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  • C语言 计算向量的1范数,2范数,无穷范数
    2022-04-05 16:01:24

    include<stdio.h>
    #include<math.h>
    double VecNorm1(double x[],int n);
    double VecNorm2(double x[],int n);
    double VecNorminf(double x[],int n);
    int main()
    {
        int i,j;
        double a,b,c,d,e,f;
        double x[3]={1,3,2},y[6]={4,3,1,-2,0,8};
        i=3;j=6;
        a=VecNorm1(x,i);    b=VecNorm2(x,i);    c=VecNorminf(x,i);
        d=VecNorm1(y,j);    e=VecNorm2(y,j);    f=VecNorminf(y,j);
        printf("Norm1x = %lf\nNorm2x = %lf\nNorminfx = %lf\nNorm1y = %lf\nNorm2y = %lf\nNorminfy = %lf\n",a,b,c,d,e,f);
        return 0;
    }

    double VecNorm1(double x[],int n)
    {
        double a=0;
        int i;
        for(i=0;i<n;i++)
        a=a+fabs(x[i]);
        return a;
    }

    double VecNorm2(double x[],int n)
    {
        double b;
        int i;
        b=0;
        for(i=0;i<n;i++)
        b=b+x[i]*x[i]; 
        b=sqrt(b);
        return b;
    }

    double VecNorminf(double x[],int n)
    {
        double c;
        int i;
        c=x[0];
        for(i=0;i<n;i++)
        {
        if(i<n-1&&fabs(x[i+1])>c)
            c=fabs(x[i+1]);
        }
        return c;
    }
     

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  • 向量的1范数,2范数,无穷范数,矩阵的1范数,2范数,无穷范数,L0范数,L1范数,L2范数(F范数),L21范数,核范数。。。。、。

    在刚入门机器学习中的低秩,稀疏模型时,被各种范数搅得一团糟,严重延缓了学习进度,经过一段时间的学习,现在将其完整的总结一下,希望遇到同样麻烦的同学能有所帮助。。。

    一、向量的范数

    首先定义一个向量为:a=[-5,6,8, -10]

    1.1 向量的1范数

    向量的1范数即:向量的各个元素的绝对值之和,上述向量a的1范数结果就是:29,MATLAB代码实现为:norm(a,1);

    1.2 向量的2范数

    向量的2范数即:向量的每个元素的平方和再开平方根,上述a的2范数结果就是:15,MATLAB代码实现为:norm(a,2);

    1.3 向量的无穷范数

    1.向量的负无穷范数即:向量的所有元素的绝对值中最小的:上述向量a的负无穷范数结果就是:5,MATLAB代码实现为:norm(a,-inf);
    2..向量的正无穷范数即:向量的所有元素的绝对值中最大的:上述向量a的负无穷范数结果就是:10,MATLAB代码实现为:norm(a,inf);

    二、矩阵的范数

    首先我们将介绍数学中矩阵的范数的情况,也就是无论哪个学科都统一的一种规定。。。
    例如矩阵A = [ -1 2 -3;
    4 -6 6]

    2.1 矩阵的1范数

    矩阵的1范数即:矩阵的每一列上的元素绝对值先求和,再从中取个最大的,(列和最大),上述矩阵A的1范数先得到[5,8,9],再取最大的最终结果就是:9,MATLAB代码实现为:norm(A,1);

    2.2 矩阵的2范数

    矩阵的2范数即:矩阵 ATA 的最大特征值开平方根,上述矩阵A的2范数得到的最终结果是:10.0623,MATLAB代码实现为:norm(A,2);

    2.3 矩阵的无穷范数

    矩阵的1范数即:矩阵的每一行上的元素绝对值先求和,再从中取个最大的,(行和最大),上述矩阵A的1范数先得到[6;16],再取最大的最终结果就是:16,MATLAB代码实现为:norm(A,inf);

    接下来我们要介绍机器学习的低秩,稀疏等一些地方用到的范数,一般有核范数,L0范数,L1范数(有时很多人也叫1范数,这就让初学者很容易混淆),L21范数(有时也叫2范数),F范数。。。上述范数都是为了解决实际问题中的困难而提出的新的范数定义,不同于前面的矩阵范数。

    2.4 矩阵的核范数

    矩阵的核范数即:矩阵的奇异值(将矩阵svd分解)之和,这个范数可以用来低秩表示(因为最小化核范数,相当于最小化矩阵的秩——低秩),上述矩阵A最终结果就是:10.9287, MATLAB代码实现为:sum(svd(A))

    2.5 矩阵的L0范数

    矩阵的L0范数即:矩阵的非0元素的个数,通常用它来表示稀疏,L0范数越小0元素越多,也就越稀疏,上述矩阵A最终结果就是:6

    2.6 矩阵的L1范数

    矩阵的L1范数即:矩阵中的每个元素绝对值之和,它是L0范数的最优凸近似,因此它也可以表示稀疏,上述矩阵A最终结果就是:22,MATLAB代码实现为:sum(sum(abs(A)))

    2.7 矩阵的F范数

    矩阵的F范数即:矩阵的各个元素平方之和再开平方根,它通常也叫做矩阵的L2范数,它的有点在它是一个凸函数,可以求导求解,易于计算,上述矩阵A最终结果就是:10.0995,MATLAB代码实现为:norm(A,‘fro’)

    2.8 矩阵的L21范数

    矩阵的L21范数即:矩阵先以每一列为单位,求每一列的F范数(也可认为是向量的2范数),然后再将得到的结果求L1范数(也可认为是向量的1范数),很容易看出它是介于L1和L2之间的一种范数,上述矩阵A最终结果就是:17.1559,MATLAB代码实现为: norm(A(:,1),2) + norm(A(:,2),2) + norm(A(:,3),2)

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  • 1范数、2范数、无穷范数 作者:Faaany 链接:https://www.zhihu.com/question/21868680/answer/136376374 来源:知乎 著作权归作者所有。商业转载请联系作者获得授权,非商业转载请注明出处。 要更好的理解范数,...

    范数对于数学的意义?1范数、2范数、无穷范数

    作者:Faaany
    链接:https://www.zhihu.com/question/21868680/answer/136376374
    来源:知乎
    著作权归作者所有。商业转载请联系作者获得授权,非商业转载请注明出处。

    要更好的理解范数,就要从函数、几何与矩阵的角度去理解,我尽量讲的通俗一些。
    我们都知道,函数与几何图形往往是有对应的关系,这个很好想象,特别是在三维以下的空间内,函数是几何图像的数学概括,而几何图像是函数的高度形象化,比如一个函数对应几何空间上若干点组成的图形。
    但当函数与几何超出三维空间时,就难以获得较好的想象,于是就有了映射的概念,映射表达的就是一个集合通过某种关系转为另外一个集合。通常数学书是先说映射,然后再讨论函数,这是因为函数是映射的一个特例。
    为了更好的在数学上表达这种映射关系,(这里特指线性关系)于是就引进了矩阵。这里的矩阵就是表征上述空间映射的线性关系。而通过向量来表示上述映射中所说的这个集合,而我们通常所说的基,就是这个集合的最一般关系。于是,我们可以这样理解,一个集合(向量),通过一种映射关系(矩阵),得到另外一个几何(另外一个向量)。
    那么向量的范数,就是表示这个原有集合的大小。
    而矩阵的范数,就是表示这个变化过程的大小的一个度量。

    那么说到具体几几范数,其不过是定义不同,一个矩阵范数往往由一个向量范数引出,我们称之为算子范数,其物理意义都如我上述所述。

    以上符合知乎回答问题的方式。

    接下来用百度回答方式:

    0范数,向量中非零元素的个数。

    1范数,为绝对值之和。

    2范数,就是通常意义上的模。

    无穷范数,就是取向量的最大值。
    在这里插入图片描述

    在这里插入图片描述

    具体怎么用,看不同的领域,看你来自计算机领域 用的比较多的就是迭代过程中收敛性质的判断,如果理解上述的意义,在计算机领域,一般迭代前后步骤的差值的范数表示其大小,常用的是二范数,差值越小表示越逼近实际值,可以认为达到要求的精度,收敛。

    总的来说,范数的本质是距离,存在的意义是为了实现比较。比如,在一维实数集合中,我们随便取两个点4和9,我们知道9比4大,但是到了二维实数空间中,取两个点(1,1)和(0,3),这个时候我们就没办法比较它们之间的大小,因为它们不是可以比较的实数,于是我们引入范数这个概念,把我们的(1,1)和(0,3)通过范数分别映射到实数\sqrt{2} 和 3 ,这样我们就比较这两个点了。所以你可以看到,范数它其实是一个函数,它把不能比较的向量转换成可以比较的实数。
    在上面的例子里,我们用的范数是平方求和然后再开方,范数还有很多其他的类型,这个就要看具体的定义了,理论上我们也可以把范数定义为只比较x轴上数字的绝对值。

    PS:我这里说的是向量范数。?

    什么一范数二范数也是用来度量一个整体,比如两个个班的人比较高度,你可以用班里面最高的人(无穷范数)去比较,也可以用班里所有人的身高总和比较(一范数),也可以求平均(几何平均?忘记了。。)(类似二范数)。
    举一个简单的例子,一个二维度的欧氏几何空间 R ^2就有欧氏范数。在这个向量空间的元素(譬如:(3,7))常常在笛卡儿坐标系统被画成一个从原点出发的箭号。每一个向量的欧氏范数就是箭号的长度。

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空空如也

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证明无穷范数满足范数的三个性质

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