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  • 向量的模/长度/大小运算

    千次阅读 2019-10-30 20:07:21
    向量是一个有大小方向有向线段,但是这个向量的“大小”具体是多少,我们无法直接从向量的数据上观察到。 在 Unity 引擎内,Vector3 类型对象,有一个 magnitude 只读属性来获取向量的大小。 数学公式: 例...

    向量是一个有大小和方向的有向线段,但是这个向量的“大小”具体是多少,我们无法直接从向量的数据上观察到。 在 Unity 引擎内,Vector3 类型的对象,有一个 magnitude 只读属性来获取向量的大小。

    数学公式:

    \left ( 3DV \right )\left | V \right |= \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}

    例:

    \left |\left [ 2,3,5 \right ] \right |= \sqrt{2^{2}+3^{2}+5^{2}}= \sqrt{4+9+25}= \sqrt{38}\approx 6.164

    公式解析:

    1.一个向量求模,在数学上表示就是在向量的左右各加两根竖线,表示求模;

    2.向量内每个分量单独二次方运算;2*2=4,3*3=9,5*5=25;

    3.最终三个分量的二次方之和求平方根,所得的结果就是向量的模/长度/大小。

    代码实现:

        /// <summary>
        /// 大小/长度/模.
        /// </summary>
        public float magnitude
        {
            get
            {
                //自身各分量平方运算.
                float X = this.x * this.x;
                float Y = this.y * this.y;
                float Z = this.z * this.z;
                return Mathf.Sqrt(X + Y + Z);//开根号,最终返回向量的长度/模/大小.
            }
            
        }

     各位可以与unityAPI对照一下看看计算结果是否一致。

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  • 关于向量的模和向量的范数的理解

    万次阅读 多人点赞 2018-08-15 10:15:08
    向量的模   含义 向量 的长度叫做向量的模,记作 ,也就是向量 的大小 计算公式 对于向量 属于n维复向量空间 =(x1,x2,…,xn) 的模为 =  向量的范数  范数,在机器学习中通常用于衡量一个向量的大小...

    向量的模

     

    含义

    向量  的长度叫做向量的模,记作 ,也就是向量  的大小

    计算公式

    对于向量  属于n维复向量空间

    =(x1,x2,…,xn)

    的模为  = 


    向量的范数

     范数,在机器学习中通常用于衡量一个向量的大小,形式上, 范数的定义如下:

                                                                 

                                                               其中 p>=1

    比如如下常见的范数

    1-范数:║x║1=│x1│+│x2│+…+│xn│                        (曼哈顿距离)

    2-范数:║x║2=(│x1│2+│x2│2+…+│xn│2)1/2      (欧式距离

    ∞-范数:║x║∞=max(│x1│,│x2│,…,│xn│)   (切比雪夫距离)

     

    大家可以发现,向量的模和向量的L2范数的计算方式都是一样的,都表示的是欧氏距离。

    可以简单理解,范数是表示向量的大小,但是不同的空间,不同的应用场景可以选择不同的衡量方式,

    但是向量的模是固定的,就是指欧氏距离。

    因此向量的模  ==向量的L2范数\left \| AB \right \|_{2}

     

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  • 展开全部表示方法两个向量ab叉积写作a...模长:(在这里θ表示两向量之间夹角(共起点前提下)(0°≤θ≤180°),它位于这两个矢量所定义平面上。)方向:a向量与b向量的向量方向与这两个向量所在平面垂直...

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    表示方法

    两个向量a和b的叉积写作a×b(有时也被写成a∧b,避免32313133353236313431303231363533e78988e69d8331333431363036和字母x混淆)。

    定义

    向量积可以被定义为:。

    模长:(在这里θ表示两向量之间的夹角(共起点的前提下)(0°≤θ≤180°),它位于这两个矢量所定义的平面上。)

    方向:a向量与b向量的向量积的方向与这两个向量所在平面垂直,且遵守右手定则。(一个简单的确定满足“右手定则”的结果向量的方向的方法是这样的:若坐标系是满足右手定则的,当右手的四指从a以不超过180度的转角转向b时,竖起的大拇指指向是c的方向。)

    也可以这样定义(等效):

    向量积|c|=|a×b|=|a||b|sin

    即c的长度在数值上等于以a,b,夹角为θ组成的平行四边形的面积。

    而c的方向垂直于a与b所决定的平面,c的指向按右手定则从a转向b来确定。

    扩展资料:

    证明

    为了更好地推导,加入三个轴对齐的单位向量i,j,k。

    i,j,k满足以下特点:

    i=jxk;j=kxi;k=ixj;

    kxj=–i;ixk=–j;jxi=–k;

    ixi=jxj=kxk=0;(0是指0向量)

    由此可知,i,j,k是三个相互垂直的向量。它们刚好可以构成一个坐标系。

    这三个向量的特例就是i=(1,0,0)j=(0,1,0)k=(0,0,1)。

    对于处于i,j,k构成的坐标系中的向量u,v我们可以如下表示:

    u=Xu*i+Yu*j+Zu*k;

    v=Xv*i+Yv*j+Zv*k;

    那么uxv=(Xu*i+Yu*j+Zu*k)x(Xv*i+Yv*j+Zv*k)

    =Xu*Xv*(ixi)+Xu*Yv*(ixj)+Xu*Zv*(ixk)+Yu*Xv*(jxi)+Yu*Yv*(jxj)+Yu*Zv*(jxk)+Zu*Xv*(kxi)+Zu*Yv*(kxj)+Zu*Zv*(kxk)

    由于上面的i,j,k三个向量的特点,所以,最后的结果可以简化为

    uxv=(Yu*Zv–Zu*Yv)*i+(Zu*Xv–Xu*Zv)*j+(Xu*Yv–Yu*Xv)*k。

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  • 向量的模(长度)可以解释成以ab为邻边的平行四边形的面积。求三角形ABC的面积,根据向量积的意义,得到: a=axi+ayj+azk; b=bxi+byj+bzk; a×b=(aybz-azby)i+(azbx-axbz)j+(axby-aybx)k,为了帮助记忆...
  • 向量 基本概念 既有大小又有方向的量称之为向量,与之相对应的是标量,标量是只有大小没有方向的量;...空间向量长度(向量的模)计算公式: math3d库,有2个数据类型,能够表示一个三维或者四维向量: M3DVe

    向量

    基本概念

    • 有大小又有方向的量称之为向量,与之相对应的是标量,标量是只有大小没有方向的量;
    • 在3D笛卡尔坐标系:基本上,一个顶点就是XYZ 坐标空间上的一个位置,而在空间中给定的⼀个位置恰恰是由⼀个单独的 XYZ 定义的,而这样的 XYZ 就是向量;
    • 长度为0的向量称之为零向量,零向量与所有向量平行;
    • 模为1的向量称之为单位向量,单位向量并不是唯一的,每个向量单位化以后都是单位向量;
    • 空间向量长度(向量的模)计算公式:

    在这里插入图片描述

    • math3d库,有2个数据类型,能够表示一个三维或者四维向量:
      M3DVector3f可以表示⼀个三维向量(x,y,z), M3DVector4f则可以表示⼀个四维向量(x,y,z,w);(在典型情况下,w坐标设为1.0。x,y,z值通过除以w,来进行缩放。而除以1.0则本质上不改变x,y,z值 )
       // 三维向量/四维向量的声明
       typedef float M3DVector3f[3]; 
       typedef float M3DVector4f[4];
       // 声明⼀个三维向量 M3DVector3f:类型 vVector:变量名 
       M3DVector3f vVector;
       // 声明一个四维向量并初始化⼀个四维向量 
       M3DVector4f vVertex = {0,0,1,1};
       // 声明一个三分量顶点数组,例如生成⼀个三角形 
       M3DVector3f vVerts[] = {
                            -0.5f,0.0f,0.0f, 
                            0.5f,0.0f,0.0f, 
                            0.0f,0.5f,0.0f};
    
    
    运算
    一、向量的数乘
    • 向量的数乘表示向量跟一个实数相乘的乘积,结果还是一个向量。 比如实数a跟一个向量V=(Vx, Vy)相乘,结果为aV=(aVx, aVy);
    • 在坐标轴中,如果一个物体的位置为A(3, 3, 3),如果将其位置乘以2再赋值给这个物体,那么A的位置就会变成A’(6,6,6)。也就是说,将这个物体的位置从A点移动到了A’点.
    二、向量的加法
    • 两个向量相加以后的结果还是一个向量,新向量的各个分量的值等于两个向量的对应分量的加值。计算公式为A + B = (A1 + B1, A2 + B2 … , An + Bn)(例如两个二维向量相加,向量C等于向量A(3, 4)加向量B(5, 6),即:C = A + B = (3+5, 4+6));
    • 遵循“平行四边形法则”和“三角形法则”;
      在这里插入图片描述
    三、向量的减法
    • 两个向量相减所得还是一个向量,这个向量的各个分量的值为旧向量的各个分量的差值。公式为:A - B = (A1 + B1, A2 + B2 … , An + Bn)。(例如两个二维向量相加,向量C等于向量A(3, 4)加向量B(5, 6),即:C = A - B = (3-5, 4-6))
    • 遵循“三角形法则”:减法的所得的最终向量,其方向是由减数向量的终点指向被减数向量的终点。
      在这里插入图片描述
    四、向量的点乘(dot product)
    • 向量的点积表示为A · B = A1B1 + A1B1 + … + AnBn;
    • 几何意义:点乘表示了两个向量的接近程度,即夹角越小,两个向量越靠近,在等于0的时候平行,等于1的时候垂直。因此向量的点乘在游戏中经常用来判断两个向量的接近程度。比如两个移动的物体是否会撞上,需要不需要避开之类的AI计算。同时,已知两个向量,可以计算两个向量的夹角。从而进行旋转操作等
      A·B > 0,则夹角在[0, 90);
      A·B = 0,则夹角等于 90,两个向量垂直
      A·B < 0,则夹角在(90,180)
    • 点乘只能在2个向量之间进行;
    • 2个(三维向量)单元向量之间进行点乘运算将得到⼀个标量(不是三维向量,是⼀个标量),它表示两个向量之间的夹⻆;
      在这里插入图片描述
    • 性质:
      A·B = B·A 点乘满足交换律;
      A·(B + C) = A·B + A·C 点乘满足分配律;
      (aA)·B = a(A·B) 一个实数不影响两个向量的点乘
    • math3d 库中提供了关于点乘的API:
    // m3dDotProduct3 函数获得2个向量之间的点乘结果,即余弦值cosα
    float m3dDotProduct3(const M3DVector3f u,const M3DVector3f v);
    
    // m3dGetAngleBetweenVector3 即可获取2个向量之间夹角的弧度值 α = arccos余弦
    float m3dGetAngleBetweenVector3(const M3DVector3f u,const M3DVector3f v);
    
    
    五、向量的叉乘(cross product)
    • 两个叉乘所得出的新向量,垂直与这两个向量,并穿过这两个向量的交叉点。新向量的方向则取决于使用的坐标系,Unity使用的是左手坐标系,OpenGL使用的是右手坐标系。左手坐标系中,左手掌心向外,食指向上,中指向前,大拇指的方向就是x轴,食指指向的是y轴,中指指向的是z轴,将两个向量对准坐标轴,剩余的一个方向就是新向量的方向。
      在这里插入图片描述
    • 叉乘的模:|A X B| = |A||B|sinα,其中α是两个向量的夹角;
    • math3d 库中提供了关于叉乘的API
        // m3dCrossProduct3 函数获得2个向量之间的叉乘结果得到⼀个新的向量
        void m3dCrossProduct3(M3DVector3f result,const M3DVector3f  u ,const
        M3DVector3f v);
    

    矩阵(Matrix)

    概念
    • 在其他编程标准中, 许多矩阵库定义一个矩阵时,使用⼆维数组;OpenGL的约定里,更多倾向使用一维数组;
    • 矩阵声明
        // 三维矩阵/四维矩阵的声明
        typedef float M3DMatrix33f[9];
        typedef float M3DMatrix44f[16];
    
    • OpenGL 使⽤的是 Column-Major(以列为主)矩阵排序的约定;⾏优先矩阵(左)和列优先矩阵(右)如下图所示:
      ⾏优先矩阵排序与列优先矩阵排序

    • ⾏优先矩阵与列优先矩阵互为转置矩阵;

    • 矩阵的这16个值表示空间中⼀个特定的位置; 这4列中,每⼀列都是有4个元素组成的向量;(第一列:X轴方向,第二列:Y轴方向,第三列:Z轴方向,第四列:交换位置);

    • 如果将⼀个对象所有的顶点向量乘以矩阵,就能让整个对象变换到空间中给定的位置和⽅向;

    • 列向量进行了特别的标注:矩阵的最后⼀行都为0,只有最后⼀个元素为1。

    单元矩阵
    • 主对角线上数据都是1,其余元素都是0,即为单元矩阵。其初始化方式有:
    // 单元矩阵初始化⽅式1
    GLFloat m[] = {
               1,0,0,0,  // X Column
               0,1,0,0,  // Y Column
               0,0,1,0,  // Z Column
               0,0,0,1}; // Translation
    // 单元矩阵初始化方式2
    M3DMatrix44f m = {
               1,0,0,0, // X Column
               0,1,0,0, // Y Column
               0,0,1,0, // Z Column
               0,0,0,1};// Translation
    // 单元矩阵初始化⽅式3
    void m3dLoadIdentity44f(M3DMatrix44f m);
    
    
    • 将⼀个向量✖ 单元矩阵,就相当于⼀个向量✖1, 不会发⽣任何改变;

    在这里插入图片描述

    • 在线性代数中:
      变换后顶点向量 = V_local * M_model * M_view * M_pro
      变换后顶点向量 = 顶点 ✖ 模型矩阵 ✖ 观察矩阵 ✖ 投影矩阵
      在这里插入图片描述

    • 在OpenGL 的维度,如下列公式:
      变换顶点向量 = M_pro * M_view * M_model * V_local
      变换顶点向量 = 投影矩阵 ✖ 视图变换矩阵 ✖ 模型矩阵 ✖ 顶点 在这里插入图片描述

    • 矩阵左乘的代码如下:
      从栈顶获取栈顶矩阵复制到 mTemp;将栈顶矩阵 mTemp 左乘 mMatrix;将结果放回栈顶空间⾥;

            inline void MultMatrix(const M3DMatrix44f mMatrix) {
                // 矩阵左乘 
    			M3DMatrix44f mTemp;
    			m3dCopyMatrix44(mTemp, pStack[stackPointer]);
    			m3dMatrixMultiply44(pStack[stackPointer], mTemp, mMatrix);
    			}
                
            inline void MultMatrix(GLFrame& frame) {
                M3DMatrix44f m;
                frame.GetMatrix(m);
                MultMatrix(m);
                }
                
    
    • ChangeSize函数中,得到投影矩阵,将投影矩阵压入投影矩阵堆栈栈顶,并与模型视图矩阵栈顶相乘,将结果覆盖栈顶,即 投影矩阵 * 单元矩阵 = 投影矩阵;
      RenderScene函数中,将栈顶矩阵copy一份,然后将观察者矩阵与模型视图矩阵堆栈栈顶相乘,其结果覆盖栈顶矩阵,即投影矩阵 * 视图矩阵 = 视图投影矩阵;
      得到模型矩阵,将模型矩阵与栈顶矩阵相乘,其结果覆盖栈顶矩阵,即栈顶 = 模型视图投影矩阵;
        // 投影矩阵 projectionMatrix
        modelViewMatrix.PushMatrix();
        M3DMatrix44f pm;
        projectionMatrix.GetMatrix(pm);
        modelViewMatrix.MultMatrix(pm);
        
        // 观察者矩阵 viewMatrix
        modelViewMatrix.PushMatrix();
        M3DMatrix44f mCamera;
        cameraFrame.GetCameraMatrix(mCamera);
        modelViewMatrix.MultMatrix(mCamera);
        
        // 模型变换矩阵 modelMatrix
        M3DMatrix44f mObjectFrame;
        viewFrame.GetCameraMatrix(mObjectFrame);
        modelViewMatrix.MultMatrix(mObjectFrame);
        
    

    矩阵的运算

    矩阵的点乘
    • A*B是以数学运算中矩阵相乘的方式实现的,即Mat矩阵A和B被当做纯粹的矩阵做乘法运算,这就要求A的列数等于B的行数时,才能定义两个矩阵相乘。如A是m×n矩阵,B是n×p矩阵,它们的乘积AB是一个m×p矩阵。
      在这里插入图片描述
    • C中第i行第j列所在元素C(i,j)等于A中第i行所有元素跟B中第j列所有元素一一对应的乘积之和。对于A、B都是2行2列矩阵的情况:
      在这里插入图片描述
    矩阵的dot(A.dot(B))
    • A.dot(B)操作相当于数学向量运算中的点乘,也叫向量的内积、数量积;

    • 对两个向量执行点乘运算,就是对这两个向量对应位一一相乘之后求和的操作,点乘的结果是一个标量;

    • 对于向量a和向量b:
      在这里插入图片描述
      a和b的点积公式为:
      在这里插入图片描述
      要求向量a和向量b的行列数相同。

    • Mat矩阵的dot方法扩展了一维向量的点乘操作,把整个Mat矩阵扩展成一个行(列)向量,之后执行向量的点乘运算,仍然要求参与dot运算的两个Mat矩阵的行列数完全一致;

    • dot方法声明中显示返回值是double,所以A.dot(B)结果是一个double类型数据,不是Mat矩阵,不能把A.dot(B)结果赋值给Mat矩阵。

    • dot操作不对参与运算的矩阵A、B的数据类型做要求,CV_8UC1、CV_32FC1等,可以是任何Opencv定义的类型;

    • 若参与dot运算的两个Mat矩阵是多通道的,则计算结果是所有通道单独计算各自.dot之后,再累计的和,结果仍是一个double类型数据。

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空空如也

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向量和的模长公式