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  • 将特征向量正交化构建正交变换矩阵,输入的参考表示为transpose orthogonalize {{-1,-1,1},{-1,2,1},{1,0,1}} 执行计算得到的正交变换矩阵如下. 于是令 将以上式子展开,得 代入原二次型可得二次型的标准形为 6、...

    1、计算特征多项式

    例 计算以下矩阵的特征多项式

    参考输入表达式为characteristic polynomial {{-1,1,0},{-4,3,0},{1,0,2}}

    执行计算得到的结果如下.204129789_3_20201009060732725_wm

    将鼠标指针移动到特征多项式结果上方,在右下角出现的按钮中选择“Plain Text”,然后在可复制的纯文本上点击鼠标左键,将其复制到剪贴板,然后在计算编辑框中输入solve后粘贴文本,并令其等于0,得到如下参考表达式solve -λ^3 + 4 λ^2 - 5 λ + 2=0

    执行计算得到的结果如下.204129789_4_20201009060733272_wm

    计算结果为. 结合前面的多项式可以知道,其中二重根.

    2、矩阵的特征值、特征向量

    例 计算以下矩阵的特征值与特征向量.

    参考输入表达式为eigenvalues {{-2,1,0},{-4,3,0},{1,0,3}}

    执行计算得到的结果如下.204129789_5_20201009060733787_wm

    结果不仅给出了特征值结果,也给出了特征向量. 如果把eigenvalues改成eigenvectors,则先给出特征向量,然后再给出特征值,并且绘制特征向量的图形演示. 而把eigenvalues替换为eigensystem,如输入表达式为eigensystem{{-2,1,0},{-4,3,0},{1,0,3}}

    则逐个对应的给出特征值及对应的特征向量,如下图所示.204129789_6_20201009060734615_wm

    3、矩阵的对角化

    例 求可逆矩阵和对角矩阵 ,使得. 其中

    并验证其结论成立.

    参考输入表达式为eigensystem {{-2, 0, 1}, {0, 2, 0}, {1, 1, 2}}

    执行计算得到的结果如下.204129789_7_20201009060734803_wm

    从中可以看到矩阵有特征值与特征向量,它们的对应关系为

    所以所求对角矩阵和可逆矩阵为

    为验证结论成立,输入如下参考表达式simplify (inverse {{-2 - Sqrt[5], -2 + Sqrt[5], 1}, {0, 0, -1}, {1, 1, 4}}).{{-2, 0, 1}, {0, 2, 0}, {1, 1, 2}}.{{-2 - Sqrt[5], -2 + Sqrt[5], 1}, {0, 0, -1}, {1, 1, 4}}

    计算得到结果如下.204129789_8_20201009060735225_wm

    从计算结果可以看到,以上矩阵满足题目要求. 以上过程也可以直接对角化,输入的参考表达式为diagonalize {{-2, 0, 1}, {0, 2, 0}, {1, 1, 2}}

    计算结果显示如下.204129789_9_202010090607366_wm

    与上面操作得到的结果一致,并且直接给出了逆矩阵.

    4、向量值的正交化与正交矩阵

    例1 将下列矩阵的列向量组单位正交化.

    矩阵正交化是将其列向量正交化,并且向量正交化后再转置为矩阵描述,所以参考输入表达式为transpose orthogonalize {1,1,1}, {1,2,3}, {1,4,9}

    执行计算得到的结果如下.204129789_10_20201009060736475_wm

    例2 试求一个正交相似变换矩阵,将下列对角矩阵化为对角阵.

    输入参考表达式eigensystem {{2, 2, -2}, {2, 5, -4}, {-2, -4, 5}}

    执行计算得到特征值和特征向量分别为

    将三个向量构成的向量值正交化并转置,则得所求的正交变换矩阵,即输入transpose orthogonalize {-1, -2, 2}, {2, 0, 1}, {-2, 1, 0}

    执行计算得到结果如下204129789_11_20201009060736772_wm

    最后的矩阵即为所求的正交变换矩阵. 同时可以验证正交矩阵的转置与矩阵的乘积为单位矩阵. 如将鼠标指针移动到结果矩阵上,在右下角出现的按钮中点击纯文本“Plain Text”,在出现的纯文本显示列表中,用鼠标左键点击最下面的Wolfram语言纯文本输出将矩阵纯文本表达式复制到剪贴板. 然后在表达式输入框中输入圆括号,里面输入transpose再加矩阵,然后在后面输入点加矩阵,即表达式为(transpose {{-1/3, 2/Sqrt[5], -2/(3 Sqrt[5])}, {-2/3, 0, Sqrt[5]/3}, {2/3, 1/Sqrt[5], 4/(3 Sqrt[5])}}).{{-1/3, 2/Sqrt[5], -2/(3 Sqrt[5])}, {-2/3, 0, Sqrt[5]/3}, {2/3, 1/Sqrt[5], 4/(3 Sqrt[5])}}

    执行可得结果为单位矩阵,执行结果如下图所示.204129789_12_2020100906073722_wm

    5、正交变换与二次型的标准化

    例 构建一个正交变换将下列二次型化为标准形

    二次型的矩阵为

    计算矩阵的特征值与特征向量,参考输入表达式为eigensystem {{1,1,0},{1,0,-1},{0,-1,1}}

    计算得到特征值与对应的特征向量如下图所示.204129789_13_20201009060737225_wm

    将特征向量正交化构建正交变换矩阵,输入的参考表示为transpose orthogonalize {{-1,-1,1},{-1,2,1},{1,0,1}}

    执行计算得到的正交变换矩阵如下.204129789_14_20201009060737647_wm

    于是令

    将以上式子展开,得

    代入原二次型可得二次型的标准形为

    6、矩阵的对称性与正定性的判定

    例1 判断如下是否为对称矩阵

    判定是否对称参考输入表达式为is {{2, 3}, {3, 8}} a symmetric matrix

    执行计算得到的结果显示如下.204129789_15_20201009060737881_wm

    结果告诉我们矩阵为对称矩阵. 参考输入表达式为is {{-2, 3,1}, {4, -8,3},{4,1,3}} a symmetric matrix

    计算结果告诉我们该矩阵不是一个对称矩阵,而且给出对称化结果,即非对称化元素对称元素和的一半作为元素形成对称矩阵和反对称形式,如下图所示.204129789_16_20201009060738100_wm

    例2 判断如下矩阵的正定性

    判定是否正定的参考输入表达式为is {{2, 3}, {4, 8}} a positive definite matrix

    执行计算得到的结果显示如下.204129789_17_20201009060738256_wm

    结果不仅告诉我们该矩阵时一个正定矩阵,而且给出了该矩阵的两个特征值,两个特征值都是正的. 为判定的正定性,只要将上面的矩阵换成矩阵的元素就可以了,参考输入表达式为is {{-2, 3,1}, {4, -8,3},{4,1,3}} a positive definite matrix

    计算结果告诉我们该矩阵不是一个正定矩阵.

    例3 判定以下矩阵是否为负定矩阵.

    为判定矩阵,输入参考表达式为is {{-2, 3,1}, {3, -8,1},{1,1,-3}} a negative definite matrix

    执行计算得到的结果显示矩阵为负定矩阵.  输入表达式is {{1, 1, 0}, {1, 2, 0}, {0, 0, 0}} a negative definite matrix

    则显示该矩阵不是负定矩阵,而且特征值两个正的一个等于0. 输入如下表达式is {{1, 1, 0}, {1, 2, 0}, {0, 0, 0}} a positive semidefinite matrix

    则计算结果显示该矩阵为一个半正定矩阵,如下图所示.204129789_18_20201009060738600_wm

    【注】值得注意的是,判定矩阵为负定、半正定矩阵时,一般要求输入的矩阵对称矩阵. 类似可以判定半负定.

    7、常见矩阵的分解

    例1 矩阵的分解. 将下列矩阵分解为矩阵.

    参考输入表达式为lu decomposition {{1, -2, 0}, {-2, 3, -2}, {0, -2, 1}}

    执行计算得到的结果如下.204129789_19_20201009060738865_wm

    分别得到下三角矩阵与下三角矩阵.

    例2 矩阵的约当(Jordan)-分解.

    参考输入表达式为jordan decomp {{1, -2, 0}, {-2, 3, -2}, {0, -2, 1}}

    执行计算得到的结果如下.204129789_20_2020100906073984_wm

    例3 矩阵的QR-分解. 它是将矩阵分解成一个正规正交矩阵与上三角形矩阵.

    参考输入表达式为QR decomposition {{1, -2, 0}, {-2, 1, -2}, {1, -2, 1}}

    执行计算得到的结果如下.204129789_21_20201009060739412_wm

    例4 矩阵的奇异值SVD-分解.

    参考输入表达式为svd decomposition {{1, -2, 0}, {-2, 3, -2}, {0, -2, 1}}

    执行计算得到的结果如下.204129789_22_20201009060739881_wm

    例5 矩阵舒尔schur分解,将一个矩阵分解成酉矩阵和上三角矩阵.

    参考输入表达式为schur decomposition {{3, -2, 3}, {-2, 3, -2}, {4, -2, 1}}

    执行计算得到的结果如下.204129789_23_20201009060740287_wm

    【注】从输入的表达式可以看到,直接输入相应的分解名称就可以直接得到相应的分解描述及结果.

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  • 正交变换定义

    2021-06-01 11:06:07
    如果对于任意向量u{u}u和v{v}v,其内积等于转换后向量T(u)T({u})T(u)和T(v)T({v})T(v)的内积,则该转换称之为正交变换 即:⟨u,v⟩=⟨T(u),T(v)⟩\langle{u}, {v}\rangle=\langle T({u}), T({v})\rangle⟨u,v⟩=⟨T...

    定义

    如果对于任意向量 u {u} u v {v} v,其内积等于转换后向量 T ( u ) T({u}) T(u) T ( v ) T({v}) T(v)的内积,则该转换称之为正交变换

    即: ⟨ u , v ⟩ = ⟨ T ( u ) , T ( v ) ⟩ \langle{u}, {v}\rangle=\langle T({u}), T({v})\rangle u,v=T(u),T(v)

    ∥ x ∥ \|{x}\| x 在空间 R n R^{n} Rn内, n n n 表示维度:

    ⟨ u , v ⟩ = ⟨ T ( u ) , T ( v ) ⟩ = ∑ i = 0 n − 1 u [ i ] v [ i ] \langle{u}, {v}\rangle=\langle T({u}), T({v})\rangle=\sum_{i=0}^{n-1} u[i] v[i] u,v=T(u),T(v)=i=0n1u[i]v[i]

    u [ i ] u[i] u[i] v [ i ] v[i] v[i] 分别为 u {u} u v {v} v 中的元素

    性质

    按照向量模长的定义,可知正交转换后的向量模长与转换前的模长相同: ∥ T ( x ) ∥ = ∥ x ∥ \|T({x})\|=\|{x}\| T(x)=x

    证明:

    ∥ x ∥ = ( ∑ i = 0 n − 1 x [ i ] 2 ) 1 / 2 = ⟨ x , x ⟩ \|{x}\| =(\sum_{i=0}^{n-1} x[i]^2)^{1/2} = \langle{x}, {x}\rangle x=(i=0n1x[i]2)1/2=x,x

    ∥ T ( x ) ∥ = ( ∑ i = 0 n − 1 T ( x ) [ i ] 2 ) 1 / 2 = ⟨ T ( x ) , T ( x ) ⟩ \|T({x})\|=(\sum_{i=0}^{n-1} T({x})[i]^2)^{1/2}=\langle T({x}), T({x})\rangle T(x)=(i=0n1T(x)[i]2)1/2=T(x),T(x)

    因为: ⟨ x , x ⟩ = ⟨ T ( x ) , T ( x ) ⟩ \langle{x}, {x}\rangle =\langle T({x}), T({x})\rangle x,x=T(x),T(x)

    所以: ∥ T ( x ) ∥ = ∥ x ∥ \|T({x})\|=\|{x}\| T(x)=x

    正交变换不影响转换前后向量间的内积和模长,由此可得,正交变换也不影响转换前后两个向量的夹角

    若用矩阵表示 T ( x ) = A x T({x})={A} {x} T(x)=Ax 为正交变换, 则 A {A} A正交矩阵

    在线性代数中,正交变换是线性变换的一种

    参考

    正交变换

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  • 正交变换

    万次阅读 2017-02-02 14:25:17
    正交变换

    几何意义:

    正交变换是保持图形形状和大小不变的几何变换,包含旋转,平移,轴对称及上述变换的复合.

    正交可以保证向量的长度和两个向量之间的角度不变.
    欧几里得空间V的线性变换σ称为正交变换,如果它保持向量内积不变,即对任意的α,β∈V,都有
    (σ(α),σ(β))=(α,β)
    等价刻画
    设σ是n维欧式空间V的一个线性变换,于是下面4个命题等价
    1.σ是正交变换
    2.σ保持向量长度不变,即对于任意α∈V,丨σ(α)丨=丨α丨
    3.如果ε_1,ε_2,...,ε_n是标准正交基,那么σ(ε_1),σ(ε_2),...,σ(ε_n)也是标准正交基
    4.σ在任意一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵
    正交矩阵
    定义:n级实矩阵A称为正交矩阵,如果A'A=E.(A'表示A的转置,E是单位矩阵)
    分类
    设A是n维欧式空间V的一个正交变换σ在一组标准正交基下的矩阵
    若丨A丨=1,则称σ为第一类正交变换,
    若丨A丨=-1,则称σ为第二类正交变换.

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  • 线性代数的那些事(三)特征值与正交变换

    万次阅读 多人点赞 2018-05-09 22:35:28
    嗯哼哼说下变换为什么要进行变换因为变换后,在新空间下运算变得简单,或者说 在变化下之前复杂难以观察的规律变得容易观察了其实变换的实质就是旋转与拉伸比如傅立叶变化 k-l变换伯特空间的正交变换...

    嗯哼哼

    说下变换

    为什么要进行变换

    因为变换后,在新空间下运算变得简单,或者说 在变化下之前复杂难以观察的规律变得容易观察了

    其实变换的实质就是旋转与拉伸


    (图片来自:https://www.zhihu.com/question/20501504/answer/174887899)

    比如傅立叶变换  k-l变换 希尔伯特空间的正交变换(嗯哼,下篇重点说明)

    嗯哼哼 这就引出了相似矩阵

    什么是相似矩阵呢

    就是说实现是一个线性变换在不同空间上

    嗯哼哼  比如  对v向量进行B的线性变化  可以将其先进行P变化使其映射到新空间的另一个点 

    而这个点同一个线性变换时的矩阵是A然后再通过P逆使其映射回之前的空间


    就说B     和  A相似


    但是  有木有发现 本来一个变换 变得要做三个变换 不是得不偿失呀

    嗯哼哼 

    虽然说三个变化 但是我们关心的只是A这个变换

    而A这个变化 如果变成只是拉伸的对角矩阵的话,那么 不用求P的话 ,A矩阵也能求出来

    也就是说我们的目的只是为了求A而已 再观察在A的变换下特点

    怎么求A呢

    嗯哼哼 

    这就是引入特征值和特征向量


    嗯哼哼 通过A变换  相当于对向量v进行伸缩变换

    所以 如果相似矩阵可以进行对角化 那么其对角化上的元素就是其特征值

    证明贼简单


    设B为对角化矩阵

    PB     = AP  

    P写成列向量的形式

    会得到

    Ax = λx

    会发现 一个特别有趣的地方

    首先 P是由A的特征向量构成   哈哈哈哈哈哈

     P可逆  所以其列向量x1 ..... xn 线性无关 也就是 A有n个线性无关的特征向量  

    嗯哼哼  

    再来更特殊的

    如果P是正交矩阵 那么其逆一定可逆且为其的转置

    什么时候P是正交矩阵呢

    A为实对称矩阵的时候(证明百度以下就出来 )

    其实首先证明的A是实对称矩阵,只要特征值不相同 其对应特征向量都正交

    嗯哼哼 

    正交的概念 是其内积为0

    又因为其特征向量都是线性无关所以 可将其特征值相同的特征向量正交化

    所以 就组成一个正交矩阵咯

    嗯哼哼 什么是正交变换 

    就是说

    在正交矩阵的变换下

    得出来的还是正交矩阵

    正交矩阵的性质


    嗯哼哼 且正交矩阵的逆也是正交矩阵

    而正交变换有一堆优秀的性质

    内积范数(长度)都不变 所以夹角也不变

    所以 老是喜欢正交变换

    嗯哼哼 还能引出其另一个定义




    则 A是正交变换






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空空如也

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向量正交变换