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  • 若平面 平面 ,求 的值 (Ⅰ)解:由题意得 , 注意,异面直线以及线面角的夹角为 ,面面角的范围为 同时,值得注意的是,线面角公式所求出来的余弦角大小实则为正弦值大小 (Ⅱ)解: 设平面 的一个法向量为 ...

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    (1)如图,在四面体

    中,
    平面
    ,
    是边长为
    的等边三角形,若
    ,则四面体
    外接球的表面积为_____

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    观察本道题目,由于底面不是直角三角形,因此难以通过将图形放入直四棱柱的进而求出对角线的方法解题,所以,本人选择建系

    解:如图,以

    为原点,建立空间直角坐标系,则易得各点坐标(已标在图上,

    不妨设外接球圆心

    由球的定义可知

    解得

    (2)如图,在二面角

    中,
    ,
    ,点
    在直线
    上运动,满足
    ,
    ,现将平面
    沿着
    进行翻折,在翻折的过程中,线段
    长的取值范围是______

    先做个图

    4791506b0f3921a376a588ff4d7c713c.png
    如图,建立空间直角坐标系(建系时请注意底边角的形状,又是为了更好解题,我们可以将俯视图画出),因为
    与平面
    的特殊关系,故我们设

    解:

    由此可以作图

    3b09b2dd7edbecbee8e1f6a43ab10d2f.png
    以a为横坐标,b为纵坐标
    因为
    ,所以我们只需知道知道
    的取值范围即可

    笔者认为题目强调“在翻折的过程中”,那么原图的未翻折转态,即
    的值无法取到

    (3)如图,在底面为正方形的四棱锥

    中,
    底面
    ,且
    ,
    ,
    分别为
    上的动点,且满足

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    时,求异面直线
    所成角的余弦值

    若平面
    平面
    ,求
    的值

    (Ⅰ)解:由题意得

    ,

    注意,异面直线以及线面角的夹角为
    ,面面角的范围为

    同时,值得注意的是,线面角公式所求出来的余弦角大小实则为正弦值大小

    (Ⅱ)解:

    设平面

    的一个法向量为

    解得

    同理解得平面

    的一个法向量

    平面
    平面

    此方法从分利用题中所给条件,简单易行,所求
    值不需进行复杂转换,具有较好的操作性

    方法二:利用

    解得

    时,
    不合题意,舍去

    时,

    此时

    此方法需要注意,所求的
    不是最终答案,还需转化为
    ,同时,部分学生会在做题时将
    由此解出错误答案,出现该问题的根源是没有理清两个
    间的不同含义
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  • 三维向量夹角(0-360)

    千次阅读 2020-05-19 17:49:10
    double Cross( Eigen::Vector3d a, Eigen::Vector3d b){ double theta = atan2(a.cross(b).norm(), a.transpose() * b); //规定正方向(0,0,1) Eigen::Vector3d direction(0,0,1); double z = a.cross(b)....

    规定Z轴的正方向是(0,0,1)

     

    从a->b做法向量;

    a和b的法向量与Z轴正向的积,积大于0,同向,夹角为正;

                                                         积小于0,反向,夹角为负,这里要求0-360,所以夹角为2*pi-theta;

    double  Cross( Eigen::Vector3d a, Eigen::Vector3d b){
        
       
        double theta = atan2(a.cross(b).norm(), a.transpose() * b);
        //规定正方向(0,0,1)
        Eigen::Vector3d direction(0,0,1);
        double z = a.cross(b).transpose() * direction;
        return z >= 0 ? theta : 2*PI- theta;
        
    }
    

     

     

     

     

     

     

     

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  • Python 计算任意两向量之间的夹角

    万次阅读 多人点赞 2018-11-19 19:38:42
    如图所示,我们要计算任意两个向量之间的夹角。 (图中的坐标数字是估计值,随手给定) python代码如下 import math AB = [1,-3,5,-1] CD = [4,1,4.5,4.5] EF = [2,5,-2,6] PQ = [-3,-4,1,-6] def angle(v1, v2)...

    如图所示,我们要计算任意两个向量之间的夹角。
    (图中的坐标数字是估计值,随手给定)
    在这里插入图片描述
    python代码如下

    import math 
    
    AB = [1,-3,5,-1]
    CD = [4,1,4.5,4.5]
    EF = [2,5,-2,6]
    PQ = [-3,-4,1,-6]
    
    def angle(v1, v2):
        dx1 = v1[2] - v1[0]
        dy1 = v1[3] - v1[1]
        dx2 = v2[2] - v2[0]
        dy2 = v2[3] - v2[1]
        angle1 = math.atan2(dy1, dx1)
        angle1 = int(angle1 * 180/math.pi)
        # print(angle1)
        angle2 = math.atan2(dy2, dx2)
        angle2 = int(angle2 * 180/math.pi)
        # print(angle2)
        if angle1*angle2 >= 0:
            included_angle = abs(angle1-angle2)
        else:
            included_angle = abs(angle1) + abs(angle2)
            if included_angle > 180:
                included_angle = 360 - included_angle
        return included_angle
    
    ang1 = angle(AB, CD)
    print("AB和CD的夹角")
    print(ang1)
    ang2 = angle(AB, EF)
    print("AB和EF的夹角")
    print(ang2)
    ang3 = angle(AB, PQ)
    print("AB和PQ的夹角")
    print(ang3)
    ang4 = angle(CD, EF)
    print("CD和EF的夹角")
    print(ang4)
    ang5 = angle(CD, PQ)
    print("CD和PQ的夹角")
    print(ang5)
    ang6 = angle(EF, PQ)
    print("EF和PQ的夹角")
    print(ang6)
    

    结果为

    AB和CD的夹角
    55
    AB和EF的夹角
    139
    AB和PQ的夹角
    52
    CD和EF的夹角
    84
    CD和PQ的夹角
    107
    EF和PQ的夹角
    169
    
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  • 【考点聚焦突破】考点一 用空间...两异面直线所成角的范围是θ∈,两向量夹角α的范围是[0,π],当异面直线的方向向量夹角为锐角或直角时,就是该异面直线的夹角;当异面直线的方向向量夹角为钝角时,其补...

    【考点聚焦突破】

    考点一 用空间向量求异面直线所成的角

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    【规律方法】

    1.利用向量法求异面直线所成角的一般步骤是:(1)选好基底或建立空间直角坐标系;(2)求出两直线的方向向量v1,v2;(3)代入公式|cos〈v1,v2〉|=求解.

    2.两异面直线所成角的范围是θ∈,两向量的夹角α的范围是[0,π],当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时,就是该异面直线的夹角;当异面直线的方向向量的夹角为钝角时,其补角才是异面直线的夹角.

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    考点二 用空间向量求线面角

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    【规律方法】 利用向量法求线面角的方法:

    (1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量,转化为求两个方向向量的夹角(或其补角);

    (2)通过平面的法向量来求,即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角,取其余角就是斜线和平面所成的角.

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    考点三 用空间向量求二面角

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    【规律方法】 利用空间向量计算二面角大小的常用方法:

    (1)找法向量:分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量,然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小,但要注意结合实际图形判断所求角的大小.

    (2)找与棱垂直的方向向量:分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量,则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小.

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    考点四 用空间向量求空间距离(供选用

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    【规律方法】

    1.空间中两点间的距离的求法

    两点间的距离就是以这两点为端点的向量的模.因此,要求两点间的距离除了使用距离公式外,还可转化为求向量的模.

    2.求点P到平面α的距离的三个步骤:

    (1)在平面α内取一点A,确定向量的坐标表示;

    (2)确定平面α的法向量n;

    (3)代入公式d=求解.

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    【反思与感悟】

    1.利用空间向量求空间角,避免了寻找平面角和垂线段等诸多麻烦,使空间点、线、面的位置关系的判定和计算程序化、简单化.主要是建系、设点、计算向量的坐标、利用数量积的夹角公式计算.

    2.利用法向量求距离问题的程序思想方法

    第一步,确定法向量;

    第二步,选择参考向量;

    第三步,确定参考向量到法向量的投影向量;

    第四步,求投影向量的长度.

    【易错防范】

    1.异面直线所成的角与其方向向量的夹角:当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时,就是该异面直线的夹角;否则向量夹角的补角是异面直线所成的角.

    2.利用向量法求二面角大小的注意点

    (1)建立空间直角坐标系时,若垂直关系不明确,应先给出证明;

    (2)对于某些平面的法向量,要结合题目条件和图形多观察,判断该法向量是否已经隐含着,不用再求.

    (3)注意判断二面角的平面角是锐角还是钝角,可结合图形进行,以防结论失误.

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  • 向量夹角

    万次阅读 多人点赞 2017-06-20 17:38:11
    计算两个向量间的夹角
  • 方向余弦,向量夹角,向量的投影

    千次阅读 2020-11-13 10:18:32
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  • C 语言里 double atan2(double y,double x) 返回的是原点至点(x,y)的方位角,即与 x 轴的夹角。也可以理解为复数 x+yi 的辐角。返回值的单位为弧度,取值范围为 ; Excel 里 ATAN2(x,y)返回的是原点至点(x,y)的...
  • cocos2dx和lua计算两点的夹角

    千次阅读 2016-12-21 17:36:27
    -- @param p1 A点 p2 B点 返回以A为比较点 B相对于A的夹角 范围为-180度到180度 ]] function getAngleByPos(p1,p2) local p = {} p.x = p2.x - p1.x p.y = p2.y - p1.y local r = math.atan2(p.y

空空如也

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向量夹角的范围