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  • 大家都知道解析几何中,直线方程有一般式、点斜式、斜截、两点、截距、交点这6种表示形式,也知道在空间立体几何通过平面向量求线面角或二面角平面角相对容易些。那么,直线是否也有法向量呢?接...

    大家都知道解析几何中,直线的方程有一般式、点斜式、斜截式、两点式、截距式、交点式6种表示形式,也知道在空间立体几何通过平面的法向量求线面角或二面角的平面角相对容易些。那么,直线是否也有法向量呢?接下面我会为同学们具体解释,但在解释之前,还需要把位置向量、方向向量、投影向量、法向量这个4个基本概念进行介绍,以便同学们形成对法向量的对比认识

    首先是位置向量位置向量是针对而言的,因为两个不重复(或不一样的)点唯一确定一条直线,所以谈论直线的基础就是点。无论是在平面还是在空间,咱们把点P

    3f3babe3a9193e8f79133f4524adeb1a.png置于坐标系中,那么就有唯一的一个坐标与之对应,从原点O出发,连OP,则向量181efde641e9e4f19782a23d840c137a.png

    其次是投影向量,投影向量是大学的知识,很多同学会把投影向量跟向量的投影混淆,投影向量仍然是向量,有大小有方向,而向量的投影就是一个标量,计算出来是一个数值,它跟目标向量无关,但跟目标向量的方向有关系,也就是说跟两个向量的夹角有关系。向量的投影是指一个向量a在另一个向量b的投影,计算方法是:|a|*cosθ就是向量a在向量b上的投影,反之向量b在向量上a的投影是|b|*cosθ。在这里,特别注意的是当夹角θ为钝角时,向量的投影就是负值。

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    再次是方向向量与法向量这是本篇文章的重点方向向量顾名思义就是管方向不管大小的向量在空间中,与某一条直线L平行的非零向量就是该直线的方向向量,通常用

    28618985dfa21b76e29a79207dad467c.png表示,由此咱们可以通过该直线上一定点和方向向量就可以确定该直线了。而法向量就是与该直线垂直的非零向量,通常用0d57e17f5590b048ef78775ca525499f.png表示

    新教材选择性必修第一册课本P76对于直线的方向向量和法向量有一些内容,但没有成章节专门讲解,这里作进一步详细说明:

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     从以上推导过程,咱们不难分析总结如下结论:

    1、直线的点法式方程为:

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    2、直线的点向式方程为:

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    3、直线的法线式方程为:过原点向直线l做一条的垂线段,该垂线段所在直线的倾斜角θp是该线段的长度。则该直线方程的法线式为:xcosθ+ysinθ-p=0。其中p为原点到直线的距离,θ为法线与X正方向的夹角。此段还请同学们自行推导,如果解答题要用,需要必要的证明过程,其实跟计算过程一致。

    4、一条直线的方向向量和法向量有无数多个,如何选取需根据题意和简化运算为主来考虑。然后,方向向量与法向量肯定是垂直的。

    5、跟空间法向量类似,针对线线平行或垂直的证明可以等价转化为方向向量的平行或垂直;线面平行或垂直的证明可以等价转化为直线的方向向量与平面法向量的垂直或平行

        通过以上文字和图形说明,希望能让大家对于直线的方向向量和法向量有进一步的认识与理解,并帮助理解平面的法向量,而且将来能在高考题中灵活运用起来,尤其是空间法向量,比起做辅助线、解三角形,法向量的优点实在有点大。

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  • 在初中我们就学过很多种直线的表示一般式: ,其中 不能同时为零;斜截: ,其中 是斜率(slope),表示直线与x轴正方向夹角正切值, 是纵截距(y-intercept,截距可以是负值),表示直线与y轴交点纵坐标;点斜率...

    f0791b43321649900f2c52fee93da204.png

    在初中我们就学过很多种直线的表示

    一般式
    ,其中
    不能同时为零;
    斜截式
    ,其中
    是斜率(slope),表示直线与x轴正方向夹角的正切值,
    是纵截距(y-intercept,
    截距可以是负值),表示直线与y轴的交点的纵坐标;点斜率
    ,其中
    表示直线上一点,
    表示直线斜率;
    截距式
    ,其中
    分别表示直线与x轴和y轴的截距,也就是与x轴交点的横坐标和与y轴交点的纵坐标;
    两点式
    ,其中
    表示直线上两点坐标;

    上述这些,我们学的都是在二维平面中的直线表示,如果到三维空间中直线该如何表示呢?那么进一步一个平面又该如何表示呢?

    那么本文就来介绍一下直线与平面的向量表示。


    一、直线的向量表示

    已知直线上点

    和直线的的方向向量
    ,根据向量的加法运算就可以把直线上任意一点
    都可以表示出来。

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    因为

    所以,

    这可以理解为直线上任意一点都可以由直线上一已知点按照方向向量平移得到。根据上述原理我们可以到直线在二维、三维情况下的向量表示。

    (1)二维直线向量表示

    其中

    是直线上点坐标,
    是方向向量,
    是参数。

    根据上述式子很容易得到直线的参数方程:

    也把

    消去得到直线的笛卡尔坐标形式:

    (2)三维直线向量表示

    其中

    是直线上一点,
    是方向向量。

    同理可以到直线的参数方程:

    笛卡尔坐标形式:

    比如给一直线方程

    那么可以知道该直线过

    ,且方向向量为

    二、平面的向量表示

    平面的向量表示有两种不同的方法:一种是利用向量的合成,一种是利用法向量。

    (1)向量的合成

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    如果已知平面内一点

    两个不平行的向量
    ,那么平面内任意一点
    都存在常数
    使得下式成立:

    ,

    又因为

    所以,

    ,即:

    我们二维的平面直角坐标系也可以看成是两个相互垂直的基向量加减运算得到:

    (2)法向量

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    把与平面中任意向量都相互垂直的向量称为法向量。如果已知平面上一点

    和平面的法向量
    ,那么点
    和平面内任意一点
    所构成的向量
    与法向量垂直可得:

    所以,

    ,

    得到平面的一般方程:

    因此,型如

    的都是直线方程,且
    是该平面的法向量。

    比如给一平面方程

    ,那么该平面的法向量为
    ;那么如果平面方程为
    其法向量为多少呢?

    其法向量为

    至此,直线和平面的向量表示都已经介绍完毕,在此基础上向量还有两个重要的应用:距离与夹角。距离主要是点到直线距离以及点到面的距离,可以参阅下文:

    双木止月Tong:【“数”你好看】点到直线与面的距离公式zhuanlan.zhihu.com
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    夹角主要是直线与直线的夹角、直线与平面的夹角以及平面与平面的夹角,俗称线线角、线面角以及面面角。这些主要都应用了向量的点乘

    双木止月Tong:【“数”你好看】向量点乘(Scalar product)zhuanlan.zhihu.com
    888631c1e0bc4d39963a54daa1d31e94.png

    具体这一部分内容我们接下去再分享吧。

    欢迎交流讨论,希望大家点赞支持~

    想了解更多关于国际数学课程可参阅下文:

    双木止月Tong:【国际数学课程】目录zhuanlan.zhihu.com
    24fba76224ecd81f20d7bc5bfba63746.png
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    前面的文章我们见识了那棵挂满人的树——“线性代树(数)”,而在学完线性代数的基本知识、范数、双胞胎——“行列式与矩阵”,线性空间等内容后,大家是否大致猜到树上挂满人的原因呢?想不出来再好好想想,可谓是细思极恐~

    话不多说,下面进入我们今天的正题~

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    简单来说,线性空间  的一个变换  称为线性变换,如果对于  中的任意的元素  , 和数域中任意数  ,都有

     表示元素   在变换  下的像。简单来说,就是能够保持数乘和加法运算的变换。实际上,每个矩阵对应一个线性变换。

    (1)线性变换的矩阵1、线性变换的矩阵表示空间  中任一向量设  可以被基  线性表出,即有关系是:

    由于线性变换保持线性关系不变,因而   的像   与基的像  也必然有相同的关系:

    设   是线性空间中的一组基,   是中任意个向量,存在唯一的线性变换   使:

    设  是线性空间中的一组基,  是中的一个线性变换,基向量的像可以被基线性表出:

    用矩阵来表示就是:

     ,其中:

    定理:设线性变换  在基  下的矩阵是  ,向量  在基   下的坐标是  ,则  在基  下的坐标,可以按公式: 计算。

    2、相似

    定理:设线性空间  中线性变换  在两组基  及 下的矩阵分别问和,从基  到基  的矩阵是 ,有  ,

    证明:已知 

     ,

    所以

    得到  

    定义:设和为数域上两个级矩阵,如果可以找到数据上的级可逆矩阵,使得   ,就说相似,记作:  ,

    相似的性质:

    a、反身性:  ,因为   。b、对称性:如果  ,那么     。c、传递性:如果 , ,那么    。

    定理:线性变换在不同基下所对应的矩阵是相似的,反过说,如果两个矩阵相似,那么他们可以看作同一个线性变换在两组基下所对应的矩阵;

    矩阵相似的计算:

    如果    ,  是数域  上一多项式,那么  。

    (2)特征值与特征向量

    1、定义

    设  是数域 上线性空间  的一个线性变换,如果对于数域找那个一数 ,存在一个非零向量  ,使得: ,那么  称为 的一个特征值,而  称为称为  的一个特征向量。

    从几何上看,特征向量的方向经过线性变换后,保持在同一条直线上,这时方向不变(),或者方向相反(  ),至于  时,特征向量就被线性变换为0。

    特征向量和特征值是一一对应的。

    如果  是线性变换  的属于特征值  的特征向量,那么   的任意一个非零倍数  也是线性变换  的属于特征值  的特征向量,因为 。所以特征向量不是被特征值唯一所确定的,但是特征值却是被特征向量唯一所确定的。

    2、计算特征值和特征向量的方法 

    设是数域上的  维线性空间,  是它的一组基,线性变换  在这组基下的矩阵为  ,设  是特征值,它的一个特征向量   在  下的坐标是  ,则有:

     或    ,

    这说明特征向量  的坐标  满足其次线性方程组

         ,即:

    因为特征向量  ,所以它的坐标  不全为零,即齐次线性方程组有非零解,所以它的系数行列式为零:

    我们把  称为  的特征多项式,那么特征值就是特征多项式的一个根,这时如果  是方程组

    的一个非零解,那么非零向量   就是特征值  的特征向量。

    例:设线性变换  在基 下的矩阵是

    因为特征多项式为:

    所以特征值为-1(二重)和5

    把特征值-1代入齐次方程组

    得到:

     ,

     分别代入(1,0)和(0,1)得到基础解系:

    因此得到属于-1的两个线性无关特征向量为  ,

    而属于-1的全部特征向量就是 取遍数域  中不全为零的全部数对。

    同理代入特征值5,   得到基础解系  , 因此5的一个线性无关特征向量为  , 而属于-1的全部特征向量就是  ,  取遍数域  中不全为零的全部数对。

    (3)对角矩阵 

    定理:设  是维线性空间中的一个线性变换,  的矩阵在某一组基下为对角矩阵的充分必要条件是,  有  个线性无关的特征向量。

    证明:设  在基 下具有具有对角矩阵  ,即有  ,所有  就是  的个线性无关的特征向量。

    反过来,如果  有个线性无关的特征向量  ,那么以   为基,在这组基下  的矩阵就是对角矩阵。

    定理:属于不同特征值的特征向量是线性无关的。

    定理:如果  是线性变换  的不同特征值,而  是属于特征值  的线性无关特征向量, ,那么向量组  也线性无关。

    解读:不同特征值的特征向量固然不相同,有重根的情况下, 重的基础解系得到的  个特征向量也是线性无关的也是没有问题。但要注意的是重根情况下,基础解系之上实际上是有无穷个特征向量, 因此为了严谨,就不能直接说特征向量都是无关的。

    推论:如果在  维线性空间  中,线性变换  的特征多项式在数域中有个不同的根,即  有个不同的特征值,那么  在某组基下的矩阵是对角形的。

    在3.6.2的例子中,我们计算出特征值-1(二重)以及5的对应特征向量是:

    所以  在基  下的对角矩阵为:

    而由    到  的对角矩阵为:

    于是有  

    (4)值域与核

    定于:设   是线性空间  中的一个线性变换,   的全体像组成的集合称为  的值域,用   表示,所有被  编程零向量的向量组成的集合称为   的核,用   表示 。

    特征值的性质:

    设  阶矩阵  的特征值为  ,则:

    其中,矩阵  主行列式的元素和,称为矩阵  的迹。

    思考:已知  是方阵   的特征值,则:

    (1)  是  的特征值;

    (2)   可逆时, 是  的特征值。

    提示:可参考定义。

    不同特征值对应的特征向量:

    设  是方阵  的  个特征值,   是依次与之对应的特征向量,若  各不相等,则  线性无关。

    总结与思考:

    (1)不同特征值对应的特征向量,线性无关。

    (2)若方阵  是对称阵呢?结论是否加强?如:协方差矩阵、二次型矩阵、无向图邻接矩阵等:对称阵

    引理:

    1、实数对称阵的特征值是实数设负数  为对称阵  的特征值,复向量  为对应的特征向量,即  ,用   表示  的共轭复数,  表示    的共轭向量,而  是实矩阵,有  。

    证明过程如下:

    首先,

    因为,

    从而,

    而,

    所以 

    利用上述结论很快得到:

    将实数  带入方程组 , 该方程组为实系数方程组,因此,实对称阵的特征向量可以取实向量。

    2、实对称阵不同特征值的特征向量正交:令实对称矩阵为  ,其两个不同的特征值  对应的特征向量分别是  ;     都是实数或是实向量。3、最终结论设  为  阶对称阵,则必有正交阵  ,使得   ,其中,  是以 的  个特征值为对角元的对角阵,该变换称为“合同变换”, 和  互为合同矩阵。注:在谱聚类、PCA等章节中将会继续讨论。

    QR分解:

    分解概念:对于  的列满秩矩阵  ,必有:  。其中,  (即列正交矩阵),  为非奇异上三角矩阵。当要求  的对角线元素为正时,该分解唯一,称该分解为  分解。(可用于求解矩阵  的特征值、 的逆等问题。)

     分解计算特征值:

    计算  阶方阵  的特征值:

    本期的线性代数我们就到这里啦,下期再会~

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    作者简介:浩彬老撕

    好玩的数据炼丹师,

    曾经的IBM 数据挖掘攻城狮,

    还没开始就过气数据科学界的段子手,

    致力于数据科学知识分享,不定期送书活动

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  • 在打了一阵数据结构之后,老师表示“今天晚上让学长给...我们知道,高中解析几何计算几何基础是向量(Vector)和点(Point),所以我们先来表示这两个概念: 在计算几何中,点和向量一般用结构体来存储,像这样: ...

    在打了一阵数据结构之后,老师表示“今天晚上让学长给你们讲一下计算几何”……然后就死了.jpg

    昨天晚上一直在推数学的式子以及回顾讲课的笔记……计算几何特点就是多而杂,即使是入门部分也是如此……

    首先,我们从二维的几何问题开始处理。

    我们知道,高中解析几何计算几何的基础是向量(Vector)和点(Point),所以我们先来表示这两个概念:

    在计算几何中,点和向量一般用结构体来存储,像这样:

    1 struct Point
    2 {
    3     double x,y,rad;
    4     Point(double xx=0,double yy=0){x=xx,y=yy;}
    5 };
    6 typedef Point Vector;

    由于向量和点表示方式是相同的,但是我们并不能给点加减。

    所以我们给Point起一个别名,这样用的时候就不会引起歧义了。

    接下来,我们考虑实现一些基本操作:向量求长度,加减,旋转,点积和叉积,两向量所成角。

    向量加减可以通过重载来实现,点积和叉积记住公式直接算就可以,旋转可以通过计算三角函数展开现推……

    所以其实都是板子。代码见下:

    1 Vector operator + (Vector a,Vector b){return Vector(a.x+b.x,a.y+b.y);}//
    2 Vector operator - (Vector a,Vector b){return Vector(a.x-b.x,a.y-b.y);}//
    3 inline double Dot(Vector a,Vector b){return a.x*b.x+a.y*b.y;}//点积
    4 inline double length(Vector a){return sqrt(Dot(a,a));}//长度
    5 inline Vector Rotate(Vector a,double rad)
    6     {return Vector(a.x*cos(rad)-a.y*sin(rad),a.x*sin(rad)+a.y*cos(rad));}//旋转
    7 inline double Cross(Vector a,Vector b){return a.x*b.y-a.y*b.x;}//叉积
    8 inline double Angle(Vector a,Vector b){return acos(Dot(a,b)/length(a)/length(b));}//角度

     在有了这些基本的操作,尤其是叉积之后,我们就可以解决更多的问题了。

    所以我们先展开了解一下叉积。

    叉积,表示的是一种“有向面积”,其计算定义为(x1,y1)×(x2,y2)=x1*y2-x2*y1 ①

    之所以称它为有向面积,是因为事实上叉积的结果是一个向量c,其长度有|c|=|a|*|b|*sinΘ

    从①式我们容易发现,a×b和b×a似乎是不同的。

    事实上,的确如此,对于向量叉积有a×b=-(b×a)这也正说明了叉积“有向”的特点:

    因为把a旋转到b经过的角度和把b旋转到a经过的角度恰好是相反的,因此其结果相反。

    有了这个“有向面积“,我们就可以解决不少问题了。

    首先,我们先来考虑一系列求多边形面积的题目:

    例1:给三点坐标,求三角形面积。

    设三个点与原点连线的向量为a,b,c,那么有(b-a)×(c-a)=2*S三角形。计算即可。

    大概长这样:

    inline double Area2(Point a,Point b,Point c){return Cross(b-a,c-a);}

    例2:给顶点坐标,求多边形面积。

    最朴素的做法是把n边形剖分成n-2个三角形,但我们有更高效的做法。

    在这之前,我们先要了解极角的概念。

    极角表示一个向量与x轴正半轴所成的角,范围为[-π,π]。在C++中,求向量(x,y)的极角可以使用函数atan2

    写法为atan2(y,x),需要调用cmath库

    了解了极角之后,我们就可以讨论求多边形面积的问题了:

    按照极角从小到大(逆时针顺序)给向量v1=(x1,y1)……vn=(xn,yn)排序,然后计算(v1×v2+v2×v3……vn×v1)/2即可

    由于叉积有正有负,所以在计算一圈之后我们就正好得到了多边形的面积,这实际上还是一个三角剖分。

    有兴趣的同学可以自己推一下式子。不过,在代码实现时我们一般以最左下角的点作为向量的起点。

    下面给出一份简单的代码(设点已经按逆时针排序,编号0~n-1):

    double ans=0;
    for(int i=1;i<n-1;i++)
        ans+=Cross(p[i]-p[0],p[i+1]-p[0]);
    printf("%.2lf\n",ans/2);

    接下来,我们考虑一种求相交性的问题。

    例3:给出四点A,B,C,D坐标,求AB,CD两直线交点O坐标。

    首先,我们来考虑一条线段的“分点".(下面开始盗图

    上面这个式子感性理解一下就可以明白:如果λ1无限大,C就无限接近B,而上式也正好无限接近λ1B/λ1=B。

    然后,我们就可以利用分点去求直线的交点了。

    首先,我们要排除平行和重合的情况

    我们思考一下,假设|AO|/|OB|=λ,那么就会有

    |AO|/|OB|=S△ ADC/S△BDC=(AD×AC)/2 /(BC×BD)/2

    这样,我们就可以用叉积算出分点的λ,然后用分点计算O点坐标即可。

    特别注意,对于上图,上式中A与B叉积的顺序相反

    这一点不难看出其正确性,有兴趣的读者可以思考下为什么(提示:分类讨论,考虑分点的计算公式)

    代码见下:

    1 Vector operator * (Vector a,double p){return Vector(a.x*p,a.y*p);}
    2 Vector operator / (Vector a,double p){return Vector(a.x/p,a.y/p);}
    3 inline Vector Divide_Point(Point a,Point b,double p1,double p2){return (a*p1+b*p2)/(p1+p2);}//A,B分点
    4 inline Vector Cross_Point(Point a,Point b,Point c,Point d)
    5     {return Divide_Point(a,b,Cross(d-a,c-a),Cross(c-b,d-b));}//直线交点

    扩展:如果求两条线段的交点呢?

    这时我们就要判断交点是否在AB,CD上了。我们可以通过判断OA、OB向量的点积,以及OC、OD向量的点积来确定:如果O在两线段上,那么两个点积都是负的。

    例4:给出n边形的n个顶点(x1,y1)……(xn,yn),求一个给定点是否在多边形内。

    一般来说,判断这个的方法有多种,比如引一条射线看与边的交点个数,算夹角之和是否等于360°,算叉积是否都为负,等等。

    但是,我们还有另外一种logn求某个点是否在凸多边形(如果是凹多边形,这个方法就不再适用,较为推荐的是引线法)内部的方法,并且比较稳定

    首先,我们把n边形分为n-2个三角形,那么如果某个点在多边形内部。

    接着,我们通过叉积计算这个点到底在哪个区间。判断的方法很好想,不再赘述。

    最后,我们得到了这个点可能处在的区间,然后我们判断这个点是否在多边形那条边的“左侧”(使用叉积判断)即可

    代码大概长这样(所有点已经按照逆时针排好序)

     1 inline bool judge(Point x)
     2 {
     3     p[n+1]=p[1];//编号1~n,处理边界
     4     //判断多边形为线段时是否在线段上,视情况添加这段代码
     5     /*if(n==2)
     6     {
     7         if(Dot(p[1]-x,p[2]-x)==-length(p[1]-x)*length(p[2]-x))return 1;
     8         else return 0;
     9     }*/
    10     int l=2,r=n,ans=-1;
    11     while(l<=r)
    12     {
    13         int mi=(l+r)>>1;
    14         if(Cross(p[mi]-p[1],x-p[1])>eps)ans=mi,l=mi+1;
    15         else r=mi-1;
    16     }
    17     if(ans==-1)return 0;
    18     if(Cross(p[ans+1]-p[ans],x-p[ans])>eps)return 1;
    19 }

    关于向量部分的基础内容暂时就这么多,以后我还会带来其他计算几何的知识。希望看完博文的你有所收获:)

    转载于:https://www.cnblogs.com/LadyLex/p/7295515.html

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    2019-09-22 03:51:49
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  • 向量场中积分

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  • 从最一般的定义上说,一个求最小值问题就是一个优化问题(也叫寻优问题,更文绉绉叫法是规划——Programming),它同样由两部分组成,目标函数和约束条件,可以用下面的式表示:(1) 约束条件用函数c来...
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    上面矩阵所表示的几何意义就是求下图平行四边形面积。...综上,由代入法可得二阶行列是计算向量围成平行四边形面积。 一般推导公式如下: 如图令B(x1, y1), D(x2, y2) 即证明 则相当于已知求  ...
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  • 矩阵“特征值”要表示什么“特征”

    千次阅读 多人点赞 2019-04-11 15:34:26
    从很多年前接触到“特征值”这个词开始,我就一直有个疑问没搞明白,为啥矩阵 “特征值”和“特征向量”中“特征”,与我们日常理解一般口语中“特征”差异怎么就那么大呢?! 比方说张飞“特征”是高大...
  • 对于关节臂式机器人,一般会在它末端执行器上固联一个坐标系 {E}\{E\}{E},如图所示。通常情况下,工具轴线为坐标系 zzz 轴,并被称为接近向量,记为 a^=(ax,ay,az)\hat{a}=(a_x, a_y, a_z)a^=(ax​,ay​,az​...
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    一、矩阵乘法五种表示方法  1、一般形式 2、矩阵与列向量相乘 3、矩阵与行向量相乘 4、矩阵分块相乘 二、矩阵逆 对于方阵,左逆=右逆 原矩阵乘以其逆矩阵得到单位矩阵  判断...
  • 1 雅可比矩阵假设某函数从 , 从 映射到 向量 , 其雅可比矩阵...此函数 f 雅可比矩阵 J 为 m×n 矩阵,一般由以下方式定义:矩阵分量可表示成:示例:2 黑森矩阵黑塞矩阵(德语:Hesse-Matrix;英语:Hessian m...
  • 一般的区别:一般的自编码机就是一个多层网络,中间特征是一个固定的向量值。而VAE中间特征是一种分布。 中间特征抽象思考:1、如果输入是一个人脸图像,那么中间特征也许表示眼睛大小、肤色、头发种类等...
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  • 平面上两直线夹角求法解析

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空空如也

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向量的一般表示式