空间中运动,空间中某点会流出液体么?(就像喷泉那样⛲️)或者这些液体会流入(像地上有个洞 ,液体会从这里流走)?
    • 这些液体会在空间中旋转么?就像所谓的湍流或者龙卷风 那样?

    这两个问题我们都可以通过分析向量场而知道,从而引出了散度和旋度的概念:

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    散度

    像上面提到的,散度这个是用来表明空间中的这个点是否产生液体,其实也就是来看在此点处向内的箭头比较多还是向外的箭头比较多,我们现在来推导散度的表达式。

    假设空间中有向量场

    ,那么观察空间中的微小的长方体:

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    我们先就处理 x 轴方向的出入箭头之差,先看正面,如果这个长方体极小的话,我们可以做以下近似:

    所以

    这是针对长方体的,那么如果我们要长方体中的一点的话就是来看它的密度

    同样,我们可以推导出 y 方向,z方向是也是类似的,这也就是我们的散度:

    这就是这个点是否往外产生液体,散度我觉得是很好的翻译,而散度的英文 divergence 也有 ‘脱离,逸出’ 的意思,也是很表达它的意思了。

    散度是给我们一个向量场,我们得到的是一个标量,代表的是一点是否有‘逸出’

    另外一个理解是既然我们想要知道的是三个方向的向量场的变化,我们当然就会想分别对它们求导,然后看最终的变化,这个散度我们也经常写成:

    因为把

    算子看做向量运算符,函数本身也是向量,所以是点乘的关系。

    wikipedia 上关于散度的图会给我们更加直观的理解:

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    旋度

    现在我们来解决第二个问题。考量与xy平面 平行的一个长方形:

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    那么对于旋转的贡献:

    除以面积,毕竟我们考察的是某点对于旋转的贡献:

    同理我们看左边和右边:

    所以有:

    这是平行于xy平面的部分,同理我们可以继续求出平行于 xz 和 yz 的部分,最终会得到我们的旋度:

    不是很容易记住,所以这个时候我们就可以感谢

    算子了:

    旋度是给我们一个向量场,我们得到的是一个向量,代表的是这一点的旋转情况

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    参考:

    • Vector Calculus
    展开全文
  • 向量场,散度

    千次阅读 2019-06-04 20:33:36
    可以表示为给定区域内的函数(也就是函数) 数量场: 场中每个点表示一个数值(我理解) 常见是: 等值线:V=V(x,y)=CV=V(x,y)=CV=V(x,y)=C(其中C是一个常量)(比如等高线和等温线) 等值面:V=V(x,y,z)=CV=V(x,y,...

    场:

    场就是某种物理量在空间或平面上分布,按照某种物理量是向量还是数量,称为向量场或数量场。

    场的表示

    可以表示为给定区域内的函数(也就是函数)

    数量场:

    场中每个点表示一个数值(我的理解)
    常见的是:
    等值线:V=V(x,y)=CV=V(x,y)=C(其中C是一个常量)(比如等高线和等温线)
    等值面:V=V(x,y,z)=CV=V(x,y,z)=C(其中C是一个常量)
    在这里插入图片描述

    向量场:

    场中每个点表示一个向量(我的理解).

    向量场通常用向量线来表示。比如下图中的向量线和向量场中的向量.
    在这里插入图片描述
    三维空间向量场可以表示为:
    Aˉ(x,y,z)={P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)}=P(x,y,z)iˉ+Q(x,y,z)jˉ+Z(x,y,z)kˉ\bar{A}(x,y,z)=\{P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)\}=P(x,y,z)\bar{i}+Q(x,y,z)\bar{j}+Z(x,y,z)\bar{k}其中P,Q,ZP,Q,Z是值函数

    散度

    散度表示某个点上,向量场的发散程度,如果是正的,代表这些向量场是往外散出的.如果是负的,代表这些向量场是往内集中的.散度计算结果是标量。
    计算:
    A=Px+Qy+Rz\bigtriangledown A=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}

    展开全文
  • 1.梯度gradient设体系中某处的物理参数(如温度、速度、浓度等)为w,在与其垂直距离的dy处该参数为w+dw,则称为该物理参数的梯度,也即该物理参数的变化率。...更严格的说,从欧氏空间Rn到R的函数的梯度是在R...

    1.

    梯度

    gradient

    设体系中某处的物理参数

    (

    如温度、速度、浓度等

    )

    w

    ,在与其垂直距离的

    dy

    处该参数

    w+dw

    ,则称为该物理参数的梯度,也即该物理参数的变化率。如果参数为速度、浓度或

    温度,则分别称为速度梯度、浓度梯度或温度梯度。

    在向量微积分中,

    标量场的梯度是一个向量场。

    标量场中某一点上的梯度指向标量场增长

    最快的方向,梯度的长度是这个最大的变化率。更严格的说,从欧氏空间

    Rn

    R

    的函数的

    梯度是在

    Rn

    某一点最佳的线性近似。在这个意义上,梯度是雅戈比矩阵的一个特殊情况。

    在单变量的实值函数的情况,

    梯度只是导数,

    或者,

    对于一个线性函数,

    也就是线的斜率。

    梯度一词有时用于斜度,

    也就是一个曲面沿着给定方向的倾斜程度。

    可以通过取向量梯度

    和所研究的方向的点积来得到斜度。梯度的数值有时也被成为梯度。

    在二元函数的情形,设函数

    z=f(x,y)

    在平面区域

    D

    内具有一阶连续偏导数,则对于每一点

    P(x,y)

    D

    ,都可以定出一个向量

    (δf/x)*i+(δf/y)*j

    这向量称为函数

    z=f(x,y)

    在点

    P(x,y)

    的梯度,记作

    gradf(x,y)

    类似的对三元函数也可以定义一个:

    (

    δ

    f/x)*i+(

    δ

    f/y)*j+(

    δ

    f/z)*k

    记为

    grad[f(x,y,z)]

    2.

    散度

    气象学中指:

    散度指流体运动时单位体积的改变率。

    简单地说,

    流体在运动中集中的区域为辐合,

    运动

    中发散的区域为辐散。

    用以表示的量称为散度,

    值为负时为辐合,

    此时有利于天气系统的的

    发展和增强,为正时表示辐散,有利于天气系统的消散。表示辐合、辐散的物理量为散度。

    微积分学→多元微积分→多元函数积分中:

    设某量场由

    A(x,y,z) = P(x,y,z)i + Q(x.y,z)j + R(x,y,z)k

    给出,

    其中

    P

    Q

    R

    具有一阶连续

    偏导数,

    是场内一有向曲面,

    n

    在点

    (x,y,z)

    处的单位法向量,

    ∫∫

    A

    ·

    ndS

    做向量场

    A

    通过曲面

    向着指定侧的通量,而

    δ

    P/

    δ

    x +

    δ

    Q/

    δ

    y +

    δ

    R/

    δ

    z

    叫做向量

    A

    的散度,记作

    div A

    ,即

    div A =

    δ

    P/

    δ

    x +

    δ

    Q/

    δ

    y +

    δ

    R/

    δ

    z

    上述式子中的

    δ

    为偏微分(

    partial derivative

    )符号。

    3

    旋度

    表示曲线、流体等旋转程度的量

    4.

    矢量和标量场

    假设有一个三维空间,显然空间的每一个点都能用坐标(

    x, y, z

    )唯一地标识出来。假如给

    空间的每一个点都赋予一个数字,

    那么整个空间就充满了数字。

    此时,

    这个充满数字的三维

    空间在数学上就叫做“场”

    上述的场叫做标量场,因为单纯的一个数字叫做“标量

    (scalar)

    。如果我们给空间的每一个

    点都赋予一个矢量

    (vector)

    ,即一个既有大小,又有方向的东西,那么整个空间就变成充满

    了矢量,这个空间就叫做矢量场。

    矢量场中的每一点都对应于一个矢量,

    而矢量能够根据规则进行各种运算,

    例如加、

    减和乘

    等(数学上没有矢量的除法)

    显然,

    我们可以对整个矢量场中的每一个矢量同时进行某种运算,

    例如同时将它们乘以一个

    数,

    或加上一个数等。

    但是我们可以对整个矢量场进行一些更复杂的运算,

    其中散度就是其

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