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  • 点积与叉乘的运算与物理意义

    千次阅读 2020-12-23 04:09:37
    原文:...向量的点乘,也叫向量的内、数量,对两个向量执行点乘运算,就是对这两个向量对应位一一相乘之后求和的操作,点乘的结果是一个标量。点乘公式对于向量a和向量b: a和b...

    原文:http://blog.csdn.net/jacke121/article/details/55804353

    向量是由n个实数组成的一个n行1列(n*1)或一个1行n列(1*n)的有序数组;

    向量的点乘,也叫向量的内积、数量积,对两个向量执行点乘运算,就是对这两个向量对应位一一相乘之后求和的操作,点乘的结果是一个标量。

    点乘公式

    对于向量a和向量b:

                          

    a和b的点积公式为:

    要求一维向量a和向量b的行列数相同。

    点乘几何意义

    点乘的几何意义是可以用来表征或计算两个向量之间的夹角,以及在b向量在a向量方向上的投影,有公式:

    推导过程如下,首先看一下向量组成:

    定义向量:

    根据三角形余弦定理有:

    根据关系c=a-b(a、b、c均为向量)有:

    即:

    向量a,b的长度都是可以计算的已知量,从而有a和b间的夹角θ:

    根据这个公式就可以计算向量a和向量b之间的夹角。从而就可以进一步判断这两个向量是否是同一方向,是否正交(也就是垂直)等方向关系,具体对应关系为:

    a·b>0    方向基本相同,夹角在0°到90°之间

    a·b=0    正交,相互垂直

    a·b<0    方向基本相反,夹角在90°到180°之间

    叉乘公式

    两个向量的叉乘,又叫向量积、外积、叉积,叉乘的运算结果是一个向量而不是一个标量。并且两个向量的叉积与这两个向量组成的坐标平面垂直。

    对于向量a和向量b:

    a和b的叉乘公式为:

    其中:

    根据i、j、k间关系,有:

    叉乘几何意义

    在三维几何中,向量a和向量b的叉乘结果是一个向量,更为熟知的叫法是法向量,该向量垂直于a和b向量构成的平面。

    在3D图像学中,叉乘的概念非常有用,可以通过两个向量的叉乘,生成第三个垂直于a,b的法向量,从而构建X、Y、Z坐标系。如下图所示:

    在二维空间中,叉乘还有另外一个几何意义就是:aXb等于由向量a和向量b构成的平行四边形的面积。

    向量:u=(u1,u2,u3) v=(v1,v2,v3)

    叉积公式:u x v = { u2v3-v2u3 ,u3v1-v3u1 ,u1v2-u2v1 }

    点积公式:u * v = u1v1+u2v2+u3v33=lul*lvl*COS(U,V)

    对于向量的运算,还有两个“乘法”,那就是点乘和叉乘了.点乘的结果就是两个向量的模相乘,然后再与这两个向量的夹角的余弦值相乘.或者说是两个向量的各个分量分别相乘的结果的和.很明显,点乘的结果就是一个数,这个数对我们分析这两个向量的特点很有帮助.如果点乘的结果为0,那么这两个向量互相垂直;如果结果大于0,那么这两个向量的夹角小于90度;如果结果小于0,那么这两个向量的夹角大于90度.对于叉乘,它的运算公式令人头晕,我就不说了,大家看下面的公式自己领悟吧……

    向量c的方向与a,b所在的平面垂直,且方向要用“右手法则”判断(用右手的四指先表示向量a的方向,然后手指朝着手心的方向摆动到向量b的方向,大拇指所指的方向就是向量c的方向).

    若向量a=(a1,b1,c1),向量b=(a2,b2,c2),

    向量a·向量b=a1a2+b1b2+c1c2

    向量a×向量b=

    | i j k|

    |a1 b1 c1|

    |a2 b2 c2|

    =(b1c2-b2c1,c1a2-a1c2,a1b2-a2b1)

    (i、j、k分别为空间中相互垂直的三条坐标轴的单位向量).

    叉乘的意义就是通过两个向量来确定一个新的向量,该向量与前两个向量都垂直

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    向量内积的坐标表示

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  • 向量积坐标表示公式

    千次阅读 2020-12-30 13:38:07
    定义向量可以被定义为:。模长:(在这里θ表示两向量之间的夹角(共起点的前提下)(0°≤θ≤180°),它位于这两个矢量所定义的平面上。)方向:a向量与b向量的向量的方向与这两个向量所在平面垂直...

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    表示方法

    两个向量a和b的叉积写作a×b(有时也被写成a∧b,避免32313133353236313431303231363533e78988e69d8331333431363036和字母x混淆)。

    定义

    向量积可以被定义为:。

    模长:(在这里θ表示两向量之间的夹角(共起点的前提下)(0°≤θ≤180°),它位于这两个矢量所定义的平面上。)

    方向:a向量与b向量的向量积的方向与这两个向量所在平面垂直,且遵守右手定则。(一个简单的确定满足“右手定则”的结果向量的方向的方法是这样的:若坐标系是满足右手定则的,当右手的四指从a以不超过180度的转角转向b时,竖起的大拇指指向是c的方向。)

    也可以这样定义(等效):

    向量积|c|=|a×b|=|a||b|sin

    即c的长度在数值上等于以a,b,夹角为θ组成的平行四边形的面积。

    而c的方向垂直于a与b所决定的平面,c的指向按右手定则从a转向b来确定。

    扩展资料:

    证明

    为了更好地推导,加入三个轴对齐的单位向量i,j,k。

    i,j,k满足以下特点:

    i=jxk;j=kxi;k=ixj;

    kxj=–i;ixk=–j;jxi=–k;

    ixi=jxj=kxk=0;(0是指0向量)

    由此可知,i,j,k是三个相互垂直的向量。它们刚好可以构成一个坐标系。

    这三个向量的特例就是i=(1,0,0)j=(0,1,0)k=(0,0,1)。

    对于处于i,j,k构成的坐标系中的向量u,v我们可以如下表示:

    u=Xu*i+Yu*j+Zu*k;

    v=Xv*i+Yv*j+Zv*k;

    那么uxv=(Xu*i+Yu*j+Zu*k)x(Xv*i+Yv*j+Zv*k)

    =Xu*Xv*(ixi)+Xu*Yv*(ixj)+Xu*Zv*(ixk)+Yu*Xv*(jxi)+Yu*Yv*(jxj)+Yu*Zv*(jxk)+Zu*Xv*(kxi)+Zu*Yv*(kxj)+Zu*Zv*(kxk)

    由于上面的i,j,k三个向量的特点,所以,最后的结果可以简化为

    uxv=(Yu*Zv–Zu*Yv)*i+(Zu*Xv–Xu*Zv)*j+(Xu*Yv–Yu*Xv)*k。

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  • 三维空间的点积和叉乘

    万次阅读 2018-06-11 13:26:00
    点积 代数定义:设二维空间内有两个向量a 和 b,定义它们的数量(又叫内点积)为以下实数: 几何定义:设二维空间内有两个向量a和 b ,它们的夹角为θ,则内定义为以下实数: 通常我们在程序中使用...

        点积

        代数定义:设二维空间内有两个向量a 和 b,定义它们的数量积(又叫内积、点积)为以下实数:

        几何定义:设二维空间内有两个向量a和 b ,它们的夹角为θ,则内积定义为以下实数:

        通常我们在程序中使用点积来判断两个向量夹角是在0~90°还是90°~180°。即Unity的API中,Vector3.Dot(p1,p2)>=0表示两个向量夹角是在0~90°。

        叉乘

        与点积不同,它的结果是一个向量。向量积可以被定义为:

    模长:(在这里θ表示两向量之间的夹角(共起点的前提下)(0° ≤ θ ≤ 180°),它位于这两个矢量所定义的平面上。)

    方向:a向量与b向量的向量积的方向与这两个向量所在平面垂直,且遵守右手定则。(一个简单的确定满足“右手定则”的结果向量的方向的方法是这样的:若坐标系是满足右手定则的,当右手的四指从a以不超过180度的转角转向b时,竖起的大拇指指向是c的方向。)

    注意:由于Unity是左手坐标系,所以向量叉乘要使用左手定则来判断。(其实就是按照上面规则使用左手来判断)在项目中,我们通常可以用两向量叉乘所得的新向量的方向来判断两向量的夹角是凹角还是凸角。在闭合区间相关计算上会经常用到。

    unity中的判断示例代码如下:

     //是否是凸角
        public static bool IsConvexAngle(Vector2 p1,Vector2 p2)//逆时针方向的连续三个顶点
        {
            Vector3 p3 = new Vector3(p1.x, 0, p1.y);
            Vector3 p4 = new Vector3(p2.x, 0, p2.y);
            Vector3 crossVal = Vector3.Cross(p3,p4);
            return Vector3.Dot(Vector3.up, crossVal) >= 0;
        }

        同向向量和反向向量叉乘等于零向量。即Cross(AB,AB)=(0,0,0)

    AB=(x1,y1,z1)  CD=(x2,y2,z2) 

    cross(AB,CD)=(y1*z2-y2z1,z1x2-z2x1,x1y2-x2y1)

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空空如也

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坐标的点积