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  • 向量投影两个公式
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    2019-06-14 21:18:21
    已知向量a,b求向量b在向量a上的投影
    
    1 b的投影向量=Vector3.Dot(a.normalized,b)*a.normalized;
    
    
    2 b的投影向量=(Vector3.Dot(a,b)/a.magnitude)*a.normalized;
    
    
    3 将向量b分解为垂直于向量a和平行于向量b的两个向量(如下图)
    
    ![在这里插入图片描述](https://img-blog.csdnimg.cn/2019061421195928.jpeg?x-oss-process=image/watermark,type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk,shadow_10,text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl8zNjI4NTg5Mg==,size_16,color_FFFFFF,t_70)
    
    
    
    
    
    
    
    ps 计算向量的投影时需要注意投影的方向,投影方向可以根据两个向量点乘的结果来判断
    
    结果>0 和投影方向相同
    结果=0 无投影
    结果<0 和投影方向反向
    
    2 知道一个向量的模长后计算这个向量需要用模长乘以这个向量的单位向量才能得出正确结果
    
    
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    向量投影与向量投影矩阵

    向量投影

    以下是向量a在向量b上的投影,θ 为两向量的夹角。

     

    其中a = a||+a⊥,a||则是a在b上的投影。

     

     

     

    所以投影公式如下:

    向量投影矩阵

    将以上投影公式写成矩阵形式,这里使用的是列优先的矩阵,即向量写成一列多行。

     

    因为矩阵相乘符和结合律,所以:

    是一个矩阵,如果是二维向量则是2*2的矩阵,如果是三维向量则是一个3*3的矩阵,这个也就是向量投影矩阵。

    将向量投影矩阵记作P,则:

    P矩阵有些特性,首先P矩阵是一个对称矩阵,所以转置矩阵PT = P。其次如果一个向量在另一个向量上进行多次投影,其结果相等的,所以P^2 = P

    也就有 PT = P = P^2 = P^3 = … = P^n

     

    参考:

    https://blog.csdn.net/williamgavin/article/details/77427164

    《3D数学基础:图形与游戏开发》—— 5.10.3

    展开全文
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    给定一个向量u和v,求u在v上的投影向量,如下图。

    假设u在v上的投影向量是u’,且向量u和v的夹角为theta。一个向量有两个属性,大小和方向,我们先确定u’的大小(即长度,或者模),从u的末端做v的垂线,那么d就是u’的长度。而u’和v的方向是相同的,v的方向v/|v|也就是u’的方向。所以有

                              (1)

    再求d的长度。

                          (2)

    最后求cos(theta)

                       (3)

    联合求解方程(1)(2)(3)得到

    投影向量u'

     

    投影长度d为

    展开全文
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    056db2f0f1de5f5ef7f4b291692ea3ab.png

    向量积

    目录:

    • 向量积的定义。
    • 向量积的点乘。
    • 向量积的叉乘。

    1.向量积,数学中又称外积、叉积,物理中称矢积、叉乘,是一种在向量空间中二元运算。与点积不同,它的运算结果是一个向量而不是一个标量。并且两个向量的叉积与这两个向量和垂直。

    2.向量是由n个实数组成的一个n行1列(n*1)或一个1行n列(1*n)的有序数组。向量的点乘,也叫向量的内积、数量积,对两个向量执行点乘运算,就是对这两个向量对应位一一相乘之后求和的操作,点乘的结果是一个标量。那么接下来对点乘公式做一点解释:

    点乘公式
    对于向量a和向量b:

    cb5a2ec639413e1a66cf514057313fb7.png

    3f6a0b8f1f1719bfd9c302e3bd5ca687.png

    a和b的点积公式为:

    8d4bd9423fd4c6dfc3e99be12e2183fa.png

    要求一维向量a和向量b的行列数相同。

    点乘几何意义

    点乘的几何意义是可以用来表征或计算两个向量之间的夹角,以及在b向量在a向量方向上的投影,有公式:

    3d1c1e6662443935d77fc85e5013a796.png

    推导过程如下,首先看一下向量组成:

    ebbee88a93f860c30428a2840932329c.png

    定义向量:

    8c38d9d39b93422b250fd638005e2725.png

    根据三角形余弦定理有:

    b8da620473cf5ad4ce58a005573e4ba8.png

    根据关系c=a-b(a、b、c均为向量)有:

    8abc2e3c4fd28df63ad613c36676b3d0.png

    即:

    e81db3300701df55457fa689ccf43089.png

    向量a,b的长度都是可以计算的已知量,从而有a和b间的夹角θ:

    a2301f1fe29e603e01c5b73f802f915c.png

    根据这个公式就可以计算向量a和向量b之间的夹角。从而就可以进一步判断这两个向量是否是同一方向,是否正交(也就是垂直)等方向关系,具体对应关系为:
    a·b>0 方向基本相同,夹角在0°到90°之

    a·b=0 正交,相互垂直。

    a·b<0 方向基本相反,夹角在90°到180°之间。

    3.叉乘公式

    两个向量的叉乘,又叫向量积、外积、叉积,叉乘的运算结果是一个向量而不是一个标量。并且两个向量的叉积与这两个向量组成的坐标平面垂直。

    对于向量a和向量b:

    c139c63b6c09f7feb03454cf3bd03421.png

    a和b的叉乘公式为:

    5e5076ac4bf0df7edddb0a8923a647c4.png

    其中:

    d2b1dc11b28aa5dd837477c5748da775.png

    根据i、j、k间关系,有:

    dfc9d92feede40c78d090cbbe953c22c.png

    叉乘几何意义

    在三维几何中,向量a和向量b的叉乘结果是一个向量,更为熟知的叫法是法向量,该向量垂直于a和b向量构成的平面。

    在3D图像学中,叉乘的概念非常有用,可以通过两个向量的叉乘,生成第三个垂直于a,b的法向量,从而构建X、Y、Z坐标系。如下图所示:

    5d4164325ae1734f80068e91af7ba8d6.png

    在二维空间中,叉乘还有另外一个几何意义就是:aXb等于由向量a和向量b构成的平行四边形的面积。

    参考资料:https://blog.csdn.net/dcrmg/article/details/52416832

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