精华内容
下载资源
问答
  • 展开全部表示唯一即需要A中的向量不能相互表示,也就是A中的向量线性无关时,由A中向量表示成b时表示方法唯32313133353236313431303231363533e58685e5aeb...也就说,这个向量可以被向量组A线性表示。向量组个该...

    展开全部

    表示唯一即需要A中的向量不能相互表示,也就是A中的向量线性无关时,由A中向量表示成b时表示方法唯32313133353236313431303231363533e58685e5aeb931333433643061一。

    条件:等价于AX=b这个方程有解。要理解一个问题,矩阵A实际上就是列向量组构成的,它与一个X向量相乘,得到的就是另外一个向量。也就说,这个向量可以被向量组A线性表示。

    向量组个该向量组成的矩阵的秩等于或小于向量组中向量的个数,取自定理:若向量组α1,α2...αn线性无关,且α1,α2...αn,β线性相关,则β可由这个向量组α线性表出,且表示法唯一。

    9cf84f606241e108d2b4e5ac347693c5.png

    扩展资料

    注意

    1、对于任一向量组而言,,不是线性无关的就是线性相关的。

    2、向量组只包含一个向量a时,a为0向量,则说A线性相关;若a≠0, 则说A线性无关。

    3、包含零向量的任何向量组是线性相关的。

    4、含有相同向量的向量组必线性相关。

    5、增加向量的个数,不改变向量的相关性。

    6、减少向量的个数,不改变向量的无关性。

    7、一个向量组线性无关,则在相同位置处都增加一个分量后得到的新向量组仍线性无关。

    8、一个向量组线性相关,则在相同位置处都去掉一个分量后得到的新向量组仍线性相关。

    9、若向量组所包含向量个数等于分量个数时,判定向量组是否线性相关即是判定这些向量为列组成的行列式是否为零。若行列式为零,则向量组线性相关;否则是线性无关的。

    展开全文
  • 解 本题是利用方程组解的理论解决向量线性关系的问题,设有数使将,代入,并比较两端对应分量得以为未知量的非齐次线性方程组,为即其系数行列式为当且时,方程组有惟一解,故可由线性表示,且表示惟一。当时,,...

    典型例题解析例1设向量问取何值时可由线性表示且表示

    典型例题解析

    例1 设向量。

    问取何值时 :

    (1)可由线性表示,且表示惟一。

    (2) 可由线性表示,但表示不惟一

    (3)不可由线性表示。

    解 本题是利用方程组解的理论解决向量线性关系的问题,设有数使

    将,代入,并比较两端对应分量得以为未知量的非齐次线性方程组,为

    其系数行列式为

    当且时,方程组有惟一解,故可由线性表示,且表示惟一。

    当时,,方程组有无穷多解,可由线性表示,但表示不惟一。

    当时,,方程组无解,故不可由线性表示。

    例2 :对方程组

    (1) 为何值时,方程组有解;

    (2) 方程组有解时,求导出组的基础解系;

    (3) 方程组有解时,求其通解.

    解 对方程组的增广距阵作初等行变换;

    故 (1) 当且即时4,方程组有解且有无穷多解

    (2) 与导出组同解的方程为

    易得导出组的基础解系为:

    (3) 当时,原非齐次方程组同解的方程组为

    令得非齐次方程组的特解:

    故原方程组的通解

    ++

    例3 求一个齐次线性方程,使它的基础解系为

    解 设所求齐次线性方程为。

    因 是4维的,故方程有4个未知元,即矩阵的列数等于4。另一方面,因基础解系含2个向量,故= 4 – 2 = 2,因此方程的个数可以是任意 个,这我们只须构造一个满足题设要求而行数最小距阵,也即是2 4距阵,且=2。 是的基础解系

    , 且=2(因 线性无关)

    ,且=2 , 这里,( )

    的两个列向量是方程组的解(向量),且线性无关

    的两个列向量是方程组的一个基础解系,(因 )

    具体计算如下:

    取基础解系为:

    故可取为:

    对应方程组为:

    注:由上面的分析知道,所求的方程组是不唯一的。若都是以

    为基础解系,则是同解的,因而之秩都为2,若是同型矩阵时,则可以经一个初等变换变为。

    例 4 设有四元齐次线性方程组

    I:

    又,已知某四元齐次线性方程组 的基础解系为:

    求:(1)方程组I的基础解系;(2)问方程组I与II是否有非零公共解? 若有,求出全部非零公共解;若没有,则说明理由。

    解 (1)对方程组 I 的系数距阵进行距阵的初等行变换:

    得到它的行蕞简行,从而可知它的秩是2,取基础解系为:

    于是方程组I的通解为:

    有兴趣的是问题(2)的解答,我们用三种方法:

    (2)方法1 方程组 II 的通解可写为:

    然后代如方程组 I ,得到:

    于是它们非零解:

    x= , (任意常数)

    方法2:从两方程组的通解表达式着手。

    方程组I的通解x=

    方程组II的通解 x=

    寻找两方程组的公共解就是寻找适当的数使得把它们分别入述两方程通解表达式后得到的是同一个向量,即应满足:

    =

    即 得

    于是它们非零解: x= , (任意常数)

    方法3:线性方两程组的公共解就是同时满足两线性方程组的解,如果给出线性方程组I和II的表达式,则可以将它们联立求成过解。为此,先求一个齐次线性方两程组,其基础解系为。用我们前面例介绍的方法,(具体如下)

    取对应齐次方程组基础解系: ,

    于是所求得方程:

    其通解为:

    于是方程组I和方程组II的公共解应满足

    易得通解 x=

    于是所求非零公共解为 ,

    例5 已知四元非齐次线性方程组的系数距阵的秩为3,又是它的三个解向量,其中

    试求的通解.

    解 关键是找出对应齐次方程组基础解系和非齐次线性方程组的一个特解,这可由方程组的性质得到.由于四元非齐次线性方程组的系数距阵的秩为3,故的基础解系含4-3=1个解向量.由解的性质知

    是的非零解向量,可以当作基础解系.又

    是的特解,故通解为,

    例6 设元非齐次线性方程组,是其个线性无关的解向量,证明:

    (1) 是的一个基础解系;

    (2)的任一解可表为,其中

    证 (1) 由于是的解向量,所以是的解向量.又所以的基础解系中含有个线性无关的解向量。因此,只要证明线性无关即可。

    设有个常数,使得,即。由于线性无关,所以,从而证得是线性无关的。

    (2)由(1)知,的通解可表为

    其中是任意常数。

    展开全文
  • 向量组的线性相关性

    千次阅读 2021-06-05 23:45:21
    n维列向量和n维行向量,分别是竖着的和横着的。 aT=(a1,a2,a3,......,an) 横着的是行向量; a

    目录

     

    一、行向量和列向量

    二、矩阵和向量

    3.向量组等价、系数矩阵

    4、向量组的线性相关性


    一、行向量和列向量

    n维列向量和n维行向量,分别是竖着的和横着的。

    aT= \bigl(\begin{smallmatrix} a1 & a2 & a3 &... & ... & an \end{smallmatrix}\bigr)横着的是行向量;

    a=\begin{pmatrix} \\ a1 \\ a2 \\ a3 \\ . \\ . \\an \end{pmatrix}是竖着的,是列向量;

    还要注意一下表示法,通常带T的是行向量,不带T的是列向量。

     

    二、矩阵和向量

    我们知道的矩阵的分块法,我们可以按每列进行分块,那么我们就可以得到一个向量组,里面的元素是列向量。

    如果我们对每行进行分块,那么我们就可以得到一个向量组,里面的元素是行向量。

    三、向量组的线性组合

    1.向量组A:a1,a2,......,an 对于任何一组实数k1,k2,......,kn表达式:k1 \underset{a}{\rightarrow}_{1}+k2\underset{a}{\rightarrow}_{2}+...+kn\underset{a}{\rightarrow}_{n}称为向量组A的线性组合,k1,k2,...kn也称为线性组合的系数。


    2.若给定向量组A,和向量b,如果存在一组数使\begin{align*} \underset{b}{\rightarrow}&= k1 \underset{a}{\rightarrow}_{1}+k2\underset{a}{\rightarrow}_{2}+...+kn\underset{a}{\rightarrow}_{n} \end{align*},那么向量b则是向量组A 的线性组合,也称向量b能由向量组A线性表示。

    将ki用xi替换也等价为:\begin{align*} x_{1}\underset{a}{\rightarrow}_{1}+x_{2}\underset{a}{\rightarrow}_{n}+...+x_{2}\underset{a}{\rightarrow}_{n} &= \underset{b}{\rightarrow} \end{align*}有解。若有解则有R(A)=R(A,b)。

    =>定理:向量b能由向量组A线性表示的充要条件是:R(A)=R(A,b)


    3.向量组等价、系数矩阵

    向量组B能由向量组A线性表示:B中的每个向量都可以由A线性表示。

    向量组B和向量组A等价:二者可以相互线性表示。

     

    \begin{align*} C_{m\times n} &= A_{m\times l}B_{l\times n} \end{align*}

    我们可以称:C的列向量组能由A的列向量组线性表示。B称这一表示的系数矩阵

    或称:C的行向量组能由B的行向量组线性表示,A为这一表示的系数矩阵

    笔:这一点可以结合前面的理解,行变换和列变换来理解,系数矩阵在左边时可以认为是对行进行线性变换,在右边时可以认为对列进行线性变换


    =>定理:向量组B \begin{matrix} b1 &b2 &b3 &...&bn \end{matrix}能由向量组A: \begin{matrix} a1 &a2 &...&an \end{matrix}线性表示的充要条件是R(A)=R(A,B)。

    笔:注意B,A是列向量组。所以系数矩阵应该在右边:AX=B,即有解,易得上面定理。

    =>推论:借用上面定理调换AB位置可知A和B等价的充要条件:R(A)=R(A,B)=R(B)

    笔:注意R(A,B)=R(B,A)即可


    =>定理:设向量组B:\begin{matrix} b1 &b2 &b3 &...&bn \end{matrix}能由向量组A:\begin{matrix} a1 &a2 &...&an \end{matrix}线性表示,则R(B)\leqR(A)

    笔:即AX=B有解时二者秩的关系,有解则有 R(A)=R(A,B),又知道R(B)\leqR(A,B)=R(A),所以推知。


     

    4、向量组的线性相关性

    上面介绍的是线性表示

    下面介绍的是线性相关性

    向量组A:\begin{matrix} a1 &a2 &...&an \end{matrix},如果存在不全为零的数\begin{matrix} k1 &k2 &...&kn \end{matrix}使

    \begin{align*} k1\underset{a1}{\rightarrow}+k2\underset{a2}{\rightarrow}+...+kn\underset{an}{\rightarrow} &= \underset{0}{\rightarrow} \end{align*}则称A是线性相关的,否则是线性无关的。

     

    如果\begin{matrix} k1 &k2 &...&kn \end{matrix}不全为0那么势必有一个或多个向量\underset{ai}{\rightarrow}能由其他向量线性表示,

     

    反之也能推导到A是线性相关的。


    有了向量组的线性相关性后我们再看下方程组。

    当方程组中某个方程是其余方程的线性组合时,那么经过逆过程此方程会被消去,此方程也就成为了多余的方程,此时称方程组是线性相关的;当方程组中没有多余的方程时,我们称为方程组线性无关(独立)。

    二者结合起来:方程组AX=b线性相关时,即(A,b)的行向量组线性相关,因为(A,b)就代表了方程组。

     

    =>定理:向量组A:\begin{matrix} a1 &a2 &...&an \end{matrix}线性相关的充要条件:R(A)<向量个数n; 向量组A:\begin{matrix} a1 &a2 &...&an \end{matrix}线性无关的充要条件:R(A)=向量个数n;

    笔:如果将上面AX=b,b换为0,那么就成为AX=0。线性相关就变成了此方程组存在非零解,如果是0解相应的A就为线性无关。转换为非零解的问题,假定n个变量n个方程,如果R(A)<n,说明有方程被约掉,此时是有无限解的,也就是存在非零解。如果<n个方程,那么此时必有R(A)<n。同上,如果AX=0仅有零解,那么A是线性无关的,仅有零解说明了存在了唯一解,此时必有R(A)=n,n个方程n变量恰好有一组解。


     

    ①=>定理:向量组A:\begin{matrix} a1 &a2 &...&an \end{matrix}线性相关,则向量组B:\begin{matrix} a1 & a2 & ...&a_{n+1} \end{matrix}也线性相关;若向量组B:\begin{matrix} a1 & a2 & ...&a_{n+1} \end{matrix}线性无关, 向量组A:\begin{matrix} a1 &a2 &...&an \end{matrix}线性无关;

    笔:向量组A线性相关:则R(A)<n, 所以R(B)\leqR(A)+1=n+1,所以B线性相关;向量组B向量无关R(B)=n+1,假若A线性相关那么R(A)<n,所以R(B)\leqR(A)+1<n+1,就会推知B 线性相关,所以知假设不成立,所以A线性无关。

     

    ②=>定理:m个n维向量组成的向量组B即n×m矩阵,如果n<m,那么一定线性相关。

    笔:因为R(B)\leqmin{n,m}=n<m所以知,定线性相关。

    ③=>定理: 向量组A:\begin{matrix} a1 &a2 &...&an \end{matrix}线性无关,向量组B:\begin{matrix} a1 &a2&...&an&b \end{matrix}线性相关,则

    向量b必能由A线性表示,且表示式唯一。

    笔:向量组B:\begin{matrix} a1 &a2&...&an&b \end{matrix}线性相关,即R(B)<n+1。 向量组A:\begin{matrix} a1 &a2 &...&an \end{matrix}线性无关,所以R(A)=n。所以就可以推知n=R(A)\leqR(B)<n+1,所以R(B)=n。所以AX=b有唯一解。

    注:之前我在此混淆了方程组和向量组的关系。向量组的线性相关性和方程组的线性相关性,方程组的线性相关性只是说明是否有多余的方程,并未透露解的问题,有可能方程组的方程个数很多。所以具体有无解或者是解的个数问题 需要判断R(A)=?R(A,B),且和n的关系。


    向量组的秩

    ->就是最大线性无关向量组所含向量的个数

    ->向量组的任一向量都能由最大线性无关向量组线性表示

    矩阵的秩和它的列向量组的秩、行向量组的秩相等。

    展开全文
  • 向量组的线性表出与线性相关3.1 基础概念3.2 线性相关、线性无关的进一步说明4. 判别线性相关性的七大定理4.1 定理14.2 定理24.3 定理34.4 定理44.5 定理54.6 定理6 1. 引入 前文我们已经讨论过行列式和矩阵,下面...
    • 参考:张宇高等数学基础30讲

    1. 引入

    • 前文我们已经讨论过行列式和矩阵,下面我们将从更本质的向量角度来分析。在前文 线性代数(2)—— 矩阵定义及基本运算 我们提到过:矩阵是由若干行(列)向量拼成的,而且它们之间存在着某种联系,这种联系说到底就是线性无关的向量个数(独立信息的个数)的问题,也就是这若干个向量组成的向量组中,有几个就足够代表这整个向量组(其他的向量都可以由这几个向量线性表示出来)。比如向量组 [1,2,3],[2,4,6],[6,7,9] 中,向量 [2,4,6] 可以用向量 [1,2,3] 的两倍表示,因此 [2,4,6] 这个向量就是 “多余” 的,不是独立信息
    • 经过仔细排查,我们可以找出某个向量组中能够代表所有成员的一组向量,把它们组成的向量组叫做原向量组的 极大线性无关组这个组是原向量组的 “代表”。比如 [1,2,3],[6,7,9] 就是 [1,2,3],[2,4,6],[6,7,9] 的极大线性无关组。后面我们会说明,对于同一个向量组,其极大线性无关组中 “代表” 的个数是唯一的。事实上,“代表” 的个数就是独立信息的个数,这个个数就叫做向量组的秩。秩就是独立信息的个数,用这几个独立信息就能表示其他所有信息了。
    • 注意到矩阵就是由向量组拼成的,因此 矩阵的秩向量组的秩都反映了 “代表” 个数,其本质是一样的
    • 后面我们还会说明一个重要观点:向量与向量间的关系要么线性相关,要么线性无关,这种关系是 “非黑即白” 的

    2. 向量的概念和运算

    • n维向量:n个数构成的一个有序数组 [ a 1 , a 2 , . . . , a n ] [a_1,a_2,...,a_n] [a1,a2,...,an] 称为一个 n n n 维向量,记作 α = [ a 1 , a 2 , . . . , a n ] \pmb{\alpha} = [a_1,a_2,...,a_n] ααα=[a1,a2,...,an],并称 α \pmb{\alpha} αααn维行向量 α ⊤ = [ a 1 , a 2 , . . . , a n ] ⊤ \pmb{\alpha}^\top = [a_1,a_2,...,a_n]^\top ααα=[a1,a2,...,an] 称为 n维列向量,其中 a i a_i ai 称为向量 α \pmb{\alpha} ααα α ⊤ \pmb{\alpha}^\top ααα 的第 i i i分量
    • 向量的运算
      在这里插入图片描述

    3. 向量组的线性表出与线性相关

    3.1 基础概念

    1. 线性组合:设有 m 个 n 维向量 α 1 , α 2 , . . . , α m \pmb{\alpha}_1,\pmb{\alpha}_2,...,\pmb{\alpha}_m ααα1,ααα2,...,αααm 和 m 个数 k 1 , k 2 , . . . , k m k_1,k_2,...,k_m k1,k2,...,km,则向量
      k 1 α 1 + k 2 α 2 + . . . + k m α m k_1\pmb{\alpha}_1+k_2\pmb{\alpha}_2+...+k_m\pmb{\alpha}_m k1ααα1+k2ααα2+...+kmαααm 称为向量组 α 1 , α 2 , . . . , α m \pmb{\alpha}_1,\pmb{\alpha}_2,...,\pmb{\alpha}_m ααα1,ααα2,...,αααm 的线性组合

    2. 线性表出:若向量 β \pmb{\beta} βββ 能表示成 α 1 , α 2 , . . . , α m \pmb{\alpha}_1,\pmb{\alpha}_2,...,\pmb{\alpha}_m ααα1,ααα2,...,αααm 的线性组合,即存在 m 个数 k 1 , k 2 , . . . , k m k_1,k_2,...,k_m k1,k2,...,km,使得
      β = k 1 α 1 + k 2 α 2 + . . . + k m α m \pmb{\beta} = k_1\pmb{\alpha}_1+k_2\pmb{\alpha}_2+...+k_m\pmb{\alpha}_m βββ=k1ααα1+k2ααα2+...+kmαααm 则称向量 β \pmb{\beta} βββ 能被 α 1 , α 2 , . . . , α m \pmb{\alpha}_1,\pmb{\alpha}_2,...,\pmb{\alpha}_m ααα1,ααα2,...,αααm 线性表出

    3. 线性相关:对 m 个 n 维向量 α 1 , α 2 , . . . , α m \pmb{\alpha}_1,\pmb{\alpha}_2,...,\pmb{\alpha}_m ααα1,ααα2,...,αααm,若存在一组不全为零的数 k 1 , k 2 , . . . , k m k_1,k_2,...,k_m k1,k2,...,km,使得
      k 1 α 1 + k 2 α 2 + . . . + k m α m = 0 k_1\pmb{\alpha}_1+k_2\pmb{\alpha}_2+...+k_m\pmb{\alpha}_m = \pmb{0} k1ααα1+k2ααα2+...+kmαααm=000 称向量组 α 1 , α 2 , . . . , α m \pmb{\alpha}_1,\pmb{\alpha}_2,...,\pmb{\alpha}_m ααα1,ααα2,...,αααm 线性相关

    4. 线性无关:若不存在不全为零的数 k 1 , k 2 , . . . , k m k_1,k_2,...,k_m k1,k2,...,km,使得 k 1 α 1 + k 2 α 2 + . . . + k m α m = 0 k_1\pmb{\alpha}_1+k_2\pmb{\alpha}_2+...+k_m\pmb{\alpha}_m = \pmb{0} k1ααα1+k2ααα2+...+kmαααm=000 成立,就称向量组 α 1 , α 2 , . . . , α m \pmb{\alpha}_1,\pmb{\alpha}_2,...,\pmb{\alpha}_m ααα1,ααα2,...,αααm 线性无关;亦即若只有 k 1 = k 2 = . . . = k m = 0 k_1=k_2=...=k_m=0 k1=k2=...=km=0 时才有 k 1 α 1 + k 2 α 2 + . . . + k m α m = 0 k_1\pmb{\alpha}_1+k_2\pmb{\alpha}_2+...+k_m\pmb{\alpha}_m = \pmb{0} k1ααα1+k2ααα2+...+kmαααm=000 成立,称向量组 α 1 , α 2 , . . . , α m \pmb{\alpha}_1,\pmb{\alpha}_2,...,\pmb{\alpha}_m ααα1,ααα2,...,αααm 线性无关

    3.2 线性相关、线性无关的进一步说明

    1. 含有零向量或有成比例向量的向量组一定线性相关
      1. 若含有零向量,可以把零向量对应的系数 k i k_i ki 设为任意非零数,其他系数 k i k_i ki 都设成 0,即满足线性相关定义
      2. 若有成比例向量,可以把成比例向量的系数 k i k_i ki 按比例设为正负数值,其他系数 k i k_i ki 都设成 0,即满足线性相关定义
    2. 单个非零向量、两个不成比例向量均线性无关
      1. 对于单个非零向量 α \pmb{\alpha} ααα,只有 0 ⋅ α = 0 0 ·\pmb{\alpha} = \pmb{0} 0ααα=000
      2. 对于两个不成比例向量 α 1 , α 2 \pmb{\alpha}_1,\pmb{\alpha}_2 ααα1,ααα2,对于 k 1 α 1 + k 2 α 2 = 0 k_1\pmb{\alpha}_1+k_2\pmb{\alpha}_2 =0 k1ααα1+k2ααα2=0,有 k 1 = − k 2 α 2 / α 1 k_1 = -k_2 \pmb{\alpha}_2/\pmb{\alpha}_1 k1=k2ααα2/ααα1,若 α 1 , α 2 \pmb{\alpha}_1,\pmb{\alpha}_2 ααα1,ααα2 线性相关, α 2 / α 1 \pmb{\alpha}_2/\pmb{\alpha}_1 ααα2/ααα1 必为常数,而这代表 α 2 / α 1 \pmb{\alpha}_2/\pmb{\alpha}_1 ααα2/ααα1 成比例,矛盾
    3. 只有 零向量自己一个向量就能线性相关;其他 所有非零向量自己一个向量都是线性无关的
      1. 对于单个零向量,若有 k ⋅ 0 = 0 k·\pmb{0} = \pmb{0} k000=000 k k k 可取任意非零数
      2. 对于单个非零向量 α \pmb{\alpha} ααα,只有 0 ⋅ α = 0 0 ·\pmb{\alpha} = \pmb{0} 0ααα=000
    4. 向量组要么线性相关要么线性无关,二者必居其一且仅居其一
    5. 使用定义法解题:
      1. 写出 ∑ i m k i α i = 0 \sum_i^mk_i\pmb{\alpha}_i = 0 imkiαααi=0
      2. k i k_i ki 不全为0 ⇒ \Rightarrow 线性相关; k i k_i ki 全为0 ⇒ \Rightarrow 线性无关

    4. 判别线性相关性的七大定理

    4.1 定理1

    • 原命题向量组 α 1 , α 2 , . . . , α n    ( n ≥ 2 ) \pmb{\alpha}_1,\pmb{\alpha}_2,...,\pmb{\alpha}_n\space\space(n\geq2) ααα1,ααα2,...,αααn  (n2) 线性相关 ⇔ \Leftrightarrow 向量组中至少有一个向量可以由其他 n − 1 n-1 n1 个向量线性表出
    • 逆否命题:向量组 α 1 , α 2 , . . . , α n    ( n ≥ 2 ) \pmb{\alpha}_1,\pmb{\alpha}_2,...,\pmb{\alpha}_n\space\space(n\geq2) ααα1,ααα2,...,αααn  (n2) 线性无关 ⇔ \Leftrightarrow 向量组中任意一个向量不能由其他 n − 1 n-1 n1 个向量线性表出
    • 原命题证明:
      在这里插入图片描述
      • ∑ i m k i α i = 0 \sum_i^mk_i\pmb{\alpha}_i = 0 imkiαααi=0 时,哪个系数 k i ≠ 0 k_i \neq 0 ki=0,其对应的 α i \pmb{\alpha}_i αααi 就能被其他向量线性表出

    4.2 定理2

    • 若向量组 α 1 , α 2 , . . . , α n \pmb{\alpha}_1,\pmb{\alpha}_2,...,\pmb{\alpha}_n ααα1,ααα2,...,αααn 线性无关,而向量组 β , α 1 , α 2 , . . . , α n \pmb{\beta},\pmb{\alpha}_1,\pmb{\alpha}_2,...,\pmb{\alpha}_n βββ,ααα1,ααα2,...,αααn 线性相关,则 β \pmb{\beta} βββ 可以由 α 1 , α 2 , . . . , α n \pmb{\alpha}_1,\pmb{\alpha}_2,...,\pmb{\alpha}_n ααα1,ααα2,...,αααn 线性表出,且表示法唯一
    • 证明:
      在这里插入图片描述

    4.3 定理3

    • 原命题若向量组 β 1 , β 2 , . . . , β t \pmb{\beta}_1,\pmb{\beta}_2,...,\pmb{\beta}_t βββ1,βββ2,...,βββt 可由向量组 α 1 , α 2 , . . . , α s \pmb{\alpha}_1,\pmb{\alpha}_2,...,\pmb{\alpha}_s ααα1,ααα2,...,αααs 线性表示,且 t > s t > s t>s,则无论 α 1 , α 2 , . . . , α s \pmb{\alpha}_1,\pmb{\alpha}_2,...,\pmb{\alpha}_s ααα1,ααα2,...,αααs 是线性相关还是无关, β 1 , β 2 , . . . , β t \pmb{\beta}_1,\pmb{\beta}_2,...,\pmb{\beta}_t βββ1,βββ2,...,βββt 一定线性相关(以少表多,多的相关
    • 逆否命题:若向量组 β 1 , β 2 , . . . , β t \pmb{\beta}_1,\pmb{\beta}_2,...,\pmb{\beta}_t βββ1,βββ2,...,βββt 可由向量组 α 1 , α 2 , . . . , α s \pmb{\alpha}_1,\pmb{\alpha}_2,...,\pmb{\alpha}_s ααα1,ααα2,...,αααs 线性表示,且 β 1 , β 2 , . . . , β t \pmb{\beta}_1,\pmb{\beta}_2,...,\pmb{\beta}_t βββ1,βββ2,...,βββt 线性无关,则 t ≤ s t\leq s ts
    • 证明原命题
      在这里插入图片描述

    4.4 定理4

    • 原命题:设 m 个 n 维向量 α 1 , α 2 , . . . , α m \pmb{\alpha}_1,\pmb{\alpha}_2,...,\pmb{\alpha}_m ααα1,ααα2,...,αααm,其中
      α 1 = [ a 11 , a 21 , . . . , a n 1 ] ⊤ α 2 = [ a 12 , a 22 , . . . , a n 2 ] ⊤ … α m = [ a 1 m , a 2 m , . . . , a n m ] ⊤ \begin{aligned} &\pmb{\alpha}_1 = [a_{11},a_{21},...,a_{n1}]^\top\\ &\pmb{\alpha}_2 = [a_{12},a_{22},...,a_{n2}]^\top\\ &\dots \\ &\pmb{\alpha}_m = [a_{1m},a_{2m},...,a_{nm}]^\top \end{aligned} ααα1=[a11,a21,...,an1]ααα2=[a12,a22,...,an2]αααm=[a1m,a2m,...,anm] 则向量组 α 1 , α 2 , . . . , α m \pmb{\alpha}_1,\pmb{\alpha}_2,...,\pmb{\alpha}_m ααα1,ααα2,...,αααm 线性相关 ⇔ \Leftrightarrow 齐次线性方程组 A x = 0 \pmb{Ax}=\pmb{0} AxAxAx=000 有非零解,其中
      A = [ a 11 a 12 … a 1 m a 21 a 22 … a 2 m ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 a n 2 … a n m ] , x = [ x 1 x 2 ⋮ x m ] \pmb{A} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} &\dots & a_{1m} \\ a_{21} & a_{22} &\dots & a_{2m} \\ \vdots & \vdots & &\vdots \\ a_{n1} &a_{n2} &\dots & a_{nm} \end{bmatrix}, \pmb{x} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_m \end{bmatrix} AAA=a11a21an1a12a22an2a1ma2manm,xxx=x1x2xm(即 A x = x 1 α 1 + x 2 α 2 + . . . + x m α m = 0 \pmb{Ax}= x_1\pmb{\alpha}_1+x_2\pmb{\alpha}_2 + ...+x_m\pmb{\alpha}_m = \pmb{0} AxAxAx=x1ααα1+x2ααα2+...+xmαααm=000 x \pmb{x} xxx 有非零解)
    • 逆否命题:m 个 n 维向量 α 1 , α 2 , . . . , α m \pmb{\alpha}_1,\pmb{\alpha}_2,...,\pmb{\alpha}_m ααα1,ααα2,...,αααm 线性无关 ⇔ \Leftrightarrow 齐次线性方程组 A x = 0 \pmb{Ax}=\pmb{0} AxAxAx=000 只有零解
    • 原命题证明
      在这里插入图片描述
    • 注:注意到矩阵 A \pmb{A} AAA 中行数(即向量维度) n n n 是方程个,列数(即向量个数) m m m 是未知数数目
      1. n < m n<m n<m,即方程个数小于未知数个数,线性方程组 A x = 0 \pmb{Ax}=\pmb{0} AxAxAx=000 求解时必有自由未知量,即必有非零解。因此,任意 n + 1 n+1 n+1 n n n 维向量都是线性相关的 n n n 维空间中,任何一个线性无关向量组最多只能包含 n n n 个向量
      2. n = m n=m n=m,这时是方阵,可以引入行列式。对于 n n n n n n 维向量 α 1 , α 2 , . . . , α n \pmb{\alpha}_1,\pmb{\alpha}_2,...,\pmb{\alpha}_n ααα1,ααα2,...,αααn
        1. 线性相关 ⇔ \Leftrightarrow ∣ A ∣ = ∣ α 1 , α 2 , . . . , α n ∣ = 0 |\pmb{A}| = |\pmb{\alpha}_1,\pmb{\alpha}_2,...,\pmb{\alpha}_n| = 0 AAA=ααα1,ααα2,...,αααn=0 ⇔ \Leftrightarrow A x = 0 \pmb{Ax}=\pmb{0} AxAxAx=000 有非零解
        2. 线性无关 ⇔ \Leftrightarrow ∣ A ∣ ≠ 0 |\pmb{A}| \neq 0 AAA=0 ⇔ \Leftrightarrow A x = 0 \pmb{Ax}=\pmb{0} AxAxAx=000 只有零解
      3. n > m n>m n>m,这时方程个数多于未知数个数,但是方程中可能有因线性相关而冗余的方程,此时可以
        1. 化阶梯型,找出真实方程数目
        2. 使用下面的定理6 / 定理7

    4.5 定理5

    • 原命题:
      在这里插入图片描述
    • 逆否命题:
      在这里插入图片描述
    • 说明:
      1. 定理5和定理4把向量组和线性方程组相联系,定理4从线性方程组角度给出了线性相关和线性无关的定义;定理5从线性方程组角度给出了线性表出的定义
      2. 这里 r ( ⋅ ) r(·) r() 代表向量组的秩,下一章再详细说明,这里简单一提:秩代表这组向量中不能被其余向量线性表出的向量的个数,当 β \pmb{\beta} βββ 可以被其他 α \pmb{\alpha} ααα 线性表出时,秩不变;不能时秩改变,其实就是增加了1

    4.6 定理6

    • 原命题如果向量组 α 1 , α 2 , . . . , α m \pmb{\alpha}_1,\pmb{\alpha}_2,...,\pmb{\alpha}_m ααα1,ααα2,...,αααm 中有一部分线性相关,则整个向量组也线性相关(部分相关,则整体相关
    • 逆否命题:如果向量组 α 1 , α 2 , . . . , α m \pmb{\alpha}_1,\pmb{\alpha}_2,...,\pmb{\alpha}_m ααα1,ααα2,...,αααm 线性无关,则其中任意部分向量组也线性无关(整体无关,则部分无关
    • 证明原命题:不妨设 α 1 , α 2 , . . . , α j    ( j < m ) \pmb{\alpha}_1,\pmb{\alpha}_2,...,\pmb{\alpha}_j \space\space(j<m) ααα1,ααα2,...,αααj  (j<m) 线性相关,于是有不全为零的数 k 1 , k 2 , . . . , k j k_1,k_2,...,k_j k1,k2,...,kj 使得
      k 1 α 1 + k 2 α 2 + . . . + k j α j = 0 k_1\pmb{\alpha}_1+k_2\pmb{\alpha}_2+...+k_j\pmb{\alpha}_j = \pmb{0} k1ααα1+k2ααα2+...+kjαααj=000 从而有不全为零的数 k 1 , k 2 , . . . , k j , 0 , . . . , 0 k_1,k_2,...,k_j,0,...,0 k1,k2,...,kj,0,...,0 使得
      k 1 α 1 + k 2 α 2 + . . . + k j α j + 0 α j + 1 + . . . + 0 α m = 0 k_1\pmb{\alpha}_1+k_2\pmb{\alpha}_2+...+k_j\pmb{\alpha}_j + 0\pmb{\alpha}_{j+1}+...+0\pmb{\alpha}_m = \pmb{0} k1ααα1+k2ααα2+...+kjαααj+0αααj+1+...+0αααm=000 α 1 , α 2 , . . . , α m \pmb{\alpha}_1,\pmb{\alpha}_2,...,\pmb{\alpha}_m ααα1,ααα2,...,αααm 也线性相关

    4.7 定理7

    • 如果一组 n n n 维向量 α 1 , α 2 , . . . , α s \pmb{\alpha}_1,\pmb{\alpha}_2,...,\pmb{\alpha}_s ααα1,ααα2,...,αααs 线性无关,那么把这些向量各任意添加 m m m 个分量后所得的新( n + m n+m n+m维)向量组 α 1 ∗ , α 2 ∗ , . . . , α s ∗ \pmb{\alpha}_1^*,\pmb{\alpha}_2^*,...,\pmb{\alpha}_s^* ααα1,ααα2,...,αααs 也线性无关;如果 α 1 , α 2 , . . . , α s \pmb{\alpha}_1,\pmb{\alpha}_2,...,\pmb{\alpha}_s ααα1,ααα2,...,αααs 线性相关,那么它们去掉相同的若干个分量所得到的新向量组也是线性相关的(原来相关,缩短相关;原来无关,延长无关。注意,延长/缩短向量等价于增加/减少方程数目

    • 在这里插入图片描述
    • 例:
      [ 1 2 ] 和 [ 2 3 ] 线 性 无 关 ⇒ [ 1 2 3 ] 和 [ 2 3 4 ] 线 性 无 关 \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} 和 \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix} 线性无关 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix} 和 \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{bmatrix} 线性无关 [12][23]线123234线
      [ 1 2 3 ] 和 [ 2 4 6 ] 线 性 相 关 ⇒ [ 1 2 ] 和 [ 2 4 ] 线 性 相 关 \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix} 和 \begin{bmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{bmatrix} 线性相关 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} 和 \begin{bmatrix} 2 \\ 4 \end{bmatrix} 线性相关 123246线[12][24]线

    5. 例题

    5.1 利用行列式判断线性相关/无关

    • 此题中向量个数(未知数个数) = 向量维数(方程个数),根据定理4,可以用行列式进行判断
      在这里插入图片描述

    5.2 利用定义法判断线性相关/无关

    • 这个题用定义法证明线性无关。首先写出 ∑ i m k i α i = 0 \sum_i^mk_i\pmb{\alpha}_i = 0 imkiαααi=0 的形式,然后分析系数是否全为0
      在这里插入图片描述

    5.3 分类讨论

    • 这个题没有明确向量个数 s s s(未知数个数) 和向量维数 n n n(方程个数)间的大小关系,需要分类讨论
      在这里插入图片描述
      1. s > n s>n s>n 时,未知数个数多于方程个数,一定有自由变量,有非零解, 必线性相关
      2. s = n s=n s=n 时,用行列式是否等于0判断,注意到这里是范德蒙德行列式,直接展开行列式不等于零,线性无关
      3. s < n s<n s<n 时,取对应齐次线性方程组靠上的 s s s 个方程,这一部分同第2点里 s = n s=n s=n 的情况,发现这部分线性无关,根据定理7,延长后的向量组一定也线性无关
    展开全文
  • 线性代数之向量基础点

    千次阅读 2021-03-06 12:53:48
    线性代数之向量基础点 向量的定义 由n个按照次序排成的数组成的数组叫n维向量,每个数称为该向量的n的分量,其中第i个数ai 称为第i个分量。按照行(列)排列的向量叫做行(列)向量。 n维列向量记作: 几点说明: ...
  • 本文是对向量线性相关性相关知识的梳理,希望大家喜欢。
  • 线性代数 向量

    千次阅读 2021-06-02 16:22:38
    向量线性相关,线性无关(非常重要) 线性相关 满足上式且k是一组不全为0的数,则称α1,…αn线性相关。 向量组α1,…αn线性相关的充要条件 至少存在一个向量αi可以由其他的向量线性表出 矩阵A=(α1,…αn...
  • 向量线性无关和正交及其关系

    千次阅读 2021-12-07 10:29:45
    k1a1+k2a2=0,如果k1或k2不为零,说明a1和a2中的一个可以由另一个成倍数表示,此时a1和a2是平行和线性相关关系。所以若a1和a2线性无关,则a1和a2不平行。 两者关系:正交即不平行,所以正交就是线性无关;线性无关即...
  • 线性代数 线性相关与线性表示的理解 https://www.zhihu.com/question/39326459/answer/452801233 首先,向量是仅有一行或者一列的特殊矩阵,我们将其每一个元素视为一个维度,n维向量就存在于n维空间内。 我们可以把...
  • SVM,Support Vector Machine,支持向量
  • 一、什么是SVM? SVM的英文全称是Support Vector Machines,我们叫它支持向量机。支持向量机是我们用于分类的一种算法。让我们以一个小故事的形式,开启我们的SVM之旅吧。 在很久以前的情人节,一位大侠要去救他的...
  • 线性代数学习之特征值与特征向量

    千次阅读 2021-10-22 17:02:44
    在上一次线性代数学习之行列式 - cexo - 博客园学习了行列式相关的一些概念,其中也多次提到学好行列式是为了学习“特征值和特征向量”的基础,所以此次就正式进入这块内容的学习,也是线性代数中非常重要的概念,...
  • 两个向量的叉积是这样表示的: ,这种乘法的计算结果是另一个矢量 ,这个矢量 的大小等于原来两个矢量的大小的乘积再乘以两个矢量夹角 (小于180度)的「正弦」: ,在二维空间内,向量其几何意义就是以两个向量为边的...
  • 继续接着上一次https://www.cnblogs.com/webor2006/p/14306045.html的线性代数的学习继续向前,这次则开始要接触线性代数领域更加核心更加关键的内容:什么线性相关?什么是线程无关?什么是生成空间...下面开始。...
  • 在上一次https://www.cnblogs.com/webor2006/p/14306046.html学习了诸多在线性代数中非常核心的概念(线性组合、线性相关、线性无关、生成空间,空间的基...),这次则继续学习重要的核心概念(空间、维度、四大子空间)...
  • A表示一种线性变换,而等式的表述寻求一种线性变换使得X通过这个变换得到V,也就是方程的解依赖于矩阵A代表的变换。 2 逆矩阵: 逆矩阵的概念我们如果放到向量空间去理解,就是,如果一个空间变换没有降维...
  • 文章目录前言4.1 向量组及其线性组合定义1定义2定理1定义3定理2定理3结语 前言 Hello!小伙伴! 非常感谢您阅读海轰的文章,倘若文中有错误的地方,欢迎您指出~   自我介绍 ଘ(੭ˊᵕˋ)੭ 昵称:海轰 标签:...
  • 本文章共3439字,著作权由博主——南城无笙(原Mittsommer) 保留,未经允许不得转载,一旦发现抄袭、...那么先从线性代数的基础开始介绍 对于需要处理由多个数值组成的成组的数据,对于这种数据,我们一般不将其看作.
  • 本文介绍了向量的內积和外积的概念,以及相关的运算公式。
  • 文章目录前言往期文章4.2 向量组的线性相关性定义4线性相关/无关特殊情况定理4举例例题4例5例6定理5结语 前言 Hello!小伙伴! 非常感谢您阅读海轰的文章,倘若文中有错误的地方,欢迎您指出~   自我介绍 ଘ...
  • 5.1 向量的内积、长度及正交性 定义1 设有nnn维向量 x=[x1x2...xn],y=[y1y2...yn]x=\begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ .\\ .\\ .\\ x_n \end{bmatrix},y = \begin{bmatrix} y_1\\ y_2\\ .\\ .\\ .\\ y_n \end{bmatrix} x=...
  • 文章目录线性空间线性空间的基本性质线性相关、线性无关线性相关,线性无关性质向量组的秩与极大线性无关组的概念基和维数参考 线性空间 即向量空间 定义1\large\color{magenta}{\boxed{\color{brown}{定义1} }}定义...
  • 那么数乘向量λ×a可以理解为将x轴与y轴长度分别变为λ倍后矢量叠加在一起,同时也可以理解为将原本叠加的向量变为λ倍。 1.1 向量的性质 1)加法交换律 2)加法结合律 3)0+α=α+0=α (零元) 4)α+(-α...
  • 从初到末的箭头(物理角度,表示一种运动过程)有序的数字列表(计算机/数学角度)[1,2]加和数乘运算有意义的anything(抽象意义)12两种理解之间的关系就是线性代数的奥秘,即几何角度与数值角度。一个向量的坐标由一对数...
  • 线性代数,微积分,统计 Linear algebra,calculus,statics 1.2 基础物理 光学,力学 Opitics,Mechanics 1.3 其他 信号处理 Signal processing (走样、反走样) 数值分析 Numerical analysis 需要一点美学… ...
  • 文章目录第三讲 向量线性相关和线性无关的几何意义线性变换的几何意义向量向量组的线性...首先如果两个二维向量不共线,那么它们两个做线性变化(缩放)可以表示出这个平面内的所有向量: 而在空间中,两个不共线
  • 答:数字的加、减、乘、除的基本运算同理,上一篇学习了什么向量之后,我们接着来学习向量的基本运算我们先来看一个东西,如下图相信,很多人都不会陌生,我们高中学习物理的时候,都学习过平行四边形定则。...
  • 4.5 向量空间 定义6 设VVV为nnn维向量的集合,如果集合VVV非空,且集合VVV对于向量的加法和乘法两种运算封闭,那么就称集合VVV为向量空间 加法封闭: 若a∈V,b∈Va \in V, b \in Va∈V,b∈V,则a+b∈Va+b \in Va+b∈...
  • 文章目录前言往期文章4.3 向量组的秩定义5定理6推论(最大无关组的等价定义)举例例9例11结语 前言 Hello!小伙伴! 非常感谢您阅读海轰的文章,倘若文中有错误的地方,欢迎您指出~   自我介绍 ଘ(੭ˊᵕˋ)...
  • 用单位基向量的缩放表示如下:【^i】和【^j】是单位基向量 我们可以隐含假设认为: 【案,坐标2,表示向右运动,坐标3表述向上运动,基向量的单位表征运动的快慢】 由此,我们有如下定义: [3,2]被称为...

空空如也

空空如也

1 2 3 4 5 ... 20
收藏数 65,928
精华内容 26,371
关键字:

向量可以线性表示说明什么