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  • 数量积向量积与混合积

    千次阅读 2018-03-27 23:30:17
    对两个向量a→a→\overrightarrow a和b→b→\overrightarrow b进行运算运算的结果是一个数,这个数等于|a→|、|b→||a→|、|b→||\overrightarrow a|、|\overrightarrow b|及它们的夹角θθ\theta的余弦的乘积,则...

    数量积

    对两个向量 a → \overrightarrow a a b → \overrightarrow b b 进行运算,运算的结果是一个数,这个数等于 ∣ a → ∣ 、 ∣ b → ∣ |\overrightarrow a|、|\overrightarrow b| a b 及它们的夹角 θ \theta θ的余弦的乘积,则这个数称作数量积,记做: a → ⋅ b → \overrightarrow a ·\overrightarrow b a b

    定义式
    a → ⋅ b → = ∣ a → ∣ ∣ b → ∣ cos ⁡ θ \overrightarrow a · \overrightarrow b = |\overrightarrow a||\overrightarrow b| \cos \theta a b =a b cosθ

    坐标表达式(空间坐标系):
    a → ⋅ b → = a x b x + a y b y + a z b z \overrightarrow a · \overrightarrow b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z a b =axbx+ayby+azbz
    由定义式和坐标表达式可以求得两向量夹角 θ \theta θ的余弦的乘积
    cos ⁡ θ = a → ⋅ b → ∣ a → ∣ ∣ b → ∣ = a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2 \cos \theta = \frac{\overrightarrow a · \overrightarrow b}{ |\overrightarrow a||\overrightarrow b|} = \frac{a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z}{\sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}\sqrt{b_x^2 + b_y^2 + b_z^2}} cosθ=a b a b =ax2+ay2+az2 bx2+by2+bz2 axbx+ayby+azbz

    数量积的特点

    • a → ⋅ a → = ∣ a → ∣ 2 cos ⁡ 0 = ∣ a → ∣ 2 \overrightarrow a · \overrightarrow a = |\overrightarrow a|^2 \cos 0 = |\overrightarrow a|^2 a a =a 2cos0=a 2
    • 向量 a → ⊥ b → \overrightarrow a \bot \overrightarrow b a b 的充要条件是 a → ⋅ b → = 0 \overrightarrow a · \overrightarrow b = 0 a b =0
    • 两个向量数量积的结果是一个数

    数量积的运算规律

    • 交换律: a → ⋅ b → = b → ⋅ a → \overrightarrow a · \overrightarrow b = \overrightarrow b · \overrightarrow a a b =b a
    • 分配律: ( a → + b → ) ⋅ c → = a → ⋅ c → + b → ⋅ c → (\overrightarrow a + \overrightarrow b)· \overrightarrow c = \overrightarrow a · \overrightarrow c + \overrightarrow b · \overrightarrow c (a +b )c =a c +b c
    • 常数结合律: ( λ a → ) ⋅ b → = λ ( a → ⋅ b → ) ; λ 为 常 数 (\lambda \overrightarrow a)· \overrightarrow b = \lambda(\overrightarrow a · \overrightarrow b);\lambda 为常数 (λa )b =λ(a b );λ

    向量积

    c → \overrightarrow c c a → 、 b → \overrightarrow a、\overrightarrow b a b 按下列方式定义出:

    1. ∣ c → ∣ = ∣ a → ∣ ∣ b → ∣ sin ⁡ θ |\overrightarrow c| = |\overrightarrow a||\overrightarrow b| \sin \theta c =a b sinθ,其中 θ \theta θ a → 、 b → \overrightarrow a、\overrightarrow b a b 之间的夹角
    2. c → \overrightarrow c c 的垂直于 a → \overrightarrow a a b → \overrightarrow b b 所决定的平面
    3. c → \overrightarrow c c 的指向按"向量右手规则"从 a → \overrightarrow a a 转向 b → 来 确 定 \overrightarrow b来确定 b

    向量右手规则
    假设已经在平面上确定了x和y轴,若想再建立一个z轴将平面扩充成空间,且z轴既垂直于x轴,也垂直于y轴(即垂直于已有的平面)。因为数轴存在方向,所以可以有两条(正负各一条),但是数轴必须要有一个正方向,所以必须从两条里面选一条做正方向,因此,有了
    向量右手规则*:把右手伸出来,摊开,四指先指向x的方向,然后自然弯曲90度,如果此时四指刚好指向y的方向,那么大拇指的指向就是z的正方向了。

    c → \overrightarrow c c 叫做 a → \overrightarrow a a b → \overrightarrow b b 的向量积,记做 a → × b → \overrightarrow a × \overrightarrow b a ×b

    定义式
    c → = a → × b → \overrightarrow c = \overrightarrow a × \overrightarrow b c =a ×b

    坐标表达式
    a → × b → = ∣ 1 1 1 a x a y a z b x b y b z ∣ \overrightarrow a × \overrightarrow b = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ \end{vmatrix} a ×b =1axbx1ayby1azbz

    向量积的特点

    • ∣ a → × a → ∣ = ∣ a → ∣ ∣ a → ∣ sin ⁡ 0 = 0 |\overrightarrow a × \overrightarrow a| = |\overrightarrow a||\overrightarrow a|\sin 0 = 0 a ×a =a a sin0=0
    • a → / / b → \overrightarrow a // \overrightarrow b a //b 的充要条件是 a → × b → = 0 \overrightarrow a × \overrightarrow b = 0 a ×b =0
    • a → 、 b → \overrightarrow a、\overrightarrow b a b 在同一平面内,则该平面的法向量 n → = a → × b → \overrightarrow n = \overrightarrow a×\overrightarrow b n =a ×b
    • ∣ c → ∣ = ∣ a → ∣ ∣ b → ∣ sin ⁡ θ |\overrightarrow c| = |\overrightarrow a||\overrightarrow b| \sin \theta c =a b sinθ可以知道,向量积的大小等于以 ∣ a → ∣ 、 ∣ b → ∣ |\overrightarrow a|、|\overrightarrow b| a b 为边长的平行四边形面积的大小
    • 两个向量向量积的结果是一个向量

    向量积的运算规律

    • a → × b → = − b → × a → \overrightarrow a × \overrightarrow b = - \overrightarrow b × \overrightarrow a a ×b =b ×a ,原因是右向量右手规则会得出两个大小相同方向相反的向量
    • 分配律: ( a → + b → ) × c → = a → × c → + b → × c → (\overrightarrow a + \overrightarrow b) × \overrightarrow c = \overrightarrow a × \overrightarrow c + \overrightarrow b × \overrightarrow c (a +b )×c =a ×c +b ×c
    • 常数结合律: ( λ a → ) × b → = a → × ( λ b → ) = λ ( a → × b → ) (\lambda \overrightarrow a) × \overrightarrow b = \overrightarrow a × (\lambda \overrightarrow b) = \lambda (\overrightarrow a × \overrightarrow b) (λa )×b =a ×(λb )=λ(a ×b )

    混合积

    设已知三个向量 a → 、 b → \overrightarrow a、\overrightarrow b a b c → \overrightarrow c c 。先作两向量 a → \overrightarrow a a b → \overrightarrow b b 的向量积 a → × b → \overrightarrow a × \overrightarrow b a ×b ,把所得的向量积与 c → \overrightarrow c c 再做数量积,这样得到的数量就叫 a → 、 b → 、 c → \overrightarrow a、\overrightarrow b 、 \overrightarrow c a b c 的混合积,记做 [ a → b → c → ] [\overrightarrow a \overrightarrow b \overrightarrow c] [a b c ]

    定义式
    [ a → b → c → ] = ( a → × b → ) ⋅ c → = ∣ a x a y a z b x b y b z c x c y c z ∣ [\overrightarrow a \overrightarrow b \overrightarrow c] = (\overrightarrow a × \overrightarrow b) · \overrightarrow c = \begin{vmatrix} a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \\ \end{vmatrix} [a b c ]=(a ×b )c =axbxcxaybycyazbzcz

    混合积的特点

    • [ a → b → c → ] = 0 [\overrightarrow a \overrightarrow b \overrightarrow c] = 0 [a b c ]=0,则 a → 、 b → 、 c → \overrightarrow a、 \overrightarrow b、 \overrightarrow c a b c 共面
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  • 除了正常的加减乘除以外,向量的最常见的三个运算是点、叉积、正交基。 对于向量的乘法和除法要做一下说明,因为除发的效率要远低于乘法,因此会将除法尽可能的化为乘法来实现。比如我们要对向量缩放一半,则可以...

    除了正常的加减乘除以外,向量的最常见的三个运算是点积、叉积、正交基。

    对于向量的乘法和除法要做一下说明,因为除发的效率要远低于乘法,因此会将除法尽可能的化为乘法来实现。比如我们要对向量缩放一半,则可以除以2,也可以乘以0.5,则尽量要以乘以0.5来实行。

    【向量定义】

    对于n维向量来说,有n个相互垂直的正交基 {{v_1,v_2,v_3...v_n}},那么一个独立的n维标量集{s_1,s_2,s_3,s_4...s_n}和此正交基存在一个线性组合v=s_1v_1+s_2v_2+s_3v_3+...s_nv_n,则v(s_1,s_2,s_3...s_n)就是一个n维向量。

    这里面有一点要注意,只要有正交基,则可以在基上定义向量。比如经常的局部坐标系就是要求其正交基在其上定义局部坐标,比如这篇文章就求了相机坐标的局部坐标系的正交基:【OptiX】第1个示例 光线生成模块(RayGenerationProgram), 相机操作、添加三角网以及相交丢失模块(Miss Program)

    【向量的加减法】

    在求解颜色时,我们经常使用到加法,比如漫反射的结果再加上镜面反射的结果是最终的结果等等。这里要理解的一点是当代表颜色时,加法代表两个颜色叠加。比如R(1.0, 0.0, 0.0)+G(1.0, 0.0, 0.0)+B(1.0, 0.0, 0.0)=W(1.0, 1.0, 1.0),结果就是颜色混合的白色。

    向量的加法从几何上代表两个向量所围成的平行四边形的对角线:

    向量的减法代表另一条对角线(v_1-v_2)时,v_1叫做被减向量,v_2叫做减向量,记v_1-v_2方向的一个口决是:指向被减向量

    【向量的点积】

    向量点积的定义,拿三维向量来说:

    v\cdot w=v_x\cdot w_x+v_y\cdot w_y+v_z\cdot w_z

    这里要注意向量的点积结果是一个数值,而非一个向量。

    下面来推导点积的最重要的几何意义公式v\cdot w=\left | v \right |\left | w \right |cos\theta其中\theta是两个向量之间的夹角。当vw都是单位向量时,v\cdot w=cos\theta 这是图形学界使用频率最高的公式之一。仅对二三维有效。

    下面来进行推导:

    \vec{a_1}=(x_1,y_1,z_1), \vec{b_1}=(x_2,y_2,z_2),它们的终点分别为A=(x_1,y_1,z_1), B=(x_2,y_2,z_2),\overrightarrow{AB}=(x_2-x_1,y_2-y_1,z_2-z_1)

    那么,在三角形OAB中,使用余弦定理:

    \left | AB \right |^2=\left | a_1 \right |^2+\left | b_1 \right |^2-\left | a_1 \right |\left | b_1 \right |cos\theta 其中\thetaa_1b_1的夹角。

    将A,B,\overrightarrow{AB}的值代入后,整理即得\vec{a}\cdot \vec{b}=x_1\cdot x_2+y_1\cdot y_2 +z_1\cdot z_2=\left | \vec{a} \right |\left | \vec{b} \right |cos\theta

    【向量的叉积】

    先看叉积的性质。两个向量的叉积的结果是垂直于这两个向量\vec{a}\vec{b}的第三个向量\vec{a}\times \vec{b},它的方向使用右手螺旋定则,长度则为\vec{a}\vec{b}所围的平行四边形的面积。

    \left |\vec{a}\times \vec{b} \right |=\left | \vec{a} \right |\left | \vec{b} \right |sin\theta,其中\theta\vec{a}\vec{b}的夹角。

    叉乘满足的基本性质如下:

    1. \left |\vec{a}\times \vec{a} \right |=\left | \vec{a} \right |\left | \vec{a} \right |sin\theta=0,自己与自己的夹角\theta=0,则sin\theta=0,所夹的平行四边形的面积也是0。
    2. \left |\vec{a}\times \vec{b} \right |=-\left |\vec{b}\times \vec{a} \right |
    3. (\vec{a}+\vec{b})\times \vec{c}=\vec{a}\times \vec{c}+\vec{b}\times \vec{c}

    再看叉乘在数值计算上的定义:

    u\times w=(u_1\vec{i}+u_2\vec{j}+u_3\vec{k})\times (v_1\vec{i}+v_2\vec{j}+v_3\vec{k})=u_1v_1\vec{i}\times\vec{i}+u_1v_2\vec{i}\times\vec{j}+u_1v_3\vec{i}\times\vec{k}

    +u_2v_1\vec{j}\times\vec{i}+u_2v_2\vec{j}\times\vec{j}+u_2v_3\vec{j}\times\vec{k}

    +u_3v_1\vec{k}\times\vec{i}+u_3v_2\vec{k}\times\vec{j}+u_3v_3\vec{k}\times\vec{k} (展开式一)

    先讨论正交基\vec{i}\vec{j}\vec{k}的运算法则:

    \vec{i}\times\vec{i}=\vec{j}\times\vec{j}=\vec{k}\times\vec{k}=0

    \left\{\begin{matrix} \vec{i}\times\vec{j}=\vec{k}& \vec{j}\times\vec{i}=-\vec{k}\\ \vec{j}\times\vec{k}=\vec{i}& \vec{k}\times\vec{j}=-\vec{i}\\ \vec{k}\times\vec{i}=\vec{j}& \vec{i}\times\vec{k}=-\vec{j}\\ \end{matrix}\right.

    再代入到(展开式一)

    u\times w=(u_1v_2-u_2v_1)\vec{k}+(u_2v_3-u_3v_2)\vec{i}+(u_3v_1-u_1v_3)\vec{j}

    =\begin{bmatrix} u_2 & u_3\\ v_2 & v_3 \end{bmatrix}\vec{i}- \begin{bmatrix} u_1 & u_3\\ v_1 & v_3 \end{bmatrix}\vec{j}+ \begin{bmatrix} u_1 & u_2\\ v_1 & v_2 \end{bmatrix}\vec{k}

    =\begin{bmatrix} \vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \end{bmatrix}

    【计算正交基】

    向量的经常的一个操作是构造正交基,根据一个向量,构建正交基,往往需要用到叉乘。在给定的单位向量\vec{a}=(x,y,z),构建一个与之垂直的向量\vec{b},则保证其相互垂直,则\vec{a}\cdot \vec{b}=0,随手可构造\vec{b}=(-z,0,x),再构造\vec{c}=\vec{a}\times \vec{b}

    pbrt-v2的geometry.h的针对向量的定义中有个内联函数用来根据一个输入的向量,计算正交基,输入一个v1,输出v2, 和v3,都是单位向量:

    inline void CoordinateSystem(const Vector &v1, Vector *v2, Vector *v3) {
        if (fabsf(v1.x) > fabsf(v1.y)) {
            float invLen = 1.f / sqrtf(v1.x*v1.x + v1.z*v1.z);
            *v2 = Vector(-v1.z * invLen, 0.f, v1.x * invLen);
        }
        else {
            float invLen = 1.f / sqrtf(v1.y*v1.y + v1.z*v1.z);
            *v2 = Vector(0.f, v1.z * invLen, -v1.y * invLen);
        }
        *v3 = Cross(v1, *v2);
    }

     

     

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  • 数量积向量积(点积与叉积)

    万次阅读 2013-12-23 14:58:53
    数量积即点积。 定义 在数学中,数量积(dot product; scalar product,也称为标量积、点积、点乘)是接受在实数R上的两个矢量并返回一个实数值标量的二元运算。它是欧几里得空间的标准内积。 两个矢量a = [a1, ...

     

     

     

    点积

    数量积即点积。

    定义

    数学中,数量积(dot product; scalar product,也称为标量积、点积、点乘)是接受在实数R上的两个矢量并返回一个实数值标量二元运算。它是欧几里得空间的标准内积

    两个矢量a = [a1, a2,…, an]和b = [b1, b2,…, bn]的点积定义为:

    a·b=a1b1+a2b2+……+anbn

    使用矩阵乘法并把(纵列)矢量当作n×1 矩阵,点积还可以写为:

    a·b=a^T*b,这里的a^T指示矩阵a的转置

     

    点积的值由以下三个值确定:u的大小、v的大小、u,v夹角的余弦。在u,v非零的前提下,点积如果为负,则u,v形成的角大于90度;如果为零,那么u,v垂直;如果为正,那么u,v形成的角为锐角。点积

    点积

    点积得到两个向量夹角的cos值,通过它可以知道两个向量的相似性,利用点积可判断一个多边形是否面向摄像机还是背向摄像机

    向量的点积与它们夹角的余弦成正比,因此在聚光灯的效果计算中,可以根据点积来得到光照效果,如果点积越大,说明夹角越小,则物理离光照的轴线越近,光照越强。运算律

    1.交换律:α·β=β·α 2.分配律:(α+β)·γ=α·γ+β·γ 3.若λ为数:(λα)·β=λ(α·β)=α·(λβ) 若λ、μ为数::(λα)·(μβ)=λμ(α·β) 4.α·α=|α|^2 ,此外:α·α=0〈=〉α=0。 向量的数量积不满足消去律,即一般情况下:α·β=α·γ,α≠0 ≠〉β=γ。 向量的数量积不满足结合律,即一般(α·β)·γ ≠〉α·(β·γ) 相互垂直的两向量数量积为0

    坐标表示

    已知两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则有a·b=x1x2+y1y2,即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。

    应用

    平面向量的数量积a·b是一个非常重要的概念,利用它可以很容易地证明平面几何的许多命题,例如勾股定理、菱形的对角线相互垂直、矩形的对角线相等等 如证明勾股定理: Rt△ABC中,∠C=90°,则

    |CA|^2+|CB|^2=|AB|^2: 因AB CB-CA,

    所以AB·AB =(CB-CA)·(CB-CA)= CB·CB-2CA·CB+CA·CA; 由∠C=90°,有CA⊥BD,于是CA·CB=0 所以AB·AB=AC·AC+CB·CB 菱形对角线相互垂直: 菱形ABCD中,点O为对角线AC、BD的交点,求证AC⊥BD 设|AB|=|BC|=|CD|=|DA|=a 因AC=AB+BC;BD=BC+CD

    所以AC·BD=(AB+BC)(BC+CD)=a^2(2cosα+2cosπ-α ) 又因为cosα=-cosπ-α

    所以AC·BD=(AB+BC)(BC+CD)=a^2(2cosα+2cosπ-α )=0 AC⊥B

    D

    在生产生活中,点积同样应用广泛。利用点积可判断一个多边形是否面向摄像机还是背向摄像机。向量的点积与它们夹角的余弦成正比,因此在聚光灯的效果计算中,可以根据点积来得到光照效果,如果点积越大,说明夹角越小,则物理离光照的轴线越近,光照越强。物理中,点积可以用来计算合力和功。若b为单位矢量,则点积即为a在方向b的投影,即给出了力在这个方向上的分解。功即是力和位移的点积。计算机图形学常用来进行方向性判断,如两矢量点积大于0,则它们的方向朝向相近;如果小于0,则方向相反。矢量内积是人工智能领域中的神经网络技术的数学基础之一,此方法还被用于动画渲染(Animation-Rendering)。

    向量积

    向量积 也被称为矢量积叉积(即交叉乘积)、外积,是一种在向量空间中向量的二元运算。与点积不同,它的运算结果是一个伪向量而不是一个标量。并且两个向量的叉积与这两个向量垂直。

    定义

    两个向量ab的叉积写作a×b(有时也被写成ab,避免和字母x混淆)。向量积可以被定义为:

    |向量a×向量b|=|a||b|sinθ在这里θ表示两向量之间的角夹角(0° ≤ θ ≤ 180°),它位于这两个矢量所定义的平面上。

    这个定义有一个问题,就是同时有两个单位向量都垂直于和:若满足垂直的条件,那么也满足。

    一个简单的确定满足“右手定则”的结果向量的方向的方法是这样的:若坐标系是满足右手定则的,当右手的四指从a以不超过180度的转角转向b时,竖起的大拇指指向是c的方向。

    向量积|c|=|a×b|=|a| |b|sin<a,b>

    c的长度在数值上等于以ab,夹角为θ组成的平行四边形的面积。

    c的方向垂直于a与b所决定的平面,c的指向按右手规则从a转向b来确定。

    a×b=(aybz-azby)i+(azbx-axbz)j+(axby-aybx)k,为了帮助记忆,利用三阶行列式,写成

    i j k|

    |ax ay az|

    |bx by bz|

    b×a= -a×b右手规则

    三角形ABC的面积=1/2*abs(AB×AC)

    性质

    几何意义

    叉积的长度 |a×b| 可以解释成以ab为邻边的平行四边形的面积。

    混合积 [a b c] = (a×bc可以得到以a,b,c为棱的平行六面体的体积

    代数规则

    反交换律:

    a×b= -b×a

    加法的分配律:

    a× (b+c) =a×b+a×c

    标量乘法兼容:

    (ra) ×b=a× (rb) = r(a×b)

    不满足结合律,但满足雅可比恒等式

    a× (b×c) +b× (c×a) +c× (a×b) =0

    分配律,线性性和雅可比恒等式别表明:具有向量加法和叉积的 R3 构成了一个李代数。

    两个非零向量 a 和 b 平行,当且仅当a×b=0

    拉格朗日公式

    这是一个著名的公式,而且非常有用:

    a× (b×c) =b(a·c) -c(a·b),

    证明过程如下:

    二重向量叉乘化简公式及证明

    二重向量叉乘化简公式及证明

    可以简单地记成“BAC - CAB”。这个公式在物理上简化向量运算非常有效。需要注意的是,这个公式对微分算子不成立。

    这里给出一个和梯度相关的一个情形:

    这是一个霍奇拉普拉斯算子的霍奇分解 的特殊情形。

    另一个有用的拉格朗日恒等式是:

    这是一个在四元数代数中范数乘法 | vw | = | v | | w | 的特殊情形。

    矩阵形式

    给定直角坐标系的单位向量i,j,k满足下列等式:

    i×j=k;

    j×k=i ;

    k×i=j ;

    通过这些规则,两个向量的叉积的坐标可以方便地计算出来,不需要考虑任何角度:设

    a= [a1, a2, a3] =a1i+ a2j+ a3k

    b= [b1,b2,b3]=b1i+ b2j+ b3k ;

    a × b= [a2b3-a3b2,a3b1-a1b3, a1b2-a2b1]

    上述等式可以写成矩阵的行列式的形式:

    叉积也可以用四元数来表示。注意到上述 i,j,k 之间的叉积满足四元数的乘法。一般而言,若将向量 [a1, a2, a3] 表示成四元数 a1i + a2j + a3k,两个向量的叉积可以这样计算:计算两个四元数的乘积得到一个四元数,并将这个四元数的实部去掉,即为结果。更多关于四元数乘法,向量运算及其几何意义请参见四元数与空间旋转

    高维情形

    七维向量的叉积可以通过八元数得到,与上述的四元数方法相同。

    七维叉积具有与三维叉积相似的性质:

    双线性性:

    x × (ay + bz) = ax × y + bx × z

    (ay + bz) × x = ay × x + bz × x.

    反交换律:

    x × y + y × x = 0

    同时与 x 和 y 垂直:

    x · (x × y) = y · (x × y) = 0

    拉格朗日恒等式

    |x × y|2 = |x|2 |y|2 - (x · y)2.

    不同于三维情形,它并不满足雅可比恒等式:

    x × (y × z) + y × (z × x) + z × (x × y) ≠ 0

    应用

    在物理学光学计算机图形学中,叉积被用于求物体光照相关问题。

    求解光照的核心在于求出物体表面法线,而叉积运算保证了只要已知物体表面的两个非平行矢量(或者不在同一直线的三个点),就可依靠叉积求得法线。

     

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  • 向量积,数学中又称外、叉积,物理中称矢、叉乘,是一种在向量空间中向量的二元运算。与点不同,它的运算结果是一个向量而不是一个标量。并且两个向量的叉积与这两个向量和垂直。其应用也十分广泛,通常应用于...

    向量积,数学中又称外积、叉积,物理中称矢积、叉乘,是一种在向量空间中向量的二元运算。与点积不同,它的运算结果是一个向量而不是一个标量。并且两个向量的叉积与这两个向量和垂直。其应用也十分广泛,通常应用于物理学光学和计算机图形学中。
    表示方法
    两个向量a和b的叉积写作a×b(有时也被写成a∧b,避免和字母x混淆)。
    定义
    向量积可以被定义为:|a×b|=|a||b|sin<a,b>。
    模长:(在这里θ表示两向量之间的夹角(共起点的前提下)(0°≤θ≤180°),它位于这两个矢量所定义的平面上。)

    方向:a向量与b向量的向量积的方向与这两个向量所在平面垂直,且遵守右手定则。(一个简单的确定满足“右手定则”的结果向量的方向的方法是这样的:若坐标系是满足右手定则的,当右手的四指从a以不超过180度的转角转向b时,竖起的大拇指指向是c的方向。
    也可以这样定义(等效):
    向量积|c|=|a×b|=|a||b|sin<a,b>
    即c的长度在数值上等于以a,b,夹角为θ组成的平行四边形的面积。
    而c的方向垂直于a与b所决定的平面,c的指向按右手定则从a转向b来确定

    几何意义及其运用
    叉积的长度|a×b|可以解释成这两个叉乘向量a,b共起点时,所构成平行四边形的面积。据此有:混合积[abc]=(a×b)·c可以得到以a,b,c为棱的平行六面体的体积。

    与数量积的区别
    注:向量积≠向量的积(向量的积一般指点乘)
    一定要清晰地区分开向量积(矢积)与数量积(标积)。
      
    名称: 标积/内积/数量积/点积
    运算式:(a,b和c粗体字,表示向量) a·b=|a||b|·cosθ
    几何意义 :向量a在向量b方向上的投影与向量b的模的乘积
    运算结果: 标量(常用于物理)/数量(常用于数学)

    来源(https://baike.baidu.com/item/%E5%90%91%E9%87%8F%E7%A7%AF/4601007?fr=aladdin)

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空空如也

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向量数量积的坐标运算