向量积的坐标运及度量公式

* * 向量数量积的 坐标运算与度量公式 一.复习回顾： 2. 二.探究新知: 三.新课讲授: 1.向量内积的坐标运算 结论：两个向量的数量积等于它们 对应坐标的乘积的和。 即: x o B(b1,b2) A(a1,a2) y 所以，根据平面向量数量积的坐标表示，向量的数量积的运算可转化为向量的坐标运算。 二.探究新知: 2.两向量垂直和平行的条件 平行 垂直 巩固提高： 二.探究新知: 3.向量的长度、距离、夹角公式 3.向量的长度、距离、夹角公式 ∴ ＝60o. θ 三.典型例题 例 1 已知a＝(1，√3 )，b＝(– 2，2√3 ), (1)求a·b； (2)求a与b的夹角θ. 解：(1)a·b＝1×(–2)＋√3×2√3＝4; (2) a ＝√12＋(√3 )2＝2, b ＝√(– 2)2＋(2√3 )2 ＝4, cos ＝ ＝ ＝ , 4 2×4 a·b a b 1 2 θ 变式1： 练习A 1(4). A 3. x 0 y 例2 已知A(1，2)，B(2，3)，C(-2，5)， 试判断?ABC的形状，并给出证明. A(1,2) B(2,3) C(-2,5) 练习A.2.3. 课堂练习： B D A ①②③④ 例3 已知四点坐标：A(-1，3)、B(1，1)、C(4，4)、D(3，5).(1)求证：四边形ABCD是直角梯形；(2)求∠DAB的大小. (1) 证明： AB = (1 – (-1), 1 – 3) = (2, -2), BC = (4 – 1,4 – 1) = (3, 3). DC = (4 – 3, 4 – 5) = (1, -1), ∵ AB = 2DC, x A B C D y ∴ AB⊥BC. ∵ AB·BC = 2×3 +(-2) ×3 = 0, ∴ AB//DC. 知识反馈 ∴ ABCD是直角梯形. 又∵ AB≠DC, x A B C D y (2)解： |AB| = √(1 – (-1))2 + (1 – 3)2 = 2√2 , AD = (3 – (-1), 5 – 3) = (4, 2), |AD| = √(3 – (-1))2 + (5 – 3)2 = 2√5 , AD·AB = 4×2 + 2× (-2) = 4, cos∠DAB = = = , AD·AB |AD||AB| 4 2√5 ·2√2 √10 10 ∴∠DAB = arccos . √10 10

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表示方法

两个向量a和b的叉积写作a×b(有时也被写成a∧b，避免32313133353236313431303231363533e78988e69d8331333431363036和字母x混淆)。

定义

向量积可以被定义为：。

模长：(在这里θ表示两向量之间的夹角(共起点的前提下)(0°≤θ≤180°)，它位于这两个矢量所定义的平面上。)

方向：a向量与b向量的向量积的方向与这两个向量所在平面垂直，且遵守右手定则。(一个简单的确定满足“右手定则”的结果向量的方向的方法是这样的：若坐标系是满足右手定则的，当右手的四指从a以不超过180度的转角转向b时，竖起的大拇指指向是c的方向。)

也可以这样定义(等效)：

向量积|c|=|a×b|=|a||b|sin

即c的长度在数值上等于以a，b，夹角为θ组成的平行四边形的面积。

而c的方向垂直于a与b所决定的平面，c的指向按右手定则从a转向b来确定。

扩展资料：

证明

为了更好地推导，加入三个轴对齐的单位向量i，j，k。

i，j，k满足以下特点：

i=jxk；j=kxi；k=ixj；

kxj=–i；ixk=–j；jxi=–k；

ixi=jxj=kxk=0；(0是指0向量)

由此可知，i，j，k是三个相互垂直的向量。它们刚好可以构成一个坐标系。

这三个向量的特例就是i=(1，0，0)j=(0，1，0)k=(0，0，1)。

对于处于i，j，k构成的坐标系中的向量u，v我们可以如下表示：

u=Xu*i+Yu*j+Zu*k；

v=Xv*i+Yv*j+Zv*k；

那么uxv=(Xu*i+Yu*j+Zu*k)x(Xv*i+Yv*j+Zv*k)

=Xu*Xv*(ixi)+Xu*Yv*(ixj)+Xu*Zv*(ixk)+Yu*Xv*(jxi)+Yu*Yv*(jxj)+Yu*Zv*(jxk)+Zu*Xv*(kxi)+Zu*Yv*(kxj)+Zu*Zv*(kxk)

由于上面的i，j，k三个向量的特点，所以，最后的结果可以简化为

uxv=(Yu*Zv–Zu*Yv)*i+(Zu*Xv–Xu*Zv)*j+(Xu*Yv–Yu*Xv)*k。

a·b=|a|·|b|·cos〈a，b〉是定义，推出交换律，分配率，与数的乘法的结合

律，以及垂直时为零。

∴(x1,y1)·(x2,y2)＝[x1i+y1j]·[x2i+y2j]

＝x1x2(i·i)+y1y2(j·j)+[x1y2+x2y1](i·j)＝x1x2+y1y2.

[ i,j是x轴。y轴上的单位向量。i²＝1, j²＝1, i·j＝0 ]

看你是要高中证明还是大学证明还是更严密的证明。

向量有点量积、矢量积、旋量积之分。大多高中只接触个点积而已

三维向量外积(即矢积、叉积)可以用几何方法证明；也可以借用外积的反对称性、内积的分配律和混合积性质，以代数方法证明。

下面把向量外积定义为：

a

×

b

=

|a|·|b|·Sin

b>.

分配律的几何证明方法很繁琐，大意是用作图的方法验证。有兴趣的话请自己参阅参考文献中的证明。

下面给出代数方法。我们假定已经知道了：

1)外积的反对称性：

a

×

b

=

-

b

×

a.

这由外积的定义是显然的。

2)内积(即数积、点积)的分配律：

a·(b

+

c)

=

a·b

+

a·c,

(a

+

b)·c

=

a·c

+

b·c.

这由内积的定义a·b

=

|a|·|b|·Cos