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  • 比如这里x是列向量Ax关于x求导数,那么对x的每个分量分别偏导数(写成一行),然后整理排成一列(同x一样是列向量)。 同理有 关于x的转置x.T求导数,x.T是行向量,那么Ax分别对x.T向量中的分量偏导(写成一...

    1.已知 
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    对谁求导数,就以谁(分母)作为主序,得出结果。比如这里x是列向量,求Ax关于x求导数,那么对x的每个分量分别求偏导数(写成一行),然后整理排成一列(同x一样是列向量)。 
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    同理有 
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    关于x的转置x.T求导数,x.T是行向量,那么Ax分别对x.T向量中的分量求偏导(写成一列),然后整体排成一行(同x.T是行向量)。

    2.若A是1×n行向量,x是n×1的列向量, 有 
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    3.若A是n×1列向量,x是n×1的列向量,有 
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    4.若A是n×n矩阵,x是n×1的列向量,有 
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    若A是对称矩阵,则有 
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    参考: 
    http://files.cnblogs.com/files/leoleo/matrix_rules.pdf

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  • 比如这里x是列向量Ax关于x求导数,那么对x的每个分量分别偏导数(写成一行),然后整理排成一列(同x一样是列向量)。 同理有 关于x的转置x.T求导数,x.T是行向量,那么Ax分别对x.T向量中的分量偏导(写成一...

    1.已知
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    对谁求导数,就以谁(分母)作为主序,得出结果。比如这里x是列向量,求Ax关于x求导数,那么对x的每个分量分别求偏导数(写成一行),然后整理排成一列(同x一样是列向量)。
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    同理有
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    关于x的转置x.T求导数,x.T是行向量,那么Ax分别对x.T向量中的分量求偏导(写成一列),然后整体排成一行(同x.T是行向量)。

    2.若A是1×n行向量,x是n×1的列向量, 有
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    3.若A是n×1列向量,x是n×1的列向量,有
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    4.若A是n×n矩阵,x是n×1的列向量,有
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    若A是对称矩阵,则有
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  • 向量导数

    千次阅读 2019-03-12 13:51:58
    向量导数 A为m∗n的矩阵,x为n∗1的列向量,则Ax为m∗1的列向量,记y⃗=Ax⃗A为m*n的矩阵,x为n*1的列向量,则Ax为m*1的列向量,记\vec{y}=A\vec{x}A为m∗n的矩阵,x为n∗1的列向量,则Ax为m∗1的列向量,记y​=...

    向量的导数

    • A 为 m ∗ n 的 矩 阵 , x 为 n ∗ 1 的 列 向 量 , 则 A x 为 m ∗ 1 的 列 向 量 , 记 y ⃗ = A x ⃗ A为m*n的矩阵,x为n*1的列向量,则Ax为m*1的列向量,记\vec{y}=A\vec{x} Amnxn1Axm1y =Ax

    ∂ y ⃗ ∂ x ⃗ \frac{\partial{\vec{y}}}{\partial{\vec{x}}} x y

    推导:
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    • 结论直接推导:
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    • 标量对向量的导数
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    • 推导:
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  • Python求导数的方法

    2020-09-22 02:40:30
    主要介绍了Python求导数的方法,涉及Python数学运算的相关技巧,需要的朋友可以参考下
  • 二次型对自变量向量导数

    千次阅读 多人点赞 2018-11-19 21:50:59
    将形如f=xTAxf=\boldsymbol{x^TAx}f=xTAx称为二次型,其中x\boldsymbol xx是nnn维列向量,A\boldsymbol AA为n×nn\times nn×...但是有个数学上的疑问,如何二次型函数对自变量向量导数 (1)dfdx=? \frac{\text d...

    将形如 f = x T A x f=\boldsymbol{x^TAx} f=xTAx称为二次型,其中 x \boldsymbol x x n n n维列向量, A \boldsymbol A A n × n n\times n n×n的矩阵, f f f为标量。二次型由于其良好的正定性、凸性在控制理论中经常用在判断系统稳定性、最优控制等。但是有个数学上的疑问,如何求二次型函数对自变量向量的导数
    (1) d f d x = ? \frac{\text df}{\text d\boldsymbol x}=? \tag{1} dxdf=?(1)

    1. 标量对向量导数的定义

    控制理论中都会使用到标量函数对向量的导数,比如在李雅普诺夫第二法判断稳定性中,但大多数控制理论的教材都没有给出如何对向量求导数,实际上高等数学也未明确地讲这件事情。最近在看《最优控制理论与应用》-解学书编著,一本很老的书,发现该书花了一章来讨论数学基础。

    标量函数 f ( x ) f(\boldsymbol x) f(x) n n n维列向量 x = [ x 1 ,   x 2 . . .   x n ] T \boldsymbol x=[x_{1},~x_{2}...~x_{n}]^{\text T} x=[x1, x2... xn]T的导数定义为
    (2) d f d x = Δ [ d f d x 1 ,   d f d x 2 , . . . d f d x n ] T \frac{\text df}{\text d \boldsymbol x}\overset{\Delta}{=} \left[\frac{\text d f}{\text d x_1},~\frac{\text d f}{\text dx_2},...\frac{\text d f}{\text d x_n}\right]^{\text{T}} \tag{2} dxdf=Δ[dx1df, dx2df,...dxndf]T(2)
    实际上,式(2)的定义高等数学下中的梯度 g r a d f \bold{grad }f gradf,或者记为 ∇ f \nabla f f。也就是说,对列向量的导数是一个列向量。类似地,可以定义对行向量的导数。
    (3) d f d x T = Δ [ d f d x 1 ,   d f d x 2 , . . . d f d x n ] \frac{\text d f}{\text d \boldsymbol x^{\text T}} \overset{\Delta}{=} \left[\frac{\text d f}{\text d x_1},~\frac{\text d f}{\text d x_2},...\frac{\text d f}{\text d x_n}\right] \tag{3} dxTdf=Δ[dx1df, dx2df,...dxndf](3)

    2. 向量对向量导数的定义

    函数 f ( x ) = [ f 1 ( x ) ,   f 2 ( x ) . . .   f m ( x ) ] T \boldsymbol f(\boldsymbol x)=[f_{1}(\boldsymbol x), ~f_{2}(\boldsymbol x)...~f_{m}(\boldsymbol x)]^{\text{T}} f(x)=[f1(x), f2(x)... fm(x)]T n n n维列向量 x = [ x 1 ,   x 2 . . .   x n ] T \boldsymbol x=[x_{1},~x_{2}...~x_{n}]^{\text T} x=[x1, x2... xn]T m m m维函数向量。该向量函数对向量的导数定义为
    (4) d f d x = Δ d f d x T = Δ [ d f 1 d x 1 ,   d f 1 d x 2 , ⋯ d f 1 d x n d f 2 d x 1 ,   d f 2 d x 2 , ⋯ d f 2 d x n ⋮ ⋮ ⋯ ⋮ d f m d x 1 ,   d f m d x 2 , ⋯ d f m d x n ] \frac{\text d \boldsymbol f}{\text d \boldsymbol x}\overset{\Delta}{=}\frac{\text d \boldsymbol f}{\text d \boldsymbol x^{\text T}}\overset{\Delta}{=} \begin{bmatrix} \frac{\text d f_{1}}{\text d x_{1}},&~ \frac{\text d f_{1}}{\text d x_{2}}, &\cdots&\frac{\text d f_{1}}{\text d x_{n}} \\ \frac{\text d f_{2}}{\text d x_{1}},&~ \frac{\text d f_{2}}{\text d x_{2}}, &\cdots&\frac{\text d f_{2}}{\text d x_{n}} \\ \vdots &\vdots& \cdots& \vdots\\ \frac{\text d f_{m}}{\text d x_{1}},&~ \frac{\text d f_{m}}{\text d x_{2}}, &\cdots&\frac{\text d f_{m}}{\text d x_{n}} \end{bmatrix} \tag{4} dxdf=ΔdxTdf=Δdx1df1,dx1df2,dx1dfm, dx2df1, dx2df2, dx2dfm,dxndf1dxndf2dxndfm(4)
    可以根据上面的定义直接得到
    (5) d x d x T = d x T d x = I \frac{\text d \boldsymbol x}{\text d \boldsymbol x^{\text T}}=\frac{\text d \boldsymbol x^{\text T}}{\text d \boldsymbol x}=\boldsymbol I \tag{5} dxTdx=dxdxT=I(5)

    3. 二次型的导数

    有了上述的定义之后,可以根据定义得出对向量求导数的一些性质。
    (6) d ( a T b ) d x = d a T d x b + d b T d x a \frac{\text d (\boldsymbol{a^{\text{T}}b})}{\text d \boldsymbol x}=\frac{\text d \boldsymbol{a^{\text{T}}}}{\text d \boldsymbol x}\boldsymbol b+\frac{\text d \boldsymbol{b^{\text{T}}}}{\text d \boldsymbol x}\boldsymbol a \tag{6} dxd(aTb)=dxdaTb+dxdbTa(6)
    A = [ a 1 ,   a 2 ⋯ a m ] \boldsymbol A=[\boldsymbol a_{1},~\boldsymbol a_{2}\cdots\boldsymbol a_{m}] A=[a1, a2am] n × m n\times m n×m的矩阵,可以根据上面的定义和性质计算
    (7) d ( x T A ) d x = [ d d x ( x T a 1 ) ,   d d x ( x T a 2 ) ⋯ d d x ( x T a m ) ] \frac{\text d (\boldsymbol {x^{\text{T}}A})}{\text d\boldsymbol {x}}= [\frac{\text d}{\text d \boldsymbol x}\boldsymbol ({x^{\text{T}}}\boldsymbol a_{1}),~\frac{\text d}{\text d \boldsymbol x}(\boldsymbol {x^{\text{T}}}\boldsymbol a_{2})\cdots\frac{\text d}{\text d \boldsymbol x}(\boldsymbol {x^{\text{T}}}\boldsymbol a_{m})] \tag{7} dxd(xTA)=[dxd(xTa1), dxd(xTa2)dxd(xTam)](7)
    又因为,
    (8) d d x ( x T a i ) = d x T d x a i + d a i T d x x = a i \frac{\text d}{\text d \boldsymbol x}\boldsymbol ({x^{\text{T}}}\boldsymbol a_{i})=\frac{\text d\boldsymbol {x^{\text{T}}}}{\text d \boldsymbol x}\boldsymbol a_{i}+\frac{\text d{\boldsymbol a_{i}^{\text{T}}}}{\text d \boldsymbol x}\boldsymbol x=\boldsymbol a_{i} \tag{8} dxd(xTai)=dxdxTai+dxdaiTx=ai(8)
    所以,
    (9) d ( x T A ) d x = A \frac{\text d (\boldsymbol {x^{\text{T}}A})}{\text d\boldsymbol {x}}=\boldsymbol A \tag{9} dxd(xTA)=A(9)
    根据式(6)得到二次型函数 f = x T A x f=\boldsymbol{x^TAx} f=xTAx对自变量 x \boldsymbol{x} x的导数可以表为
    (10) d f d x = d x T d x A x + d ( A x ) T d x x = d x T d x A x + d ( x T A T ) d x x = A x + A T x = ( A + A T ) x \begin{matrix} \frac{\text df}{\text d\boldsymbol x} = \frac{\text d\boldsymbol{x^\text T}}{\text d\boldsymbol x}\boldsymbol{Ax}+\frac{\text d\boldsymbol{(Ax)^\text T}}{\text d\boldsymbol x}\boldsymbol{x}\\ = \frac{\text d\boldsymbol{x^\text T}}{\text d\boldsymbol x}\boldsymbol{Ax}+\frac{\text d\boldsymbol{(x^\text TA^{\text T})}}{\text d\boldsymbol x}\boldsymbol{x}\\ = \boldsymbol{Ax}+\boldsymbol{A^{\text T}x}\\ = (\boldsymbol{A+A^{\text T})x} \end{matrix} \tag{10} dxdf=dxdxTAx+dxd(Ax)Tx=dxdxTAx+dxd(xTAT)x=Ax+ATx=(A+AT)x(10)
    如果 A \boldsymbol A A是对称阵,则有
    (11) d f d x = d ( x T A x ) d x = 2 A x \frac{\text df}{\text d\boldsymbol x} =\frac{\text d(\boldsymbol{x^TAx})}{\text d\boldsymbol x} = 2\boldsymbol{Ax} \tag{11} dxdf=dxd(xTAx)=2Ax(11)
    这就是在教材上给出的结果。

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  • 矩阵、向量求导法则

    2018-09-12 14:28:52
    该文档总结了矩阵对矩阵、矩阵对向量向量对矩阵、向量向量、元素对矩阵、元素对向量的求导法则,非常有用!
  • 向量和矩阵的导数

    2019-12-14 16:40:09
    1.对向量求导: 假设W是维矩阵,x是m维列向量,因此y=Wx是n维列向量。 ,,, 若x是m维行...
  • 函数对矩阵或向量导数

    千次阅读 2017-05-10 23:58:39
    详细过程,今后再补。 可以参考张贤达的《现代信号处理》的附录,清华大学出版社。 感谢胡蝶老师提供的课堂讲义。 不能叫微分啦,要叫导函数…… ...毕竟微分和导数有区别……
  • 转载于:https://www.cnblogs.com/jiading/p/11560288.html
  • 向量函数及其导数

    2020-06-26 12:34:10
    https://blog.csdn.net/breeze5428/article/details/25243263 https://www.zhihu.com/question/58312854 logistic函数及导数,softmax函数及其导数:见邱锡鹏教材附录B.4
  • 机器学习中的矩阵、向量求导 快速掌握矩阵、向量求导法则的学习者,主要面向矩阵、向量求导在机器学习中的应用。因此,本教程而非一 份严格的数学教材,而是希望帮助读者尽快熟悉相关的求导方法并在实践中应用。另外...
  • 计算一对向量场的李导数
  • 向量的求导

    万次阅读 多人点赞 2018-05-04 20:55:17
    向量或者矩阵对元素的求导很简单元素对想两矩阵求导依然简单行对列与列对行 注意分母的对应行对行 列对列矩阵对行向量以及列向量m*np对矩阵求导先将X看成行向量,再将Y看成列向量参考链接:...
  • numpy-求导数

    千次阅读 2019-09-27 22:26:10
    转载于:https://www.cnblogs.com/yunshangyue71/p/11535290.html
  • 今天早上遇到@tornadomeet在deep learning高质量群里问:一个列向量对一个列向量求导的结果,也就是下面的第一个公式:Y = A * X --> DY/DX = A’。我这才意识到矩阵里的很多知道又忘了,这些东西一旦不用,忘了...
  • 主要介绍了PyTorch 导数应用的使用教程,文中通过示例代码介绍的非常详细,对大家的学习或者工作具有一定的参考学习价值,需要的朋友们下面随着小编来一起学习学习吧
  • 吉林诗北师范大学附属中学2016届高三数学第一轮复习阶段测试卷三角函数向量数列导数立体解析文
  • 向量求导的常用公式

    千次阅读 2019-05-09 15:15:15
    向量求导的常用公式 鲁鹏 北京理工大学宇航学院 2019.05.09 最近经常会遇到常数和向量向量求导的计算,感觉需要总结点什么了。以后,我还会在这个文档中添加新的公式。 前提和定义 首先做如下定义,已知...
  • 向量场的方向导数仍为向量

    千次阅读 2016-05-23 23:19:38
    这个问题要追溯到,我看normal curvature的时候, 里面涉及到了一个叫做Shaper ...按道理讲,curvature应该是个标量, 所以这个的Shape operator的结果应该为一向量,然而按照它的定义, 最开始我理解成向量N在v方向上的方向
  • 微分(导数)与积分是一个互逆的过程,在python里只需要利用代数符号系统即可进行求解。假设函数是这样子的 y=e2xy=e^{2x}y=e2x 那么我们先对其进行求导 求导代码 直接用diff,这个就是抄matlab的,如果看官是...
  • 关于矩阵向量导数在优化问题,还有机器学习领域比较常遇到.在这里我们进行一次梳理,不过本文只介绍一阶函数的导数. 后面再逐渐写文来论证其他的导数. ∂xTa∂x=∂aTx∂x=a\frac{\partial \mathbf{x}^T\mathbf{a}}...
  • 江苏省连云港市赣榆县海头高级中学高中数学上学期冲刺期末市统考专题复习 专题16 空间向量导数 新人教A版必修3
  • 向量的数量函数的导数

    千次阅读 2014-05-08 16:11:47
    公式: 向量

空空如也

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