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  • 向量所成角
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    2021-01-30 16:12:45

    最低0.27元/天开通百度文库会员,可在文库查看完整内容> 原发布者:design_ycl ?两个向量的夹角的定义:对于非零向量,,作称为向量,的夹角,当=0时,,同向,当.

    向量的夹角就是向量两条向量所成角 其范围是在0到180度 而向量夹角的余弦值等于= 向量的乘积/向量模的积 即cos=ab/ (|a|·|b|)

    两向量夹角怎么求???给的是坐标,要求步骤详细点,多谢

    夹角为α=arccos(∑(xiyi)/sqrt((∑(xixi)∑(yiyi))) 即:cos夹角=两个向量的内积/向量的模(“长度”)的乘积 另:两个向量应当是同一个空间里的,也就是m和n应该相等。

    虚数 a+bi的向量是什么? 他和a-bi向量的夹角怎么求?

    在虚数数轴中:a+bi即表示向量:(a,b) cos角=(a^2-b^2)/(a^2+b^2)

    向量夹角的定义:两相交直线所成的锐角或直角为两直线夹角。向量都有方向,两个向量正向的夹角就是平面向量的夹角,如∠aob=60°,就是指向量oa与ob夹角为60°,.

    两个向量的夹角怎么算

    假设两个向量是a与b,夹角是θ则cosθ=(a,b的向量积)/(a的模*b的模)然后由余弦值反求夹角θ。如果是坐标形式;a=(x1,y1)b=(x2,y2)a*b=x1x2+y1y2|a|=√(x1^2+y1^2)|b|=√(x2.

    知道两向量 如 :a(1,2) b(2,3) 求 a和b

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    设有三个点 a 、b、c, 求向量ba 和bc的平分线向量bp,如下示 方法是利用向量的加法,当两个向量ba 和bc的长度相等时,相加得到的向量平分线(三线合一), 代码如下: float2 fun(float2 a, float2 b, ...

    设有三个点 a 、b、c, 求向量babc的角平分线向量bp,如下所示

    在这里插入图片描述
    方法是利用向量的加法,当两个向量babc的长度相等时,相加得到的向量即角平分线(三线合一),
    代码如下:

    float2 fun(float2 a, float2 b, float2 c)
    {
    	float2 edge_a = (a-b);
    	float2 edge_b = (c-b);
    	float2 edge_aa = edge_a * length(edge_b);
    	float2 edge_bb = edge_b * length(edge_a);
    	float2 _move_dir = (edge_aa + edge_bb);
    	float2 move_dir = normalize(_move_dir); // 向量相加,等腰三角形三线重合
    	return move_dir;
    }
    
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          这次来计算一下世界空间三角形的外心(也就是外接圆的圆心)和外心为起点的平面法向量。

          问题:假设我们世界空间中有一个任意三角形,且已知三角形各个顶点ABC的坐标,求三角形的外心P和外心所在的法向量n,如下图:

     

          如果依稀还记得初中几何,就知道一个平面三角形外心计算规则:三角形任意两边的中垂线交点,则为外心。三角形所在平面法向量:以一顶点为端点的逆时针方向两条边的叉积则为平面法向量。

     

           其实一眼就看得出来原理:两条中垂线组成的三角形APC、BPC为等腰三角形,则AP=BP=CP,即P点位外心。

           那么我们任意选取三角形一边如AC,计算中垂线DP,根据AP=BP,则可以求出外心P的坐标,如下:

     

            假设△ABC的外心为P(x,y,z),条件整理如下:

            1.△ABC各个顶点坐标已知

            2.P(x,y,z)在△ABC所处的平面中,可以带入平面方程计算(平面方程理解

            3.PD⊥AC,即dot(PD,AC) = 0

            4.D = (A+C)/2

            5.AP、BP、CP模长相同

            将这些条件用来计算P(x,y,z),我们尝试一下:

      

               我们通过条件整理出①②③三个三元一次方程,接下来我们通过三元一次方程求解,如下:

      

              将①②③带入三元一次方程解:

      

              方程的参数和根巨复杂,我自己推导起来都要不停的返回瞄一下是否参数写错了,小伙伴们可能需要很仔细的查看推导过程。

              当然我们还是要用c#代码来实现一下:

    using System.Collections;
    using System.Collections.Generic;
    using UnityEngine;
    
    public class TriangleVerticeCenter : MonoBehaviour
    {
        public Transform TA;
        public Transform TB;
        public Transform TC;
        public Transform TP;
    
        void Start()
        {
    
        }
    
        void Update()
        {
            Vector3 p = CalculateTriangleOutCircleCenter(TA.position, TB.position, TC.position);
            TP.position = p;
            //PN法向量
            Vector3 PB = TB.position - p;
            Vector3 PC = TC.position - p;
            Vector3 PN = Vector3.Cross(PB, PC).normalized;
            Vector3 n = p + PN;
    #if UNITY_EDITOR
            Debug.DrawLine(TA.position, TB.position, Color.black);
            Debug.DrawLine(TB.position, TC.position, Color.black);
            Debug.DrawLine(TC.position, TA.position, Color.black);
    
            Debug.DrawLine(TA.position, p, Color.white);
            Debug.DrawLine(TB.position, p, Color.white);
            Debug.DrawLine(TC.position, p, Color.white);
    
            Debug.DrawLine(p, n, Color.red);
    
            Debug.LogFormat("AP = {0} BP = {1} CP = {2}", Vector3.Distance(TA.position, p), Vector3.Distance(TB.position, p), Vector3.Distance(TC.position, p));
    #endif
        }
    
        private Vector3 CalculateTriangleOutCircleCenter(Vector3 A, Vector3 B, Vector3 C)
        {
            float Xa = A.x;
            float Ya = A.y;
            float Za = A.z;
    
            float Xb = B.x;
            float Yb = B.y;
            float Zb = B.z;
    
            float Xc = C.x;
            float Yc = C.y;
            float Zc = C.z;
    
            Vector3 D = (A + C) / 2;
            float Xd = D.x;
            float Yd = D.y;
            float Zd = D.z;
    
            //单位法向量AN
            Vector3 AB = B - A;
            Vector3 AC = C - A;
            Vector3 AN = Vector3.Cross(AB, AC).normalized;
    
            float u = AN.x;
            float v = AN.y;
            float w = AN.z;
    
            //构建三元一次方程参数
            float a = u;
            float b = v;
            float c = w;
            float d = u * Xa + v * Ya + w * Za;
    
            float e = Xc - Xa;
            float f = Yc - Ya;
            float g = Zc - Za;
            float h = (Xc - Xa) * (Xc + Xa) / 2 + (Yc - Ya) * (Yc + Ya) / 2 + (Zc - Za) * (Zc + Za) / 2;
    
            float k = 2 * Xb - 2 * Xa;
            float l = 2 * Yb - 2 * Ya;
            float m = 2 * Zb - 2 * Za;
            float n = Xb * Xb - Xa * Xa + Yb * Yb - Ya * Ya + Zb * Zb - Za * Za;
    
            float[] equa = CalculateTernaryEquation(a, b, c, d, e, f, g, h, k, l, m, n);
            Vector3 P = new Vector3(equa[0], equa[1], equa[2]);
            return P;
        }
    
        private float[] CalculateTernaryEquation(float a, float b, float c, float d, float e, float f, float g, float h, float k, float l, float m, float n)
        {
            float z = ((d * e - a * h) * (f * k - e * l) - (h * k - e * n) * (b * e - a * f)) / ((c * e - a * g) * (f * k - e * l) - (b * e - a * f) * (g * k - e * m));
            float y = ((d * e - a * h) * (g * k - e * m) - (h * k - e * n) * (c * e - a * g)) / ((b * e - a * f) * (g * k - e * m) - (f * k - e * l) * (c * e - a * g));
            float x = 0;
            if (a != 0)
                x = (d - b * y - c * z) / a;
            else if (e != 0)
                x = (h - f * y - g * z) / e;
            else if (k != 0)
                x = (n - l * y - m * z) / k;
            return new float[] { x, y, z };
        }
    }
    

             效果如下:

     

              可以通过图形标注和打印信息看得出来,外接圆心和法向量计算正确。

     

          

     

         

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    模长:(在这里θ表示两向量之间的夹角(共起点的前提下)(0°≤θ≤180°),它位于这两个矢量所定义的平面上。)

    向量积的模(长度)在数值上等于,及其夹角θ组成的平行四边形的面积。所以求三角形ABC的面积,根据向量积的意义,可得三角形ABC的面积S:

    a×b=(aybz-azby)i+(azbx-axbz)j+(axby-aybx)k,为了帮助记忆,利用三阶行列式,写成:

    其中i,j,k是三个相互垂直的单位向量。它们刚好可以构成一个坐标系。

    这三个向量的特例就是i=(1,0,0),j=(0,1,0),k=(0,0,1)。

    tips:空间向量(x,y,z),其中x,y,z分别是三轴上的坐标,模长是

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