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  • 向量的线性组合, 张成空间与基

    千次阅读 2018-11-07 23:15:20
    2 向量的线性组合, 张成空间与基 看待向量坐标的方式:将每个坐标看作向量, 也就是说它们如何拉伸或压缩一个向量。 在xy坐标系中(二维), 有两个非常特别的向量, i 帽(x方向的单位向量) j帽(j方向的单位...

    2 向量的线性组合, 张成的空间与基

        看待向量坐标的方式:将每个坐标看作向量, 也就是说它们如何拉伸或压缩一个向量。 在xy坐标系中(二维), 有两个非常特别的向量, i 帽(x方向的单位向量)  j帽(j方向的单位向量), 所有二维向量可理解为对单位向量的缩放并且相加。i 和 j 是xy坐标系的 ‘’基向量‘’ , 每当我们用数字描述向量时, 它都依赖于我们正在使用的基, 所以两个数乘向量的和被称为这两个向量的线性组合(不同的基对同一向量会有不同的表示)。
    
         线性  从哪里来, 这跟直线有什么关系?首先自定义两条随机单位向量, 如果固定一个标量(缩放量不变), 让另一个标量自由变化, 所产生的向量的终点会描述出一条直线。如果你让两个标量同时自由变化, 考虑所有可能得到的向量, 可能有两种情况: 一是 大部分情况下 , 对一切初始变量, 你能达到平面的每一个点 , 但是当两个初始单位向量恰好共线, 所产生的向量的终点被限制在一条过原点的直线上, (实际上还有第三种可能:两个向量都是0向量。)
    
        术语:
    

    所有可以表示为给定向量线性组合的向量的集合, 被称为给定向量张成的空间。

        对于大部分二维向量来说, 它们张成的空间是所有二维向量的集合, (当两个初始向量共线时, 张成空间就是终点落在一条直线上的向量的集合。
    

    向量的加法和向量的数乘贯穿线性代数始终。 因为两个向量张成的空间实际上仅仅通过加法与向量数乘这两种基础运算就可以获得所有可能的向量的集合。

    向量与点

    如何将向量看做点。我们经常将向量的终点代表该向量,

        三维空间, 考虑两个向量张成空间是什么? 两个向量所在的 面 。    
    

    三个向量的张成空间?

    • 一是 第三个向量在之前两个向量所在的面上, 张成空间没变。
    • 二是 第三个向量与之前两个向量不共面, 张成空间成为整个空间。

    至于第三个向量在之前两个向量所在的面, 或者两个向量恰好共线的情况(一组向量中至少有一个多于的, 没有对张成空间做任何贡献), 并且移除其中一个而不减少张成的空间, 我们就称他们为 ‘’线性相关‘’。

    另一种表述为一个向量已经落在其他向量组成的张成空间中。

    如果所有向量都为张成空间添加新的维度, 它们就称为线性无关。

    空间的一组基的严格定义:张成改空间的一个线性无关向量的集合

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  • 3. 向量张成空间(线性相关与线性无关) (1)两个二维向量张成空间 (2)两个三维向量张成空间 (3)三个三维向量张成空间 4. 向量和点的关系 一、什么是向量 1. 向量的表达方式 给定两个矩阵,我们...

    课程地址:【官方双语/合集】线性代数的本质 - 系列合集

    目录

    一、什么是向量

    1. 向量的表达方式

    2. 向量的加法

    3. 向量的数乘

    二、线性组合、张成的空间和基

    1. 坐标系的基

    2. 线性组合

    3. 向量张成的空间(线性相关与线性无关)

    (1)两个二维向量张成的空间

     (2)两个三维向量张成的空间

    (3)三个三维向量张成的空间

    4. 向量和点的关系


    一、什么是向量

    1. 向量的表达方式

    给定两个矩阵,我们很容易就能算出它的结果,但是他的几何意义是什么呢?

     对于向量的认识,我们其实在高中阶段就已经接触过,在不同学科有不同的表达方式:

     物理学:向量有大小和方向。处于平面中的向量是二维的,我们所生活的空间中的向量是三维的。

      

     

    计算机:向量是数字列表,比如对房价进行建模,共有面积和价格两个特征,他们就可以组成二维向量。

      

           

    数学:向量可以是任何东西,只要保证两个向量相加以及数字与向量相乘是有意义的即可。

    在物理学中,向量可以在任何位置(向量是空间中的箭头);但是在线性代数中,向量经常以原点作为起点。

    向量是有序的数字列表:我们可以利用坐标系来理解这个概念。

    三维空间中的向量有三个数来表达,2:代表这个数沿着平行x轴走多远,1:代表这个数沿着平行y轴走的距离; 3:代表这个数沿着z轴走的距离。每一个向量恰好对应唯一的一个三元数组。

    2. 向量的加法

    向量的加法符合三角形法则。

        

         

     

    为什么向量的加法要这样定义呢?其实二维平面向量的加法运算可以看为在数轴上运算的拓展。

    如下图所示,先向右移动2步,再向右移动5步的总体效果与向右移动7步一样。

    类比到二维空间。第一个向量的坐标是(1,2),第二个向量的坐标是(3,-1),当你用向量首尾连接的方法计算向量之和时,向量之和可以把它看做一个从原点出发,到第二个向量终点的四步运动。可以看做先沿着x轴走了4步,然后沿着y轴走了1步。

          

          

      所以向量之和相加的结果就是对应的x向量相加,以及对应的y向量相加。

    3. 向量的数乘

     比如一个向量前面乘以1/3,相当于这个向量的长度缩短为原来的1/3。如果是与-1.8相乘,相乘后的结果是这个向量首先反向,然后伸长为原来的1.8倍。

    这种拉伸或者压缩,有时又使向量反向的过程称为“缩放”。几何角度看是缩放,实际上就是数乘。这个数字就叫标量。

        

        

    数字与向量相乘,相当于将其每个分量都分别与数字相乘。

      

         

    线性代数围绕两种基本运算:向量的加法与向量的数乘。

    二、线性组合、张成的空间和基

    1. 坐标系的基

    i和j向量长度都为1.

         

         

       如果我们任意选择两个向量为基向量,我们可以根据这两个向量得到空间中任何向量。

    当我们使用数字描述向量时,他是依赖于我们正在使用的基。不同的基向量的表达数字也不一样。

    2. 线性组合

    线性组合:两个数乘向量的组合被称为这两个向量的线性组合。

    如果固定一个标量,让另一个标量自由变化,所产生的向量的重点会描出一条直线。下图是分别固定w和v向量的标量后的变化情况。

       

          

    3. 向量张成的空间(线性相关与线性无关)

    (1)两个二维向量张成的空间

    向量张成的空间通俗的解释:仅通过向量的加法与向量的数乘这两种基础运算,你能获得的所有可能的向量集合是什么?

    比如如果v和w向量不共线,他们向量张成的空间就是一个二维平面。通过加法和数乘运算后的向量的终点可能在二维平面的任意位置。

    如果v和w向量共线,那他们向量张成的空间就是一条直线。终点始终落在一条直线上。

    对大部分二维向量对来说,他们张成的空间是整个无限大的二维平面。但是如果贡献,他们张成的空间就是一条直线。

      

          

     (2)两个三维向量张成的空间

    两个三维向量张成的空间是什么样的呢?

    (这两个向量张成的空间就是它们所有可能的线性组合,也就是缩放再相加之后的所有可能得到的向量)

    最终得到的向量的终点会画出三维空间中某个过原点的平面。这个平面就是这两个三维向量张成的空间。换句话说,所有终点落在这个平面上的向量的几何是这两个向量张成的空间。

    (3)三个三维向量张成的空间

    那么三个三维向量张成的空间是什么样的呢?(选择三个标量,对三个向量分别进行缩放,然后再相加)

     

        

    一共有两种情况:

    [1] 如果第三个向量恰好落在前面两个向量所张成的平面上,或者其中有两个向量刚好共线。即一组向量中至少有一个是多余的,没有对张成空间做出任何贡献。你有多个向量,并且可以移除其中一个而不减小张成的空间,这种情况下,我们称他们为线性相关的。这个向量可以表示为其他向量的线性组合,因为这个向量已经落在其他向量张成的空间之中。

    [2] 如果向量都给张成的空间增添了新的维度,它们就被称之为“线性无关”的

    4. 向量和点的关系

    当我们在二维平面用向量的方式表达时,当所有的二维向量铺满平面时,你会觉得非常拥挤。为了应付这种情况,通常我们就用向量的终点代表该向量(起点仍然位于原点)。

    实际上,你就不必考虑所有的箭头了,只需要考虑无限大的二维平面本身即可。

      

       

     当你只用考虑一个向量时,可以把它看做一个箭头;当考虑多个向量时,可以把它看做点。

    向量中一组基的严格定义:张成该空间的一个线性无关向量集。

     

     

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  • 在物理学中,向量可以看成空间中的箭头,有大小和方向,例如,用来表示作用力,速度等,向量只有大小和方向,可以任意移动,没有位置。在三维空间中,如下图一样: 在计算机专业,向量就是数组,或者可以理解为...

    向量:

    向量究竟是什么?在线性代数中,最根源最基本的就是向量,在不同行业不同场景中,向量的解释是不一样的。

    在物理学中,向量可以看成空间中的箭头,有大小和方向,例如,用来表示作用力,速度等,向量只有大小和方向,可以任意移动,没有位置。在三维空间中,如下图一样:

    在计算机专业,向量就是数组,或者可以理解为数字列表,例如:房屋面积和房屋价格一起组成的表,电脑品牌,型号,cpu配置,显卡配置等组成的表。这样的表中的一组就可以理解为一个向量。只不过参数(列)越多,向量维度越高。

    在数学界,向量可以使任何东西,只要保证两个向量相加和向量相乘是有意义的就可以了,如下:

    几何角度的思考:

    在从集合角度说明向量的时候,想到向量,实际就是一个箭头,这个箭头在一个坐标系中,箭头的起点在原点,终点在向量尖端所指向的地方。这很容易想象出来,如下图,在二维直角坐标系中像这样:

    根据高中所学的知识,这样的向量的第一个数就代表了这个向量在X方向移动的单位个数,第二个数代表了向量在Y方向移动的单位个数,正数代表向右移动,负数代表向左移动。这里的单位个数中的单位可以使任意的,例如米(m)。为了与点的表示形式区分,向量的多个数通常竖着写,并使用中括号包含。

    在上图的二维直角坐标系中,每一个二元数组数都能代表一个向量,同样的,每个向量敲好也是对应两个数字,延伸到三维空间,向量就是与一个有序的三元数组对应。同样的,第一个数代表向X轴走多远,第二个数代表向Y轴走多远,第三个数代表向Z轴走多远,如下图:

    数学定义向量只要相加和相乘有意义即可,实际上,线性代数中每个主题都是围绕这两种运算展开的,好在这两个运算的定义都非常简单。

    向量相加:

    两个向量相加,实际将之一一对应的元素相加即可得到结果,在几何中,向量相加即是代表合成。运动的合成是很典型的例子。如果细化到向量的每个元素,两个向量相加在二维中可以看成两次沿着X轴移动,两次沿着Y轴移动,其结果显然一样,如下图:

    向量数乘:

    向量数乘就是一个标量乘以一个向量,得到的结果还是向量,这在几何上可以理解为向量的放大缩小操作,这个标量大于1就是放大,小于1即缩小。实际上,标量在线性代数中的作用就是用来做缩放操作的。

    总结:

    相对于线性代数和变换矩阵的运算,向量是极其简单的,在几何上也非常好理解,不再做过多的介绍。

     

    张成空间与基:

    在我们描述向量时,通常是使用一组数字来描述,例如(3,-2),我们怎么看待这两个数字呢?我们容易想象这两个数字在二维直角坐标系下的样子,知道这个箭头尖端是向X轴走三步,向Y轴走-2步到达的(特别注意,我们这样理解完全是建立在一个二维直角坐标系下的)。实际上,3和-2都是标量,在几何上,我们可以按以下方式理解:

    二维直角坐标系建立必须要XY两个轴,除此之外还必须定义每个轴上的单位长度。例如,我们将每一米长度作为单位长度,那么,(3,-2)代表向X轴走三米,向Y负方向走两米。这个单位长度的定义就是为了确定每个轴的单位向量的,单位向量是特殊的向量。在上面二维直角坐标系中,(1,0)和(0,1)就是XY轴的单位向量,(3,-2)表示为如下图:

    从几何上看,在二维直角坐标系中,任意向量都可以表示成将i,j两个向量进行缩放操作后的和。

    缩放向量并相加这一概念至关重要,因为上面仅仅是二维直角坐标系,还有非直角坐标系,甚至三维非直角坐标系。此外,上面的 i,j 两个向量称之为基向量(与单位向量有区别)。这两个基向量组合一起称为此坐标系的基。

    从上面,当我们将向量的数字看做标量时,实际上就代表对对应基向量做的缩放操作的倍数,如下图:

    那么问题来了,似乎我们研究的几何知识仅仅是在二维直角坐标系或者三维直角坐标系下进行的,原因仅仅是我们所熟悉的空间就是如此,然而,线性代数却并非止步于这样的空间。在介绍张成空间之前,先了解下空间的种类与定义

    空间:

    空间这个概念是现代数学的基础之一,从拓扑空间开始,逐步添加规则可形成很多种类的空间,线性空间是比较初级的部分:

    线性空间里面定义范数形成赋范线性空间。

    赋范线性空间满足完备性形成巴那赫空间。

    赋范线性空间中定义角度形成内积空间。

    内积空间满足完备性形成希尔博空间。

    ……

    我们一般所熟知的空间就是生活中的三维空间(实际三维空间并非我们理解的那样,我们理解的是牛顿的绝对时空观),在数学上,绝对时空就是一个三维的欧几里得空间,空间有无穷多的位置,有定义长度,角度。

     

    张成空间与基:

    上面,我们选择了(1,0)和(0,1)作为基向量,如果我们选择的不是这两个呢?会出现什么情况。例如,我们选择(1,2)和(3,-1)作为基向量,在这两个基向量形成的基(可理解为坐标系)下,(1.5,0.6)这个向量是什么样子的呢?如下图:

    我们可以很直观的发现,(1.5,0.6)这个向量在原来的坐标系下,大约等于(3.3,2.4)的样子,发生了本质改变。当我们任意选择(1.5,0.6)这两个标量时,我们可以得到这个基下面的所有的二维向量,如下图:

    基于以上,实际上就是为了说明,当我们用标量(数字)描述向量的时候,实际上是建立在基上面的,在不同基中,同样的一组标量所代表的向量是不一样的。通过基向量,可以得到这个空间下的任意向量。

    然而,线性一词是什么意思呢?在我看来,可以理解为规则的,绝对的,与爱因斯坦的相对空间以及其他的区别。如同3Blue1Brone理解的那样,在坐标系中表现为只改变一组标量的其中一个值,得到的是一条直线,而现实中的空间,考虑相对论,却并非如此。如下图:

    有一种特殊情况,在二维中,如果我们定义的两个基处于同一条直线上,那么通过这两个基得到的线性组合也会被限制在这一条直线上,很好理解。此外,如果两个基向量都为零向量,那么他们的线性组合就会被限制在一个点上。

    一个基的张成空间就是这个基的所有基向量的所有线性变换得到的向量的集合,实际就是这个基的所有向量集合,他代表了这个基线性组合能够达到的最大范围,在数学上,这个范围可以是任意的,不一定是几何上的空间。

    我们通常会把向量看做箭头,在实际使用中,我们会把向量看做一个点,这也很好理解,相当于我们从原点只想这个点的箭头就代表这个向量。

    因此,把之前说的张成空间里面所有的向量抽象化成点后,在几何上,就代表了实际的线性空间。即可以代表无限大的二维平面本身,无限大的三维空间本身。而,如果一个基中存在共线的基向量,那么这个空间就会被局限。

    延伸到三维空间,三个基中(假设不存在共线或零向量情况),任意两个基变化形成的空间就是一个平面,也就是这两个向量的张成空间,三个向量都变化得到的就是整个空间了,如下图:

    上面谈论的是基向量不存在共线等特殊情况,如果特殊呢?就会存在一个基向量没有对张成空间做任何贡献,这种情况,我们称之为线性相关,而如果不特殊情况,所有基向量都会为这个基增加纬度,则称之为线性无关,结合之前讨论的线性一词,这比较好理解。

    总结:

    现在来看这些名词,结合几何直观,就会有比较深的理解:

    向量空间的一组基是张成该空间的一个线性无关向量集。

    参考资料:

    3Blue1Brown向量究竟是什么

    3Blue1Brown线性组合、张成空间与基

    myan理解矩阵(一)

     

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  • 文章目录什么是向量线性变换、张成空间与基线性变换向量空间多个向量的线性相关 什么是向量 线性代数中最基础、最根源的组成部分就是向量,所以对于向量是什么我们需要达成共识然后继续前进。 向量,对于不同领域...

    线性代数的本质,源视频 bilibili

    自己一直觉得线性代数没有真的弄懂,对于线性代数的学习基本上都是靠记忆而不是理解,为了认真学习线性代数,弄清线性代数背后的本质,特此学习,做下笔记。

    什么是向量

    线性代数中最基础、最根源的组成部分就是向量,所以对于向量是什么我们需要达成共识然后继续前进。
    向量,对于不同领域的人通常对于向量的理解不同,因为在每个领域中的应用和出现的形式有所区别,一般来说有三种不同的理解:

    • 在物理学专业看来,向量是空间中带有方向的箭头,而决定一个向量的是它的长度和所指的方向
    • 在计算机专业看来,向量是有序的数字列表,例如在房价分析中我们只看房屋面积和价格,那么就会有(房屋面积,价格)这样一个向量
    • 在数学专业看来,向量可以是任何东西,只要保证两个向量相加数字与向量相乘是有意义的即可

    在这个过程中,向量加法和数字与向量相乘这两种运算是很重要的。

    我们考虑这样一个向量,向量是一个
    原点出发的箭头,我们可以分别从物理角度和计算机角度去看待这个向量。
    一个向量的坐标由一对数构成,每对数字对应唯一一个向量,每个向量用唯一的一对数字表示。

    向量加法的定义:
    我们可以把向量看作一种运动,即朝着某个方向做一定的运动,而向量的加法就对应于两个向量的运动叠加,如下图。

    从数字角度看,向量加法就是把对应位置的数字相加。

    向量数乘:
    在数字与向量做乘法的过程中,没有方向的数字就叫做标量(Scalars),数字起到的主要作用就是缩放向量。

    线性变换、张成的空间与基

    基的严格定义:

    向量空间的一组基是张成该空间的一个线性无关向量集。

    线性变换

    我们都很熟悉坐标了,我们现在用一种新的角度去看待坐标:我们把每个坐标看成标量,他们会放缩某个向量。
    而在平面上,有两个特殊的向量,分别为指向正右方的(或者指向x轴正方向)的单位向量 i^,和指向正上方的单位 j^
    我们此时就可以把(3,-2)= 3 * i + (-2) * j看作是两个经过放缩的向量之和。
    记住,缩放向量并且相加这个概念。
    此时其实我们把 ij 向量称为 xy 坐标系的基向量。

    如果我们选择不同的基向量会怎么样?

    答案是选择任何两个向量作为基向量(不共线),我们可以得到平面上所有的向量。
    当我们用数字描述一个向量时,它都依赖于我们当前所使用的基向量。

    两个向量的和被称为这两个向量的线性组合

    为什么叫线性组合呢?我们提供这样一种思路:

    • 当我们让两个向量相加时,如果固定一个向量,让另外一个向量任意移动,所产生向量的终点会描述出一条直线。

    而如果同时变化两个标量,我们就能得到所有的向量!

    向量空间

    定义:所以可以表示为给定向量线性组合的向量的集合,被称为给定向量张成的空间(span)。
    对不共线的任意两个二维向量来说,他们张成的空间是整个二维平面;
    而对于共线的两个二维向量来说,他们张成的空间就是一条直线。

    其实向量空间所引出的问题就是,仅仅通过向量加法和向量数乘两种操作,你可能得到的所有向量的集合是什么。

    向量与点

    当我们考虑很多个向量的时候,通常我们就用向量的终点代表一个向量,因为起点都是原点,当我们考虑所有二维向量时,我们只需要考虑无限大的二维平面即可。

    当我们考虑很少的向量的时候,我们还是可以把向量考虑成一个带有箭头的向量。

    三维空间张成向量

    当我们去考虑三维空间中张成向量的时候,问题变得有趣了。

    如果我们固定其中一个向量不动,另外两个向量自由移动,三个向量相加,我们就可以得到一个平面。

    三个向量的线性组合也就是选择三个标量,对三个向量分别进行缩放,然后把结果相加,就得到了三个向量的线性组合。

    三个向量所有的线性组合组成了他们张成的空间。

    当我们再加上第三个向量的时候,之前两个向量形成的平面沿着第三个向量的方向在空间中移动,直到覆盖了空间中所有的位置(相当于一个面沿着某个方向移动,最终会占满所有的位置)。

    多个向量的线性相关

    结合之前所说的,我们有两种角度去理解多个向量的线性相关:

    1. 如果有多个向量,如果移除其中的某一个向量而不会影响他们张成的空间,那么就称这个向量和之前的向量线性相关
    2. 如果有某一个向量能够被表示成其他向量的线性组合,那么就称这个向量和之前的向量线性相关,因为这个向量已经落在其他向量张成的空间中。

    另一方面,如果每个向量都为张成空间作出了贡献,那么就称它们是线性无关的。

    之后会继续学习矩阵及其运算和相关性质。

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    千次阅读 2020-11-18 21:49:20
    上网一查更迷惑了,很多的线性代数教材倾向于将二者等价,大家对向量空间和线性空间的关系持两种观点:1、向量空间和线性空间二者等价;2、向量空间是线性空间更具体地一种情况或者特例,而线性空间是更抽象化地概念...
  • MIT线性代数1806(5) 对称矩阵 转置矩阵 向量空间空间
  • 线性代数-向量空间

    千次阅读 2020-09-09 09:13:18
    线性代数学习笔记向量空间 向量空间 向量空间的严格定义: 设 VVV 为一向量组,如果 VVV 非空,且 VVV 对于向量的加法以及数乘两种运算封闭,那么就称 VVV 为 向量空间。 所谓封闭,是指在 VVV 中向量进行数乘和加...
  • 注:因为原体积是棱边为1的立方体(以各个基向量组成的平面/空间图形,在研究缩放时具有代表性,后续会解释这一点),而立方体体积为1,所以行列式的数值也可以看成是变换后得到的平行六面体的体积。 详细剖析...
  • 上文中说到,向量坐标中的数字,可视为对基向量的拉伸或压缩,同样也说到,可以选择不同的基向量,构建完全合理的坐标系: 通过选择两个标量 ,分别用于缩放二者的其中之一,然后相加,我们会得到不同的结果,...
  • 这个题曾是我百思不得其解的一道题。以上解题过程来自我的高代老师,以下的总结是我在看了这个...所以A的列向量张成空间不应该就是U的正交补码?那么原因到底出在哪里呢?其实就是A的解空间U,它的维数应该是变元...

空空如也

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向量张成的空间