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  • 向量,标量对向量求导数 2016年06月14日 17:09:28 心雨心辰 阅读数:25654更多 个人分类: 数学理论 1.已知 对谁求导数,就以谁(分母)作为主序,得出结果。比如这里x是列向量,求Ax关于x求导数,那么对x的...

    向量,标量对向量求导数

    2016年06月14日 17:09:28 心雨心辰 阅读数:25654更多

    个人分类: 数学理论

    1.已知 
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    对谁求导数,就以谁(分母)作为主序,得出结果。比如这里x是列向量,求Ax关于x求导数,那么对x的每个分量分别求偏导数(写成一行),然后整理排成一列(同x一样是列向量)。 
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    同理有 
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    关于x的转置x.T求导数,x.T是行向量,那么Ax分别对x.T向量中的分量求偏导(写成一列),然后整体排成一行(同x.T是行向量)。

    2.若A是1×n行向量,x是n×1的列向量, 有 
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    3.若A是n×1列向量,x是n×1的列向量,有 
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    4.若A是n×n矩阵,x是n×1的列向量,有 
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    若A是对称矩阵,则有 
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  • 关于x的转置x.T求导数,x.T是行向量,那么Ax分别对x.T向量中的分量求偏导(写成一列),然后整体排成一行(同x.T是行向量)。 2.若A是1×n行向量,x是n×1的列向量, 有 3.若A是n×1列向量,x是n×1的列向量,有 4...

    1.已知
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    对谁求导数,就以谁(分母)作为主序,得出结果。比如这里x是列向量,求Ax关于x求导数,那么对x的每个分量分别求偏导数(写成一行),然后整理排成一列(同x一样是列向量)。
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    同理有
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    关于x的转置x.T求导数,x.T是行向量,那么Ax分别对x.T向量中的分量求偏导(写成一列),然后整体排成一行(同x.T是行向量)。

    2.若A是1×n行向量,x是n×1的列向量, 有
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    3.若A是n×1列向量,x是n×1的列向量,有
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    4.若A是n×n矩阵,x是n×1的列向量,有
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    若A是对称矩阵,则有
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  • 向量导数

    2019-03-12 13:51:58
    向量导数 A为m∗n的矩阵,x为n∗1的列向量,则Ax为m∗1的列向量,记y⃗=Ax⃗A为m*n的矩阵,x为n*1的列向量,则Ax为m*1的列向量,记\vec{y}=A\vec{x}A为m∗n的矩阵,x为n∗1的列向量,则Ax为m∗1的列向量,记y​=...

    向量的导数

    • Amnxn1Axm1y=AxA为m*n的矩阵,x为n*1的列向量,则Ax为m*1的列向量,记\vec{y}=A\vec{x}

    yx\frac{\partial{\vec{y}}}{\partial{\vec{x}}}

    推导:
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    • 结论直接推导:
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    • 标量对向量的导数
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    • 推导:
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  • 二次型对自变量向量导数

    千次阅读 2018-11-19 21:50:59
    将形如f=xTAxf=\boldsymbol{x^TAx}f=xTAx称为二次型,其中x\boldsymbol xx是nnn维列向量,A\boldsymbol AA为n×nn\times nn×...但是有个数学上的疑问,如何二次型函数对自变量向量导数 (1)dfdx=? \frac{\text d...

    将形如f=xTAxf=\boldsymbol{x^TAx}称为二次型,其中x\boldsymbol xnn维列向量,A\boldsymbol An×nn\times n的矩阵,ff为标量。二次型由于其良好的正定性、凸性在控制理论中经常用在判断系统稳定性、最优控制等。但是有个数学上的疑问,如何求二次型函数对自变量向量的导数
    (1)dfdx=? \frac{\text df}{\text d\boldsymbol x}=? \tag{1}

    1. 标量对向量导数的定义

    控制理论中都会使用到标量函数对向量的导数,比如在李雅普诺夫第二法判断稳定性中,但大多数控制理论的教材都没有给出如何对向量求导数,实际上高等数学也未明确地讲这件事情。最近在看《最优控制理论与应用》-解学书编著,一本很老的书,发现该书花了一章来讨论数学基础。

    标量函数f(x)f(\boldsymbol x)nn维列向量x=[x1, x2... xn]T\boldsymbol x=[x_{1},~x_{2}...~x_{n}]^{\text T}的导数定义为
    (2)dfdx=Δ[dfdx1, dfdx2,...dfdxn]T \frac{\text df}{\text d \boldsymbol x}\overset{\Delta}{=} \left[\frac{\text d f}{\text d x_1},~\frac{\text d f}{\text dx_2},...\frac{\text d f}{\text d x_n}\right]^{\text{T}} \tag{2}
    实际上,式(2)的定义高等数学下中的梯度gradf\bold{grad }f,或者记为f\nabla f。也就是说,对列向量的导数是一个列向量。类似地,可以定义对行向量的导数。
    (3)dfdxT=Δ[dfdx1, dfdx2,...dfdxn] \frac{\text d f}{\text d \boldsymbol x^{\text T}} \overset{\Delta}{=} \left[\frac{\text d f}{\text d x_1},~\frac{\text d f}{\text d x_2},...\frac{\text d f}{\text d x_n}\right] \tag{3}

    2. 向量对向量导数的定义

    函数f(x)=[f1(x), f2(x)... fm(x)]T\boldsymbol f(\boldsymbol x)=[f_{1}(\boldsymbol x), ~f_{2}(\boldsymbol x)...~f_{m}(\boldsymbol x)]^{\text{T}}nn维列向量x=[x1, x2... xn]T\boldsymbol x=[x_{1},~x_{2}...~x_{n}]^{\text T}mm维函数向量。该向量函数对向量的导数定义为
    (4)dfdx=ΔdfdxT=Δ[df1dx1, df1dx2,df1dxndf2dx1, df2dx2,df2dxndfmdx1, dfmdx2,dfmdxn] \frac{\text d \boldsymbol f}{\text d \boldsymbol x}\overset{\Delta}{=}\frac{\text d \boldsymbol f}{\text d \boldsymbol x^{\text T}}\overset{\Delta}{=} \begin{bmatrix} \frac{\text d f_{1}}{\text d x_{1}},&~ \frac{\text d f_{1}}{\text d x_{2}}, &\cdots&\frac{\text d f_{1}}{\text d x_{n}} \\ \frac{\text d f_{2}}{\text d x_{1}},&~ \frac{\text d f_{2}}{\text d x_{2}}, &\cdots&\frac{\text d f_{2}}{\text d x_{n}} \\ \vdots &\vdots& \cdots& \vdots\\ \frac{\text d f_{m}}{\text d x_{1}},&~ \frac{\text d f_{m}}{\text d x_{2}}, &\cdots&\frac{\text d f_{m}}{\text d x_{n}} \end{bmatrix} \tag{4}
    可以根据上面的定义直接得到
    (5)dxdxT=dxTdx=I \frac{\text d \boldsymbol x}{\text d \boldsymbol x^{\text T}}=\frac{\text d \boldsymbol x^{\text T}}{\text d \boldsymbol x}=\boldsymbol I \tag{5}

    3. 二次型的导数

    有了上述的定义之后,可以根据定义得出对向量求导数的一些性质。
    (6)d(aTb)dx=daTdxb+dbTdxa \frac{\text d (\boldsymbol{a^{\text{T}}b})}{\text d \boldsymbol x}=\frac{\text d \boldsymbol{a^{\text{T}}}}{\text d \boldsymbol x}\boldsymbol b+\frac{\text d \boldsymbol{b^{\text{T}}}}{\text d \boldsymbol x}\boldsymbol a \tag{6}
    A=[a1, a2am]\boldsymbol A=[\boldsymbol a_{1},~\boldsymbol a_{2}\cdots\boldsymbol a_{m}]n×mn\times m的矩阵,可以根据上面的定义和性质计算
    (7)d(xTA)dx=[ddx(xTa1), ddx(xTa2)ddx(xTam)] \frac{\text d (\boldsymbol {x^{\text{T}}A})}{\text d\boldsymbol {x}}= [\frac{\text d}{\text d \boldsymbol x}\boldsymbol ({x^{\text{T}}}\boldsymbol a_{1}),~\frac{\text d}{\text d \boldsymbol x}(\boldsymbol {x^{\text{T}}}\boldsymbol a_{2})\cdots\frac{\text d}{\text d \boldsymbol x}(\boldsymbol {x^{\text{T}}}\boldsymbol a_{m})] \tag{7}
    又因为,
    (8)ddx(xTai)=dxTdxai+daiTdxx=ai \frac{\text d}{\text d \boldsymbol x}\boldsymbol ({x^{\text{T}}}\boldsymbol a_{i})=\frac{\text d\boldsymbol {x^{\text{T}}}}{\text d \boldsymbol x}\boldsymbol a_{i}+\frac{\text d{\boldsymbol a_{i}^{\text{T}}}}{\text d \boldsymbol x}\boldsymbol x=\boldsymbol a_{i} \tag{8}
    所以,
    (9)d(xTA)dx=A \frac{\text d (\boldsymbol {x^{\text{T}}A})}{\text d\boldsymbol {x}}=\boldsymbol A \tag{9}
    根据式(6)得到二次型函数f=xTAxf=\boldsymbol{x^TAx}对自变量x\boldsymbol{x}的导数可以表为
    (10)dfdx=dxTdxAx+d(Ax)Tdxx=dxTdxAx+d(xTAT)dxx=Ax+ATx=(A+AT)x \begin{matrix} \frac{\text df}{\text d\boldsymbol x} = \frac{\text d\boldsymbol{x^\text T}}{\text d\boldsymbol x}\boldsymbol{Ax}+\frac{\text d\boldsymbol{(Ax)^\text T}}{\text d\boldsymbol x}\boldsymbol{x}\\ = \frac{\text d\boldsymbol{x^\text T}}{\text d\boldsymbol x}\boldsymbol{Ax}+\frac{\text d\boldsymbol{(x^\text TA^{\text T})}}{\text d\boldsymbol x}\boldsymbol{x}\\ = \boldsymbol{Ax}+\boldsymbol{A^{\text T}x}\\ = (\boldsymbol{A+A^{\text T})x} \end{matrix} \tag{10}
    如果A\boldsymbol A是对称阵,则有
    (11)dfdx=d(xTAx)dx=2Ax \frac{\text df}{\text d\boldsymbol x} =\frac{\text d(\boldsymbol{x^TAx})}{\text d\boldsymbol x} = 2\boldsymbol{Ax} \tag{11}
    这就是在教材上给出的结果。

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空空如也

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