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  • 标准化向量/单位向量

    千次阅读 2019-10-30 22:24:29
    标准化向量指的是那些长度为1的向量,标准化向量也被称为归一向量或者单位向量。 数学公式: V是任意非零向量。 例: 公式解析: 1.求一个向量的标准化向量,本质是让这个向量与自身的模...

    在很多情况下,我们只关心向量的方向儿不关心其大小,比如,在计算关照模型时,我们往往需要得到顶点的法线方向和光源方向,此时我们不关心这些向量有多长。在这些情况下,我们就需要计算标准化向量

    标准化向量指的是那些长度为1的向量,标准化向量也被称为归一化的向量或者单位向量。

    数学公式:

    \large _{V_{normalized}}=\frac{\mathrm{v} }{\mathrm{|V|} }

    V是任意非零向量。

    例:

    \large \left [ 2,3,5 \right ]normalized= \frac{\mathrm{[2,3,5]} }{\mathrm{|[2,3,5]|}}= \frac{\mathrm{[2,3,5]} }{\mathrm{6.164}}

     

    公式解析:

    1.求一个向量的标准化向量,本质是让这个向量与自身的模相除;

    2.向量与一个数值相除,本质是向量与一个标量相除;

    代码实现:

        /// <summary>
        /// 标准化向量.
        /// </summary>
        public Vector3 normalized
        {
            get
            {
                float temp = magnitude;//先计算得到向量的模.
                //自身向量的各分量除以自身向量的模.
                float X = this.x / temp;
                float Y = this.y / temp;
                float Z = this.z / temp;
                return new Vector3(X, Y, Z);//最终返回一个新的向量.
            }
        }

     

    注意:零向量是不可以被归一化的,这是因为做除法运算时分母不能为0

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  • 施密特正交化的定义在n为欧式空间中,利用一组线性无关的向量, 构造一组两两正交的单位向量组的过程叫做施密特正交化,它包括正交化和单位化两个步骤。由于将一个向量化为单位向量很容易,只要除以它的长度即...

    bce6961e680af424a5f215d2d6b7069e.png

    | 欧 式 空 间 | 第 1 篇 文 章 |

    作者: Daniel

    cfebbb5576fc9d651e8f96dc3721213e.png

    施密特正交化公式在用正交矩阵化二次型为标准形中有重要的应用。学过的同学都反映这个公式不太好记。本文用三幅图形教你记忆这个公式。

    施密特正交化的定义

    在n为欧式空间中,利用一组线性无关的向量10233f4a460b2b082cdfce5e6c6fff65.png, 构造一组两两正交的单位向量组的过程叫做施密特正交化,它包括正交化单位化两个步骤。

    由于将一个向量化为单位向量很容易,只要除以它的长度即可,所以本文只谈正交化步骤。

    三幅图形

    一般的n维欧式空间中的施密特正交化公式与19772baeb4c81bcdea66a063d33f23b4.png中的公式有相同的形式,所以,可以用19772baeb4c81bcdea66a063d33f23b4.png中公式的几何意义来帮助记忆此公式。

    2a5fd1c899684b78b458c9b00a803122.png

    如图1,将向量b4ca9df375c396d2a2fd82a7525f283d.png投影到向量d1fe9047c17122f936553ed503208c65.png上的投影向量 ,记为fb1ccb64821234c087ff0ad7f286b0b7.png, 其公式在“投影向量计算公式的推导”一文中有详细介绍,请参阅。请大家先记住下面这个投影向量公式

    3a579876404baed48321d50dce0b0597.png 这里5cafdc899fca3265a06fcc031e09e094.png表示这两个向量的内积,在19772baeb4c81bcdea66a063d33f23b4.png中就是点乘。

    如图2,第一步:令a3ee62a1a2e48a9021631e8ac5712f25.png第二步:计算47bd3499a67598a6c1649c678bd8ffb9.png,使得e1fd36ddce1bd4b7858ad72d10b4e22b.png如图2, 取74886e6dcf0cc36627d1cdd021f4fd83.png, 将它投影到07a654bc06885c24eb4c5ca1a9e1b578.png得到投影向量cded66b43cf885ee8d724df41eed692a.png,即图中红色的水平向量,由图中的三角形法则知,03e156d9d053186415e2c6f30d65b58d.png就是与07a654bc06885c24eb4c5ca1a9e1b578.png垂直的向量。于是,61c7f510a25f826aaad1676f48e59b8d.png

    第三步:现在来求a29512ea2a4e66d02acdeb66b9f5e09c.png, 如图3, 将刚才求出的0ee06f2a6a03169ee59e3aa8451ee1db.png放在水平平面上,现在添加向量1a1cc855768251744bf962969acef32c.png,它必不在水平平面上。图3告诉我们,1a1cc855768251744bf962969acef32c.png减去它分别向0ee06f2a6a03169ee59e3aa8451ee1db.png投影的投影向量得到8873591d67e733c2e9f8b39653224490.png 所以,9265f012afdc7722234287a6f4dc2886.png

    类比这个结构,当我们得到两两正交的向量组ae45791f67820c91fa3567dee3622abf.png后,要求234a3613822585b04ad8c9130e3ff0d9.png,使得它与前面的各745ddc7b50027e1e6a089f74d2031791.png正交,只要添加向量6dba3bddf25cb79a4cbbdf5e1749f54e.png, 并用它减去它分别向ae45791f67820c91fa3567dee3622abf.png投影的投影向量 9e9c18ed0c206952d6f9157c1686b523.png 即得到234a3613822585b04ad8c9130e3ff0d9.png,所以,

    fe4fb990074d0253a4e40f4a59331517.png本文公式采用【upub编辑器】,请关注【编辑之谈】公众号!

    1d59eef6ea515665a743b15c22ca7c3b.png

    588c400d7f55659792f4632159e46b23.png

    1.  投影向量计算公式的推导

    2. 矩阵特征多项式的系数公式

    3. 用正交变换将二次型化为标准形

    4. 复数集合作为复数域和实数域上的线性空间

    5. 生成子空间的交空间与和空间的求法

    6. 计算二次型的标准形的三种方法

    e9659aeaf242aa0daa2807bbedc6f1f8.png

    fbd1aae948c583a178c82375f252ad42.png

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  • 2维,3维向量单位化

    2015-08-09 22:52:00
    向量是有方向和大小的量,所谓单位化就是保持其方向不变,将其长度化为1 有一向量a(标箭头),其长度为绝对值a,单位化为(a/绝对值a) 公式向量a的坐标为(x,y),那么其长度(又称为模)为:√(x²+y²)。单位...

    向量是有方向和大小的量,所谓单位化就是保持其方向不变,将其长度化为1  有一向量a(标箭头),其长度为绝对值a,单位化为(a/绝对值a)

    公式:

    向量a的坐标为(x,y),那么其长度(又称为模)为:√(x²+y²)。单位化后为(x,y)/√(x²+y²)或(x/√(x²+y²) , y/√(x²+y²))

     

    代码实现方式:

    public void normalized2D(Vector3 pos) 
        {
            Vector3 temp = Vector3.zero;
    
            temp.x = (float)(pos.x / (Math.Sqrt(pos.x * pos.x + pos.y * pos.y + pos.z * pos.z)));
            temp.y = (float)(pos.y / (Math.Sqrt(pos.x * pos.x + pos.y * pos.y + pos.z * pos.z)));
            temp.z = (float)(pos.z / (Math.Sqrt(pos.x * pos.x + pos.y * pos.y + pos.z * pos.z)));
    
            Debug.Log(temp);
        }
    
    
        public void normalized3D(Vector2 pos)
        {
            Vector2 temp = Vector2.zero;
    
            temp.x = (float)(pos.x / (Math.Sqrt(pos.x * pos.x + pos.y * pos.y)));
            temp.y = (float)(pos.y / (Math.Sqrt(pos.x * pos.x + pos.y * pos.y)));
    
            Debug.Log(temp);
        }

    转载于:https://www.cnblogs.com/plateFace/p/4716649.html

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  • 参考的是《游戏和图形学的3D数学入门教程》,非常不错的书,推荐阅读,老外很喜欢把一个东西解释的很详细。...向量的规范就是把向量的摸变为1,即变成单位向量。下面公式中的 ||v|| 就是一个向量的长度,关
    参考的是《游戏和图形学的3D数学入门教程》,非常不错的书,推荐阅读,老外很喜欢把一个东西解释的很详细。
    


    1. 数与向量相乘



    注意:一个数和向量相乘中间没有符号,只是紧挨在一起。

    在图形中更好的理解:


    2.向量的规范化(Normalizing)


    向量的规范化就是把向量的摸变为1,即变成单位向量。下面公式中的 ||v|| 就是一个向量的长度,关于长度的计算要参考上篇文章《向量 Vectors (一)》

    向量规范化在图形中的理解(黑色的向量就是规范化后的向量):


    3.向量之间的相加与相减


    那么向量相加和相减在图形中又是怎么回事呢?我又想起了高中学的知识了。


    文章源地址:向量与数相乘,向量规范化,向量之间的相加与相减

    相关文章:向量概念,零向量,向量取反,计算向量的长度,单位向量



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