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  • 向量点乘公式推导和几何解释

    万次阅读 2014-12-11 17:07:56
    ...1.向量点乘公式推导和几何解释 01.向量点乘(dot product)是其各个分量乘积的和,公式: 用连加号写: 02.几何解释: 点乘的结果是一个标量,等于向量大小与夹角的cos值的乘积。

    转载于 http://blog.csdn.net/zsq306650083/article/details/8772128


    1.向量点乘公式推导和几何解释

    01.向量点乘(dot product)是其各个分量乘积的和,公式:


    用连加号写:



    02.几何解释:

    点乘的结果是一个标量,等于向量大小与夹角的cos值的乘积。

    a•b = |a||b|cosθ

    如果a和b都是单位向量,那么点乘的结果就是其夹角的cos值。

    a•b = cosθ


    03.推导过程:

    假设a和b都是二维向量,θ1是a与x轴的夹角,θ2是b与x轴的夹角,向量a与b的夹角θ等于θ1 - θ2.

    a•b = ax*bx + ay*by 

    =  (|a|*sinθ1) * (|b| * sinθ2) +   (|a| * cosθ1) * (|b| * cosθ2)

    = |a||b|(sinθ1*sinθ2 + cosθ1*cosθ2)

    =|a||b|(cos(θ1-θ2))

    = |a||b|cosθ


    2.点乘交换率和分配率的推导

    01.交换率


       guan:这个图可以这样理解:点乘的几何意义是:是一条边向另一条边的投影乘以另一条边的长度。2016年12月11日补充:a.b 是b在a上面的投影,b.a 是a在b上面的投影。

    02.分配率


     guan:这个图可以这样理解:点乘的几何意义是:是一条边向另一条边的投影乘以另一条边的长度。2016年12月11补充:a 点乘 c 可以理解为c在a上的投影。


    注:更多内容参见:<3D math primer for graphics and game development  second edition>点击打开链接

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  • 向量点乘相关公式推导及 几何解释

    千次阅读 2020-03-19 00:12:59
    1.向量点乘公式推导和几何解释 01.向量点乘(dot product)是其各个分量乘积的和,公式: 用连加号写: 02.几何解释: 点乘的结果是一个标量,等于向量大小与夹角的cos值的乘积。 a•b = |a||b|cosθ 如果a...

    1.向量点乘公式推导和几何解释

    01.向量点乘(dot product)是其各个分量乘积的和,公式:

    用连加号写:

    向量a=(a1*e1, a2*e2,a3*e3........an*en)其中e1,e2,e3.......en为正交规范基(俩俩正交,每个向量单位为1)

    向量b=(b1*e1, b2*e2,b3*e3........bn*en)其中e1,e2,e3.......en为正交规范基(俩俩正交,每个向量单位为1)

    则向量a.b有下面的公式

    02.几何解释:

    点乘的结果是一个标量,等于向量大小与夹角的cos值的乘积。

    a•b = |a||b|cosθ

    如果a和b都是单位向量,那么点乘的结果就是其夹角的cos值。

    a•b = cosθ

    03.推导过程:

    假设a和b都是二维向量,θ1是a与x轴的夹角,θ2是b与x轴的夹角,向量a与b的夹角θ等于θ1 - θ2.

    a•b = ax*bx + ay*by 

    =  (|a|*sinθ1) * (|b| * sinθ2) +   (|a| * cosθ1) * (|b| * cosθ2)

    = |a||b|(sinθ1*sinθ2 + cosθ1*cosθ2)

    =|a||b|(cos(θ1-θ2))

    = |a||b|cosθ

    2.点乘交换率和分配率的推导

    01.交换率

    02.分配率

    注:更多内容参见:<3D math primer for graphics and game development  second edition>点击打开链接

    转载:https://blog.csdn.net/zsq306650083/article/details/8772128

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

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  • 向量点乘相关公式推导

    千次阅读 2016-12-03 17:12:14
    向量点乘相关公式推导 2016-08-18 15:28 1117人阅读 评论(0)...1.向量点乘公式推导和几何解释 一般来说,点乘结果描述了两个向量的“相似”程度,点乘结果越大,两向量越相近。 01.向量点乘(dot pro

    向量点乘相关公式推导

      1117人阅读  评论(0)  收藏  举报
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    1.向量点乘公式推导和几何解释

    一般来说,点乘结果描述了两个向量的“相似”程度,点乘结果越大,两向量越相近。


    01.向量点乘(dot product)是其各个分量乘积的和,公式:


    用连加号写:



    02.几何解释:

    点乘的结果是一个标量,等于向量大小与夹角的cos值的乘积。

    a•b = |a||b|cosθ

    如果a和b都是单位向量,那么点乘的结果就是其夹角的cos值。

    a•b = cosθ


    03.推导过程:

    假设a和b都是二维向量,θ1是a与x轴的夹角,θ2是b与x轴的夹角,向量a与b的夹角θ等于θ1 - θ2.

    a•b = ax*bx + ay*by 

    =  (|a|*sinθ1) * (|b| * sinθ2) +   (|a| * cosθ1) * (|b| * cosθ2)

    = |a||b|(sinθ1*sinθ2 + cosθ1*cosθ2)

    =|a||b|(cos(θ1-θ2))

    = |a||b|cosθ


    2.点乘交换率和分配率的推导

    01.交换率



    02.分配率


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  • 向量点乘和叉乘

    千次阅读 2021-05-29 20:46:30
    向量a和向量b的点乘公式如下: $ a\bullet b=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3} $ 要求是向量a和向量的b的维度要相同。 点乘的几何意义 点乘的几何意义是可以用来表征或者计算两个向量之间的夹角,以及在b向量或.

    title: 向量点乘和叉乘

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    向量点乘和叉乘

    假设存在向量a和向量b:$ a=[a_{1},a_{2},a_{3}],b=[b_{1},b_{2},b_{3}] $

    点乘

    向量a和向量b的点乘公式如下:

    $ a\bullet b=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3} $

    要求是向量a和向量的b的维度要相同。

    点乘的几何意义

    点乘的几何意义是可以用来表征或者计算两个向量之间的夹角,以及在b向量或在a向量方向上的投影,公式如下:

    $ a\bullet b=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}=|a||b|cos \theta $

    首先假设一下向量构成:

    figure.1

    推导过程如下:

    • 根据上图可以得到c=a-b
    • 根据三角余弦定理可以得到: $ c^{2}=a^{2}+b^{2}-2|a||b|cos \theta$
    • 根据c=a-b,我们可以对上式变换得到 $ (a-b) \bullet(a-b)=a^{2}+b^{2}-2 a \bullet b=a^{2}+b^{2}-2|a \| b| \cos \theta $
    • 化简上式我们可以得到: $ a\bullet b=|a||b|cos \theta $
    • 因此在已知向量a和向量b长度的情况下,我们可以计算得到a和b的夹角θ
    • $ \theta=arc\: cos\left ( \frac{a \bullet b}{|a||b|} \right ) $

    根据上述公式就可以计算向量a和向量b之间的夹角,从而就进一步判断出这两个向量是否是同一方向,是否正交,具体对应关系如下:

    • a·b>0 : 方向基本相同,夹角在0到90度之间
    • a·b=0 : 两个向量正交,相互垂直
    • a·b<0 : 方向基本相反,夹角在90度到180度之间

    叉乘

    两个向量的叉乘,又叫向量积、叉积,叉乘的运算结果是一个向量而不是一个标量。并且两个向量的叉乘与这两个向量组成的坐标平面垂直
    同样是使用之前假设的向量a和向量b,我们可以得到向量a和向量b的叉乘公式:

    $ a \times b=\left|\begin{array}{lll}\mathrm{i} & \mathrm{j} & \mathrm{k} \\a_{1} & a_{2} & a_{3} \\b_{1} & b_{2} & b_{3}\end{array}\right|=\left(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}\right) i-\left(a_{1}b_{3}-a_{3}b_{1}\right) j+\left(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}\right) k $

    其中$ i=(1,0,0),j=(0,1,0),k=(0,0,1) $, 其中ijk均为单位向量,最后叉乘的结果为一个向量,所以ijk要为向量,因此单纯的ab相乘再相减得到的标量。
    因此根据上述i、j、k间的关系,有如下式子(直接用向量表示):

    $ a\times b=\left( a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}, a_{1}b_{3}-a_{3}b_{1}, a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1} \right) $

    注意: 一个向量叉乘自己得到的是0向量,根据右手定则,叉乘得到的结果无论怎么旋转都会永远会垂直这个向量,因此只有0向量满足。

    叉乘的几何意义

    在三维几何中,向量a和向量b的叉乘结果是一个向量,这个向量又称为法向量,它是a和b构成的平面的法向量(垂直)。

    figure.2

    如上图。

    右手法则:使用右手法则来判断a×b向量的方向,如下图所示

    figuer.3

    判断方法如下:

    • 右手手掌张开,四指并拢,大拇指垂直于四指指向的方向
    • 伸出右手,四指弯曲,四指与A旋转到B方向一致,那么大拇指指向为C向量的方向
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  • 公式:a ·b = |a| * |b| * cosθ 点乘又叫向量的内积、数量积,是一个向量和它在另一个向量上的投影的长度的乘积;是标量。 点乘反映着两个向量的“相似度”,两个向量越“相似”,它们的点乘越大。 例:若向量a=...
  • 向量点乘(一)

    万次阅读 2019-05-18 10:46:52
    向量点乘(一) 1.点乘的定义 向量u和向量v之间最小的夹角我们记做为[u,v],如下图所示,两个向量之间的夹角我们用绿色弧形表示,其中一个夹角用绿色矩形表示,这意味着这两个向量的夹角为90度或者是π/2,即[u,v...
  • 向量是由n个实数组成的一个n行1列(n*1)或一个1行n列(1*n)的有序数组; 向量的点乘,也叫向量的内积、数量积,对两个向量执行点乘运算,就是对这两个向量对应位一一相乘之后求和的...点乘公式 对于向量a和向量b:
  • 向量点乘(内积)和叉乘(外积)

    万次阅读 2019-03-09 14:13:47
    1、向量点乘(内积) 向量的点乘,也叫内积,是对两个向量对应位一一相乘之后求和的操作,点乘的结果是一个标量。 1)计算公式: 2)几何意义: 表征或计算两个向量之间的夹角 b向量在a向量方向上的投影 ...
  • 向量点乘与向量叉乘的意义

    万次阅读 2018-08-15 15:47:27
    这是博客原文:向量点乘与叉乘的几何意义。我主要是为了方便自已以后添加和查找。 向量的点积公式为:a * b = |a| * |b| * cosθ,点积的结果是数量而不是向量所以点积也被称为数量积或者内积,是a向量在b向量上...
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  • 向量是由n个实数组成的一个n行1列(n*1)或一个1行n列(1*n)的有序数组;...向量点乘,也叫向量的内积、数量积,对两个向量执行点乘运算,就是对这两个向量对应位一一相乘之后求和的操作,点...
  • 3维向量点乘叉乘运算

    万次阅读 2020-11-04 20:30:36
    点乘可以用如下公式表示含义,θ为两个向量的夹角 A·B = |A||B|Cos(θ)* 通过上面的公式我们可以得到,两个向量的夹角以及一个向量在另一个向量上面的投影。 计算夹角: Cos(θ) = A·B/(|A|*|B|)
  • 向量点乘与叉乘

    千次阅读 2018-01-29 18:26:18
    1.点乘,也叫向量的内积、数量积(内数点).顾名思义,求下来的结果是一个数.  向量向量b=|a||b|cos  在物理学中,已知力与位移求功,实际上就是求向量F与向量s的内积,即要用点乘.  2.叉乘,也叫向量的外...
  • 向量点乘

    2020-01-08 14:20:50
    向量点乘 a * b 高中数学中我们可以得到公式 a * b = |a| * |b| * cos<a,b> 可以使用点乘获取两个向量的前后位置,如下图所示 案例一(案例中将y去掉,相当于俯视坐标系之后x,z): Vector3 a = ...
  • 三维矢量运算(点乘、差乘),有代码,opengl运行。
  • 向量点乘与叉乘

    千次阅读 2019-03-30 21:07:44
    向量点乘,也叫向量的内积、数量积,对两个向量执行点乘运算,就是对这两个向量对应位一一相乘之后求和的操作,点乘的结果是一个标量: a * b 公式:a * b = |a| * |b| * cosθ 点乘又叫向量的内积、数量积,是一个...
  • 向量点乘和叉乘

    2019-11-11 18:01:53
    向量是由n个实数组成的一...点乘公式 对于向量a和向量b: a和b的点积公式为: 点乘几何意义 点乘的几何意义是可以用来表征或计算两个向量之间的夹角,以及在b向量在a向量方向上的投影,有公式: 二、叉乘公式 两...
  • 声明: 本文转自这里 向量是由n个实数组成的一个n行1列(n*1)或一个1行n列(1*n)的有序数组; 向量的点乘,也叫向量的内积、...点乘公式 对于向量a和向量b: &nbsp; &nbsp; &nbsp; &...
  • 三角形定则解决向量加减的方法:将各个向量依次首尾顺次相接,结果为第一个向量的起点指向最后一个向量的终点。 平行四边形定则解决向量加法的方法:将两个向量平移至公共起点,以向量的两条边作平行四边形, ...
  • 向量点乘与叉乘的几何意义

    万次阅读 多人点赞 2016-11-06 21:59:35
    向量点乘:a * b公式:a * b = |a| * |b| * cosθ 点乘又叫向量的内积、数量积,是一个向量和它在另一个向量上的投影的长度的乘积;是标量。 点乘反映着两个向量的“相似度”,两个向量越“相似”,它们的点乘
  • 参考: https://blog.csdn.net/dcrmg/article/details/52416832 ... 1 向量内积(点乘公式 a和b的点积(点乘公式为: 向量内积的几何意义及用途 包括: 表征或计算两个向量之间的夹角 b向量在a向量...
  • 数学----向量点积公式推导

    万次阅读 多人点赞 2019-03-10 09:52:01
    向量的点积有两种形式的定义,代数定义和几何定义。 一 几何定义: 向量点积:a·b=|a||b|cosα 注意:该定义只对2维3维空间有效。 二 代数定义: 设二维空间内有两个向量和,定义它们的数量积(又叫内积、点...
  • 点乘和叉乘

    千次阅读 2020-03-25 21:26:17
    向量 向量是由n个实数组成的一个n行1列(n1)或一个1行n列(1n)的有序数组; 点乘 向量点乘,也叫向量的内积、数量...并且两个向量的叉积与这两个向量组成的坐标平面垂直。 计算意义 aXb等于由向量a和向量b构成的...
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