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  • 根据高数:AX+By+C=0 则(A,B)超平面的法向量。 https://www.sohu.com/a/206572358_160850?spm=smpc.content.share.1.1612670476440jwHKMGt#comment_area

    根据高数:AX+By+C=0
    则(A,B)是超平面的法向量。
    https://www.sohu.com/a/206572358_160850?spm=smpc.content.share.1.1612670476440jwHKMGt#comment_area

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  • 法向量是(A,B),因为任意一点(x0,y0)在平面上,Ax0+By0+C=0 那么A*(x-x0)+B*(y-y0)=0,即向量(A,B)*(x-x0,y-y0)=0 对于一般曲面 F(x,y,z,……)=0 两边微分(偏导用大写D),有dF=DF/DXdx + DF/DYdy + DF/DZ*dz ...

    首先从简单开始,如果是bai平面F(x,y)=0

    一般形式是Ax+By+C=0

    法向量是(A,B),因为任意一点(x0,y0)在平面上,Ax0+By0+C=0

    那么A*(x-x0)+B*(y-y0)=0,即向量(A,B)*(x-x0,y-y0)=0

    对于一般曲面 F(x,y,z,……)=0

    两边微分(偏导用大写D),有dF=DF/DXdx + DF/DYdy + DF/DZ*dz + ……= d0 = 0

    那么向量(DF/DX,DF/DY,DF/DZ,……) * (dx,dy,dz,……)=0

    其中向量(dx,dy,dz,……)必定在平面上(d是微分嘛,曲面的微小变化量)

    所以向量(DF/DX,DF/DY,DF/DZ,……) 是曲面的法向量

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  • 什么是向量法? 通过构造一个标记向量pd[i],而不直接构造存放题目数据的子集A。 当pd[i]==true的时候,标记了了我们把数据集合中的第i个位置的数据放入一个子集中,这一切都通过标记数组pd[]来实现的。 #...

    什么是子集生成?
    算法竞赛经典入门中的解释:给定一个集合,枚举所有的可能的子集。
    位向量法
    什么是位向量法?
    通过构造一个标记向量pd[i],而不直接构造存放题目数据的子集A。
    当pd[i]==true的时候,标记了了我们把数据集合中的第i个位置的数据放入一个子集中,这一切都是通过标记数组pd[]来实现的。

    #include <iostream>
    #include <cstdio>
    #include <string.h>
    
    using namespace std;
    
    int n;
    int arr[10];
    bool pd[10];
    
    void vec_cl(int cur);
    
    int main()
    {
        cin >> n;
    
        memset(arr, 0, sizeof(arr));
        memset(pd, false, sizeof(pd));
    
        for(int i = 0; i < n; i++)
            cin >> arr[i];
    
        vec_cl(0);
    
    
        system("pause");
    
        return 0;
    }
    
    void vec_cl(int cur)
    {
        if(cur != 0)
        {
            for(int i = 0; i < n; i++)
                if(pd[i])
                    cout << arr[i];
            cout << endl;   
        }
    
    
        if(cur == n)
            return;
    
        for(int i = cur; i < n; i++)
        {
            if(pd[i] == false)
            {
                pd[i] = true;
                vec_cl(i + 1);
                pd[i] = false;            
            }
    
        }
    }
    
    /*
    3
    1 2 3
    */
    

    输出结果
    输出结果

    增量构造法
    什么是增量构造法
    在一次操作中尽量准确从集合A中,筛选出一个符合我们设置条件的元素,并放入一个新的集合中,构造一个子集B。

    #include <iostream>
    #include <cstring>
    
    using namespace std;
    
    int n;
    int arr[10];
    int pos[10];
    
    void add_cl(int cur);
    
    int main()
    {
        cin >> n;
    
        memset(arr, 0, sizeof(arr));
        memset(pos, 0, sizeof(pos));
    
        for(int i = 0; i < n; i++)
            cin >> arr[i];
    
        add_cl(0);
    
    
        system("pause");
    
        return 0;
    
    }
    
    void add_cl(int cur)
    {
        if(cur != 0) //仅改变这行可控制输出子集的条件
        {
            for(int i = 0; i < cur; i++)
                cout << arr[pos[i]];
            cout << endl;
        }
    
        int s = cur ? pos[cur - 1] + 1 : 0;
    
        for(int i = s; i < n; i++)
        {
            pos[cur] = i;
            add_cl(cur + 1);
        }
    
    }
    
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  • 是因为楼主对梯度和法向量的理解不够深入,而且被“等值函数的法向量等于其梯度”这样一个貌似为定理的等式迷惑了,其实这个并不是什么定理,也不是什么等式,而只是等值函数的法向量的表达式与函数的梯度的表达式...
    1. https://zhidao.baidu.com/question/253706448.html
      我想楼主之所以问这样的一个问题,是因为楼主对梯度和法向量的理解不够深入,而且被“等值函数的法向量等于其梯度”这样一个貌似为定理的等式迷惑了,其实这个并不是什么定理,也不是什么等式,而只是等值函数的法向量的表达式与函数的梯度的表达式一致而已,并非两者之间必然的存在关系,因为你应该有如下认识:
      梯度是对一个函数而言的,它代表此函数变化最快的方向,设有函数W=f(x,y,z),则其梯度为:
      GradW=∂f/∂xi+∂f/∂yj+∂f/∂zk
      而对于法向量,其存在是对于几何实体存在的,如曲线或曲面,对于函数W=f(x,y,z)其代表的几何实体可以是多种多样的,如变形为W-f(x,y,z)=0,则代表四维几何体,若对W取某特定值C,即f(x,y,z)=C,则代表三维空间的等值曲面。。。此时我们关注第二种情形,即函数W=f(x,y,z)取某定值C,此时f(x,y,z)=C,则为所谓的等值函数,其代表着等值曲面,对于等量面f(x,y,z)=C,其法向量的求解为n=(∂f/∂x,∂f/∂y,∂f/∂z)(法向量的求解方法如果你不记得了,请参照书本,基本原理为假设x,y,z的参数方程,利用复合函数的求导法则得到法向量),至此,对比GradW与n,你可以发现两者表达式一致,所以有等值函数f(x,y,z)=C的法向量与函数W=f(x,y,z)的梯度相等这一说法,从此中可以看出正是因为“等值函数的法向量为什么等于其梯度 ”这一说法掩盖了梯度是对函数W=f(x,y,z)而言,法向量是对等量面f(x,y,z)=C而言这一实质,才有你的困惑的产生,对上述说法的更准确的描述应该是:(参照复旦数学系教材)梯度函数是由数量函数W=f(x,y,z)产生的,在每一点P处的梯度方向与过P点的等量面f(x,y,z)=C在这点法线方向相同。并且GradW=n

    2. https://blog.csdn.net/u010594850/article/details/40108201
      首先,说明所说的梯度与曲线的切向量垂直,即梯度方向是法向量方向:

    设曲线x=x(t),y=y(t),z=z(t)是曲面u(x,y,z)=c上的一条曲线(c为常数,u(x,y,z)=c表示等高线),由于该曲线在曲面上,所以x=x(t),y=y(t),z=z(t)满足方程u(x,y,z)=c,即u(x(t),y(t),z(t))=c,利用复合函数求导法则,方程两边同时对t求导数,得 (ðu/ðx)*x‘(t)+(ðu/ðy)*y‘(t)+(ðu/ðz)*z‘(t)=0,所以向量(x’(t),y’(t),z’(t))【切向方向】与向量(ðu/ðx,ðu/ðy,ðu/ðz)【梯度】垂直。

    但是,这里需要注意的这里的法向量方向是对等高线来说的,而非对曲面,曲面法向量需要添加对u求偏导。因为梯度方向是降维的,都是对自变量求导的。

    而向量(x’(t),y’(t),z’(t))表示曲线的切向量,向量(ðu/ðx,ðu/ðy,ðu/ðz)表示梯度,所以梯度和切向量垂直。

    说道这里,可能还不好理解,用爬山来举例。

    爬山是最快的方向就是直观上最陡的方向,我们看着是斜向上的。而爬山时梯度方向是水平的【延伸到高维就不能说水平了】,即把那个斜向上的方向投影到水平面上的方向,也就是等高线的法向量方向了。

    总结,讨论梯度与切向量、法向量的关系时,切法向量均是对曲线来说的,而不是整个曲面的法向量。因为梯度的维度比曲线的维度低,这是需要记住的。

    1. https://blog.csdn.net/ranghanqiao5058/article/details/78789936
      有一个很有启发性的说法:考虑描述曲面的隐函数F(x,y,z)=0
      其全微分dF=F’xdx+F’ydy+F’zdz=0 即(F’x,F’y,F’z)(dx,dy,dz)=0

    (F’x,F’y,F’z)是曲线的法向量,(dx,dy,dz)则是曲线的切向量。

    1 对曲面而言,求各变量在某一点的偏导数,即为这一点的法向量。

    切向量我们假设以x为变量(参数),则切向量为(1,0,Zx)。以y为变量,则切向量为(0,1,Zy)。

    验证以x为参数的切向量(1,0,Zx):因为Zx = -Fx/Fz,而法向量为(Fx,Fy,Fz)。所以 1*Fx + 0 * Fy + (-Fx/Fz) * Fz = 0,所以两者正交,证毕。
    其余同理。

    2 而对于平面曲线而言,我们可以考虑其为,缺少的那一维向量的无限延伸,这样无论是封闭曲线还是不封闭曲线都可以抽象成一个曲面,这样求各变量的在某一点的偏导数既为这一点的法向量。(内外法向加一个正负进行区分)

    而平面曲线的切向量可以按照这种方法去考虑:把x看做变量,y为因变量,然后求y对x的偏导数,则切向量即为(1,Yx)。

    3 对于空间曲线,只考虑两个曲面给出一个方程组的形式。 F1(x,y,z) = 0, F2(x,y,z) = 0。

    切线求法1:可以将x理解为自变量,y和z为x的因变量(自变量可以随便去选),然后分别求因变量关于自变量的偏导数,然后得出一点的切线向量(1,Yx, Zx)。(三种形式)

    切线求法2:求出两个曲面的法向量,然后做差乘(向量积),结果也是切线向量。

    求x2-y+z2=1和x+y^2+z=-1两曲面的交线在p(-1,1,-1)处的切向量?
    只需要让两个式子对x求导即可。因为我们需要知道(dx,dy,dz)与dx的关系。
    联立两个方程 2x-dy/dz+2zdz/dx=0和1+2ydy/dx+dz/dx=0得到dy=0dx dz=-1dx
    则切向量为(dx,0,-dx)—(1,0,-1)

    1. https://blog.csdn.net/weixin_42398658/article/details/83017995
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