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  • NLP系列文章()——文本向量表示方法
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    2020-04-20 15:51:13

    基于词向量的表示方法

    虽然one-hot和TF-IDF的表示方式也成为词向量,但是我们这里讨论的基于词向量的表示方式是围绕分布式词表征进行的。也就是利用Word2Vec、GloVe和fastText等词向量对文本进行表示,词向量可以根据任务或者资源的不同随意选择,文本表示的方法是通用的。

    首先我们根据语料库训练词向量,也就是针对文本中的每个词汇,我们均有它的向量表示。当要获得每个文本的向量表示,可以将文本中出现的词汇进行求和、求平均以及加权求和等方式获取最后的结果。

    求和与求平均的方式相对简单,此处不再赘述。如何进行加权求和可以针对任务的需求进行。常见的方式为TF-IDF加权的文本表示。

    S e n t e n c e V e c t o r ( s ) = ∑ i n ( T F − I D F ( w o r d i ) × W o r d 2 V e c ( w o r d i ) ) 其 中 w o r d i ∈ s SentenceVector(s) = \sum_i^n (TF - IDF(word_i) \times Word2Vec(word_i)) \\其中 word_i \in s SentenceVector(s)=in(TFIDF(wordi)×Word2Vec(wordi))wordis

    上述为对TF-IDF加权的Word2Vec的表示,其中s是需要表示为向量的文本, w o r d i word_i wordi是每个文本中的句子。 T F − I D F ( w o r d i ) TF-IDF(word_i) TFIDF(wordi)代表针对 w o r d i word_i wordi求对应的TF-IDF值, W o r d 2 V e c ( w o r d i ) Word2Vec(word_i) Word2Vec(wordi)代表对应词汇的词向量。

    一般情况下,加权之后的文本向量要优于直接求和或求平均的方式,此外,类似的加权方式还有SIF算法,当然也可以用Doc2Vec的方式直接求取对应文本的文档向量。

    基于词向量的文本表示方式,由于向量的维度是可控的,所以不会造成维度灾难和数据稀疏的问题,同时也能较好的反应出文本的语义,现在被广泛的使用。

    有监督文本表示方法

    无监督的文本表示方法和有监督的文本表示方法的最主要区别在于,是否需要训练模型以及优化目标来实现某项任务。很明显无监督的方式是拿来训练好的词向量进行进一步的处理,并没有搭建任何的模型。

    有监督的文本表示可以从某一项任务中模型的隐层向量提取出来认为是对应文本的表示向量。例如文本分类模型TextCNN,根据模型不断的迭代,最终收敛到较好的效果,可以将模型的池化层拼接后的结果输出作为文本的表示向量。基于翻译任务的Seq2Seq模型,亦可以将RNN最后一个时间步的输出作为表征文本的向量。根据这种思想可以将很多模型中的隐层输出的向量视为文本向量。

    近年来,较为流行的BERT、GPT和ALBERT等模型均是依据依据训练神经语言模型来得到句向量的表示。经过大量的训练数据以及较长时间的训练,这种向量尽可能的表征了文本自身的语义特征。

    无论是无监督的方式还是有监督的方式,均没有哪种方式比另一种绝对性的好。在使用文本的表示方式的时候,需要根据上下游任务的特点,还有现有的资源以及数据的规模等多种特性来使用一种较为合适的文本表示方式。

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    1、代数表示:一般印刷用黑体小写字母α、β、γ … 或a、b、c … 等来表示,手写用在a、b、c…等字母上加一箭头表示。

    2、几何表示:向量可以用有向线段来表示.有向线段的长度表示向量的大小,箭头所指的方向表示向量的方向。

    (若规定线段AB的端点A为起点,B为终点,则线段就具有了从起点A到终点B的方向和长度.这种具有方向和长度的线段叫做有向线段.)

    3、坐标表示:

    (1)在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j作为一组基底.a为平面直角坐标系内的任意向量,以坐标原点O为起点作向量OP=a。

    由平面向量基本定理知,有且只有一对实数(x,y),使得 a=向量OP=xi+yj,因此把实数对(x,y)叫做向量a的坐标,记作a=(x,y).这就是向量a的坐标表示.其中(x,y)就是点P的坐标.向量OP称为点P的位置向量。

    (2) 在立体三维坐标系中,分别取与x轴、y轴,z轴方向相同的3个单位向量i,j,k作为一组基底.若a为该坐标系内的任意向量,以坐标原点O为起点作向量OP=a。

    由空间基本定理知,有且只有一组实数(x,y,z),使得 a=向量OP=xi+yj+zk,因此把实数对(x,y,k)叫做向量a的坐标,记作a=(x,y,z).这就是向量a的坐标表示.其中(x,y,k),也就是点P的坐标.向量OP称为点P的位置向量。

    (3) 当然,对于空间多维向量,可以通过类推得到 。

    c11b4f07c5c33bfa16992563673997be.png

    注:

    向量的定义:

    在数学中,向量(也称为欧几里得向量、几何向量、矢量),指具有大小(magnitude)和方向的量。它可以形象化地表示为带箭头的线段。箭头所指:代表向量的方向;线段长度:代表向量的大小。与向量对应的只有大小,没有方向的量叫做数量(物理学中称标量)。

    向量的记法:印刷体记作粗体的字母(如a、b、u、v),书写时在字母顶上加一小箭头“→”。 如果给定向量的起点(A)和终点(B),可将向量记作AB(并于顶上加→)。在空间直角坐标系中,也能把向量以数对形式表示,例如Oxy平面中(2,3)是一向量。

    在物理学和工程学中,几何向量更常被称为矢量。许多物理量都是矢量,比如一个物体的位移,球撞向墙而对其施加的力等等。与之相对的是标量,即只有大小而没有方向的量。一些与向量有关的定义亦与物理概念有密切的联系,例如向量势对应于物理中的势能。

    几何向量的概念在线性代数中经由抽象化,得到更一般的向量概念。此处向量定义为向量空间的元素,要注意这些抽象意义上的向量不一定以数对表示,大小和方向的概念亦不一定适用。因此,平日阅读时需按照语境来区分文中所说的"向量"是哪一种概念。

    不过,依然可以找出一个向量空间的基来设置坐标系,也可以透过选取恰当的定义,在向量空间上介定范数和内积,这允许我们把抽象意义上的向量类比为具体的几何向量。

    扩展资料:

    向量的运算法则:(向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则)

    1、向量的加法

    OB+OA=OC.

    a+b=(x+x',y+y').

    a+0=0+a=a.

    向量加法的运算律:

    交换律:a+b=b+a;

    结合律:(a+b)+c=a+(b+c).

    2、向量的减法

    如果a、b是互为相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0.0的反向量为0

    AB-AC=CB.

    a=(x,y)b=(x',y') 则a-b=(x-x',y-y').

    3、数乘向量

    实数λ和向量a的乘积是一个向量,记作λa,且∣λa∣=∣λ∣·∣a∣.

    当λ>0时,λa与a同方向;

    向量的数乘法则:

    当λ<0时,λa与a反方向;

    向量的数乘当λ=0时,λa=0,方向任意.

    当a=0时,对于任意实数λ,都有λa=0.

    注:按定义知,如果λa=0,那么λ=0或a=0.

    实数λ叫做向量a的系数,乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩.

    当∣λ∣>1时,表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上伸长为原来的∣λ∣倍;

    当∣λ∣<1时,表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或××反方向(λ<0)上缩短为原来的∣λ∣倍.

    注:数与向量的乘法满足下面的运算律 :

    ①结合律:(λa)·b=λ(a·b)=(a·λb).

    ②向量对于数的分配律(第一分配律):(λ+μ)a=λa+μa.

    ③数对于向量的分配律(第二分配律):λ(a+b)=λa+λb.

    ④数乘向量的消去律:① 如果实数λ≠0且λa=λb,那么a=b.② 如果a≠0且λa=μa,那么λ=μ.

    4、向量的数量积

    定义:已知两个非零向量a,b.作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角,记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π

    定义:两个向量的数量积(内积、点积)是一个数量,记作a·b.若a、b不共线,则a·b=|a|·|b|·cos〈a,b〉;若a、b共线,则a·b=+-∣a∣∣b∣.

    向量的数量积的坐标表示:a·b=x·x'+y·y'.

    向量的数量积的运算律 :

    ①a·b=b·a(交换律);

    ②(λa)·b=λ(a·b)(关于数乘法的结合律);

    ③(a+b)·c=a·c+b·c(分配律);

    向量的数量积的性质 :

    a·a=|a|的平方.

    a⊥b 〈=〉a·b=0.

    |a·b|≤|a|·|b|.(该公式证明如下:|a·b|=|a|·|b|·|cosα| 因为0≤|cosα|≤1,所以|a·b|≤|a|·|b|)

    注:向量的数量积与实数运算的主要不同点 :

    ①向量的数量积不满足结合律,即:(a·b)·c≠a·(b·c);例如:(a·b)^2≠a^2·b^2.

    ②向量的数量积不满足消去律,即:由 a·b=a·c (a≠0),推不出 b=c.

    ③|a·b|≠|a|·|b|

    ④由 |a|=|b| ,推不出 a=b或a=-b.

    ⑤向量的向量积

    定义:两个向量a和b的向量积(外积、叉积)是一个向量,记作a×b(这里并不是乘号,只是一种表示方法,与“·”不同,也可记做“∧”)。

    若a、b不共线,则a×b的模是:∣a×b∣=|a|·|b|·sin〈a,b〉;a×b的方向是:垂直于a和b,且a、b和a×b按这个次序构成右手系.若a、b共线,则a×b=0。

    向量的向量积性质:

    ∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积.

    a×a=0.

    a垂直b〈=〉a×b=|a||b|.

    向量的向量积运算律 :

    a×b=-b×a;

    (λa)×b=λ(a×b)=a×(λb);

    a×(b+c)=a×b+a×c.

    注:向量没有除法,“向量AB/向量CD”是没有意义的。

    参考资料:百度百科-向量

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    最近学图形学时遇到了这个问题,PPT 给的大概是一个通过线性代数的方法求的,有点看不懂。加上线性代数早就忘光了,更加是一脸茫然。但是这个知识点在高中讲过,自己却怎么也记不起来了,直到今天突然记起来了,特此记录一下。

    问题描述

    已知三维空间中三点 P 1 ( x 1 , y 1 , y 1 ) , P 2 ( x 2 , y 2 , y 2 ) , P 3 ( x 3 , y 3 , y 3 ) P_1(x_1, y_1, y_1),P_2(x_2, y_2, y_2),P_3(x_3, y_3, y_3) P1(x1,y1,y1)P2(x2,y2,y2)P3(x3,y3,y3)。要求求出这三个点构成平面的法向量。

    高中知识

    我们不妨设平面法向量 n → = ( x , y , z ) \overrightarrow{n}=(x, y, z) n =(x,y,z)

    我们知道法向量是和平面垂直的,因此法向量也和该平面上任意一条向量相互垂直,即点积为 0。

    利用这个性质,我们可以构造两个方程,此时
    n → ・ P 1 P 2 → = 0 n → ・ P 1 P 3 → = 0 \overrightarrow{n}・ \overrightarrow{P_1P_2} =0\\ \overrightarrow{n}・ \overrightarrow{P_1P_3} = 0 n P1P2 =0n P1P3 =0
    P 1 P 2 P 3 P_1P_2P_3 P1P2P3 三点坐标代入即可。
    x ( x 1 − x 2 ) + y ( y 1 − y 2 ) + z ( z 1 − z 2 ) = 0 x ( x 1 − x 3 ) + y ( y 1 − y 3 ) + z ( z 1 − z 3 ) = 0 x(x_1-x_2)+y(y_1-y_2)+z(z_1-z_2) = 0 \\ x(x_1-x_3)+y(y_1-y_3)+z(z_1-z_3) = 0 x(x1x2)+y(y1y2)+z(z1z2)=0x(x1x3)+y(y1y3)+z(z1z3)=0
    然后我们不妨假设 x=1, 这样即可求出 y z(三个方程三个未知量)。

    p.s 这样求出的法向量可能会有分数,可以自行改造一下。

    大学知识

    在高等数学「向量代数与空间解析几何」这一章中,介绍了向量叉积的概念。其中叉积的几何表示如下:

    a×b 是一种向量
    方向: a×b 同时垂直于 ab 且符合右手定则

    我们注意到 a×b 同时垂直与 ab,而这和法向量的性质刚好一致。因此我们就可以利用 P 1 P 2 → \overrightarrow{P_1P_2} P1P2 P 1 P 3 → \overrightarrow{P_1P_3} P1P3 的叉积来构造平面法向量。因此我们不妨假设

    n → = P 1 P 2 → × P 1 P 3 → \overrightarrow{n} = \overrightarrow{P_1P_2} × \overrightarrow{P_1P_3} n =P1P2 ×P1P3

    在这里插入图片描述

    n → = ( a , b , c ) \overrightarrow{n}=(a, b, c) n =(a,b,c) 有一个更简单的记法

    我们不妨设 P 1 P 2 → = ( x 1 , y 1 , z 1 ) \overrightarrow{P_1P_2} = (x1, y1, z1) P1P2 =(x1,y1,z1) P 1 P 3 → = ( x 2 , y 2 , z 2 ) \overrightarrow{P_1P_3} = (x2, y2, z2) P1P3 =(x2,y2,z2),a、b、c 三者的值对应这下面三个椭圆的行列式。即

    a = y 1 z 2 − y 2 z 1 b = z 1 x 2 − z 2 x 1 c = x 1 y 2 − x 2 y 1 a = y1z2 - y2z1 \\ b = z1x2 - z2x1 \\ c = x1y2 - x2y1 a=y1z2y2z1b=z1x2z2x1c=x1y2x2y1
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