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  • 直线的交点坐标距离公式一:两条直线的交点坐标:1、设两条直线分别为1l:1110AxByC,2l:2220AxByC则1l与2l是否有交点,只需看方程组11122200AxByCAxByC是否有唯一解若方程组有...

    直线的交点坐标与距离公式

    一:两条直线的交点坐标:

    1

    设两条直线分别为

    1

    l

    1

    1

    1

    0

    A

    x

    B

    y

    C

    2

    l

    2

    2

    2

    0

    A

    x

    B

    y

    C

    1

    l

    2

    l

    是否有交点,

    只需看方程组

    1

    1

    1

    2

    2

    2

    0

    0

    A

    x

    B

    y

    C

    A

    x

    B

    y

    C

    是否有唯一解

    若方程组有唯一解,则这两条直线相交,此解就是交点的坐标;

    若方程组无解,则两条直线无公共点,此时两条直线平行;

    若方程组有无穷多解,则两直线重合

    1

    求经过两直线

    2

    3

    3

    0

    x

    y

    2

    0

    x

    y

    的交点且与直线

    3

    1

    0

    x

    y

    平行的直线方程。

    经过两直线

    1

    1

    1

    1

    :

    0

    l

    A

    x

    B

    y

    C

    2

    2

    2

    2

    :

    0

    l

    A

    x

    B

    y

    C

    交点的直线系

    方程为

    1

    1

    1

    2

    2

    2

    0

    A

    x

    B

    y

    C

    A

    x

    B

    y

    C

    ,其中

    是待定系数,在这个

    方程中,

    无论

    取什么实数,

    都得到

    2

    2

    2

    0

    A

    x

    B

    y

    C

    因此,

    它不能表示直线

    2

    l

    2

    、对称问题

    (

    1

    )点关于点的对称,点

    A(a

    b)

    关于

    0

    0

    0

    ,

    P

    x

    y

    的对称点

    B

    (

    m

    n

    )

    ,则由中点坐标公

    0

    0

    2

    ,

    2

    m

    x

    a

    n

    y

    b

    ,即

    B

    (

    0

    0

    2

    ,

    2

    x

    a

    y

    b

    )

    (

    2

    )点关于直线的对称,点

    0

    0

    ,

    A

    x

    y

    关于直线

    :

    0

    l

    Ax

    By

    C

    (

    A

    B

    不同时

    0

    )的对称点

    '

    1

    1

    ,

    A

    x

    y

    ,则有

    AA

    ’的中点在

    l

    上且直线

    AA

    ’与已知直线

    l

    垂直。

    (

    3

    )直线关于直线的对称,一般转化为点关于直线的对称解决,若已知直线

    1

    l

    与对称轴

    l

    相交,

    则交点必在与

    1

    l

    对称的直线

    2

    l

    上,

    然后再求出

    1

    l

    上任意不同于交点的已知点

    1

    P

    于对称轴对称的点

    2

    P

    ,那么经过交点及点

    2

    P

    的直线就是

    2

    l

    ;若直线

    1

    l

    与对称轴

    l

    平行,则在

    1

    l

    上任取两不同点

    1

    P

    2

    P

    ,求

    其关于对称轴

    l

    的对称点

    '

    1

    P

    '

    2

    P

    ,过

    '

    1

    P

    '

    2

    P

    的直线就是

    2

    l

    例题

    2

    、已知直线

    :

    1

    0

    l

    x

    y

    ,试求①点

    P(4,5)

    关于

    l

    的对称坐标;②直线

    1

    :

    2

    3

    l

    y

    x

    关于直线

    l

    的对称的直线方程。

    例题

    3

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  • notforcommercialuse平面向量内积的坐标运算与距离公式德清乾元职高朱见锋【教材分析】:本课是在平面向量坐标运算、内积定义基础上学习的,主要知识是平面向量内积的坐标运算与平面内两点间的距离公式,是后面学习...

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    平面向量内积的坐标运算与距离公式

    德清乾元职高

    朱见锋

    【教材分析】

    本课是在平面向量坐标运算、

    内积定义基础上学习的,

    主要知识是平面向量内积的坐标运算与平面内两点

    间的距离公式,是后面学习曲线方程的重要公式和推导依据,是进一步学习相关数学知识的重要基础。

    【教学目标】

    1.

    掌握平面向量内积的坐标表示,会应用平面向量内积的知识解决平面内有关长度、两向量的夹角和垂直的问题.

    2.

    能够根据平面向量的坐标,判断两向量是否垂直,求两向量的夹角等。

    3.

    通过学习平面向量的坐标表示,使学生进一步了解数学知识的相同性,培养学生辩证思维能力.提高学生数学知识

    的应用能力。

    【教学重点】

    :平面向量内积的坐标公式式,平面向量垂直的充要条件,平面内两点间距离公式的应用.

    【教学难点】

    :平面向量内积的坐标公式的推导和应用。

    【教学方法】

    本节课采用问题启发式教学和讲练结合的教学方法.

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  • 文章目录1、超平面一般表示形式2、超平面的法向量3、点到超平面的距离4、平行超平面之间的距离公式   1、超平面一般表示形式 在n维空间中,设任意点坐标为 xT=[x(1),x(2),...x(n)]T∈Rnx^T=[x^{(1)},x^{(2)},...x^...


    1、超平面一般表示形式

    在n维空间中,设任意点坐标为
    x=[x(1),x(2),...x(n)]TRnx=[x^{(1)},x^{(2)},...x^{(n)}]^T\in{R^n}

    设超平面参数
    w=[w(1),w(2),...w(n)]TRnw=[w^{(1)},w^{(2)},...w^{(n)}]^T\in{R^n}

    bRb\in{R}

    则超平面方程可表示为
    wTx+b=0(1)w^T x+b=0\tag{1}


    2、超平面的法向量

    超平面的法向量满足:超平面中任意向量都与该法向量垂直。设超平面上的两个点为x1x_1x2x_2,分别满足:
    wTx1+b=0(2)w^T x_1+b=0\tag{2}

    wTx2+b=0(3)w^T x_2+b=0\tag{3}

    两式相减,可得
    wT(x1x2)=0(4)w^T (x_1-x_2)=0\tag{4}

    v=(x1x2)\bm{v}=(x_1-x_2),由于x1x_1x2x_2是任取的,故 v\bm{v} 表示超平面上的任意向量。这时我们可以发现,式(4)(4)的含义恰好是:平面上任意一个向量都与 ww 相互垂直,因此 ww 就是超平面wTx+b=0w^T x+b=0的一个法向量。


    3、点到超平面的距离

    记超平面外一点为 x0x_0 ,记点 x3x_3 在超平面wTx+b=0w^T\cdot x+b=0上的投影点为 x0x_0',满足:
    wTx0+b=0(5)w^T\cdot x_0'+b=0\tag{5}

    则有向量 u=(x0x0)\bm{u}=(x_0-x_0') 与平面wTx+b=0w^T x+b=0的法向量w\bm{w}互相平行,则两者的数量积:
    wT(x0x0)=w(x0x0)=wx0x0cos(0 or π)=±wd(6)w^T(x_0-x_0')=w\cdot (x_0-x_0')=|w|*|x_0-x_0'|*cos(0~or~\pi)=\pm|w|*d\tag{6}

    其中 d=x0x0d=|x_0-x_0'| 即为待求的点到超平面间的距离。

    另一方面,根据式(5)(5)消去可得

    wT(x0x0)=wTx0wTx0=wTx0(b)=wTx0+b(7)w^T(x_0-x_0')=w^Tx_0-w^Tx_0'=w^Tx_0-(-b)=w^Tx_0+b\tag{7}

    结合(6)(7)(6)(7),考虑到 d0d\ge0,可得
    d=wTx0+bw(8)d=\frac{|w^Tx_0+b|}{|w|}\tag{8}

    这里上式中的 w|w| 表示 ww 的模长,模长作为绝对值概念的推广,在欧式空间中,模长常常称为L2范数(也称为Euclidean范数或者Frobenius范数)
    wF=(w(1))2+(w(2))2+...+(w(n))2||w||_F=\sqrt{(w^{(1)})^2+(w^{(2)})^2+...+(w^{(n)})^2}

    所以,dd 的表达式即为:
    d=wTx0+bwF(9)d=\frac{|w^Tx_0+b|}{||w||_F}\tag{9}

    这样来看,平面直角坐标系下的点到直线距离公式便是上式的一个特例。


    4、平行超平面之间的距离公式

    趁热打铁,继续推导平行超平面间的距离公式,设两个不重合的平行超平面分别为:
    w1Tx+b1=0w_1^T x+b_1=0

    w2Tx+b2=0w_2^T x+b_2=0

    由于两个超平面互相平行,因此由 22 中对法向量的讨论可知,两个超平面的法向量互相平行,我们取两个互相重合的法向量,即
    w=w1=w2w=w_1=w_2

    则可得
    wTx+b1=0(10)w^T x+b_1=0\tag{10}

    wTx+b2=0(11)w^T x+b_2=0\tag{11}

    P(x0)P(x_0) 为平面1上的一个点,即满足:
    wTx0+b1=0(12)w^Tx_0+b_1=0\tag{12}

    则根据点到超平面的距离公式可得点 P(x0)P(x_0) 到超平面2的距离 dd 满足:
    d=wTx0+b2x0F=b1+b2wFd=\frac{|w^Tx_0+b_2|}{||x_0||_F}=\frac{|-b_1+b_2|}{||w||_F}

    上式最后一步用到了式(12)(12)。最后我们得到了平行超平面之间的距离公式为
    d=b2b1wF(13)d=\frac{|b_2-b_1|}{||w||_F}\tag{13}

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  • 2、掌握向量长度、垂直的坐标表示及夹角公式,掌握平面两点间距离公式; 学习 目标 重点 难点 课型 学法 通过推导和题组训练,理解并掌握向量长度、垂直、夹角及距离公式。 能准确运用向量内积的坐标表示长度、垂直...

    7.10 平面向量内积的坐标表示 1、掌握用直角坐标计算向量的内积公式。 2、掌握向量长度、垂直的坐标表示及夹角公式,掌握平面两点间距离公式; 学习 目标 重点 难点 课型 学法 通过推导和题组训练,理解并掌握向量长度、垂直、夹角及距离公式。 能准确运用向量内积的坐标表示长度、垂直、夹角及距离公式等结论,解决有关问题。 新 课 启发式、练习法 达标过程 一、复习导入 1. (5,7) 我们学过两向量的和与差可以转化为它们相应的坐标来运算,那么怎样用 ??? 二、新课学习 1、平面向量内积的坐标表示 如图, 是x轴上的单位向量, 是y轴上的单位向量, x y o B(b1,b2) A(a1,a2) 1 1 0 . . ; 下面研究怎样用 设两个非零向量 的坐标是(a1,a2), 的坐标是(b1,b2), 则 o x B(b1,b2) A(a1,a2) y 那么 x o (b1,b2) (a1,a2) y 根据平面向量内积的坐标表示,向量的内积的运算可转化为向量的坐标运算。 故两个向量的内积等于它们横坐标的乘积与纵坐标乘积之和。 热身 解: 探究新知 2、向量的长度和两点间的距离公式 3、两向量垂直 4、两向量夹角公式的坐标运算 收获到了 三、基本技能的形成与巩固 解: -15 5 不垂直 垂直 1.填空 抢答题 例2 已知A(1,2),B(2,3),C(-2,5),证明?ABC是直角三角形. A(1,2) B(2,3) C(-2,5) x 0 y 注:两个向量的内积是否为零是判断相应的两条直线是否垂直的重要方法之一。 如证明四边形是矩形,三角形的高,菱形对角线垂直等。 已知?ABC三个顶点坐标A( -1,2), B(3,1),C(2,-3), 求证:?ABC是等腰直角三角形. 小结 (1)掌握平面向量内积的坐标表示,即两个向量的内积等于它们对应坐标的乘积之和; (2)要学会运用平面向量内积的坐标表示解决有关长度、角度及垂直问题. 节清内容   课本P36     A组 1、2、3、5、7中任选一题, 4.       学习 要有竹子样的坚韧的品质

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空空如也

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