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  • 支持向量机可以用来拟合线性回归。 相同的最大间隔(maximum margin)的概念应用到线性回归拟合。代替最大化分割两类目标是,最大化分割包含大部分的数据点(x,y)。我们将用相同的iris数据集,展示用刚才的概念来...

    支持向量机可以用来拟合线性回归。
    相同的最大间隔(maximum margin)的概念应用到线性回归拟合。代替最大化分割两类目标是,最大化分割包含大部分的数据点(x,y)。我们将用相同的iris数据集,展示用刚才的概念来进行花萼长度与花瓣宽度之间的线性拟合。

    相关的损失函数类似于max(0,|yi-(Axi+b)|-ε)。ε这里,是间隔宽度的一半,这意味着如果一个数据点在该区域,则损失等于0。

    # SVM Regression
    #----------------------------------
    #
    # This function shows how to use TensorFlow to
    # solve support vector regression. We are going
    # to find the line that has the maximum margin
    # which INCLUDES as many points as possible
    #
    # We will use the iris data, specifically:
    #  y = Sepal Length
    #  x = Pedal Width
    
    import matplotlib.pyplot as plt
    import numpy as np
    import tensorflow as tf
    from sklearn import datasets
    from tensorflow.python.framework import ops
    ops.reset_default_graph()
    
    # Create graph
    sess = tf.Session()
    
    # Load the data
    # iris.data = [(Sepal Length, Sepal Width, Petal Length, Petal Width)]
    iris = datasets.load_iris()
    x_vals = np.array([x[3] for x in iris.data])
    y_vals = np.array([y[0] for y in iris.data])
    
    # Split data into train/test sets
    train_indices = np.random.choice(len(x_vals), round(len(x_vals)*0.8), replace=False)
    test_indices = np.array(list(set(range(len(x_vals))) - set(train_indices)))
    x_vals_train = x_vals[train_indices]
    x_vals_test = x_vals[test_indices]
    y_vals_train = y_vals[train_indices]
    y_vals_test = y_vals[test_indices]
    
    # Declare batch size
    batch_size = 50
    
    # Initialize placeholders
    x_data = tf.placeholder(shape=[None, 1], dtype=tf.float32)
    y_target = tf.placeholder(shape=[None, 1], dtype=tf.float32)
    
    # Create variables for linear regression
    A = tf.Variable(tf.random_normal(shape=[1,1]))
    b = tf.Variable(tf.random_normal(shape=[1,1]))
    
    # Declare model operations
    model_output = tf.add(tf.matmul(x_data, A), b)
    
    # Declare loss function
    # = max(0, abs(target - predicted) + epsilon)
    # 1/2 margin width parameter = epsilon
    epsilon = tf.constant([0.5])
    # Margin term in loss
    loss = tf.reduce_mean(tf.maximum(0., tf.subtract(tf.abs(tf.subtract(model_output, y_target)), epsilon)))
    
    # Declare optimizer
    my_opt = tf.train.GradientDescentOptimizer(0.075)
    train_step = my_opt.minimize(loss)
    
    # Initialize variables
    init = tf.global_variables_initializer()
    sess.run(init)
    
    # Training loop
    train_loss = []
    test_loss = []
    for i in range(200):
        rand_index = np.random.choice(len(x_vals_train), size=batch_size)
        rand_x = np.transpose([x_vals_train[rand_index]])
        rand_y = np.transpose([y_vals_train[rand_index]])
        sess.run(train_step, feed_dict={x_data: rand_x, y_target: rand_y})
    
        temp_train_loss = sess.run(loss, feed_dict={x_data: np.transpose([x_vals_train]), y_target: np.transpose([y_vals_train])})
        train_loss.append(temp_train_loss)
    
        temp_test_loss = sess.run(loss, feed_dict={x_data: np.transpose([x_vals_test]), y_target: np.transpose([y_vals_test])})
        test_loss.append(temp_test_loss)
        if (i+1)%50==0:
            print('-----------')
            print('Generation: ' + str(i+1))
            print('A = ' + str(sess.run(A)) + ' b = ' + str(sess.run(b)))
            print('Train Loss = ' + str(temp_train_loss))
            print('Test Loss = ' + str(temp_test_loss))
    
    # Extract Coefficients
    [[slope]] = sess.run(A)
    [[y_intercept]] = sess.run(b)
    [width] = sess.run(epsilon)
    
    # Get best fit line
    best_fit = []
    best_fit_upper = []
    best_fit_lower = []
    for i in x_vals:
      best_fit.append(slope*i+y_intercept)
      best_fit_upper.append(slope*i+y_intercept+width)
      best_fit_lower.append(slope*i+y_intercept-width)
    
    # Plot fit with data
    plt.plot(x_vals, y_vals, 'o', label='Data Points')
    plt.plot(x_vals, best_fit, 'r-', label='SVM Regression Line', linewidth=3)
    plt.plot(x_vals, best_fit_upper, 'r--', linewidth=2)
    plt.plot(x_vals, best_fit_lower, 'r--', linewidth=2)
    plt.ylim([0, 10])
    plt.legend(loc='lower right')
    plt.title('Sepal Length vs Pedal Width')
    plt.xlabel('Pedal Width')
    plt.ylabel('Sepal Length')
    plt.show()
    
    # Plot loss over time
    plt.plot(train_loss, 'k-', label='Train Set Loss')
    plt.plot(test_loss, 'r--', label='Test Set Loss')
    plt.title('L2 Loss per Generation')
    plt.xlabel('Generation')
    plt.ylabel('L2 Loss')
    plt.legend(loc='upper right')
    plt.show()
    

    输出结果:

    -----------
    Generation: 50
    A = [[ 2.91328382]] b = [[ 1.18453276]]
    Train Loss = 1.17104
    Test Loss = 1.1143
    -----------
    Generation: 100
    A = [[ 2.42788291]] b = [[ 2.3755331]]
    Train Loss = 0.703519
    Test Loss = 0.715295
    -----------
    Generation: 150
    A = [[ 1.84078252]] b = [[ 3.40453291]]
    Train Loss = 0.338596
    Test Loss = 0.365562
    -----------
    Generation: 200
    A = [[ 1.35343242]] b = [[ 4.14853334]]
    Train Loss = 0.125198
    Test Loss = 0.16121


    基于iris数据集(花萼长度和花瓣宽度)的支持向量机回归,间隔宽度为0.5


    每次迭代的支持向量机回归的损失值(训练集和测试集)

    直观地讲,我们认为SVM回归算法试图把更多的数据点拟合到直线两边2ε宽度的间隔内。这时拟合的直线对于ε参数更有意义。如果选择太小的ε值,SVM回归算法在间隔宽度内不能拟合更多的数据点;如果选择太大的ε值,将有许多条直线能够在间隔宽度内拟合所有的数据点。作者更倾向于选取更小的ε值,因为在间隔宽度附近的数据点比远处的数据点贡献更少的损失。

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  • 在图像分析中,例如在 AFM 地形学领域,一个标准问题是将给定 ORDer 的多项式拟合到多列数据,被视为同一自变量的不同函数。 POLYFIC 以矢量化的方式(不使用循环)解决了这个... POLYVAC 可以使用生成的拟合向量矩阵
  • 基于多重线性拟合的综合权向量确定方法
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    一、创建向量
    
      1、a=[1,2,3]
      2、a=1:k:9  k为步长
      3、a=linspace(1,10,k)  k为向量中元素的个数
    二、创建矩阵
      1、a=[1,2,3;4,5,6]
      2、a=reshape(1:12,3,[])  3表示矩阵为3行

      3、ones(3,4)  创建3行4列矩阵  randi(10,[5,4])  创建5行4列 元素范围在1~10的矩阵

    三、拟合一组散点

    x=[2954.9,7866.9,5272.0];
    y=[3281.5,8683.7,5354.6];
    xi=1:1:8000;
    p=polyfit(x,y,1)%  1表示1次拟合
    yi=polyval(p,xi);
    plot(x,y,'o',xi,yi)


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         点云法向量估计的主要思路是对K-近邻的N个点进行平面拟合(平面过N点重心),平面法向量即为所求;所以求法向量就是变相的求拟合平面。

    下面我们用最小二乘法求k近邻点云的拟合平面:

    当 ||x||=1时,Ax=0的最小二乘解是ATA的最小特征值对应的特征向量等同于:ATA的最小特征值所对应的特征向量可使||Ax||最小。

    结论:假设k-近邻点矩阵B,B为k*3的矩阵,则根据B拟合平面的法向量就是BTB对应的最小特征向量;

    同理我们可以得出BTB对应的最大特征向量就是拟合平面的方向向量。(这里的前提是:B已经去中心化)


    实际上,求一组点的拟合平面的过程,就是求其PCA的过程。因为PCA也是可以通过最小化投影距离推导出来的。即样本点到这个超平面的距离足够近。

    PCA的推导:基于最小投影距离

    重建:

                                  

         上式中的x'其实表示原样本点在新的基下的拉伸程度系数,我们把拉伸系数再乘上对应的基向量(在原坐标系下的方向向量),就相当于求出投影后的样本点在原坐标系下的坐标。以三维坐标为例,将点P(x,y,z)投影到一个平面内,变成二维坐标M(x',y'),平面使用2个基向量(基向量是3维)表示,(x',y')再与2个基向量相乘求和,就得到点M在原三维空间的坐标。

    即样本点到这个超平面的距离足够近。

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  • 拟合平面的方程为∏:a*x+b*y+c*z+d=0. 数据点Pi到平面a*x+b*y+c*z+d=0的距离设为di, 则di^2=(a*xi+b*yi+c*zi+d)^2/(a^2+b^2+c^2), 令L=∑di^2 (i=1,...,n),为目标函数,现欲使L最小. L可以看成是关于(a,b,c,d)的...

    转自:https://blog.csdn.net/z444_579/article/details/50039771

    设有n个数据点Pi(xi,yi,zi).

    假设平面方程为:a*x+b*y+c*z+d=0,其中a、b、c、d为待定系数a、b、c不能同时为0.
    显然,a*x+b*y+c*z+d=0与
    k*a*x+k*b*y+k*c*z+k*d=0(k≠0)
    表示同一个平面.故,如d不为0,可通过把方程两边同除以d,把常数项化为1;但d=0时,情况稍微复杂一点.
    现在说明大致思路,为讨论方便,开始时暂不假设d=1或0.
    设拟合平面的方程为∏:a*x+b*y+c*z+d=0.
    数据点Pi到平面a*x+b*y+c*z+d=0的距离设为di,
    则di^2=(a*xi+b*yi+c*zi+d)^2/(a^2+b^2+c^2),
    令L=∑di^2 (i=1,...,n),为目标函数,现欲使L最小.
    L可以看成是关于(a,b,c,d)的函数((xi,yi,zi)均已知),
    L取最小值的一个必要(非充分)条件是:
    ∂L/∂a=0,∂L/∂b=0,∂L/∂c=0,∂L/∂d=0,
    ∂L/∂a=∑2*xi*(a*xi+b*yi+c*zi+d)/(a^2+b^2+c^2) (i=1,...,n)
    =A1*a+B1*b+C1*c+D1*d,
    其中,
    A1=2/(a^2+b^2+c^2)*(∑xi^2)(i=1,...,n),
    B1=2/(a^2+b^2+c^2)*(∑xi*yi)(i=1,...,n),
    C1=2/(a^2+b^2+c^2)*(∑xi*zi)(i=1,...,n),
    D1=2/(a^2+b^2+c^2)*(∑xi)(i=1,...,n),
    同理,
    ∂L/∂b=A2*a+B2*b+C2*c+D2*d,
    ∂L/∂c=A3*a+B3*b+C3*c+D3*d,
    其中,
    A2=2/(a^2+b^2+c^2)*(∑yi*xi)(i=1,...,n),
    B2=2/(a^2+b^2+c^2)*(∑yi^2)(i=1,...,n),
    C2=2/(a^2+b^2+c^2)*(∑yi*zi)(i=1,...,n),
    D2=2/(a^2+b^2+c^2)*(∑yi)(i=1,...,n),
    A3=2/(a^2+b^2+c^2)*(∑zi*xi)(i=1,...,n),
    B3=2/(a^2+b^2+c^2)*(∑zi*yi)(i=1,...,n),
    C3=2/(a^2+b^2+c^2)*(∑zi^2)(i=1,...,n),
    D3=2/(a^2+b^2+c^2)*(∑zi)(i=1,...,n),
    ∂L/∂d=∑2*(a*xi+b*yi+c*zi+d)/(a^2+b^2+c^2) (i=1,...,n)
    =D1*a+D2*b+D3*c+D4*d,
    其中,D4=2n/(a^2+b^2+c^2).
    于是有方程组:
    A1*a+B1*b+C1*c+D1*d=0,
    A2*a+B2*b+C2*c+D2*d=0,
    A3*a+B3*b+C3*c+D3*d=0,
    D1*a+D2*b+D3*c+D4*d=0,

    解此方程组即可.具体如何解,可参考计算方法的书,上面有详细说明.

    千万注意:上述矩阵的秩rank<=3, 会的人立刻明白怎么结算了,不会的留言吧.



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