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  • 向量方程的定义和求解 Span{v}\boldsymbol{Span\{v\}}Span{v}与Span{u,v}\boldsymbol{Span\{u,v\}}Span{u,v}的几何解释 R2\mathbb{R}^{2}R2中的向量 仅含一列的矩阵称为&列向量,或简称向量。...

    小结

    1. 向量的定义
    2. 向量方程的定义和求解
    3. Span{v}\boldsymbol{Span\{v\}}Span{u,v}\boldsymbol{Span\{u,v\}}的几何解释

    R2\mathbb{R}^{2}中的向量

    仅含一列的矩阵称为&列向量,或简称向量。向量表示一组有序数。
    包含两个元素的向量表示为:w=[w1w2]\boldsymbol{w} = \begin{bmatrix} w_1 \\ w_2 \\ \end{bmatrix},其中w1w_1w2w_2是任意实数。
    所有两个元素的向量的集记为R2\mathbb{R}^{2}R\mathbb{R}表示向量中的元素是实数,而指数2表示每个向量包含两个元素。
    R2\mathbb{R}^{2}中两个向量相等当且仅当其对应元素相等。即R2\mathbb{R}^{2}中的向量是实数的有序对。
    给定实数ccR2\mathbb{R}^{2}中两个向量u\boldsymbol{u}v\boldsymbol{v},它们的和u+v\boldsymbol{u}+\boldsymbol{v}是把u\boldsymbol{u}v\boldsymbol{v}对应元素相加所得的向量。u\boldsymbol{u}cc标量乘法(或数乘)是把u\boldsymbol{u}的每个元素乘以cc,所得向量记为cuc\boldsymbol{u}cuc\boldsymbol{u}中的数cc称为标量(或)。

    给定u=[12]\boldsymbol{u}= \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ \end{bmatrix}u=[25]\boldsymbol{u}= \begin{bmatrix} 2 \\ -5 \\ \end{bmatrix},求4u3v4\boldsymbol{u}-3\boldsymbol{v}
    解: 4u3v\quad4\boldsymbol{u} - 3\boldsymbol{v}
    =4u+(3)v=[414(2)]+[323(5)]=[48]+[615]=[4+(6)8+15]=[27]\qquad= 4\boldsymbol{u} + (-3)\boldsymbol{v} \\ \qquad = \begin{bmatrix} 4 * 1 \\ 4 * (-2) \\ \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -3 * 2 \\ -3 * (-5) \\ \end{bmatrix}\\ \qquad = \begin{bmatrix} 4 \\ -8 \\ \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -6 \\ 15 \\ \end{bmatrix}\\ \qquad = \begin{bmatrix} 4 + (-6) \\ -8 + 15 \\ \end{bmatrix}\\ \qquad = \begin{bmatrix} -2 \\ 7 \\ \end{bmatrix}

    R2\mathbb{R}^{2}的几何表示

    考虑平面上的直角坐标系。因为平面上每个点由实数的有序对确定,所以可把几何点(a,b)(a, b)与列向量[ab]\left[\begin{matrix} a \\ b \\ \end{matrix}\right]等同。因此我们可把R2\mathbb{R}^{2}看作平面上所有点的集合。
    向量[31]\left[\begin{matrix} 3 \\ -1 \\ \end{matrix}\right]的几何表示是一条由原点(0,0)(0, 0)指向点(3,1)(3, -1)的有向线段。

    向量加法的平行四边形法则
    R2\mathbb{R}^{2}中向量u\boldsymbol{u}和向量v\boldsymbol{v}用平面上的点表示,则u+v\boldsymbol{u} + \boldsymbol{v}对应于以u\boldsymbol{u}0\boldsymbol{0}v\boldsymbol{v}为顶点的平行四边形的第4个顶点。
    在这里插入图片描述

    Rn\mathbb{R}^{n}中的向量

    R3\mathbb{R}^{3}中向量是3×13 \times 1列矩阵,有3个元素。它们表示三维空间中的点,或起点为原点的箭头。

    nn是正整数,则Rn\mathbb{R}^{n}表示所有nn个实数数列(或有序nn元组)的集合,通常写成n×1n \times 1列矩阵的形式,u=[u1u2un]\boldsymbol{u}= \begin{bmatrix} u_1 \\ u_2 \\ \vdots \\ u_n \end{bmatrix}
    所有元素都是零的向量称为零向量,用0\boldsymbol{0}表示。

    Rn\mathbb{R}^{n}中向量相等以及向量加法与标量乘法类似于R2\mathbb{R}^{2}中的定义。
    Rn\mathbb{R}^{n}中向量的代数性质
    Rn\mathbb{R}^{n}中一切向量u,v,w\boldsymbol{u},\boldsymbol{v},\boldsymbol{w}以及标量ccdd:
    u+v=v+uc(u+v)=cu+cv(u+v)+w=u+(v+w) (c+d)u=cu+duu+0=0+u=uc(du)=cduu+(u)=u+u=0 1u=u\boldsymbol{u} + \boldsymbol{v} = \boldsymbol{v} +\boldsymbol{u} \qquad\qquad\qquad\qquad c(\boldsymbol{u} + \boldsymbol{v}) = c\boldsymbol{u} + c\boldsymbol{v} \\ (\boldsymbol{u} + \boldsymbol{v}) + \boldsymbol{w} = \boldsymbol{u} + (\boldsymbol{v} + \boldsymbol{w}) \qquad\ (c+d)\boldsymbol{u} = c\boldsymbol{u} + d\boldsymbol{u} \\ \boldsymbol{u} + \boldsymbol{0} = \boldsymbol{0} + \boldsymbol{u} = \boldsymbol{u} \qquad\qquad\qquad c(d\boldsymbol{u}) = cd\boldsymbol{u} \\ \boldsymbol{u} + (\boldsymbol{-u}) = \boldsymbol{-u} + \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \qquad\quad\ 1\boldsymbol{u} = \boldsymbol{u}

    线性组合

    给定Rn\mathbb{R}^{n}中向量v1,v2, ,vp\boldsymbol{v_1},\boldsymbol{v_2},\cdots,\boldsymbol{v_p}和标量c1,c2, ,vpc_1, c_2,\cdots,v_p,向量y=c1v1++cpvp\boldsymbol{y}= c_1\boldsymbol{v_1} + \cdots + c_p\boldsymbol{v_p}称为向量v1,v2, ,vp\boldsymbol{v_1},\boldsymbol{v_2},\cdots,\boldsymbol{v_p}c1,c2, ,vpc_1, c_2,\cdots,v_p线性组合。形如y=c1v1++cpvp\boldsymbol{y}= c_1\boldsymbol{v_1} + \cdots + c_p\boldsymbol{v_p}的方程称为向量方程

    a1=[125]\boldsymbol{a_1}=\begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ -5 \\ \end{bmatrix}a2=[256]\boldsymbol{a_2}=\begin{bmatrix} 2 \\ 5 \\ 6 \\ \end{bmatrix}b=[743]\boldsymbol{b}= \begin{bmatrix} 7 \\ 4 \\ -3 \\ \end{bmatrix},确定b\boldsymbol{b}能否写成a1\boldsymbol{a_1}a2\boldsymbol{a_2}的线性组合,也就是说,确定是否存在权x1x_1x2x_2使x1a1+x2a2=bx_1\boldsymbol{a_1} + x_2\boldsymbol{a_2} = \boldsymbol{b}
    解:x1a1+x2a2=x1[125]+x2[256]=[x1+2x22x1+5x25x1+6x2]x_1\boldsymbol{a_1} + x_2\boldsymbol{a_2}= x_1\begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ -5 \\ \end{bmatrix} + x_2\begin{bmatrix} 2 \\ 5 \\ 6 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_1 + 2x_2 \\ -2x_1 + 5x_2 \\ -5x_1 + 6x_2 \\ \end{bmatrix}
    向量相等当且仅当它们的对应元素相等。即x1x_1x2x_2满足x1a1+x2a2=bx_1\boldsymbol{a_1} + x_2\boldsymbol{a_2} = \boldsymbol{b}当且仅当x1x_1x2x_2满足方程组{x1+2x2=72x1+5x2=45x1+6x2=3\begin{cases} x_1 + 2x_2 = 7 \\ -2x_1 + 5x_2 = 4 \\ -5x_1 + 6x_2 = -3 \\ \end{cases}
    用行化简算法将方程组的增广矩阵化简,以此解方程组:
    [127254563]\begin{bmatrix} 1 & 2 & 7 \\ -2 & 5 & 4 \\ -5 & 6 & -3 \\ \end{bmatrix}[127091801632]\begin{bmatrix} 1 & 2 & 7 \\ 0 & 9 & 18 \\ 0 & 16 & 32 \\ \end{bmatrix}[12701201632]\begin{bmatrix} 1 & 2 & 7 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 16 & 32 \\ \end{bmatrix}
    [127012000]\begin{bmatrix} 1 & 2 & 7 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix}[103012000]\begin{bmatrix} 1 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix}
    由阶梯形矩阵最右列不是主元列,可知其有解。解为x1=3,x2=2x_1=3,x_2=2
    因此b\boldsymbol{b}a1\boldsymbol{a_1}a2\boldsymbol{a_2}的线性组合,权为x1=3,x2=2x_1=3,x_2=2

    A\boldsymbol{A}m×nm \times n矩阵。A\boldsymbol{A}的各列是Rm\mathbb{R}^{m}中的向量,用a1, ,an\boldsymbol{a_1}, \cdots,\boldsymbol{a_n}表示,则A=[a1, ,an]\begin{bmatrix} \boldsymbol{a_1},\cdots,\boldsymbol{a_n} \end{bmatrix}

    注意:求解过程中,增广矩阵[127254563]\begin{bmatrix} 1 & 2 & 7 \\ -2 & 5 & 4 \\ -5 & 6 & -3 \\ \end{bmatrix}的3列分别对应于a1,a2,b\boldsymbol{a_1},\boldsymbol{a_2},\boldsymbol{b}。即增广矩阵可直接写为:[a1,a2,b]\begin{bmatrix} \boldsymbol{a_1},\boldsymbol{a_2},\boldsymbol{b} \end{bmatrix}

    向量方程x1a1+x2a2++xnan=bx_1\boldsymbol{a_1} + x_2\boldsymbol{a_2} + \cdots + x_n\boldsymbol{a_n} = \boldsymbol{b}和增广矩阵为[a1a2anb]\begin{bmatrix} \boldsymbol{a_1} & \boldsymbol{a_2} & \cdots & \boldsymbol{a_n} & \boldsymbol{b} \\ \end{bmatrix}的线性方程组有相同的解。特别地,b\boldsymbol{b}可表示为a1,a2, ,an\boldsymbol{a_1}, \boldsymbol{a_2}, \cdots, \boldsymbol{a_n}的线性组合当且仅当线性方程组有解。

    Span{v}\boldsymbol{Span\{v\}}Span{u,v}\boldsymbol{Span\{u,v\}}的几何解释

    v1,v2, ,vp\boldsymbol{v_1},\boldsymbol{v_2},\cdots,\boldsymbol{v_p}Rn\mathbb{R}^{n}中的向量,则v1,v2, ,vp\boldsymbol{v_1},\boldsymbol{v_2},\cdots,\boldsymbol{v_p}的所有线性组合所成的集合用记号Span{v1,v2, ,vp}\boldsymbol{Span\{v_1,v_2,\cdots,v_p\}}表示,称为由v1,v2, ,vp\boldsymbol{v_1},\boldsymbol{v_2},\cdots,\boldsymbol{v_p}所生成(或张成)的Rn\mathbb{R}^{n}的子集。也就是说,v1,v2, ,vp\boldsymbol{v_1},\boldsymbol{v_2},\cdots,\boldsymbol{v_p}是所有形如c1v1+c2v2++cpvpc_1\boldsymbol{v_1} + c_2\boldsymbol{v_2} + \cdots + c_p\boldsymbol{v_p}的向量的集合,其中c1,c2, ,cpc_1,c_2,\cdots,c_p为标量。

    要判断向量b\boldsymbol{b}是否属于Span{v1,v2, ,vp}\boldsymbol{Span\{v_1,v_2,\cdots,v_p\}},就是判断向量方程x1v1+x2v2++xpvp=bx_1\boldsymbol{v_1}+x_2\boldsymbol{v_2}+\cdots+x_p\boldsymbol{v_p}=\boldsymbol{b}是否有解,或等价地,判断增广矩阵为[v1v2vpb]\begin{bmatrix} \boldsymbol{v_1} & \boldsymbol{v_2} & \cdots & \boldsymbol{v_p} & \boldsymbol{b} \\ \end{bmatrix}的线性方程组是否有解。

    v\boldsymbol{v}R3\mathbb{R}^{3}中的向量,那么Span{v}\boldsymbol{Span\{v\}}就是v\boldsymbol{v}的所有标量倍数的集合,也就是R3\mathbb{R}^{3}中通过v\boldsymbol{v}0\boldsymbol{0}的直线上所有点的集合。

    u\boldsymbol{u}v\boldsymbol{v}R3\mathbb{R}^{3}中的非零向量,v\boldsymbol{v}不是u\boldsymbol{u}的倍数,则Span{u,v}\boldsymbol{Span\{u,v\}}R3\mathbb{R}^{3}中包含u\boldsymbol{u}v\boldsymbol{v}0\boldsymbol{0}的平面。

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  • 在某些几何软件的开发中,会要求写出一个向量方程的微分公式。对我而言,手工推导繁琐而且容易出错。 早就听说Mathematica, Maple这样的软件可以自动进行符号公式的推导,一直没有时间研究。最近终于应用了一把,...

    在某些几何软件的开发中,会要求写出一个向量方程的微分公式。对我而言,手工推导繁琐而且容易出错。

    早就听说Mathematica, Maple这样的软件可以自动进行符号公式的推导,一直没有时间研究。最近终于应用了一把,发现还是挺简单的。现以求一个“点到直线距离”的方程微分为例,展示一下怎么样用Maple推导向量方程的微分。

     

    首先看一下我们的问题:求一个“点到直线距离”方程关于点的x坐标的微分。

    空间一直线由一点S和一个单位向量V表示,空间一点由P表示。所以点到直线的距离可用如下图中的向量方程表示。

    image

    我们要推导的是d关于P的x坐标变量的微分,即

    image 

     

    下面看看在Maple里面怎么进行推导。

    首先在Maple主窗口里敲入with(VectorCalculus):,载入向量微分的库函数。

    然后运行BasisFormat(false):,使向量以列向量的方式显示。

    然后分别定义P,S,Q,V。例如 P:=<Px,Py,Pz>

    image

     

     

    再键入距离d的方程,用命令Del(d,[Px])就可以求出d关于Px的微分了:

    image

    至此,我们已经利用Maple推导出了想要的微分公式。

     

    美中不足的是,这个公式是完全的展开形式,非常复杂。我们需要手工的运行如下命令,用计算的中间结果对结果表达式进行化简。

    image

    把这个公式用Word的公式编辑器写出来,就是:

    image

    其中

    image

     

     

     

    后记:我在Maple中进行结果表达式化简时,必须额外引入一些变量如F和DotPV,而不能使用原来的d和DotProduct(P,V)。这是我觉得不爽的地方。希望Maple高手能够留言指教。

    转载于:https://www.cnblogs.com/kaige/p/maple_deduce_vector_function_derivative.html

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  • 直线向量方程

    2016-09-23 11:58:00
    1. 共线向量定理 对空间中任意两个向量,a⃗、b⃗(b⃗≠0),a⃗∥b⃗是存在唯一的实数 λ,使 a⃗=λb⃗ 2. 共面向量定理 如果两个向量 a⃗,b⃗ 不共线,则向量 p⃗ 与...3. 直线的向量参数方程 OP→=αOA...

    1. 共线向量定理

    对空间中任意两个向量,a⃗ b⃗ b⃗ 0),a⃗ b⃗ 是存在唯一的实数 λ,使 a⃗ =λb⃗ 

    2. 共面向量定理

    如果两个向量 a⃗ ,b⃗  不共线,则向量 p⃗  与向量 a⃗ ,b⃗  共面的充要条件是存在唯一的实数对 x,y,使

    p⃗ =xa⃗ +yb⃗ 

    3. 直线的向量参数方程

    OP=αOA+(1α)OB

    满足条件的点 P 经过的轨迹,P,A,B 三点共线;

    4. 例题

    • 已知两点,A(1,2,3),B(2,1,3) 求 AB 连线与三坐标平面的交点:

    设 AB 连线与 yoz 平面的交点为 C(0,y1,z1),由 OC=(1t)OA+tOB,解得 t=1C(0,5,9)

    同理可得与其他两个平面的交点,(5/3,0,1/3)(7/4,1/4,0)

    转载于:https://www.cnblogs.com/mtcnn/p/9423611.html

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  • Jacobi matrix(雅可比矩阵)是一种对向量方程的梯度描述方式; 2 雅可比矩阵描述的对象——向量映射函数f\mathbf{f}f 首先我们来看看雅可比矩阵的定义(来自维基百科): 可以看到雅可比矩阵描述的对象,是将...

    1 前言

    Jacobi matrix(雅可比矩阵)是一种对向量方程的梯度描述方式;

    2 雅可比矩阵描述的对象——向量映射函数f\mathbf{f}

    首先我们来看看雅可比矩阵的定义(来自维基百科):
    在这里插入图片描述

    可以看到雅可比矩阵描述的对象,是将向量Rn\mathbb{R}^n映射到Rm\mathbb{R}^m的一个函数f\mathbf{f}

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