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  • 摘要:正所谓学以致用,长期以来的学习过程,我们真正能够将所学到的知识运用到生活中的能有多少,我们对课本上那些枯燥的公式虽牢记于心,却不知道它的实际用途。学习了矩阵论以来,虽然知道很多问题的求法,...

    原文:http://wenku.baidu.com/view/b29d9148852458fb770b564a.html#

    摘要:正所谓学以致用,在长期以来的学习过程中,我们真正能够将所学到的知识运用到生活中的能有多少,我们对课本上那些枯燥的公式虽牢记于心,却不知道它的实际用途。在学习了矩阵论以来,虽然知道很多问题的求法,就如矩阵特征值和特征向量,它们有何意义我们却一点不知。我想纯粹的理知识已经吸引不了我们了,我们需要去知道它们的用途,下面就让我们一起来看看矩阵特征值与特征向量在图像处理中是如何发挥它们的作用的。

    关键字:

    特征值、特征向量、 图像、
    正文:
    生活中的我们,每天清晨醒来,随之映入眼帘的就是各种形形色色的图像,我们确实也很难想象,在我们的生活中,图像的处理和矩阵特征值、特征向量有什么关系?首相我们先来了解下,何为特征值、特征向量。

    定义: 设 是 阶方阵,若有数 和非零向量 ,使得

    称数 是 的特征值,非零向量 是 对应于特征值 的特征向量。

    例如 对 ,有 及向量 ,使得 ,这说明 是 的特征值, 是 对应于 的特征向量。

    特征值和特征向量的求法:

    1. 由 得 ,并且由于 是非零向量,故行列式 ,即

    (称之为 的特征方程)

    由此可解出 个根 (在复数范围内),这就是 的所有特征值。

    2. 根据某个特征值 ,由线性方程组 解出非零解 ,这就是 对应于特征值 的特征向量。

    特征值和特征向量的性质:

    1 . ,

    2 .若 是 的特征向量,则对 , 也是 的特征向量。

    3 .若 是 的特征值,则 是 的特征值,从而 是 的特征值。

    4 . 是 的 个特征值, 为依次对应的特征向量,若 各不相同,则 线性无关。 
        我想在了解了特征值和特征向量的基本理论之后,你们很难想象,为什么这些知识会和图像有联系吧。说实话,我自己也不是很清楚,我也是看了别人的理论讲解,才略微理解了一二。让我们一起去了解下。
        根据特征向量数学公式定义,矩阵乘以一个向量的结果仍是同维数的一个向量,因此,矩阵乘法对应了一个变换,把一个向量变成同维数的另一个向量,那么变换的效果是什么呢?这当然与方阵的构造有密切关系,比如可以取适当的二维方阵,使得这个变换的效果就是将平面上的二维向量逆时针旋转30度,这时我们可以问一个问题,有没有向量在这个变换下不改变方向呢?可以想一下,除了零向量,没有其他向量可以在平面上旋转30度而不改变方向的,所以这个变换对应的矩阵(或者说这个变换自身)没有特征向量(注意:特征向量不能是零向量),所以一个特定的变换特征向量是这样一种向量,它经过这种特定的变换后保持方向不变,只是进行长度上的伸缩而已(再想想特征向量的原始定义Ax=cx, cx是方阵A对向量x进行变换后的结果,但显然cx和x的方向相同)。
        这里给出一个特征向量的简单例子,比如平面上的一个变换,把一个向量关于横轴做镜像对称变换,即保持一个向量的横坐标不变,但纵坐标取相反数,把这个变换表示为矩阵就是[1 0;0 -1](分号表示换行),显然[1 0;0 -1]*[a b]'=[a -b]'(上标'表示取转置),这正是我们想要的效果,那么现在可以猜一下了,这个矩阵的特征向量是什么?想想什么向量在这个变换下保持方向不变,显然,横轴上的向量在这个变换下保持方向不变(记住这个变换是镜像对称变换,那镜子表面上(横轴上)的向量当然不会变化),所以可以直接猜测其特征向量是[a 0]'(a不为0),还有其他的吗?有,那就是纵轴上的向量,这时经过变换后,其方向反向,但仍在同一条轴上,所以也被认为是方向没有变化,所以[0 b]'(b不为0)也是其特征向量。
        综上所述,特征值只不过反映了特征向量在变换时的伸缩倍数而已,对一个变换而言,特征向量指明的方向才是很重要的,特征值似乎不是那么重要;但是,当我们引用了Spectral theorem(谱定律)的时候,情况就不一样了。
        Spectral theorem的核心内容如下:一个线性变换(用矩阵乘法表示)可表示为它的所有的特征向量的一个线性组合,其中的线性系数就是每一个向量对应的特征值,写成公式就是:
       我们知道,一个变换可由一个矩阵乘法表示,那么一个空间坐标系也可视作一个矩阵,而这个坐标系就可由这个矩阵的所有特征向量表示,用图来表示的话,可以想象就是一个空间张开的各个坐标角度,这一组向量可以完全表示一个矩阵表示的空间的“特征”,而他们的特征值就表示了各个角度上的能量(可以想象成从各个角度上伸出的长短,越长的轴就越可以代表这个空间,它的“特征”就越强,或者说显性,而短轴自然就成了隐性特征),因此,通过特征向量/值可以完全描述某一几何空间这一特点,使得特征向量与特征值在几何(特别是空间几何)及其应用中得以发挥。
    矩阵论在图像中的应用比如有PCA方法,选取特征值最高的k个特征向量来表示一个矩阵,从而达到降维分析+特征显示的方法。一般而言,这一方法的目的是寻找任意统计分布的数据集合之主要分量的子集。相应的基向量组满足正交性且由它定义的子空间最优地考虑了数据的相关性。将原始数据集合变换到主分量空间使单一数据样本的互相关性降低到最低点。一下是其运用的原理:
     
      

    设是N维向量的数据集合,m是其均值向量:


        有了特征向量集合,任何数据x可以投影到特征空间(以特征向量为基向量)中的表示:


       

     

     

    相反地,任何数据x可以表示成如下的线性组合形式:


    如果用A代表以特征向量为列向量构成的矩阵,则AT定义了一个线性变换:



    上述去相关的主分量分析方法可以用于降低数据的维数。通过略去对应于若干较小特征值的特征向量来给y降维。例如,丢弃底下N-M行得到的矩阵B,并为简单起见假定均值m=0,则有:

     

    它只是被舍弃的特征向量所对应的特征值的和。通常,特征值幅度差别很大,忽略一些较小的值不会引起很大的误差。

        上述方法是图象数据压缩的数学基础之一,通常被称为PrincipalComponent Analysis (PCA)Karhunen-Loeve (K-L)变换

        K-L变换的核心过程是计算特征值和特征向量,有很多不同的数值计算方法。一种常采用的方法是根据如下的推导:

     

     


                     

    由于通常s<<N,这种方法将求高阶矩阵的特征向量转化为求较低阶矩阵的特征向量的过程在图象数据分析中是很实用的。

       K-L变换是图象分析与模式识别中的重要工具,用于特征抽取,降低特征数据的维数。例如,MIT-Media Lab基于特征脸的人脸识别方法。

       通过上述的理论,我们对特征值与特征向量在图像处理上的运用有了深入的了解,同时也感受到了知识的魅力在不停的渲染着我们的生活。当然,特征值的魅力还不仅在于图像处理上,它在物理,材料,力学等方面都能一展拳脚,有人曾在一本线代书里这样说过“有振动的地方就有特征值和特征向量”。同时让我对平时未能把握住的知识感到惋惜,因为知识对生活的改造实在是缤纷乐,所以现在的我们,首要任务还是学好知识,让知识去创造财富!

    参考(基于特征向量的变换)

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  • 但是对于刚接触线性代数的大多数学生而言,仍然感到其理论比较枯燥,不知道学习线性代数到底能用到生活中的哪些地方,本文将举出几个其实际生活中例子来展示线性代数应用的广泛性,同时也能更好的加深学生对...

    【摘 要】线性代数理论有着悠久的历史和丰富的内容。随着科学技术的发展,特别是电子计算机使用的日益普遍,作为重要的数学工具之一,线性代数的应用已经深入到了自然科学、社会科学、工程技术、经济、管理等各个领域。但是对于刚接触线性代数的大多数学生而言,仍然感到其理论比较枯燥,不知道学习线性代数到底能用到生活中的哪些地方,本文将举出几个其在实际生活中的例子来展示线性代数应用的广泛性,同时也能更好的加深学生对知识点的理解。

    【关键词】线性代数; 矩阵; 方程组

    1 交通问题

    四个城市的单向航线图如下

    若令,其中bij=1表示i城市到j城市有航线;bij=0表示i城市到j城市无航线。

    四个城市之间的航线图可用矩阵表示为 c42=2表示从城市4中转一次到城市2有两条,航线。类似可计算出B3,B4,…Bn,矩阵中每个元素表示 城市经两次,三次,…(n-1)中转到j城市的单向航线条数。

    2 药方配置问题

    问题:某中药厂用九种中草药(A-I)根据不同的比例配制成了7中特效药,各用量成份见表一(单位:克)

    1号

    成药 2号

    成药 3号

    成药 4号

    成药 5号

    成药 6号

    成药 7号

    成药

    A 10 12 14 12 20 38 100

    B 12 0 12 25 35 60 55

    C 5 3 11 0 5 14 0

    D 7 9 25 5 15 47 35

    E 0 1 2 25 5 33 6

    F 25 5 35 5 35 55 50

    G 9 4 17 25 2 39 25

    H 6 5 16 10 10 35 10

    I 8 2 12 0 2 6 20

    (1)某医院要购买这七种特效药,但药厂的第3号药和第6号药已经卖完,请问能否用其它特效药配制出这两种脱销的药品?

    (2)现在医院想用这7种草药配制三种新的特效药,表2给出了三种新的特效药的成份,请问能否配制?如何配制?

    1号新药 2号新药 3号新药

    A 40 162 88

    B 62 141 67

    C 14 27 8

    D 44 102 51

    E 53 60 7

    F 50 155 80

    G 71 118 38

    H 41 68 21

    I 14 52 30

    解:(1)把每一种特效药看成一个九维列向量,分析7个列向量构成向量组的线性相关性。

    若向量组线性无关,则无法配制脱销的特效药;

    若向量组线性相关,并且能找到不含 u3,u6 的一个最大线性无关组,则可以配制3号和6号药品。

    经计算该向量组线性相关,一个最大无关组为u1,u2,u4,u5,u7且u3=u1+2u2,u6=3u2+u4+u5.所以可以配置处这两种脱销的药品。

    (2)三种新药用v1,v2,v3表示,问题化为v1,v2,v3能否由u1―u7线性表示,若能表示,则可配制;否则,不能配制。

    经计算可得:v1=u1+3u2+2u4,v2=3u1+4u2+2u4+u7,v3则不能被线性表示,所以无法配药。

    3 产品成本的计算

    某厂生产三种成品,每件产品的成本及每季度生产件数已知。试提供该厂每季度在每种产品上的成本表。

    成本矩阵为M,

    季度产量矩阵为P,

    解 将M和P相乘,得到的矩阵设为Q,Q的第一行第一列元素为Q(1,1)=0.10×4000+0.30×2000+0.15×5800=1870

    其中

    不难看出,Q表示了夏季消耗的原材料总成本。

    4 人口迁徙模型

    设在一个大城市中的总人口是固定的。人口的分布则因居民在市区和郊区之间迁徙而变化。每年有6%的市区居民搬到郊区去住,而有2%的郊区居民搬到市区。假如开始时有30%的居民住在市区,70%的居民住在郊区,问10年后市区和郊区的居民人口比例是多少?30年、50年后又如何?

    解 这个问题可以用矩阵乘法来描述。把人口变量用市区和郊区两个分量表示。

    一年以后,市区人口为 ,

    郊区人口,用矩阵乘法来描述,可写成:

    从初始到k年,此关系保持不变,因此上述算式可扩展为

    .

    经Mablab计算可得:

    当无限增加时间k,市区和郊区人口之比将趋向一组常数0.25/0.75。

    5 化学方程的配平

    试确定x1,x2,x3,x4,配平上面化学方程式。

    解 使方程两边原子数相同称为方程式的配平。则可得到下列方程

    写成矩阵方程为

    解方程组得到未知量x1,x2,x3,x4的值。

    以上是几个简单的能用线性代数的知识解决的案例,其中比较复杂的计算可用数学软件Matlab来解决,随着计算机的发展,线性代数的应用会越来越多,越来越简单。

    参考文献:

    【1】线性代数M段复建主编.― 北京:科学出版社,2010.

    【2】线性代数的应用 西安理工大学数学系.

    【3】黄玉梅,彭涛.线性代数中矩阵的应用典型案例 兰州大学学报(自然科学版)

    基金项目:

    2014年广西高等教育教学改革重点项目《数学软件在独立学院数学类课程中的应用研究与实践》(项目编号:2014JGZ192);2015年广西科技大学鹿山学院转型发展专项项目《公共数学课“教、学、评”的研究与实践》(项目编号:2015ZXZD004)。

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  • 原标题:数据科学的数学基础: 矩阵和向量空间毫无疑问,数学是数据科学的灵魂。不管是机器学习或是统计学模型,从本质上讲都是数学模型,因此,扎实的数学知识对于理解模型假设和分析模型结果至关重要。可能很多...

    原标题:数据科学中的数学基础: 矩阵和向量空间

    毫无疑问,数学是数据科学的灵魂。不管是机器学习或是统计学模型,从本质上讲都是数学模型,因此,扎实的数学知识对于理解模型假设和分析模型结果至关重要。可能很多读者会觉得“数学”这两个字就代表了枯燥和难以理解,事实也许有时如此,但正如“计算机之父”冯·诺依曼说的那样,我们并不理解数学,只是越来越习惯。在数据科学领域,数据和模型的存在形式都是矩阵,而后者则直观地表示为向量空间里的点。

    首先通过一个简单例子来感性认识一下标量(scalar)、向量(vector)和矩阵(matrix)这 3 个数学概念。

    假设我们设计了一款网络对战游戏,在游戏中,玩家选择自己的英雄与其他玩家对战。每个英雄的能力由 3 种属性描述:智力、敏捷和力量。为了方便表示,不妨用 i 表示智力、a 表示敏捷、s 表示力量。

    对于英雄 A,它的设定是智力型英雄,智力被设定为 10,敏捷为 6 以及力量为 2,用数学式子表示为 i = 10, a = 6, s = 2。换句话说,我们用数字表表示各个属性具体的值,这在数学上就叫作标量,标量其实就是数字。

    将这 3 个属性按照智力、敏捷和力量的顺序写在一起,就可以表示一个英雄的能力了。

    比如用A = (10, 6, 2)表示英雄 A。在数学上A被称为向量,正确地说应该是行向量。直观上, 行向量是多个数字(标量)排成一行。与之类似的是列向量,即多个数字排成一列。

    现在我们设计了另外 3 个英雄,分别为 B、C 和 D,向量表示为B = (3, 4, 10)、C = (5, 10, 4)和D = (6, 9, 5)。将这 4 个英雄的向量排列成矩形阵列,即每一行表示一个英雄,得到图 3-1 所示的矩阵,而这个矩阵就可以表示所有 4 个英雄的属性数据。

    图3-1

    用学术语言来定义矩阵:一个的矩阵,是一个由行列元素排列成的矩形阵列。比如公式(3-1)表示的就是一个的矩阵。从数学上来讲,标量和向量其实是比较特殊的矩阵。标量可以被看作一个的矩阵,而包含个数字行向量(也称为维行向量)可以看作一个的矩阵,而包含k个数字的列向量可以被认为是一个的矩阵。

    在数学上,通常如公式(3-1)所示表示向量和矩阵,其中表示标量,也就是一个实数,表示一个m维的行向量,表示的矩阵,表示所有取值为实数的矩阵全体。本书后面的章节也采用相同的记号。需要注意的是,列向量可以表示为行向量的转置,因此没有专门记号来表示列向量。转置运算的细节请参考 3.1.3 节。

    3.1.2 特殊矩阵

    在讨论矩阵运算之前,先来看一类特殊的矩阵:方阵(squared matrix)。它是行数等于列数的矩阵。从形状上来看,它就像一个正方形,因此被称为方阵。有 3 种方阵需要特别注意。

    • 单位矩阵(identity matrix),矩阵的对角线元素等于 1,其他元素等于 0,记为。

    • 对角矩阵(diagonal matrix),除矩阵的对角线元素外,其他元素都等于 0,记为。不难注意到,单位矩阵是一种特殊的对角矩阵。

    • 三角矩阵(triangular matrix),它可以细分为上三角矩阵和下三角矩阵两种。上三角矩阵的对角线下方的元素全部为零,记为;下三角矩阵的对角线上方的元素全部为零,记为。不难发现,对角矩阵是一种特殊的三角矩阵。

    3.1.3 矩阵运算

    为了能像使用数字一样使用矩阵,我们为它定义了“加减乘除”四种运算。

    1.矩阵的加减法

    (1)与数字的加减法不同,并不是任何两个矩阵都可以进行加减运算,要求矩阵的形状是一样的,也就是它们的行数和列数都相等。假设矩阵同为的矩阵,则它们的和差仍为的矩阵,具体的加减法定义如下:

    (2)根据上面的定义,不难得出,矩阵的加法也满足结合律和交换律。假设也是一个的矩阵,可以得到如下的公式 :

    2.矩阵的乘法

    (1)矩阵与数字的乘法。与数字的乘法类似,任意一个实数都能和任意一个矩阵相乘。假设为实数,则它与矩阵的乘法定义如下:

    (2)矩阵与矩阵的乘法。它只有在第一个矩阵的列数和第二个矩阵的行数相同时才有定义。假设为的矩阵,为的矩阵,则它们之间的乘积为一个的矩阵,记为,具体的定义如下:

    举个具体的例子:为4 × 2的矩阵,为2 × 3的矩阵,它们之间的乘法计算过程如图3-2a 所示。

    不难证明,矩阵的乘法满足结合律, 即,以及分配律, 即,但不满足交换律(在通常情况下,两个矩阵交换顺序后,乘法运算的要求都不再满足)。这一点与数字的乘法有很大的不同。另外,任何一个矩阵与单位矩阵的乘积(前提条件是矩阵乘法的要求被满足)等于其本身,比如。因此单位矩阵可以被看作矩阵中的 1。

    在实际中,线性模型常常用矩阵乘法来表示。举个简单的例子,假设线性模型为:

    (3)矩阵的 Hadamard 乘积(Hadamard product 或者element-wise multiplication)。假设矩阵同为的矩阵,则它们之间的Hadamard 乘积仍为的矩阵,记为。

    计算过程如图3-2b 所示,具体的公式如下:

    矩阵的Hadamard 乘积在数学上并不太常用,但在编程时,我们常用它来同时计算多组数据的乘积。

    3.矩阵的除法:逆矩阵(inverse matrix)

    (1)对矩阵求逆是专门针对方阵的,即行数等于列数的矩阵。假设是一个的矩阵,若存在一个的矩阵使得它们的乘积等于阶单位矩阵,如公式(3-11)所示,则称矩阵为矩阵的逆矩阵,记为,而则被称为可逆矩阵。

    (2)数学上可以证明,一个矩阵的逆矩阵如果存在,则逆矩阵唯一。所以对于方阵,如果存在另一个方阵,使得,则一定有,且。

    (3)关于逆矩阵,有如下几个常用的公式:

    4.矩阵的转置(transpose)

    (1)形象点理解,矩阵的转置就是将矩阵沿着对角线对调一下。假设为的矩阵,则它的转置为的矩阵,记为。具体的公式如下:

    (2)关于矩阵的转置,有如下几个常用的公式,其中假设为实数,而且公式中涉及的矩阵乘法和逆矩阵都是有意义的。

    3.1.4向量空间

    向量空间(vector space)是一个比较深刻的数学概念。为了便于理解,我们抛开复杂的公理化定义,从直观上来理解向量空间的相关知识。

    我们生活的世界在空间上是一个三维空间,在这个现实世界里建立长宽高坐标系,也就是坐标系。这个现实中的每一个点都能被表示成一个三维行向量,如图3-3a 所示。

    从数学上来看,任意一个三维的行向量,可以被写为。用学术一些的话来表述就是任意一个三维行向量可以被这3 个行向量线性表示,而且反过来,这3 个行向量的任意线性组合都对应着现实空间中的某一点。像这样的空间被称为向量空间,而被称为向量空间的基。不难看出,其实分别对应着轴、轴和轴。

    针对三维向量空间,定义行向量的内积(dot product)。假设行向量和行向量,它们之间的内积定义为:

    其实之间的内积可以表达为矩阵乘法,即. 数学上可以证明公式(3-16),其中为点到原点的距离的定义类似;为向量之间的夹脚,如图3-3b 所示。注意到当到原点的距离等于1 时,就是向量在向量 B 方向上投影的长度:

    有了内积定义后,就可以更加数理化地定义向量间的正交关系(对应到空间上,就是两个向量相互垂直)。若两个行向量的内积等于0,则称它们是正交的。容易得到,上面提到的基是相互正交的,被称为正交基。

    既然行向量可以被看作三维空间里的一个点,那么的矩阵可以被看作三维空间里点的集合。现在我们想在这个空间里找到一条直线,使得矩阵中的点在这条直线的投影之和最长。结合内积的定义,假设为行向量,将上面的目标表示为数学公式,其中向量是长度为1 的向量,表示直线的方向。

    为了解决这个问题,需要引入另一个很复杂的数学概念:特征向量(eigenvector)和特征值(eigenvalue)。假设是一个三阶对称矩阵,即(注意到公式(3-17)里,就是一个三阶对称矩阵)。满足下面条件的非零行向量被称为的特征向量,对应的被称为特征值。

    数学上可以证明,对于三阶的对称矩阵,存在3 个相互正交的特征向量,而它们可以组成三维空间的一组基。有了上面的结论,公式(3-17)定义的问题就很好解决了:就是最大特征值对应的特征向量。

    上面有关向量空间、内积、向量间夹脚以及正交的定义可以推广到任意维度的空间。有关特征向量、特征值的定义和结论也如此。返回搜狐,查看更多

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  • 参考:特征值与特征向量

    1.特征值和特征向量的定义

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    2.例子

    在这里插入图片描述

    3.特征值和特征向量的几何意义

    对于上面的例子,我们求得的特征值和特征向量,例如:对于特征值 λ = 2 \lambda = 2 λ=2,特征向量 x = [ 2 , − 1 ] T x = [2, -1]^T x=[2,1]T有:
    在这里插入图片描述
    可以看出向量x经过矩阵A变换后,等价于向量x拉伸 λ \lambda λ倍,其方向并未改变。

    因此将特征向量看成基向量,矩阵就是这些基向量向对应的特征值伸展所需的数学运算。给定一个矩阵,就可以找出对应的基(特征向量),及透过向量变换(矩阵),这些基的伸展(特征值)。

    参考:
    特征值与特征向量
    线性代数:如何求特征值和特征向量

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    在上一次线性代数学习之行列式 - cexo - 博客园学习了行列式相关的一些概念,其中也多次提到学好行列式是为了学习“特征值和特征向量”的基础,所以此次就正式进入这块内容的学习,也是线性代数非常重要的概念,...
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  • SVM支持向量机+实例展示

    万次阅读 多人点赞 2019-08-05 15:54:29
    SVM定义:支持向量机(英语:support vector machine,常简称为SVM,又名支持向量网络)是分类与回归分析分析数据的监督式学习模型与相关的学习算法。给定一组训练实例,每个训练实例被标记为属于两个类别的一...
  • 支持向量机实例讲解

    万次阅读 2017-06-19 22:50:18
    简介 掌握机器学习算法不再是天方夜谭的事情。...你拥有各式各样的工具,但是你应该恰当的时间点使用它们。比如,我们可以把回归模型看做“剑”,它可以非常高效地处理切片数据,但是它却无法应对
  • 今天的文章来聊聊向量时钟,前文介绍分布式系统一致性的时候,曾经介绍过,弱一致性模型当中会有一个因果性的问题。向量时钟算法正是设计出来解决因果关系问题的。 我们来回顾一下因果问题,实际日常的网页...
  • SVM(支持向量机)算法原理和实际应用

    万次阅读 2016-12-23 15:09:35
    上面提到的那个变换函数叫“核函数”,核函数的引入是非常巧妙的,它把向量映射到高维,同时避免了向量在高维空间直接计算的复杂性。 常用的核函数有 线性核,RBF核(径向基)等 3 实例 ...
  • 数学之向量的点积

    千次阅读 2019-06-07 16:58:34
    数学,数量积(dot product; scalar product,也称为点积)是接受实数R上的两个向量并返回一个实数值标量的二元运算。它是欧几里得空间的标准内积。[1] 两个向量a = [a1, a2,…, an]和b = [b1, b2,…, bn]的...
  • 机器学习之支持向量机算法实例

    千次阅读 2017-03-15 13:25:54
    由于数据很多实例存在问号以下是去问号过程 ------------------------------------- breast_cancer_wisconsin = np.genfromtxt( "breast_cancer_wisconsin.txt" , delimiter = "," , dtype = "str" , skip_...
  • 机器学习领域,是一个有监督的学习模型,通常用来进行模式识别、分类以及回归分析。 支持向量机(SVM)算法比较适合图像和文本等样本特征较多的应用场合。基于结构风险最小化原理,对样本集进行压缩,解决了以往...
  • 很多人大学学习线性代数时,国内教材书上大多一开始就是行列式的表示、计算、性质等等东西,让人看得云里雾里,一头雾水,然后要花很多时间才大概知道线性代数是个什么东西。本文不提书上晦涩难懂的内容,尽量用...
  • 数学基础(向量和矩阵)

    千次阅读 2018-11-09 21:58:31
    当然,这并不是说我们会去讨论武术和数字虚拟世界(译注:Matrix同样也是电影「黑客帝国」的英文名,电影人类生活在数字虚拟世界,主角会武术)。 矩阵是一种非常有用的数学工具,尽管听起来可能有些吓人,不过...
  • 线性代数系列(三)--向量空间

    千次阅读 2019-07-16 23:28:34
    我们生活在三维空间,也就是四维时空。三维意味着我们某一时刻的位置可以由三个维度的数据来衡量,这就是长度、宽度和高度。“向量空间”这个词的空间应该与我们所生存的空间是一致的。对于向量空间又更为准确...
  • 但这个现实生活中,用处不大。 但是其他乘法形式很有用。 最重要的是一种向量运算方式是内积。也成为点积。 叫点积,是因为我们通常表示为:两个相乘的向量之间加个点。如图: 从几何角度来看,这一运算很...

空空如也

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向量在生活中的例子