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  • 很多人只知道用向量积公式去推导向量外积公式,殊不知向量外积的证明可以更加直接,并不需要以几积公式为基础。如果我们领悟这种更加直接的方式,相信我们会很容易理解为什么矩阵行列式的绝对值表示矩阵的行向量或...

    本篇文章采用直接了当的方法讨论向量的外积公式。很多人只知道用向量内积公式去推导向量外积公式,殊不知向量外积的证明可以更加直接,并不需要以几积公式为基础。如果我们领悟这种更加直接的方式,相信我们会很容易理解为什么矩阵行列式的绝对值表示矩阵的行向量或列向量在

    维空间上张成的平行多面的体积,实职上是

    面体。并且我们也会很容易理解子式的意义。

    首先我们来定义外积:假设向量

    ,

    的逆时针夹角为

    , 则定义外积为

    显然从定义可知,外积的绝对值表示两个向量张成的平行四边形的面积。

    为了推导该公式的坐标形式,我们先证明外积运算满足乘法分配律:如下图

    假设

    ,

    注意

    逆时针夹角是

    , 非

    . 到此为止,我们便证明了向量的外积运算满足乘法分配律。

    有了乘法分配律,我们再来看向量的坐标形式,不妨假设

    其中倒数第二步是因为根据定义,共线的向量外积为零,所以只剩下两项。

    如此,我们便得到了外积的坐标形式,由外积的定义,我们知道,外积的绝对值就是两个向量张成的平行四边形的面积。其实我们将外积公式稍微变形

    其中

    的与

    轴的夹角,

    是向量

    轴的夹角。其实这正是高中所学的正弦公式。其实正弦公式本质上就是向量外积,余弦公式本质上就是向量内积,后者读者可根据分配律自己证明。

    其实,外积公式与内积公式也可以相互推得,这是因为

    故可由一个公式的坐标形式推导令一个公式的坐标形式。

    其实矩阵的行列式就是向量的外积在高维空间上的直接推广,请读者自己思考。

    另外,请感兴趣的读者关注我的知乎专栏:数学妙谈,高等代数精深简明讲义,古诗文以及公众号丞申通汇文化平台,随时更新新内容。本人电话:18612313613(微信同)

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  • 向量积坐标表示公式

    千次阅读 2020-12-30 13:38:07
    定义向量积可以被定义为:。模长:(在这里θ表示两向量之间的夹角(共起点的前提下)(0°≤θ≤180°),它位于这两个矢量所定义的平面上。)方向:a向量与b向量的向量积的方向与这两个向量所在平面垂直...

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    表示方法

    两个向量a和b的叉积写作a×b(有时也被写成a∧b,避免32313133353236313431303231363533e78988e69d8331333431363036和字母x混淆)。

    定义

    向量积可以被定义为:。

    模长:(在这里θ表示两向量之间的夹角(共起点的前提下)(0°≤θ≤180°),它位于这两个矢量所定义的平面上。)

    方向:a向量与b向量的向量积的方向与这两个向量所在平面垂直,且遵守右手定则。(一个简单的确定满足“右手定则”的结果向量的方向的方法是这样的:若坐标系是满足右手定则的,当右手的四指从a以不超过180度的转角转向b时,竖起的大拇指指向是c的方向。)

    也可以这样定义(等效):

    向量积|c|=|a×b|=|a||b|sin

    即c的长度在数值上等于以a,b,夹角为θ组成的平行四边形的面积。

    而c的方向垂直于a与b所决定的平面,c的指向按右手定则从a转向b来确定。

    扩展资料:

    证明

    为了更好地推导,加入三个轴对齐的单位向量i,j,k。

    i,j,k满足以下特点:

    i=jxk;j=kxi;k=ixj;

    kxj=–i;ixk=–j;jxi=–k;

    ixi=jxj=kxk=0;(0是指0向量)

    由此可知,i,j,k是三个相互垂直的向量。它们刚好可以构成一个坐标系。

    这三个向量的特例就是i=(1,0,0)j=(0,1,0)k=(0,0,1)。

    对于处于i,j,k构成的坐标系中的向量u,v我们可以如下表示:

    u=Xu*i+Yu*j+Zu*k;

    v=Xv*i+Yv*j+Zv*k;

    那么uxv=(Xu*i+Yu*j+Zu*k)x(Xv*i+Yv*j+Zv*k)

    =Xu*Xv*(ixi)+Xu*Yv*(ixj)+Xu*Zv*(ixk)+Yu*Xv*(jxi)+Yu*Yv*(jxj)+Yu*Zv*(jxk)+Zu*Xv*(kxi)+Zu*Yv*(kxj)+Zu*Zv*(kxk)

    由于上面的i,j,k三个向量的特点,所以,最后的结果可以简化为

    uxv=(Yu*Zv–Zu*Yv)*i+(Zu*Xv–Xu*Zv)*j+(Xu*Yv–Yu*Xv)*k。

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  • 向量积的坐标运及度量公式.ppt

    千次阅读 2020-12-30 13:38:07
    向量积的坐标运及度量公式* * 向量数量积的 坐标运算与度量公式 一.复习回顾: 2. 二.探究新知: 三.新课讲授: 1.向量内积的坐标运算 结论:两个向量的数量积等于它们 对应坐标的乘积的和。 即: x o B(b1,b2) A(a1,a2...

    向量积的坐标运及度量公式

    * * 向量数量积的 坐标运算与度量公式 一.复习回顾: 2. 二.探究新知: 三.新课讲授: 1.向量内积的坐标运算 结论:两个向量的数量积等于它们 对应坐标的乘积的和。 即: x o B(b1,b2) A(a1,a2) y 所以,根据平面向量数量积的坐标表示,向量的数量积的运算可转化为向量的坐标运算。 二.探究新知: 2.两向量垂直和平行的条件 平行 垂直 巩固提高: 二.探究新知: 3.向量的长度、距离、夹角公式 3.向量的长度、距离、夹角公式 ∴ =60o. θ 三.典型例题 例 1 已知a=(1,√3 ),b=(– 2,2√3 ), (1)求a·b; (2)求a与b的夹角θ. 解:(1)a·b=1×(–2)+√3×2√3=4; (2) a =√12+(√3 )2=2, b =√(– 2)2+(2√3 )2 =4, cos = = = , 4 2×4 a·b a b 1 2 θ 变式1: 练习A 1(4). A 3. x 0 y 例2 已知A(1,2),B(2,3),C(-2,5), 试判断?ABC的形状,并给出证明. A(1,2) B(2,3) C(-2,5) 练习A.2.3. 课堂练习: B D A ①②③④ 例3 已知四点坐标:A(-1,3)、B(1,1)、C(4,4)、D(3,5).(1)求证:四边形ABCD是直角梯形;(2)求∠DAB的大小. (1) 证明: AB = (1 – (-1), 1 – 3) = (2, -2), BC = (4 – 1,4 – 1) = (3, 3). DC = (4 – 3, 4 – 5) = (1, -1), ∵ AB = 2DC, x A B C D y ∴ AB⊥BC. ∵ AB·BC = 2×3 +(-2) ×3 = 0, ∴ AB//DC. 知识反馈 ∴ ABCD是直角梯形. 又∵ AB≠DC, x A B C D y (2)解: |AB| = √(1 – (-1))2 + (1 – 3)2 = 2√2 , AD = (3 – (-1), 5 – 3) = (4, 2), |AD| = √(3 – (-1))2 + (5 – 3)2 = 2√5 , AD·AB = 4×2 + 2× (-2) = 4, cos∠DAB = = = , AD·AB |AD||AB| 4 2√5 ·2√2 √10 10 ∴∠DAB = arccos . √10 10

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  • notforcommercialuse平面向量的坐标运算与距离公式德清乾元职高朱见锋【教材分析】:本课是在平面向量坐标运算、内定义基础上学习的,主要知识是平面向量的坐标运算与平面内两点间的距离公式,是后面学习...

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    平面向量内积的坐标运算与距离公式

    德清乾元职高

    朱见锋

    【教材分析】

    本课是在平面向量坐标运算、

    内积定义基础上学习的,

    主要知识是平面向量内积的坐标运算与平面内两点

    间的距离公式,是后面学习曲线方程的重要公式和推导依据,是进一步学习相关数学知识的重要基础。

    【教学目标】

    1.

    掌握平面向量内积的坐标表示,会应用平面向量内积的知识解决平面内有关长度、两向量的夹角和垂直的问题.

    2.

    能够根据平面向量的坐标,判断两向量是否垂直,求两向量的夹角等。

    3.

    通过学习平面向量的坐标表示,使学生进一步了解数学知识的相同性,培养学生辩证思维能力.提高学生数学知识

    的应用能力。

    【教学重点】

    :平面向量内积的坐标公式式,平面向量垂直的充要条件,平面内两点间距离公式的应用.

    【教学难点】

    :平面向量内积的坐标公式的推导和应用。

    【教学方法】

    本节课采用问题启发式教学和讲练结合的教学方法.

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  • 向量

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空空如也

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向量外积计算公式