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  • 矩阵行列向量表示

    千次阅读 2014-11-03 22:07:10
    矩阵行列向量表示

    三角剖分推导中遇到的问题,结论如下

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  • 向量 向量表示

    千次阅读 2009-06-01 17:28:00
    向量 向量表示 向量 在初中课改教材初三课本中学习数量的定义 中,把只有大小但没有方向的量叫做数量(或纯量),物理中常称为标量。向量的定义 既有大小又有方向的量叫做向量(亦称矢(shi 3声)量)。 注:...

    向量

      

    向量的表示


     

     

     

    向量

      在初中课改教材初三课本中学习

    数量的定义

      中,把只有大小但没有方向的量叫做 数量(或 纯量),物理中常称为 标量

    向量的定义

      既有大小又有方向的量叫做 向量(亦称矢( shi 3声)量)。
      注: 线性代数中的向量是指n个实数组成的有序数组,称为n维向量α=(a1,a2,…,an) 称为n维向量.其中ai称为向量α第i个分量
      ("a1"的"1"为a的下标,"ai"的"i"为a的下标,其他类推)

    向量的表示

      1、代数表示:一般印刷用黑体小写字母 αβγ … 或 abc … 等来表示,手写用在a、b、c…等字母上加一箭头表示。
      2、几何表示:向量可以用 有向线段来表示。有向线段的长度表示向量的大小,箭头所指的方向表示向量的方向。(若规定线段AB的端点A为起点,B为终点,则线段就具有了从起点A到终点B的方向和长度。这种具有方向和长度的线段叫做有向线段。)
      3、坐标表示:在 平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量 ij作为 基底a为平面直角坐标系内的任意向量,以坐标原点O为起点作向量OP= a。由平面向量基本定理知,有且只有一对实数(x,y),使得 a=向量OP=x i+y j,因此把实数对(x,y)叫做 向量a的坐标,记作 a=(x,y)。这就是向量 a的坐标表示。其中(x,y)就是点P的坐标。向量OP称为点P的 位置向量

    向量的模和向量的数量

      向量的大小,也就是向量的 长度(或称 )。向量 a的模记作| a|。
      

      注:
      1、向量的模是非负实数,是可以比较大小的。
      2、因为方向不能比较大小,所以向量也就不能比较大小。对于向量来说“大于”和“小于”的概念是没有意义的。例如,“向量AB>向量CD”是没有意义的。

    特殊的向量

      

    单位向量


      长度为单位1的向量,叫做 单位向量.与向量 a同向且长度为单位1的向量,叫做 a方向上的 单位向量,记作 a0, a0= a/| a|。
      

    零向量


      长度为0的向量叫做 零向量,记作 0.零向量的始点和终点重合,所以零向量没有确定的方向,或说零向量的方向是任意的。
      

    相等向量


      长度相等且方向相同的向量叫做 相等向量.向量 ab相等,记作 a= b
      规定:所有的零向量都相等.
      当用有向线段表示向量时,起点可以任意选取。任意两个相等的非零向量,都可用同一条有向线段来表示,并且与有向线段的起点无关.同向且等长的有向线段都表示同一向量。
      

    自由向量


      始点不固定的向量,它可以任意的平行移动,而且移动后的向量仍然代表原来的向量。
      在自由向量的意义下,相等的向量都看作是同一个向量。
       数学中只研究自由向量
      

    滑动向量


      沿着直线作用的向量称为 滑动向量
      

    固定向量


      作用于一点的向量称为 固定向量(亦称 胶着向量)。
      

    位置向量


      对于坐标平面内的任意一点P,我们把向量 OP叫做点P的 位置向量,记作:向量 P

    相反向量

      与 a长度相等、方向相反的向量叫做 a相反向量,记作- a。有 -(- a)= a
      零向量的相反向量仍是零向量。
      

    平行向量


      方向相同或相反的非零向量叫做 平行(或共线)向量.向量 ab平行(共线),记作 ab
      零向量长度为零,是起点与终点重合的向量,其方向不确定,我们规定: 零向量与任一向量平行
      平行于同一直线的一组向量是共线向量。
      

    共面向量


      平行于同一平面的三个(或多于三个)向量叫做共面向量。
      空间中的向量有且只有一下两种位置关系:⑴共面;⑵不共面。
      只有三个或三个以上向量才谈共面不共面。

    向量的运算

      设 a=(x,y), b=(x',y')。
      

    1、向量的加法


      向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。
       AB+ BC= AC
       a+ b=(x+x',y+y')。
       a+ 0= 0+ a= a。
      向量加法的运算律:
      交换律: a+ b= b+ a;
      结合律:( a+ b)+ c= a+( b+ c)。
      

    2、向量的减法


      如果 ab是互为相反的向量,那么 a=- bb=- aa+ b= 0. 0的反向量为 0
       AB- AC= CB. 即“共同起点,指向被减”
       a=(x,y) b=(x',y') 则 a- b=(x-x',y-y').
      

    4、数乘向量


      实数λ和向量 a的乘积是一个向量,记作λ a,且∣λa∣=∣λ∣ ·∣a∣。
      当λ>0时,λ aa同方向;
      当λ<0时,λ aa反方向;
      当λ=0时,λ a= 0,方向任意。
      当 a= 0时,对于任意实数λ,都有λ a= 0
      注:按定义知,如果λ a= 0,那么λ=0或 a= 0
      实数λ叫做向量 a的系数,乘数向量λ a的几何意义就是将表示向量 a的有向线段伸长或压缩。
      当∣λ∣>1时,表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上伸长为原来的∣λ∣倍;
      当∣λ∣<1时,表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上缩短为原来的∣λ∣倍。
      数与向量的乘法满足下面的运算律
      结合律:(λ a) ·b=λ( a· b)=( a·λ b)。
      向量对于数的分配律(第一分配律):(λ+μ) aaa.
      数对于向量的分配律(第二分配律):λ( a+ b)=λ ab.
      数乘向量的消去律:① 如果实数λ≠0且λ a=λ b,那么 a=b。② 如果 a0且λ a=μ a,那么λ =μ。
      

    3、向量的的数量积


      定义:两个非零向量的夹角记为〈 a,b〉,且〈 ab〉∈[0,π]。
      定义:两个向量的数量积(内积、点积)是一个数量,记作 a·b。若 ab不共线,则 a·b=| a|·| b|·cos〈 ab〉;若 ab共线,则 a·b=+-∣ a∣∣ b∣。
      向量的数量积的坐标表示: a· b=x·x'+y·y'。
      向量的数量积的运算率
       a· b= b· a(交换率);
      ( a+ bc= a· c+ b· c(分配率);
      向量的数量积的性质
       a· a=| a|的平方。
       ab 〈=〉 a· b=0。
      | a· b|≤| a|·| b|。
      向量的数量积与实数运算的主要不同点
      1、向量的数量积不满足结合律,即:( a· bca·( b· c);例如:( a· b)^2≠ a^2· b^2。
      2、向量的数量积不满足消去律,即:由 a· b= a· c ( a0),推不出 b= c
      3、| a· b|≠| a|·| b|
      4、由 | a|=| b| ,推不出 a=ba=- b
      

    4、向量的向量积


      定义:两个向量 ab的向量积(外积、叉积)是一个向量,记作 a× b。若 ab不共线,则 a× b的模是:∣ a× b∣=| a|·| b|·sin〈 ab〉; a× b的方向是:垂直于 ab,且 aba× b按这个次序构成右手系。若 ab共线,则 a× b= 0
      向量的向量积性质:
      ∣ a× b∣是以 ab为边的平行四边形面积。
       a× a= 0
       ab〈=〉 a× b= 0
      向量的向量积运算律
       a× b=- b× a
      (λ a)× b=λ( a× b)= a×(λ b);
      ( a+ b)× c= a× c+ b× c.
       :向量没有除法,“向量AB/向量CD”是没有意义的。
      

    向量的三角形不等式


      1、∣∣ a∣-∣ b∣∣≤∣ a+ b∣≤∣ a∣+∣ b∣;
      ① 当且仅当 ab反向时,左边取等号;
      ② 当且仅当 ab同向时,右边取等号。
      2、∣∣ a∣-∣ b∣∣≤∣ a- b∣≤∣ a∣+∣ b∣。
      ① 当且仅当 ab同向时,左边取等号;
      ② 当且仅当 ab反向时,右边取等号。
      

    定比分点


       定比分点公式(向量P1P=λ·向量PP2)
      设P1、P2是直线上的两点,P是l上不同于P1、P2的任意一点。则存在一个实数 λ,使 向量P1P=λ·向量PP2,λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比。
      若P1(x1,y1),P2(x2,y2),P(x,y),则有
      OP=(OP1+λOP2)(1+λ);( 定比分点向量公式
      x=(x1+λx2)/(1+λ),
      y=(y1+λy2)/(1+λ)。( 定比分点坐标公式
      我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的 定比分点公式
       三点共线定理
      若 OCOA OB ,且λ+μ=1 ,则A、B、C三点共线
       三角形重心判断式
      在△ABC中,若 GA + GA + GC=0 ,则G为△ABC的重心

    向量共线的重要条件

      若 b0,则 a// b的重要条件是存在唯一实数λ,使 ab
       a// b的重要条件是 xy'-x'y=0。
      零向量 0平行于任何向量。

    向量垂直的充要条件

       ab的充要条件是 a·b= 0
       ab的充要条件是 xx'+yy'=0。
      零向量 0垂直于任何向量.

    向量的来源

      向量(或矢量),最初被应用于物理学.很多物理量如力、速度、位移以及电场强度、磁感应强度等都是向量.大约公元前350年前,古希腊著名学者亚里士多德就知道了力可以表示成向量,两个力的组合作用可用著名的平行四边形法则来得到.“向量”一词来自力学、解析几何中的有向线段.最先使用有向线段表示向量的是英国大科学家牛顿.
      课本上讨论的向量是一种带几何性质的量,除零向量外,总可以画出箭头表示方向.但是在高等数学中还有更广泛的向量.例如,把所有实系数多项式的全体看成一个多项式空间,这里的多项式都可看成一个向量.在这种情况下,要找出起点和终点甚至画出箭头表示方向是办不到的.这种空间中的向量比几何中的向量要广泛得多,可以是任意数学对象或物理对象.这样,就可以指导线性代数方法应用到广阔的自然科学领域中去了.因此,向量空间的概念,已成了数学中最基本的概念和线性代数的中心内容,它的理论和方法在自然科学的各领域中得到了广泛的应用.而向量及其线性运算也为“向量空间”这一抽象的概念提供出了一个具体的模型.
      从数学发展史来看,历史上很长一段时间,空间的向量结构并未被数学家们所认识,直到19世纪末20世纪初,人们才把空间的性质与向量运算联系起来,使向量成为具有一套优良运算通性的数学体系.
      向量能够进入数学并得到发展,首先应从复数的几何表示谈起.18世纪末期,挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数a+bi,并利用具有几何意义的复数运算来定义向量的运算.把坐标平面上的点用向量表示出来,并把向量的几何表示用于研究几何问题与三角问题.人们逐步接受了复数,也学会了利用复数来表示和研究平面中的向量,向量就这样平静地进入了数学.
      但 复数的利用是受限制的,因为它仅能用于表示平面,若有不在同一平面上的力作用于同一物体,则需要寻找所谓三维“复数”以及相应的运算体系.19世纪中期,英国数学家汉密尔顿发明了四元数(包括数量部分和向量部分),以代表空间的向量.他的工作为向量代数和向量分析的建立奠定了基础.随后,电磁理论的发现者,英国的数学物理学家麦克思韦尔把四元数的数量部分和向量部分分开处理,从而创造了大量的向量分析.
      三维向量分析的开创,以及同四元数的正式分裂,是英国的居伯斯和海维塞德于19世纪8O年代各自独立完成的.他们提出,一个向量不过是四元数的向量部分,但不独立于任何四元数.他们引进了两种类型的乘法,即数量积和向量积.并把向量代数推广到变向量的向量微积分.从此,向量的方法被引进到分析和解析几何中来,并逐步完善,成为了一套优良的数学工具.
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  • 向量与行列笔记

    千次阅读 2020-01-12 22:56:26
    python实现 1,向量和行列一,向量1,向量表示2,维度和分量3,零向量和单位向量 向量是指具有大小和方向的量,在物理学中,通常将向量称为矢量 标量是指只有大小的量,在物理学中,也叫做标量 箭头的方向表示...

    在这里插入图片描述

    向量是指具有大小和方向的量,在物理学中,通常将向量称为矢量
    标量是指只有大小的量,在物理学中,也叫做标量
    在这里插入图片描述
    箭头的方向表示向量的方向,线段则表示向量的大小
    向量的众多特性可以是很多概念得到简化

    一,向量

    1,向量的表示

    • 直角坐标系表示:带箭头的线段
    • 印刷体表示:粗体字母 ,如abD
    • 手写体表示:字母上加一个向右的箭头,如 a ⃗ \vec{a} a b ⃗ \vec{b} b D ⃗ \vec{D} D
    • 代数表示: a = < x 1 , x 2 > = ( x 1 , x 2 ) = ( x 1 x 2 ) = [ x 1 x 2 ] a=<x_1,x_2>=(x_1,x_2)=\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}=\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} a=<x1,x2>=(x1,x2)=(x1x2)=[x1x2]
    • 模的表示: ∣ a ∣ = x 1 2 + x 2 2 |a|=\sqrt{x_1^2+x_2^2} a=x12+x22

    2,维度和分量

    首先这里可以打开思路,有人问我,你能想象四维的空间吗?不能想象就别乱说了。我的确想象不出来,的确我也不能再平面上画出一个四维的空间,但是这里的维度是 数 学 层 面 \color{red}{数学层面} 的!
    每一个维度都可以代表任意我们能想象到的事物,这里的维度完全取决与我们对每个维度的定义!

    • 每个维度中的内容:数字、文字或是其他符号都可以
    • 不同维度的表示: n n n维空间用 R n R^n Rn表示,如二维空间 R 2 R^2 R2、三维空间 R 3 R^3 R3
    • 维度的分量:向量在其中一个维度上的值成为该维度的分量,如 R 3 R^3 R3空间的向量 a ⃗ = ( 1 , 2 , 9 ) \vec{a}=(1,2,9) a =(1,2,9),那么 a ⃗ \vec{a} a 再三个维度的分量分别是1,2,9

    3,零向量和单位向量

    • 零向量:长度为零的向量,与任何向量平行,可记作 O O O Z Z Z(zero), O = [ 0 0 0 ] , O ∈ R 3 O=\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\0\end{bmatrix},O\in R^3 O=000,OR3
    • 单位向量:一个非零向量除以它的模,得到单位向量, N = a ∣ a ∣ N= \frac {a} {|a|} N=aa

    二,向量的运算

    1,加减法

    ①加法

    向量的加法很简单,将相同维度的向量依次相加就行了

    简单举个例子:

    a = [ a 1 a 2 a 3 ] , b = [ b 1 b 2 b 3 ] , a + b = [ a 1 + b 1 a 2 + b 2 a 3 + b 3 ] a = \begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \\a_3\end{bmatrix},b=\begin{bmatrix}b_1\\b_2\\b3\end{bmatrix},a+b=\begin{bmatrix}a_1+b_1\\a_2+b_2\\a_3+b_3\end{bmatrix} a=a1a2a3,b=b1b2b3,a+b=a1+b1a2+b2a3+b3

    ②减法

    和加法一样简单,把相同维度的向量依次相减即可

    简单举个例子:

    a = [ a 1 a 2 a 3 ] , b = [ b 1 b 2 b 3 ] , a − b = [ a 1 − b 1 a 2 − b 2 a 3 − b 3 ] a = \begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \\a_3\end{bmatrix},b=\begin{bmatrix}b_1\\b_2\\b3\end{bmatrix},a-b=\begin{bmatrix}a_1-b_1\\a_2-b_2\\a_3-b_3\end{bmatrix} a=a1a2a3,b=b1b2b3,ab=a1b1a2b2a3b3

    2,数乘

    向量乘上一个标量就可以组成数乘的运算

    简单举个例子:
    v = [ 7 9 ] , v × 2 = [ 14 18 ] , v × − 6 = [ − 42 − 54 ] v=\begin{bmatrix}7\\9\end{bmatrix},v\times2=\begin{bmatrix}14\\18\end{bmatrix},v\times-6=\begin{bmatrix}-42\\-54\end{bmatrix} v=[79]v×2=[1418]v×6=[4254]

    3,点积

    从向量角度看, 对应点对应积的和就是点积运算,点积的结果是标量

    简单举个例子:
    a = [ a 1 a 2 a 3 ] , b = [ b 1 b 2 b 3 ] , a ⋅ b = a 1 × b 1 + a 2 × b 2 + a 3 × b 3 = ∑ i = 1 3 a i b i a=\begin{bmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{bmatrix},b=\begin{bmatrix}b_1\\b_2\\b_3\end{bmatrix},a\cdot b=a_1\times b_1+a_2\times b_2+a_3\times b_3=\sum_{i=1}^3 {a_ib_i} a=a1a2a3,b=b1b2b3,ab=a1×b1+a2×b2+a3×b3=i=13aibi

    从几何角度看,对应的模乘夹角余弦

    a ⋅ b = ∣ a ∣ ∣ b ∣ c o s θ a\cdot b=|a||b|cos\theta ab=abcosθ

    4,叉积

    二维空间中,叉积的定义如下

    a = [ a 1 a 2 ] , b = [ b 1 b 2 ] a=\begin{bmatrix}a_1\\a_2\end{bmatrix},b=\begin{bmatrix}b_1\\b_2\end{bmatrix} a=[a1a2],b=[b1b2]
    a × b = ∣ a 1 a 2 b 1 b 2 ∣ = a 1 b 2 − a 2 b 1 a\times b=\begin{vmatrix}a_1&a_2\\b_1&b_2\end{vmatrix}=a_1b_2-a_2b_1 a×b=a1b1a2b2=a1b2a2b1
    叉积的结果是向量

    从几何角度看,叉积的模等于对应的模乘夹角正弦

    a × b = ∣ a ∣ ∣ b ∣ s i n θ a\times b=|a||b|sin\theta a×b=absinθ

    三,行列式

    1,组成

    行列式是由向量组成的式子,是一种运算,结果为向量

    如上面的叉积就是一个简单的二阶行列式:

    ∣ a 1 a 2 b 1 b 2 ∣ \begin{vmatrix}a_1&a_2\\b_1&b_2\end{vmatrix} a1b1a2b2

    2,性质

    1. 单位矩阵的行列式为1
    2. 如果 D n = d e t ( A ) D_n=det(A) Dn=det(A)中某行的元素全为0,那么 D n = 0 D_n=0 Dn=0
    3. 如果 D n = d e t ( A ) D_n=det(A) Dn=det(A)中某两行元素对应成比例,那么 D n = 0 D_n=0 Dn=0
    4. 如果 D n = d e t ( A ) D_n=det(A) Dn=det(A)中某两行互换,那么互换后的行列式编号,即 d e t ( A ) = − d e t ( A ) det(A)=-det(A) det(A)=det(A)
    5. 倍乘性质: d e t ( k A n × n ) = k n d e t ( A n × n ) det(kA_{n\times n})=k^ndet(A_{n\times n}) det(kAn×n)=kndet(An×n)
    6. 倍加性质: ∣ a 1 a 2 b 1 b 2 ∣ = ∣ a 1 a 2 b 1 + k a 1 b 2 + k a 1 ∣ \begin{vmatrix}a_1&a_2\\b_1&b_2\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a_1&a_2\\b_1+ka_1&b_2+ka_1\end{vmatrix} a1b1a2b2=a1b1+ka1a2b2+ka1
    7. 单行(列)可拆(加)性: ∣ ∗ a 1 a 2 a 3 ∗ ∣ + ∣ ∗ b 1 b 2 b 3 ∗ ∣ = ∣ ∗ a 1 + b 1 a 2 + b 2 a 3 + b 3 ∗ ∣ \begin{vmatrix}*\\a_1&a_2&a_3\\* \end{vmatrix}+\begin{vmatrix}*\\b_1&b_2&b_3\\* \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}*\\a_1+b_1&a_2+b_2&a_3+b_3\\* \end{vmatrix} a1a2a3+b1b2b3=a1+b1a2+b2a3+b3
    8. 两个矩阵相乘的行列式,等于这两个矩阵的行列式相乘: d e t ( A 2 ) = ( d e t ( A ) ) 2 det(A^2)=(det(A))^2 det(A2)=(det(A))2

    3,意义

    线性代数研究向量之间的关系,最重要的关系就是独立或不独立,行列式等于0即向量独立,即对应方程组有唯一解

    4,计算

    上(下)三角矩阵的行列式等于主对角元素的乘积

    计算原则:利用行列式的性质化简成上(下)三角矩阵的样子,然后计算乘积

    通过公式:
    d e t ( A ) = ∑ n ! ± a 1 α a 2 β a 3 γ ⋅ ⋅ ⋅ a n ω det(A)=\sum_{n!}\pm a_{1\alpha}a_{2\beta}a_{3\gamma}\cdot \cdot \cdot a_{n\omega} det(A)=n!±a1αa2βa3γanω

    四,代数余子式

    代数余子式优点像俄罗斯套娃,可以把行列式的阶数一直打开到只剩一阶(一个数)
    在这里插入图片描述

    什么是代数余子式,举个例子:
    三阶行列式的计算公式如下
    d e t ( A ) = a 11 ( a 22 a 33 − a 23 a 32 ) − a 12 ( a 21 a 33 − a 23 a 31 ) + a 13 ( a 21 a 32 − a 22 a 31 ) det(A)=a_{11}(a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32})-a_{12}(a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31})+a_{13}(a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31}) det(A)=a11(a22a33a23a32)a12(a21a33a23a31)+a13(a21a32a22a31)

    1,代数余子式公式:

    d e t ( A ) = a 11 C 11 + a 12 C 12 + ⋅ ⋅ ⋅ + a 1 n C 1 n = ∑ i = 1 n a 1 i C 1 i det(A)=a_{11}C_{11}+a_{12}C_{12}+\cdot \cdot \cdot +a_{1n}C_{1n}=\sum_{i=1}^{n}a_{1i}C_{1i} det(A)=a11C11+a12C12++a1nC1n=i=1na1iC1i

    C x y C_{xy} Cxy就是 a x y a_{xy} axy的代数余子式,若 x + y x+y x+y为奇数, a x y a_{xy} axy为负数

    五,结束语:以上内容如有错误或不妥欢迎指出,谢谢!

    小白学识有限,难免无不妥之处,欢迎批评指正!

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  • 图的向量表示概述

    千次阅读 2019-01-23 15:23:37
      图的向量表示,意即通过多维向量空间中的一点来表示一个图的特征,方便使用机器学习的方法对其进行分类操作。   首先讨论怎么从一副普通的图像中提取出特征图:   原图是(a),然后对其做碎片化,得到图...

      图的向量化表示,意即通过多维向量空间中的一点来表示一个图的特征,方便使用机器学习的方法对其进行分类操作。
      首先讨论怎么从一副普通的图像中提取出特征图:
      原图是(a),然后对其做碎片化,得到图(b),对原图做二值化得到图(c),图(b)和图(c)叠合得到图(d)。对于图(d)做下列定义:
      各个色块被定义为特征图的各个节点,节点编号集合是颜色集合{黑,蓝,棕,绿,灰,橙,粉,紫,红,白,黄};两个色块之间有公共边缘的就认为存在边,边的长度是公共边缘上像素点的个数,离散化表示为{短,中,长}。
      在我们的化学式检索中,这项工作变得更加简单:每一个原子(原子团)代表着一个节点,节点的编号自然就是这个原子(原子团)的名称;每一个化学键就是一条边,边的编号集合为{单,双,三,……}。至此,完成了特征图的提取。
    在这里插入图片描述
    得到特征图之后,需要将其表示为一个特征向量,典型的做法是图指纹的方法。

    1. Fingerprint的方法
      给定一个集合H=〖{h_i}〗_(1≤i≤n),包含了n个图的“部分”,任意图g就被转换成为了n维向量空间中的一点:
      g→(#(h_1,g),#(h_2,g),……,#(h_n,g))
      其中#(h_i,g)代表着每一个“部分”h_i在此图中出现的次数。这一方法的要点在于选取合适的H集合。在化学式检索工作中,可以考虑一些典型的官能团或特定结构来组成这个集合,不过这需要一定的化学研究。

    2. Embedding of Graphs via Label Frequencies的方法
      这个方法其实是Fingerprint方法的一个变式,减少了预操作,比较适合化学结构式检索来应用。在此办法中,集合H由以下几个部分组成:所有节点,任意两个节点之间连一个编号为e_1的边,任意两个节点之间连一个编号为e_2的边……计算这些“部分”或者说是小结构在此图中出现的次数,由此得到一个向量。此方法的好处在于,向量的维度分类前已经确定,不用随着研究目标的不同来改变集合H的形式,增加了特征提取的全面性。

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向量的一般表示式