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  • 2021-02-15 20:07:01

    首先从简单开始,如果是bai平面F(x,y)=0

    一般形式是Ax+By+C=0

    法向量是(A,B),因为任意一点(x0,y0)在平面上,Ax0+By0+C=0

    那么A*(x-x0)+B*(y-y0)=0,即向量(A,B)*(x-x0,y-y0)=0

    对于一般曲面 F(x,y,z,……)=0

    两边微分(偏导用大写D),有dF=DF/DXdx + DF/DYdy + DF/DZ*dz + ……= d0 = 0

    那么向量(DF/DX,DF/DY,DF/DZ,……) * (dx,dy,dz,……)=0

    其中向量(dx,dy,dz,……)必定在平面上(d是微分嘛,曲面的微小变化量)

    所以向量(DF/DX,DF/DY,DF/DZ,……) 是曲面的法向量

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    复数

    共四种形式,结合欧拉公式变换,其实就三种形式。他们分别是:
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    结合欧拉公式,其实就是四种了,欧拉公式:在这里插入图片描述
    可得:
    在这里插入图片描述
    欧拉公式的证明:
    在这里插入图片描述
    幅值:在这里插入图片描述相角:在这里插入图片描述

    复数的运算

    复数相加(或相减)就是直接将它们的实部和虚部分别相加(或相减)进行:
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在图形上,这个过程等同于两个矢量相加(或相减)的平行四边形定律(phasor)两个
    复数相乘
    可以将一个复数的每个部分乘以第二个复数的各个部分,然后将四个乘积相加,得到最终的值。
    在这里插入图片描述
    在图形上,这个过程与矢量的内积并不相同,如果将每个复数看成复平面(实轴与虚轴组成)上的矢量,其相乘结果仍为一个复数,也就是说两个复数相乘结果为复平面上的一个矢量(复数),而矢量的内积则为一个实数。

    不管是点乘还是叉乘,与两个复数相乘都不同
    关于两个复数相乘还可以从其指数形式考虑,也就是著名的棣莫佛定理(De Moivre’s formula)
    在这里插入图片描述 棣莫夫定理也是我们利用相量法计算的一个重要依据,复指数形式相乘表现为幅值相乘,相角相加。我们如果用极坐标式来表示,也就是模相乘,角相加

    相量法

    相量法的基础在于这个关系式:
    在这里插入图片描述
    由这个式子可以得到:在这里插入图片描述
    其中Re[]是取实部的意思,对于正弦时变函数
    在这里插入图片描述
    可得:
    在这里插入图片描述
    其中,在这里插入图片描述
    称为对应于该正弦时变函数的相量,这是一个复数。也就是说对应于一个正弦时变函数的相量是一个复数,其模大小与余弦函数的幅度相同,其相位角等于 时刻余弦函数的相位。
    相量引入的意义值得思考,相量作为一个复数引入正交时变函数直观上看将余弦函数的初相与其幅值合并,一定程度简化计算。
    其简化计算的根本原因,还是欧拉公式与棣莫弗定律,由此二者得来四种复数表示形式,从而把复杂的运算转变成了简单的计算。
    举一个例子,分析两个正弦时变函数(具有相同频率的)的加法:
    在这里插入图片描述

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    2022-04-23 11:02:13
    python open3d 计算法向量

            法向量通常是针对于平面而言的,即垂直于平面的向量。因此,对于点云来说,需要先拟合出一个平面,然后才能求出相应的法向量。对于一个点,可以用周围邻近的点来拟合平面。

    1 Open3d法向量计算方法        

            这里将采用Open3d来计算法向量,其对应的函数为estimate_normals。该函数的一个参数是搜索是定义平面的搜索参数。

            如上文所述,计算法向量需要拟合出一个平面,这个平面有临近的点来决定。Open3d中提供三种方法来确定这些邻近的点。所有计算的法向量模长为1

    o3d.geometry.KDTreeSearchParamKNN(knn=20)# 计算近邻的20个点
    o3d.geometry.KDTreeSearchParamRadius(radius=0.01)#计算指定半径内的点
    o3d.geometry.KDTreeSearchParamHybrid(radius=0.01, max_nn=20)#同时考虑搜索半径和近邻点个数

    2 python open3d 计算法向量

            点云数据下载地址:ply格式点云样例文件-深度学习文档类资源-CSDN下载

    # -*- coding: utf-8 -*-
    """
    Created on Sat Apr 16 08:51:41 2022
    
    @author: https://blog.csdn.net/suiyingy
    """
    
    import numpy as np
    import open3d as o3d
     
    
    if __name__ == '__main__': 
        file_path = 'bun000.ply'
        ply = o3d.io.read_triangle_mesh(file_path)
        
        pcd = o3d.geometry.PointCloud()
        pcd.points = ply.vertices
    
        radius = 0.01  # 搜索半径
        max_nn = 30  # 邻域内用于估算法线的最大点数
    
        pcd.estimate_normals(search_param=o3d.geometry.KDTreeSearchParamHybrid(radius, max_nn))
        normals = np.array(pcd.normals)#法向量结果,Nx3
        
        #验证法向量模长为1
        res = normals * normals
        res = np.sum(res, axis=1)
        print(res)
        
        #法向量可视化
        o3d.visualization.draw_geometries([pcd], window_name="法线估计",
                                          point_show_normal=True,
                                          width=800,  # 窗口宽度
                                          height=600)  # 窗口高度
        
    
     

    3 可视化结果

            炸毛的兔子。

     

    4 Open3d注意事项

            点云格式必须设置为pcd格式才能进行法向量计算。ply格式不支持法向量计算,需要按照上述代码中的方式转换为pcd之后才可以计算法向量。pcd文件读取后是可以直接进行法向量。

    python三维点云研究计划_Coding的叶子的博客-CSDN博客_3d点云 python将按照以下目录持续进行更新……点云格式介绍、点云可视化、点云投影、生成鸟瞰图、生成前视图、点云配准、点云分割、三维目标检测、点云重建、深度学习点云算法……https://blog.csdn.net/suiyingy/article/details/124017716​​​​​​​更多三维、二维感知算法和金融量化分析算法请关注“乐乐感知学堂”微信公众号,并将持续进行更新。

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    本文简述了一种法向量变换矩阵的推导过程

    使用矩阵对点进行空间变换是图形学中的常见操作,假设变换矩阵为 M M M ,我们需要变换切向量 T T T(由 点 P 2 P_2 P2 - 点 P 1 P_1 P1 定义) 以及与其垂直的法向量 N N N .( T T T N N N 皆为列向量)

    假设 点 P 2 P_2 P2 经过 M M M 变换后为 P 2 ′ P_2' P2, 点 P 1 P_1 P1 经过 M M M 变换后为 P 1 ′ P_1' P1, T ′ T' T 为经过变换后的切向量:

    M ∗ P 2 = P 2 ′ M ∗ P 1 = P 1 ′ T ′ = P 2 ′ − P 1 ′ \begin{aligned} & M * P_2 = P_2' \\ & M * P_1 = P_1' \\ & T' = P_2' - P_1' \end{aligned} MP2=P2MP1=P1T=P2P1

    对于原切向量 T T T,我们希望找到一个矩阵 M ′ M' M, 使得:

    M ′ ∗ T = T ′ M' * T = T' MT=T

    我们直接令 M ′ = M M' = M M=M 来试一下:

    M ′ ∗ T = M ∗ T = M ∗ ( P 2 − P 1 ) = M ∗ P 2 − M ∗ P 1 = P 2 ′ − P 1 ′ = T ′ \begin{aligned} M' * T = M * T &= M * (P_2 - P_1) \\ &= M * P_2 - M * P_1 \\ &= P_2' - P_1' \\ &= T' \end{aligned} MT=MT=M(P2P1)=MP2MP1=P2P1=T

    可见对于切向量 T T T ,我们可以直接使用 M M M 对其进行变换.

    对于法向量 N N N ,我们有(注意,第一个公式中的点号表示点积):

    T ⋅ N = 0    ⟹    T T ∗ N = 0 \begin{aligned} & T \cdot N = 0 \implies \\ & T^T * N = 0 \end{aligned} TN=0TTN=0

    假设变换后的法向量为 N ′ N' N, 我们希望仍然保持其与 T ′ T' T( T T T的变换后向量) 的垂直(注意,第一个公式中的点号表示点积):

    T ′ ⋅ N ′ = 0    ⟹    T ′ T ∗ N ′ = 0 \begin{aligned} & T' \cdot N' = 0 \implies \\ & T'^T * N' = 0 \end{aligned} TN=0TTN=0

    假设用于变换法向量的矩阵为 G G G, 则应有:

    T ′ = M ∗ T N ′ = G ∗ N T ′ T ∗ N ′ = 0 ( M ∗ T ) T ∗ ( G ∗ N ) = 0 T T ∗ M T ∗ G ∗ N = 0 T T ∗ ( M T ∗ G ) ∗ N = 0 \begin{aligned} & T' = M * T \\ & N' = G * N \\ & T'^T * N' = 0 \\ & (M * T)^T * (G * N) = 0 \\ & T^T * M^T * G * N = 0 \\ & T^T * (M^T * G) * N = 0 \end{aligned} T=MTN=GNTTN=0(MT)T(GN)=0TTMTGN=0TT(MTG)N=0

    由于我们知道:

    T T ∗ N = 0 T^T * N = 0 TTN=0

    所以我们只要令(注意,这只是一种可能的取值,并不是唯一取值,我们的目的也仅是需要获得一种可能的取值):

    M T ∗ G = I M^T * G = I MTG=I

    便可以满足上面的等式 :

    T T ∗ ( M T ∗ G ) ∗ N = T T ∗ I ∗ N = T T ∗ N = 0 \begin{aligned} & T^T * (M^T * G) * N = \\ & T^T * I * N = \\ & T^T * N = 0 \end{aligned} TT(MTG)N=TTIN=TTN=0

    所以变换法向量,我们需要使用普通变化矩阵逆的转置(或者说转置的逆,对于可逆矩阵,其转置矩阵的逆矩阵等于其逆矩阵的转置矩阵)

    G = ( M T ) − 1 = ( M − 1 ) T G = (M^T)^{-1} = (M^{-1})^T G=(MT)1=(M1)T


    如果变换矩阵 M M M 是正交矩阵,则有(根据正交矩阵定义)

    M − 1 = M T M^{-1} = M^T M1=MT

    于是法向量的变换矩阵变为:

    G = ( M T ) − 1 = ( M − 1 ) − 1 = M G = (M^T)^{-1} = (M^{-1})^{-1} = M G=(MT)1=(M1)1=M

    此时我们就可以直接使用 M M M 来变换法向量了.

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