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  • (1)如图,在四面体 中, 平面 , 是边长为 的等边三角形,若 ,则四面体 外接球的表面积为_____观察本道题目,由于底面不是直角三角形,因此难以通过将图形放入直四棱柱的进而出对角线的方法解题,所以,本人选择建...

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    (1)如图,在四面体

    中,
    平面
    ,
    是边长为
    的等边三角形,若
    ,则四面体
    外接球的表面积为_____

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    观察本道题目,由于底面不是直角三角形,因此难以通过将图形放入直四棱柱的进而求出对角线的方法解题,所以,本人选择建系

    解:如图,以

    为原点,建立空间直角坐标系,则易得各点坐标(已标在图上,

    不妨设外接球圆心

    由球的定义可知

    解得

    (2)如图,在二面角

    中,
    ,
    ,点
    在直线
    上运动,满足
    ,
    ,现将平面
    沿着
    进行翻折,在翻折的过程中,线段
    长的取值范围是______

    先做个图

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    如图,建立空间直角坐标系(建系时请注意底边角的形状,又是为了更好解题,我们可以将俯视图画出),因为
    与平面
    的特殊关系,故我们设

    解:

    由此可以作图

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    以a为横坐标,b为纵坐标
    因为
    ,所以我们只需知道知道
    的取值范围即可

    笔者认为题目强调“在翻折的过程中”,那么原图的未翻折转态,即
    的值无法取到

    (3)如图,在底面为正方形的四棱锥

    中,
    底面
    ,且
    ,
    ,
    分别为
    上的动点,且满足

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    时,求异面直线
    所成角的余弦值

    若平面
    平面
    ,求
    的值

    (Ⅰ)解:由题意得

    ,

    注意,异面直线以及线面角的夹角为
    ,面面角的范围为

    同时,值得注意的是,线面角公式所求出来的余弦角大小实则为正弦值大小

    (Ⅱ)解:

    设平面

    的一个法向量为

    解得

    同理解得平面

    的一个法向量

    平面
    平面

    此方法从分利用题中所给条件,简单易行,所求
    值不需进行复杂转换,具有较好的操作性

    方法二:利用

    解得

    时,
    不合题意,舍去

    时,

    此时

    此方法需要注意,所求的
    不是最终答案,还需转化为
    ,同时,部分学生会在做题时将
    由此解出错误答案,出现该问题的根源是没有理清两个
    间的不同含义
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  • 【考点聚焦突破】考点一 用空间向量求异面直线所成的角【规律方法】1.利用向量异面直线所成角的一般步骤是:(1)选好基底或建立空间直角坐标系;(2)出两直线的方向向量v1,v2;(3)代入公式|cos〈v1,v2〉|=...

    【考点聚焦突破】

    考点一 用空间向量求异面直线所成的角

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    【规律方法】

    1.利用向量法求异面直线所成角的一般步骤是:(1)选好基底或建立空间直角坐标系;(2)求出两直线的方向向量v1,v2;(3)代入公式|cos〈v1,v2〉|=求解.

    2.两异面直线所成角的范围是θ∈,两向量的夹角α的范围是[0,π],当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时,就是该异面直线的夹角;当异面直线的方向向量的夹角为钝角时,其补角才是异面直线的夹角.

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    考点二 用空间向量求线面角

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    【规律方法】 利用向量法求线面角的方法:

    (1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量,转化为求两个方向向量的夹角(或其补角);

    (2)通过平面的法向量来求,即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角,取其余角就是斜线和平面所成的角.

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    考点三 用空间向量求二面角

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    【规律方法】 利用空间向量计算二面角大小的常用方法:

    (1)找法向量:分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量,然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小,但要注意结合实际图形判断所求角的大小.

    (2)找与棱垂直的方向向量:分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量,则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小.

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    考点四 用空间向量求空间距离(供选用

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    【规律方法】

    1.空间中两点间的距离的求法

    两点间的距离就是以这两点为端点的向量的模.因此,要求两点间的距离除了使用距离公式外,还可转化为求向量的模.

    2.求点P到平面α的距离的三个步骤:

    (1)在平面α内取一点A,确定向量的坐标表示;

    (2)确定平面α的法向量n;

    (3)代入公式d=求解.

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    【反思与感悟】

    1.利用空间向量求空间角,避免了寻找平面角和垂线段等诸多麻烦,使空间点、线、面的位置关系的判定和计算程序化、简单化.主要是建系、设点、计算向量的坐标、利用数量积的夹角公式计算.

    2.利用法向量求距离问题的程序思想方法

    第一步,确定法向量;

    第二步,选择参考向量;

    第三步,确定参考向量到法向量的投影向量;

    第四步,求投影向量的长度.

    【易错防范】

    1.异面直线所成的角与其方向向量的夹角:当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时,就是该异面直线的夹角;否则向量夹角的补角是异面直线所成的角.

    2.利用向量法求二面角大小的注意点

    (1)建立空间直角坐标系时,若垂直关系不明确,应先给出证明;

    (2)对于某些平面的法向量,要结合题目条件和图形多观察,判断该法向量是否已经隐含着,不用再求.

    (3)注意判断二面角的平面角是锐角还是钝角,可结合图形进行,以防结论失误.

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  • 只要能建立空间直角坐标系的题,都可以用向量法来解,而这样的题目可以占到所有立体几何题的 95% 以上。与传统方法相比,向量法的计算量稍微大一些,但它的优点是不需要费脑筋做辅助线,而只需要简单粗暴地按套路...

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      向量法是解高中立体几何题的神器。只要能建立空间直角坐标系的题,都可以用向量法来解,而这样的题目可以占到所有立体几何题的 95% 以上。与传统方法相比,向量法的计算量稍微大一些,但它的优点是不需要费脑筋做辅助线,而只需要简单粗暴地按套路进行计算,所以尤其适用于复杂的问题。

      向量法的完整套路中,包含一种名为「叉积」的运算,它在部分地区是超出教学大纲的。但是没有「叉积」的向量法在很多情况下发挥不出它的魔力。本文就来把「叉积」这个缺口补上,让大家领略一下向量法的简单、粗暴、有效。当然啦,我知道你们会有「考试时不让用叉积」的抱怨。没关系,我会教你怎样把叉积「伪装」成不超纲的内容。

      本文的第一部分将介绍向量间的点积、叉积两种运算,包括它们的定义、计算公式、运算律,以及向量法中直线和平面的方向的表示方法。高中立体几何题的大部分问题都是求角或求距离,本文的第二、三部分就来介绍各种角和距离用向量法怎么求。证明题一般是要证明线、面之间的平行或垂直,或者两个角的大小、两条线段的长度相等,都可以化归成求角或求距离。在第四部分,我会讲一下叉积在求面积、求体积这两种相对罕见的题型中的用法。最后展示一道例题。

    一、基础知识

     1.1 向量的点积运算

      向量的点积是大纲之内的内容。设两个向量为

    ,它们的夹角为
    的点积记作
    ,读作「a 点乘 b」,或干脆读作「a 点 b」(「点」字常常儿化)。
    是一个数,它等于
    各自的模之积再乘以夹角的余弦:
    。当
    垂直时,

      点积运算适用于任何维度的向量,不过本文只讨论三维情况。在空间直角坐标系中,设

    的坐标为
    ,则
    可用这些坐标表达为

      向量的点积具有交换律和分配律:

      • 交换律:
      • 分配律:

    但没有结合律,因为两个向量的点积是一个数,不能再与第三个向量进行点积运算。

     1.2 向量的叉积运算

      向量的叉积是本文要介绍的重点。叉积仅对三维向量有定义。设两个三维向量为

    ,它们的夹角为
    的叉积记作
    ,读作「a 叉乘 b」,或干脆读作「a 叉 b」(「叉」字也可以儿化)。
    是一个
    向量,它具有以下性质:
      1. 它的模等于
        各自的模之积再乘以夹角的正弦,即
      2. 它的方向与
        都垂直,且满足
        右手定则,如下图所示。

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      右手定则有两种理解方式,如下图。一种是:伸出拇指和食指,让它们分别朝向

    的方向,然后伸出中指让它与手掌垂直,则中指的方向就是
    的方向。另一种是:让四指从
    的方向弯向
    的方向,并伸出拇指,则拇指的方向就是
    的方向。

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    平行时,
    (注意结果是
    零向量)。
      在空间直角坐标系中,设
    的坐标为
    ,则
    可用这些坐标表达为
    。这个公式可以用交叉相乘法来记忆:

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    注意,左、右两个交叉相乘是「捺减撇」,中间的交叉相乘是「撇减捺」。

      向量的叉积具有反交换律和分配律:

      • 反交换律:
      • 分配律:

    两个向量的叉积是一个向量,可以继续与第三个向量进行叉积运算,但不幸的是,叉积运算也不满足结合律,即没有

     1.3 直线与平面方向的表示

      在能建立空间直角坐标系的题目中,提到一条直线,一定会已知直线上两点

    的坐标。两个坐标的差就是直线的方向向量
    ,它可以表示直线的方向,在求角和求距离时都很有用。

      而平面的方向,则是用与平面垂直的向量来表示的,这个向量称为「法向量」。提到一个平面,一定会已知平面上不共线的三点

    的坐标,由此可以得到两个向量
    。这两个向量的叉积就是平面的法向量。根据需要,可以选择
    作为平面的法向量,这两个法向量大小相同,方向相反。

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      在立体几何题中,叉积的主要用途就是求平面的法向量。如果考试时不允许在步骤中使用叉积运算,可以用如下方法绕过去:既然法向量就是与平面中两个已知向量都垂直的向量,那么可以设出法向量

    的坐标
    ,并利用
    都垂直来列出两个方程。设
    的坐标分别为
    ,则两个垂直可以用点积表示为:

    在试卷上列出这个方程组后,不必真正去解它,而是在草稿纸上根据

    ,利用交叉相乘法算出法向量坐标,直接把结果写到试卷上。但这种「伪装」具有一定的局限性——方程组只能解出法向量的方向,不能解出它的模,所以遇到需要使用叉积的模的场合,就绕不过去了。

    二、用向量法求各种角

      高中立体几何涉及的角度有:线线角、线面角、面面角。

     2.1 求两条直线的夹角

      设两条直线的方向向量分别为

    ,它们的夹角为
    。两条直线的夹角,就是
    中较小的那个,它的余弦一定是非负的。由点积定义
    可得两个方向向量的夹角为
    ,于是两条直线的夹角就是

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      有同学要问了:上面的方法利用的是点积,那么利用叉积求得两条直线的夹角为

    行不行呢?答案是:行,但是
    叉积的计算量比点积大,所以优先选择点积。

      注意向量法并不要求两条直线共面,它同样适用于异面直线!这就避免了传统方法中作平行线的麻烦。

     2.2 求直线与平面的夹角

      设直线的方向向量为

    ,平面的法向量为
    ,两个向量的夹角为
    。容易看出,待求的线面角
    中较小者的余角,
    。由点积定义,
    ,于是有
    。与 2.1 节相同,我们优先选择计算量小的点积运算,而不是叉积。

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      请再次领略向量法的简单粗暴有效:传统方法中,要求线面角,必须找到直线与平面的交点,并作出直线在平面内的投影。而在向量法中,只要知道直线上的任意两点和平面中任意三点(不共线)的坐标,就可以代入公式计算出直线的方向向量和平面的法向量,再代入公式计算夹角,完全不必考虑五个已知点的位置关系。

     2.3 求两个平面的夹角

      设两个平面的法向量分别为

    ,它们的夹角为
    。两个平面的夹角,就是
    中较小的那个。用与 2.1 节相同的方法,可以得到两个平面的夹角为

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      在几何题中,提到「二面角」,往往指的不是两个「平面」的夹角,而是两个「半平面」的夹角——也就是说,求的是

    中特定的某一个。怎么知道是哪一个呢?还记得在求法向量的时候,可以人为选择箭头指向哪一头吗?只要让两个法向量
    一个指向角外,一个指向角内(如上图),那么两个半平面构成的二面角
    ,就一定是两个法向量的夹角
    (注意分子上没有绝对值),而不是它的补角了。反之,如果两个法向量都指向角内或都指向角外,那么二面角
    就是法向量夹角
    的补角

      用向量法求二面角,同样不需要找到两个面的交线和它在两个面内的垂线,而只需要知道两个面内六个点的坐标。在很多情况下,交线上会有两个已知点,那么就只需要在两个面中各再找一个点。

    三、用向量法求各种距离

      点、线、面三种图形两两组合,可以得到六种距离:两点距、点线距、点面距、线线距、线面距、面面距。其中线面距、面面距只在线面或面面平行时才有定义,此时可以在直线或其中一个平面中任取一点,转化为点面距。因此这一部分将介绍前四种距离的求法。

     3.1 求两点间的距离

      设两点的坐标分别为

    ,则它们的距离为

     3.2 求点到直线的距离

      如图,设直线上任意一点到已知点的向量为

    ,直线的方向向量为
    ,两个向量的夹角为
    。可以看出,点到直线的距离为
    。由叉积的定义,有
    ,所以点到直线的距离就是

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      这里为什么使用了计算量大的叉积,而不是点积呢?这是为了利用叉积定义中现成的

     3.3 求点到平面的距离

      如图,设平面上任意一点到已知点的向量为

    ,平面的法向量为
    ,两个向量的夹角为
    。可以看出,点到直线的距离为
    (余弦取绝对值是因为
    可能是钝角)。由点积的定义,有
    ,所以点到平面的距离就是

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      点到平面的距离,其实是向量

    在法向量
    上的投影长度,
    也正是投影长度公式。

     3.4 求两条直线的距离

      三维空间中直线有三种位置关系:相交、平行、异面。后两种情况都可以求距离,但方法不一样。若两条直线平行,则可在其中一条直线上任取一点,转化成求该点到另一条直线的距离。若两条直线异面,则可以按如下步骤求出它们的距离。设第一条直线上有两个已知点

    ,第二条直线上有两个已知点
    。首先,找一个向量与两条直线都垂直,这个向量可以是两条直线的方向向量的叉积
    。然后,任作一条连结两条直线的线段(比如
    ),将它投影到
    上,投影长度
    就是异面直线的距离。

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      我们看到,两条直线的位置关系不同时,它们的距离求法不一样。但向量法最有用的时候,正是图形的位置关系不清楚的时候。有没有简便的方法判断直线的位置关系呢?有!先不管三七二十一地计算「法向量」

    ,如果算出来发现是零向量,那么说明两条直线平行,转化成点线距。如果算出来法向量非零,那么就继续计算投影长度,如果投影长度为 0,说明两条直线相交,否则两条直线异面,投影长度是它们之间的距离。

    四、用向量法求三角形面积和四面体体积

      这两种题型在高中立体几何中出现的频率不高,但它们与高等数学中「行列式」的概念联系紧密,有兴趣的同学可以涉猎一下。

     4.1 求三角形的面积

      设三角形三个顶点

    的坐标均已知,则三角形的面积为
    。而由叉积的定义,
    ,所以

      这个公式同样适用于平面几何,此时

    坐标均为 0。设
    ,则
    。这个向量的
    坐标的绝对值的一半就是三角形
    的面积,而
    坐标的绝对值是以
    为邻边的平行四边形的面积。
    坐标的正负号,表示在平面中从
    是逆时针还是顺时针旋转,因此
    坐标也称为平行四边形的
    有向面积

      把

    的二维坐标排成两行两列
    ,这个东西称为「行列式」,它的值是一个数。二阶行列式的计算公式是「交叉相减」:
    。二阶行列式对应着平面中两个向量的叉积,其几何意义就是「平行四边形的有向面积」。

     4.2 求四面体的体积

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      设四面体四个顶点

    的坐标均已知。由 4.1 节,底面三角形
    的面积为
    ;而四面体的高是顶点
    到底面的距离,由 3.3 节,这个距离为
    。四面体的体积为

      上述结果去掉

    后剩下的部分
    ,是以
    为三边的平行六面体的体积。再去掉绝对值,剩下的部分称为向量
    混合积,它表示了平行六面体的 有向体积——若从角
    内部观察,向量
    呈逆时针排列,则体积为正,反之为负。

      设

    。容易验证,
    。这正是三阶行列式
    的计算公式。三阶行列式对应着三维空间中三个向量的混合积,其几何意义是「平行六面体的有向体积」。

      行列式的概念还可以推广到更高维的空间。从同一个点出发的

    维向量的坐标排成的
    阶行列式,代表了以这些向量为边的
    维「超平行体」的「有向超体积」。

    五、一道例题

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      图中是一座金字塔。它是一个正四棱锥,底面

    是一个边长 10 米的正方形,各个侧面都是正三角形。在底边
    的中点
    处竖立着一根高
    米的火把
      1. 求金字塔相邻侧面所成的二面角
      2. 求金字塔的棱
        所在直线与底边
        所在直线的距离。
      3. 求火苗
        到棱
        所在直线的距离。

    231aaa48de7bf24440d6e891f3be2b3f.png

    解:如上图建立空间直角坐标系,原点

    为底面中心。容易求得下列各点坐标:
    (单位均为米,下略)。金字塔的高未知,设顶点的坐标为
    。由于侧面都是等边三角形,
    ,解得

    求二面角

    侧面
    的一个法向量为
    ,不妨缩短成
    ,它指向二面角
    外部。侧面
    的一个法向量为
    ,不妨缩短成
    ,它指向二面角
    内部。二面角的大小就是法向量的夹角,即

    求直线

    的距离:
    先求一个与两条直线都垂直的向量
    ,不妨缩短成
    。将
    投影到这个向量上,投影长度为
    ,这就是直线
    的距离。

    求点

    到直线
    的距离:
    此距离
    ,代入得
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  • 也是难点问题,这类试题的基本类型是根据给出的条件某个量的最值、范围,如:向量的模、数量积、夹角向量的系数.解决这类问题的一般思路是建立求解目标的函数关系,通过函数的值域解决问题,同时,平面向量兼具...

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    【高考地位】

    平面向量中的最值和范围问题,是一个热点问题,也是难点问题,这类试题的基本类型是根据给出的条件求某个量的最值、范围,如:向量的模、数量积、夹角及向量的系数.解决这类问题的一般思路是建立求解目标的函数关系,通过函数的值域解决问题,同时,平面向量兼具“数”与“形”的双重身份,解决平面向量最值、范围问题的另一个基本思想是数形结合.在高考各种题型均有出现如选择题、填空题和解答题,其试题难度属中高档题.

    【方法点评】

    方法一  利用基本不等式求平面向量的最值

    使用情景:一般平面向量求最值问题

    解题模板:第一步   利用向量的概念及其基本运算将所求问题转化为相应的等式关系;[来源:Z_xx_k.Com]

    第二步   运用基本不等式求其最值问题;

    第三步   得出结论.

    例1.已知点A在线段BC上(不含端点),O是直线BC外一点,且,则的最小值是___________

    【答案】

    第三步,得出结论:

    所以最小值为。学%科网

    【变式演练1】如图所示,已知点是的重心,过点作直线与两边分别交于两点,且,则的最小值为(    )

    A.2       B.       C.        D.

    【答案】C

    考点:向量共线,基本不等式求最值

    【变式演练2】已知点A(1,1),B(4,0),C(2,2).平面区域D由所有满足(1≤≤a,1≤≤b)的点P(x,y)组成的区域.若区域D的面积为8,则a+b的最小值为           .

    【答案】4

    考点:1、平面向量的线性运算;2、基本不等式.

    【变式演练3】平行四边形中,为平行四边形内一点,且,若,则的最大值为          .

    【答案】

    【解析】

    试题分析:对学科*网

    两边平方可得可化为,据已知条件可得,即,又,则.故本题填.学科*网

    考点:向量的数量积运算;基本不等式

    方法二   建立直角坐标系法

    使用情景:一般向量求最值或取值范围类型

    解题模板:第一步   根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标;

    第二步   将平面向量数量积的运算坐标化;

    第三步   运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解即

    可.

    例2 在中,,,点是所在平面内一点,则当取得最小值时,(   )

    A.     B.     C.     D. 24

    【答案】D

    【点评】(1)向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来,这就为向量和函数的结合提供了前提,运用向量的有关知识可以解决某些函数问题. 学科*网

    (2)以向量为载体求相关变量的取值范围,是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算,将问题转化为解不等式或求函数值域,是解决这类问题的一般方法.

    例3在中,,若长为的线段以点为中点,问与的夹角取何值时的值最大?并求出这个最大值.

    【答案】.

    【解析】:第一步,根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标:

    以为原点,AB所在的直线为x轴,建立如图所示的直角坐标系。

    第二步,将平面向量数量积的运算坐标化:

    [来源:Z_xx_k.Com]

    第三步,运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解即可:

    当即(与同向)时,的最大值为.学科*网

    【点评】通过建立适当的直角坐标系,将向量的数量积坐标化,从而转化常见的求函数最值问题.

    【变式演练6】如图,在等腰直角三角形ABC中,,D,E是线段BC上的点,且,则的取值范围是(  )

    A.    B.    C.    D.

    【答案】A

    考点:平面向量数量积的运算.学科*网

    【变式演练7】在平面上,.若,则的取值范围是(  )

    A.          B.          C.          D.

    【答案】D

    考点:平面向量的性质.

    【高考再现】

    1.【2018年浙江卷】已知a,b,e是平面向量,e是单位向量.若非零向量a与e的夹角为,向量b满足b2−4e·b+3=0,则|a−b|的最小值是(    )

    A.    B.    C.2    D.

    【答案】A

    【解析】

    分析:先确定向量所表示的点的轨迹,一个为直线,一个为圆,再根据直线与圆的位置关系求最小值.

    点睛:以向量为载体求相关变量的取值范围,是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算,将问题转化为解方程、解不等式、求函数值域或直线与曲线的位置关系,是解决这类问题的一般方法.学科&网

    2.【2017全国II理,12】已知是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,则的最小是(   )

    A.                   B.                  C.                      D.

    【答案】B

    3.【2018年天津卷】如图,在平面四边形ABCD中,若点E为边CD上的动点,则的最小值为(   )

    A.    B.    C.    D.

    【答案】A

    【解析】

    分析:由题意可得为等腰三角形,为等边三角形,把数量积分拆,设,数量积转化为关于t的函数,用函数可求得最小值。学&科网

    点睛:本题考查的是平面向量基本定理与向量的拆分,需要选择合适的基底,再把其它向量都用基底表示。同时利用向量共线转化为函数求最值。

    4. 【2018年天津卷】在如图的平面图形中,已知,则的值为

    A.    B.

    C.    D.0

    【答案】C

    【解析】分析:连结MN,结合几何性质和平面向量的运算法则整理计算即可求得最终结果.

    详解:如图所示,连结MN

    由可知点分别为线段上靠近点的三等分点,

    则,

    由题意可知:,,

    结合数量积的运算法则可得:.

    本题选择C选项.

    点睛:求两个向量的数量积有三种方法:利用定义;利用向量的坐标运算;利用数量积的几何意义.具体应用时可根据已知条件的特征来选择,同时要注意数量积运算律的应用.

    5.【2018年新课标I卷】设抛物线Cy2=4x的焦点为F,过点(–2,0)且斜率为的直线与C交于MN两点,则=

    A.5    B.6    C.7    D.8

    【答案】D[来源:学科网ZXXK]

    【解析】分析:首先根据题中的条件,利用点斜式写出直线的方程,涉及到直线与抛物线相交,联立方程组,消元化简,求得两点,再利用所给的抛物线的方程,写出其焦点坐标,之后应用向量坐标公式,求得,最后应用向量数量积坐标公式求得结果.

    点睛:该题考查的是有关直线与抛物线相交求有关交点坐标所满足的条件的问题,在求解的过程中,首先需要根据题意确定直线的方程,之后需要联立方程组,消元化简求解,从而确定出,之后借助于抛物线的方程求得,最后一步应用向量坐标公式求得向量的坐标,之后应用向量数量积坐标公式求得结果,也可以不求点M、N的坐标,应用韦达定理得到结果.

    6..【2017浙江,15】已知向量a,b满足则的最小值是________,最大值是_______.

    【答案】4,

    【解析】

    【考点】平面向量模长运算

    【名师点睛】本题通过设入向量的夹角,结合模长公式,解得,再利用三角有界性求出最大、最小值,属中档题,对学生的转化能力和最值处理能力有一定的要求.

    7.【2017全国Ⅲ卷文,13】已知向量,且,则m=       .

    【答案】2

    【解析】由题意可得:.学科*网

    【考点】向量数量积

    【名师点睛】(1)向量平行:,,

    (2)向量垂直:,

    (3)向量加减乘:

    8.【2017江苏,13】在平面直角坐标系中,点在圆上,若则点的横坐标的取值范围是      .

    【答案】 

    【考点】直线与圆,线性规划

    【名师点睛】线性规划问题,首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线,其次确定目标函数的几何意义,是求横坐标或纵坐标、直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等,最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.

    9.【2017北京文,12】已知点P在圆上,点A的坐标为(-2,0),O为原点,则的最大值为_________.

    【答案】6

    【解析】所以最大值是6. 

    10.【2018年上海卷】已知实数、、、满足:,,,则的最大值为______.

    【答案】

    【解析】

    【分析】

    设A(x1,y1),B(x2,y2),=(x1,y1),=(x2,y2),由圆的方程和向量数量积的定义、坐标表示,可得三角形OAB为等边三角形,AB=1,+的几何意义为点A,B两点到直线x+y﹣1=0的距离d1与d2之和,由两平行线的距离可得所求最大值.

    【详解】

    +的几何意义为点A,B两点

    到直线x+y﹣1=0的距离d1与d2之和,

    显然A,B在第三象限,AB所在直线与直线x+y=1平行,

    可设AB:x+y+t=0,(t>0),

    由圆心O到直线AB的距离d=,

    可得2=1,解得t=,

    即有两平行线的距离为=,

    即+的最大值为+,

    故答案为:+.学&科网

    【点睛】

    本题考查向量数量积的坐标表示和定义,以及圆的方程和运用,考查点与圆的位置关系,运用点到直线的距离公式是解题的关键,属于难题.

    11.【2018年上海卷】在平面直角坐标系中,已知点、,、是轴上的两个动点,且,则的最小值为____.

    【答案】-3

    【解析】

    【分析】

    据题意可设E(0,a),F(0,b),从而得出|a﹣b|=2,即a=b+2,或b=a+2,并可求得,将a=b+2带入上式即可求出的最小值,同理将b=a+2带入,也可求出的最小值.

    【详解】

    【点睛】

    考查根据点的坐标求两点间的距离,根据点的坐标求向量的坐标,以及向量坐标的数量积运算,二次函数求最值的公式.

    12.【2018年江苏卷】在平面直角坐标系中,为直线上在第一象限内的点,,以为直径的圆与直线交于另一点.若,则点的横坐标为________.

    【答案】3

    【解析】

    分析:先根据条件确定圆方程,再利用方程组解出交点坐标,最后根据平面向量的数量积求结果.

    详解:设,则由圆心为中点得易得,与联立解得点的横坐标所以.所以,

    由得或,

    因为,所以

    点睛:以向量为载体求相关变量的取值或范围,是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算,将问题转化为解方程或解不等式或求函数值域,是解决这类问题的一般方法.

    【反馈练习】

    1.【重庆市2018届高三第二次质量调研抽测数学理试题】已知圆,点,两点关于轴对称.若圆上存在点,使得,则当取得最大值时,点的坐标是

    A.    B.    C.    D.

    【答案】C

    2.【河南省郑州市2018届高三毕业年级第二次质量预测理科数学试题】已知平面向量满足,若,则的最小值为(    )

    A.-2    B.3-    C.-1    D. 0

    【答案】B

    【解析】由题意可得由,可得,不妨设原式=,所以最小值为3-,选B.

    3.【湖南省衡阳市2018届高三第二次联考(二模)理科数学试题】在中,,点是的重心,则的最小值是(    )

    A.    B.    C.    D.

    【答案】B

    4.【内蒙古包头市2018届高三第一次模拟考试数学(理)试卷】已知是圆的直径,是圆的弦上一动点,,,则的最小值为(   )

    A.    B.    C.    D.

    【答案】D

    【解析】以所在的直线为轴,线段的垂直平分线为轴,建立平面直角坐标系,

     设点,则,

     所以[来源:Z+xx+k.Com]

     则,

     又因为,且在弦上一动点,所以,

     其中当取的中点时取得最小值,所以,故选D.

     点睛:本题考查了平面向量的数量积与应用问题,解答的关键是建立适当的直角坐标系,表示出向量的坐标,再利用圆的性质求解,着重考查了学生分析问题和解答问题的能力,对于平面向量的运算问题,通常有两种方法:一是建立平面的基底,利用基底运算;二是建立适当的平面直角坐标系,转化为坐标运算即可.

    5.【山东省聊城市2018届高三第一次模拟数学(理)试题】在中,边上的中线的长为2,点是所在平面上的任意一点,则的最小值为(   )

    A. 1    B. 2    C.-2    D. -1

    【答案】C

    【解析】建立如图所示的平面直角坐标系,使得点D在原点处,点A在y轴上,则.学科&网

    6.【四川省绵阳南山中学2018届高三二诊热身考试数学(文)试题】已知是边长为2的正三角形,点为平面内一点,且,则的取值范围是(    )

    A.    B.    C.    D.

    【答案】A

    【解析】

    点睛:本题在求解过程中采用了建立平面直角坐标系的方法,先根据题目条件得出点点轨迹,然后利用三角函数换元,求得各向量的表示方法,借助辅助角公式进行化简,本题较为综合,运用了较多知识点。

    7.【上海市普陀区2018届高三下学期质量调研(二模)数学试题】点,分别是椭圆的左、右两焦点,点为椭圆的上顶点,若动点满足:,则的最大值为__________.

    【答案】

    【解析】设,由,得,则由,可得,化为,可设,,,  ,即的最大值为,故答案为.

    【方法点睛】本题主要考查椭圆的简单性质,平面向量的数量积公式,以及三角函数求最值问题,属于难题. 求最值问题常见方法有①配方法:若函数为一元二次函数,常采用配方法求函数求最值;②图象法;③不等式法;④单调性法;⑤换元法:常用代数或三角代换法,用换元法求值域时需认真分析换元参数的范围变化,利用三角换元后往往利用辅助角公式结合三角函数的单调性求解.学#科网

    8.【贵州省黔东南州2018届高三下学期第二次模拟考试数学(文)试题】在平面上,,且,,.若,则的取值范围是____________________.[来源:Zxxk.Com]

    【答案】.

    9.【衡水金卷2018年普通高等学校招生全国统一考试分科综合卷理科数学(二)模拟试题】若向量, 是椭圆上的动点,则的最小值为_________.

    【答案】

    10.【湖北省武汉市武昌区2018届高三元月调研考试数学(文)试题】在矩形ABCD中,AB=2,AD=1.边DC上(包含DC)上的动点PCB延长线上(包含点B)的动点Q满足,则的最小值为________.

    【答案】

    【解析】以为原点建立平面直角坐标系,则,设,则,,,故最小值为.

    【点睛】本题主要考查向量运算,考查坐标法计算向量的数量积,考查二次函数求最值.由于题设所给的图形为矩形,这是一个很好的建系的模型,故以点为原点建立平面直角坐标系.建立坐标系后写出相关点的坐标,代入所求数量积,然后利用配方法求出最小值.

    11.【江苏省苏州市2018年学业质调研卷高一数学试题】如图,在四边形中,,.

    (1)若为等边三角形,且,是的中点,求;

    (2)若,,,求.

    【答案】(1)11(2)

    【解析】试题分析:(1)因为为等边三角形得到,因为是中点,根据的平行四边形法则和三角形法则,所以,进而得到的值.

    (2)因为,得到和,进而求解的值.

    (2)因为,,所以,

    因为,所以,所以.

    又 .

    所以.

    所以 .

    所以.学科&网

    12.【河南省中原名校(豫南九校)2018届高三上学期第四次质量考评(期中)数学(文)试题】在中,满足,是中点.

    (1)若,求向量与向量的夹角的余弦值;

    (2)若是线段上任意一点,且,求的最小值.

    【答案】(1) ;(2) .

    【解析】试题分析:

    (1)由向量的夹角公式可求;

    (2),则,,由此可用表示出,从而可得最小值.

    (2)∵,∴ ,设 ,则 .

    而,所以 

    .当且仅当时,的最小值是.

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    2019-02-10 13:45:00
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  • 前言在数学中,几何向量是指具有大小和方向的几何对象。在编程中,向量有着广泛的应用,其作用在图形编程和游戏物理引擎方面尤为突出。第一节 构造函数通过创建一个二维向量的类(或结构体),实现向量的表示及其运算...
  • 前言在数学中,几何向量是指具有大小和方向的几何对象。在编程中,向量有着广泛的应用,其作用在图形编程和游戏物理引擎方面尤为突出。第一节 构造函数通过创建一个二维向量的类(或结构体),实现向量的表示及其运算...
  • 浅谈向量检索

    2021-08-17 20:28:06
    文章目录浅谈向量检索背景什么是向量什么是向量检索距离度量检索方法ANN的基本思路举个容易理解栗子举个正常的例子具体算法树方法KD-TreeAnnoyHash方法LSH 算法矢量量化方法乘积量化码本的建立码字搜索算法倒排乘积...
  • 用向量空间中两个向量夹角的余弦值作为衡量两个个体间差异的大小。余弦值越接近1,就表明夹角越接近0度,也就是两个向量越相似,反之越接近0就表示两个向量相似度越低,这就叫"余弦相似性"。 正文 重温余弦...
  • :Steve Renals算了一下icassp录取文章题目中包含deep learning的数量,发现有44篇,而naacl则有0篇。有一种说法是,语言(词、句子、篇章等)属于人类认知过程中产生的高层认知抽象实体,而语音和图像属于较为底层...
  • 5.1 向量的内积、长度及正交性 定义1 设有nnn维向量 x=[x1x2...xn],y=[y1y2...yn]x=\begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ .\\ .\\ .\\ x_n \end{bmatrix},y = \begin{bmatrix} y_1\\ y_2\\ .\\ .\\ .\\ y_n \end{bmatrix} x=...
  • 三维重建学习(1):基础知识:旋转矩阵与旋转向量

    万次阅读 多人点赞 2017-12-29 10:41:37
    前言由于摄像机标定中会使用到旋转矩阵以及旋转向量的知识,所以就整理了一下有关与这一部分基础知识的笔记,并进行详细的数学推导。旋转矩阵假设坐标系分别绕着xx轴旋转ϕ\phi角,绕yy轴旋转θ\theta角,绕zz轴旋转...
  • 通过计算旋转轴和角度来获得旋转矩阵Matrix3 [cpp] view plain copy   inline bool rotateAboutLocalAxisRad(const cVector3d& a_axis,   const double& a_angleRad)
  • 解题最正统、最通用、最万能的思路,就是 1看题目有哪些条件,可以推出哪些关系式 2看问题问的什么,这个问题需要知道哪些内容 然后不断地重复1推出新的条件,不断地重复2倒推需要知道的,直到首尾在某处相连,...
  • 使用Python三角函数公式计算三角形的夹角案例题目内容:对于三角形,三边长分别为a, b, c,给定a和b之间的夹角C,则有:。编写程序,使得输入三角形的边a, b, c,可求得夹角C(角度值)。输入格式:三条边a、b、c的...
  • 二维向量的叉乘判断凹凸多边形

    千次阅读 2014-09-02 01:10:34
    我在做一道题,题目的意思是按照逆时针的顺序给几个点的坐标,这几个点围成多边形是凹的还是凸的. 我在网上看到了一个公式: 平面上三个点:p1(x1,y1),p2(x2,y2),p3(x3,y3) s(p1,p2,p3)=(x1-x3)*(y2-y3)-(x2-...
  • 向量 在数学中,几何向量(也称为欧几里得向量,通常简称向量、矢量),指具有大小(magnitude)和方向的量。 向量可以形象化地表示为带箭头的线段。箭头所指:代表向量的方向;线段长度:代表向量的大小。 向量的...
  • 习题9-3 平面向量加法(15 分)

    万次阅读 2018-07-22 09:04:40
    本题要求编写程序,计算两个二维平面向量的和向量。 输入格式: 输入在一行中按照“x​1​​ y​1​​ x​2​​ y​2​​”的格式给出两个二维平面向量v​1​​=(x​1​​,y​1​​)和v​2​​=(x​2​​,y​2​...

空空如也

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向量求夹角题目