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  • 一直以来都不理解向量无穷范数如何从p范数得来,最近正看到极限,借此推导一遍。1- p-范数若 $x=\left[x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right]^{T}$,那么 $$\| x\|_{p}=(|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+\cdots+|x_{n}|^{p})^...

    一直以来都不理解向量无穷范数如何从p范数得来,最近正看到极限,借此推导一遍。

    1- p-范数

    若 $x=\left[x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right]^{T}$,那么 $$\| x\|_{p}=(|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+\cdots+|x_{n}|^{p})^{\frac{1}{p}}$$

    当 $p$ 取 $1, 2, \infty$ 时, 分别得到:

    $1$-范数:  $\|x\|_{1}=|x_{1}|+|x_{2}|+\cdots+|x_{n}|$

    $2$-范数:  $\|x\|_{2}=(|x_{1}|^{2}+|x_{2}|^{2}+\cdots+|x_{n}|^{2})^{\frac{1}{2}}$

    $\infty$-范数:  $\|x\|_{\infty}=\max(|x_{1}|, |x_{2}|, \cdots, |x_{n}|)$

    2- $\infty$-范数的推导

    证明:

    由定义$\| x\|_{p}=(|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+\cdots+|x_{n}|^{p})^{\frac{1}{p}}$,记 $x_{max}=\max(|x_{1}|, |x_{2}|, \cdots, |x_{n}|)$

    \[\begin{eqnarray}\lim\limits_{p\to\infty}\|x\|_{p}&=&\lim\limits_{p\to\infty}x_{max}\cdot\Big(\big(\frac{\|x_{1}\|}{x_{max}}\big)^{p}+\big(\frac{\|x_{2}\|}{x_{max}}\big)^{p}+\cdots+\big(\frac{\|x_{n}\|}{x_{max}}\big)^{p}\Big)^{\frac{1}{p}}\nonumber\\&=&x_{max}\cdot\lim\limits_{p\to\infty}\Big(\big(\frac{\|x_{1}\|}{x_{max}}\big)^{p}+\big(\frac{\|x_{2}\|}{x_{max}}\big)^{p}+\cdots+\big(\frac{\|x_{n}\|}{x_{max}}\big)^{p}\Big)^{\frac{1}{p}}\nonumber\end{eqnarray}\]

    因 $1\leq\sum\limits_{i}\big(\frac{\|x_{i}\|}{x_{max}}\big)^{p}\leq n$,故由 $\lim\limits_{n\to\infty}n^{\frac{1}{n}}=1$ 及 夹逼原理,有$$\lim\limits_{p\to\infty}\Big(\big(\frac{\|x_{1}\|}{x_{max}}\big)^{p}+\big(\frac{\|x_{2}\|}{x_{max}}\big)^{p}+\cdots+\big(\frac{\|x_{n}\|}{x_{max}}\big)^{p}\Big)^{\frac{1}{p}}=1$$

    从而 $\lim\limits_{p\to\infty}\|x\|_{p}=x_{max}$.

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  • 一直以来都不理解向量无穷范数如何从p范数得来,最近正看到极限,借此推导一遍。 1- p-范数  若 $x=\left[x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right]^{T}$,那么 $$\| x\|_{p}=(|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+\cdots+|x_{n...

      一直以来都不理解向量无穷范数如何从p范数得来,最近正看到极限,借此推导一遍。

     

    1- p-范数

      若 $x=\left[x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right]^{T}$,那么 $$\| x\|_{p}=(|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+\cdots+|x_{n}|^{p})^{\frac{1}{p}}$$

      当 $p$ 取 $1, 2, \infty$ 时, 分别得到:

        $1$-范数:  $\|x\|_{1}=|x_{1}|+|x_{2}|+\cdots+|x_{n}|$

        $2$-范数:  $\|x\|_{2}=(|x_{1}|^{2}+|x_{2}|^{2}+\cdots+|x_{n}|^{2})^{\frac{1}{2}}$

        $\infty$-范数:  $\|x\|_{\infty}=\max(|x_{1}|, |x_{2}|, \cdots, |x_{n}|)$


    2- $\infty$-范数的推导

      证明

      由定义$\| x\|_{p}=(|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+\cdots+|x_{n}|^{p})^{\frac{1}{p}}$,记 $x_{max}=\max(|x_{1}|, |x_{2}|, \cdots, |x_{n}|)$

    \[\begin{eqnarray}\lim\limits_{p\to\infty}\|x\|_{p}&=&\lim\limits_{p\to\infty}x_{max}\cdot\Big(\big(\frac{\|x_{1}\|}{x_{max}}\big)^{p}+\big(\frac{\|x_{2}\|}{x_{max}}\big)^{p}+\cdots+\big(\frac{\|x_{n}\|}{x_{max}}\big)^{p}\Big)^{\frac{1}{p}}\nonumber\\&=&x_{max}\cdot\lim\limits_{p\to\infty}\Big(\big(\frac{\|x_{1}\|}{x_{max}}\big)^{p}+\big(\frac{\|x_{2}\|}{x_{max}}\big)^{p}+\cdots+\big(\frac{\|x_{n}\|}{x_{max}}\big)^{p}\Big)^{\frac{1}{p}}\nonumber\end{eqnarray}\]

      因 $1\leq\sum\limits_{i}\big(\frac{\|x_{i}\|}{x_{max}}\big)^{p}\leq n$,故由 $\lim\limits_{n\to\infty}n^{\frac{1}{n}}=1$ 及 夹逼原理,有$$\lim\limits_{p\to\infty}\Big(\big(\frac{\|x_{1}\|}{x_{max}}\big)^{p}+\big(\frac{\|x_{2}\|}{x_{max}}\big)^{p}+\cdots+\big(\frac{\|x_{n}\|}{x_{max}}\big)^{p}\Big)^{\frac{1}{p}}=1$$

      从而 $\lim\limits_{p\to\infty}\|x\|_{p}=x_{max}$.

     

      

    转载于:https://www.cnblogs.com/freyr/p/4533048.html

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  • 阅读文献时,经常看到各种范数,机器学习中的稀疏模型等,也有各种范数,其名称往往容易混淆,例如:L1范数也常称为“1-范数”,但又和真正的1-... 向量无穷范数: p-范数:,其中正整数p≥1,并且有 例:...

       阅读文献时,经常看到各种范数,机器学习中的稀疏模型等,也有各种范数,其名称往往容易混淆,例如:L1范数也常称为“1-范数”,但又和真正的1-范数又有很大区别。下面将依次介绍各种范数。

    1、向量的范数

      向量的1-范数: {\left\| X \right\|_1} = \sum\limits_{i = 1}^n {\left| {{x_i}} \right|} ; 各个元素的绝对值之和;

      向量的2-范数:{\left\| X \right\|_2} = {\left( {\sum\limits_{i = 1}^n {{x_i}^2} } \right)^{\frac{1}{2}}} = \sqrt {\sum\limits_{i = 1}^n {{x_i}^2} };每个元素的平方和再开平方根;

      向量的无穷范数:{\left\| X \right\|_\infty } = \mathop {\max }\limits_{1 \le i \le n} \left| {{x_i}} \right|

      p-范数:{\left\| X \right\|_p} = {\left( {\sum\limits_{i = 1}^n {{{\left| {{x_i}} \right|}^p}} } \right)^{\frac{1}{p}}},其中正整数p≥1,并且有\mathop {\lim }\limits_{p \to \infty } {\left\| X \right\|_p} = \mathop {\max }\limits_{1 \le i \le n} \left| {{x_i}} \right|

     

    例:向量X=[2, 3, -5, -7] ,求向量的1-范数,2-范数和无穷范数。

    向量的1-范数:各个元素的绝对值之和;{\left\| X \right\|_1}=2+3+5+7=17;

    Matlab代码:X=[2, 3, -5, -7]; XLfs1=norm(X,1);

     

    向量的2-范数:每个元素的平方和再开平方根;{\left\| X \right\|_2} = {\left( {{\rm{2}} \times {\rm{2}} + {\rm{3}} \times {\rm{3}} + {\rm{5}} \times {\rm{5}} + {\rm{7}} \times {\rm{7}}} \right)^{\frac{1}{2}}} = 9.3274

    Matlab代码:X=[2, 3, -5, -7]; XLfs2=norm(X,2);

     

    向量的无穷范数:

    (1)正无穷范数:向量的所有元素的绝对值中最大的;即X的正无穷范数为:7;

    Matlab代码:X=[2, 3, -5, -7]; XLfsz=norm(X,inf);

     

    (2)负无穷范数:向量的所有元素的绝对值中最小的;即X的负无穷范数为:2;

              Matlab代码:X=[2, 3, -5, -7]; XLfsf=norm(X,-inf);

     

    2、矩阵的范数

    设:向量X \in {R^n},矩阵A \in {R^{n \times n}},例如矩阵A为:

    A=[2, 3, -5, -7;

       4, 6,  8, -4;

       6, -11, -3, 16];

    (1)矩阵的1-范数(列模):{\left\| A \right\|_1} = \mathop {\max }\limits_{X \ne 0} \frac{{{{\left\| {AX} \right\|}_1}}}{{{{\left\| X \right\|}_1}}} = \mathop {\max }\limits_{1 \le j \le n} \sum\limits_{i = 1}^n {\left| {{a_{ij}}} \right|};矩阵的每一列上的元素绝对值先求和,再从中取个最大的,(列和最大);即矩阵A的1-范数为:27

              Matlab代码:fs1=norm(A,1);

     

    (2)矩阵的2-范数(谱模):{\left\| A \right\|_2} = \mathop {\max }\limits_{X \ne 0} \frac{{{{\left\| {AX} \right\|}_2}}}{{{{\left\| X \right\|}_2}}} = \sqrt {{\lambda _{\max }}({A^T}A)} = \sqrt {\mathop {\max }\limits_{1 \le i \le n} \left| {{\lambda _i}} \right|},其中   {\lambda _i}{A^T}A的特征值;矩阵的最大特征值开平方根。

              Matlab代码:fs2=norm(A,2);

     

    (3)矩阵的无穷范数(行模):{\left\| A \right\|_\infty } = \mathop {\max }\limits_{X \ne 0} \frac{{{{\left\| {AX} \right\|}_\infty }}}{{{{\left\| X \right\|}_\infty }}} = \mathop {\max }\limits_{1 \le {\rm{i}} \le n} \sum\limits_{j = 1}^n {\left| {{a_{ij}}} \right|};矩阵的每一行上的元素绝对值先求和,再从中取个最大的,(行和最大)

             Matlab代码:fswq=norm(A,inf);

     

      下面要介绍关于机器学习中稀疏表示等一些地方用到的范数,一般有核范数,L0范数,L1范数(有时很多人也叫1范数,这就让初学者很容易混淆),L21范数(有时也叫2范数),F范数等,这些范数都是为了解决实际问题中的困难而提出的新的范数定义,不同于前面矩阵的范数。

    关于核范数,L0范数,L1范数等解释见博客:

    http://www.cnblogs.com/MengYan-LongYou/p/4050862.html

    https://blog.csdn.net/u013066730/article/details/51145889

    http://blog.sina.com.cn/s/blog_7103b28a0102w73g.html

     

    (4)矩阵的核范数:矩阵的奇异值(将矩阵svd分解)之和,这个范数可以用来低秩表示(因为最小化核范数,相当于最小化矩阵的秩——低秩);

             Matlab代码:JZhfs=sum(svd(A));

     

    (5)矩阵的L0范数:矩阵的非0元素的个数,通常用它来表示稀疏,L0范数越小0元素越多,也就越稀疏。

     

    (6)矩阵的L1范数:矩阵中的每个元素绝对值之和,它是L0范数的最优凸近似,因此它也可以近似表示稀疏;

             Matlab代码:JZL1fs=sum(sum(abs(A)));

     

    (7)矩阵的F范数:矩阵的各个元素平方之和再开平方根,它通常也叫做矩阵的L2范数,它的有点在它是一个凸函数,可以求导求解,易于计算;

             Matlab代码:JZFfs=norm(A,'fro');

     

    (8)矩阵的L21范数:矩阵先以每一列为单位,求每一列的F范数(也可认为是向量的2范数),然后再将得到的结果求L1范数(也可认为是向量的1范数),很容易看出它是介于L1和L2之间的一种范数

              Matlab代码:JZL21fs=norm(A(:,1),2) + norm(A(:,2),2) + norm(A(:,3),2)++ norm(A(:,4),2);

     

    Matlab代码

    clear all;clc;
    
    %% 求向量的范数
    X=[2, 3, -5, -7];   %初始化向量X
    XLfs1=norm(X,1);    %向量的1-范数
    XLfs2=norm(X,2);    %向量的2-范数
    XLfsz=norm(X,inf);  %向量的正无穷范数
    XLfsf=norm(X,-inf); %向量的负无穷范数
    
    %% 求矩阵的范数
    A=[2, 3, -5, -7;
       4, 6,  8, -4;
       6, -11, -3, 16];     %初始化矩阵A
    
    JZfs1=norm(A,1);        %矩阵的1-范数
    JZfs2=norm(A,2);        %矩阵的2-范数
    JZfswq=norm(A,inf);     %矩阵的无穷范数
    JZhfs=sum(svd(A));      %矩阵的核范数
    JZL1fs=sum(sum(abs(A)));% 矩阵的L1范数
    JZFfs=norm(A,'fro');    %矩阵的F范数
    JZL21fs=norm(A(:,1),2) + norm(A(:,2),2) + norm(A(:,3),2)++ norm(A(:,4),2);% 矩阵的L21范数

     

    参考资料

    [1] https://blog.csdn.net/Michael__Corleone/article/details/75213123

    [2] https://wenku.baidu.com/view/dc9e6e3753d380eb6294dd88d0d233d4b04e3f48.html

    [3] http://www.cnblogs.com/MengYan-LongYou/p/4050862.html

    [4] https://blog.csdn.net/u013066730/article/details/51145889

    [5] http://blog.sina.com.cn/s/blog_7103b28a0102w73g.html

     


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    • 0范数: 向量中非零元素的个数。
    • 1范数: 为绝对值之和。
    • 2范数: 通常意义上的模。
    • 无穷范数:取向量的最大值。

     

    转自:范数对于数学的意义?1范数、2范数、无穷范数

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