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  • 向量数量积公式是什么

    千次阅读 2020-12-24 04:39:20
    展开全部已知两个非零向量a、b,那么|a||b|cosθ(θ是a与b的夹角)32313133353236313431303231363533e59b9ee7ad...即:若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1·x2+y1·y2向量的数量积公式:a*b=|a||b|cosθ,...

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    已知两个非零向量a、b,那么|a||b|cosθ(θ是a与b的夹角)32313133353236313431303231363533e59b9ee7ad9431333365656531叫做a与b的数量积或内积。记作a·b。两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。即:若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1·x2+y1·y2

    向量的数量积公式:a*b=|a||b|cosθ,a,b表示向量,θ表示向量a,b共起点时的夹角,很明显向量的数量积表示数,不是向量。

    一个向量和另个向量在这个向量上的投影的乘积,前提始位置要相同。

    [扩展资料]

    数量积的性质

    设a、b为非零向量,则

    ①设e是单位向量,且e与a的夹角为θ,则e·a=a·e=|a|cosθ

    ②a⊥b=a·b=0

    ③当a与b同向时,a·b=|a||b|;当a与b反向时,a·a=|a|2=a2或|a|=√a·a

    ④|a·b|≤|a|·|b|,当且仅当a与b共线时,即a∥b时等号成立

    ⑤cosθ=a·b╱|a||b|(θ为向量a.b的夹角)

    ⑥零向量与任意向量的数量积为0。

    向量数量积的运算律

    ⑴交换律:a·b=b·a

    ⑵数乘结合律:(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)

    ⑶分配律:(a+b)·c=a·c+b·c

    平面向量数量积的几何意义

    ①一个向量在另一个向量方向上的投影

    设θ是a、b的夹角,则|b|cosθ叫做向量b在向量a的方向上的投影,|a|cosθ叫做向量a在向量b方向上的投 影。

    ②a·b的几何意义

    数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积

    ★注意:投影和两向量的数量积都是数量,不是向量。

    ③数量积a·b的几何意义是:a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积。

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  • 向量积公式证明

    2020-12-24 04:40:59
    向量的点乘公式就是这样。就这么一个简简单单的公式:$$\vec{a}\cdot{\vec{b}}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$$要是没记错的话,初中学的东西,一直在用,可总是想不起来是怎么来的。这里给出一个形象化的解释,省的...

    有些东西,看上去比较熟,用起来没什么问题,但细想起来却一脸茫然,这种感觉非常不爽。向量的点乘公式就是这样。就这么一个简简单单的公式:

    $$

    \vec{a}\cdot{\vec{b}}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta

    $$

    要是没记错的话,初中学的东西,一直在用,可总是想不起来是怎么来的。这里给出一个形象化的解释,省的后面再次遇到仍然不爽。

    物理中有一个基本的公式,这里就称为做功公式,如下:

    $$

    W=F\cdot{S}

    $$

    这里,$F$是施加在物体上的力,$S$是物体沿力的方向移动的距离,$W$就是力$F$做的功。对于力和位移方向相同的情况比较好理解。中学物理讨论的也基本上都是这种情况。

    对于方向不同的情况,我们放到二维的向量平面中进行分析,如下:

    可以将力$F$和位移$S$沿x、y轴进行分解。x轴上的分力和分位移分别为$F_x$、$S_x$,y轴上的分力和分位移分别为$F_y$、$S_y$。所以沿x轴、y轴做的功分别为:

    $$

    W_x=F_x\cdot{S_x}\

    W_y=F_y\cdot{S_y}

    $$

    总的做功为:

    $$

    W=W_x+W_y=F_x\cdot{S_x}+F_y\cdot{S_y}

    $$

    也就是力向量和位移向量的点乘。

    同样的,我们还可以选用不同的坐标来进行分解。这次选用位移$S$向量所在的轴为横轴,垂直于$S$的轴为纵轴。则位移$S$在纵轴的分量为0。此时,不管力$F$在纵轴的分量是多少,纵轴方向上做的功恒为0。再看横轴。由于$S$和横轴在同一条线上,所以其分量就是本身。$F$在横轴的分量为:

    $$

    F_s=\frac{|F|\cdot\cos{\theta}}{|S|}\cdot{S}

    $$

    力$F$沿$S$做的功,也就是总功为:

    $$

    W=|F_s|\cdot|S|=|F||S|\cos\theta

    $$

    所以有:

    $$

    F\cdot{S}=|F||S|\cos\theta

    $$

    将$F$、$S$换成$\vec{a}$、$\vec{b}$,于是有:

    $$

    \vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta

    $$

    问题得证。

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  • 很多人只知道用向量积公式去推导向量外积公式,殊不知向量外积的证明可以更加直接,并不需要以几积公式为基础。如果我们领悟这种更加直接的方式,相信我们会很容易理解为什么矩阵行列式的绝对值表示矩阵的行向量或...

    本篇文章采用直接了当的方法讨论向量的外积公式。很多人只知道用向量内积公式去推导向量外积公式,殊不知向量外积的证明可以更加直接,并不需要以几积公式为基础。如果我们领悟这种更加直接的方式,相信我们会很容易理解为什么矩阵行列式的绝对值表示矩阵的行向量或列向量在

    维空间上张成的平行多面的体积,实职上是

    面体。并且我们也会很容易理解子式的意义。

    首先我们来定义外积:假设向量

    ,

    的逆时针夹角为

    , 则定义外积为

    显然从定义可知,外积的绝对值表示两个向量张成的平行四边形的面积。

    为了推导该公式的坐标形式,我们先证明外积运算满足乘法分配律:如下图

    假设

    ,

    注意

    逆时针夹角是

    , 非

    . 到此为止,我们便证明了向量的外积运算满足乘法分配律。

    有了乘法分配律,我们再来看向量的坐标形式,不妨假设

    其中倒数第二步是因为根据定义,共线的向量外积为零,所以只剩下两项。

    如此,我们便得到了外积的坐标形式,由外积的定义,我们知道,外积的绝对值就是两个向量张成的平行四边形的面积。其实我们将外积公式稍微变形

    其中

    的与

    轴的夹角,

    是向量

    轴的夹角。其实这正是高中所学的正弦公式。其实正弦公式本质上就是向量外积,余弦公式本质上就是向量内积,后者读者可根据分配律自己证明。

    其实,外积公式与内积公式也可以相互推得,这是因为

    故可由一个公式的坐标形式推导令一个公式的坐标形式。

    其实矩阵的行列式就是向量的外积在高维空间上的直接推广,请读者自己思考。

    另外,请感兴趣的读者关注我的知乎专栏:数学妙谈,高等代数精深简明讲义,古诗文以及公众号丞申通汇文化平台,随时更新新内容。本人电话:18612313613(微信同)

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  • a·b=|a|·|b|·cos〈a,b〉是定义,推出交换律,分配率,与数的乘法的结合律,以及垂直时为零。...y轴上的单位向量。i²=1, j²=1, i·j=0 ]看你是要高中证明还是大学证明还是更严密的证明。向...

    a·b=|a|·|b|·cos〈a,b〉是定义,推出交换律,分配率,与数的乘法的结合

    律,以及垂直时为零。

    ∴(x1,y1)·(x2,y2)=[x1i+y1j]·[x2i+y2j]

    =x1x2(i·i)+y1y2(j·j)+[x1y2+x2y1](i·j)=x1x2+y1y2.

    [ i,j是x轴。y轴上的单位向量。i²=1, j²=1, i·j=0 ]

    看你是要高中证明还是大学证明还是更严密的证明。

    向量有点量积、矢量积、旋量积之分。大多高中只接触个点积而已

    三维向量外积(即矢积、叉积)可以用几何方法证明;也可以借用外积的反对称性、内积的分配律和混合积性质,以代数方法证明。

    下面把向量外积定义为:

    a

    ×

    b

    =

    |a|·|b|·Sin

    b>.

    分配律的几何证明方法很繁琐,大意是用作图的方法验证。有兴趣的话请自己参阅参考文献中的证明。

    下面给出代数方法。我们假定已经知道了:

    1)外积的反对称性:

    a

    ×

    b

    =

    -

    b

    ×

    a.

    这由外积的定义是显然的。

    2)内积(即数积、点积)的分配律:

    a·(b

    +

    c)

    =

    a·b

    +

    a·c,

    (a

    +

    b)·c

    =

    a·c

    +

    b·c.

    这由内积的定义a·b

    =

    |a|·|b|·Cos

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空空如也

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向量外积公式