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  • 向量的两点间距离公式
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    本文目录:

    1. 欧氏距离

    2. 曼哈顿距离

    3. 切比雪夫距离

    4. 闵可夫斯基距离

    5. 标准化欧氏距离

    6. 马氏距离

    7. 夹角余弦

    8. 汉明距离

    9. 杰卡德距离 & 杰卡德相似系数

    10. 相关系数 & 相关距离

    11. 信息熵

    1. 欧氏距离(Euclidean Distance)

           欧氏距离是最易于理解的一种距离计算方法,源自欧氏空间中两点间的距离公式。

    (1)二维平面上两点a(x1,y1)与b(x2,y2)间的欧氏距离:

    (2)三维空间两点a(x1,y1,z1)与b(x2,y2,z2)间的欧氏距离:

    (3)两个n维向量a(x11,x12,…,x1n)与 b(x21,x22,…,x2n)间的欧氏距离:

      也可以用表示成向量运算的形式:

    (4)Matlab计算欧氏距离

    Matlab计算距离主要使用pdist函数。若X是一个M×N的矩阵,则pdist(X)将X矩阵M行的每一行作为一个N维向量,然后计算这M个向量两两间的距离。

    例子:计算向量(0,0)、(1,0)、(0,2)两两间的欧式距离

    X = [0 0 ; 1 0 ; 0 2]

    D = pdist(X,'euclidean')

    结果:

    D =

        1.0000    2.0000    2.2361

    2. 曼哈顿距离(Manhattan Distance)

           从名字就可以猜出这种距离的计算方法了。想象你在曼哈顿要从一个十字路口开车到另外一个十字路口,驾驶距离是两点间的直线距离吗?显然不是,除非你能穿越大楼。实际驾驶距离就是这个“曼哈顿距离”。而这也是曼哈顿距离名称的来源, 曼哈顿距离也称为城市街区距离(City Block distance)

    (1)二维平面两点a(x1,y1)与b(x2,y2)间的曼哈顿距离

    (2)两个n维向量a(x11,x12,…,x1n)与 b(x21,x22,…,x2n)间的曼哈顿距离

    (3) Matlab计算曼哈顿距离

    例子:计算向量(0,0)、(1,0)、(0,2)两两间的曼哈顿距离

    X = [0 0 ; 1 0 ; 0 2]

    D = pdist(X, 'cityblock')

    结果:

    D =

         1     2     3

    3. 切比雪夫距离 ( Chebyshev Distance )

           国际象棋玩过么?国王走一步能够移动到相邻的8个方格中的任意一个。那么国王从格子(x1,y1)走到格子(x2,y2)最少需要多少步?自己走走试试。 你会发现最少步数总是max( | x2-x1 | , | y2-y1 | ) 步 。有一种类似的一种距离度量方法叫切比雪夫距离。

    (1)二维平面两点a(x1,y1)与b(x2,y2)间的切比雪夫距离

    (2)两个n维向量a(x11,x12,…,x1n)与 b(x21,x22,…,x2n)间的切比雪夫距离

      这个公式的另一种等价形式是

           看不出两个公式是等价的?提示一下:试试用放缩法和夹逼法则来证明。

    (3)Matlab计算切比雪夫距离

    例子:计算向量(0,0)、(1,0)、(0,2)两两间的切比雪夫距离

    X = [0 0 ; 1 0 ; 0 2]

    D = pdist(X, 'chebychev')

    结果:

    D =

         1     2     2

    4. 闵可夫斯基距离(Minkowski Distance)

    闵氏距离不是一种距离,而是一组距离的定义。

    (1) 闵氏距离的定义

           两个n维变量a(x11,x12,…,x1n)与 b(x21,x22,…,x2n)间的闵可夫斯基距离定义为:

    其中p是一个变参数。

    当p=1时,就是曼哈顿距离

    当p=2时,就是欧氏距离

    当p→∞时,就是切比雪夫距离

           根据变参数的不同,闵氏距离可以表示一类的距离。

    (2)闵氏距离的缺点

      闵氏距离,包括曼哈顿距离、欧氏距离和切比雪夫距离都存在明显的缺点。

      举个例子:二维样本(身高,体重),其中身高范围是150~190,体重范围是50~60,有三个样 本:a(180,50),b(190,50),c(180,60)。那么a与b之间的闵氏距离(无论是曼哈顿距离、欧氏距离或切比雪夫距离)等于a与c之 间的闵氏距离,但是身高的10cm真的等价于体重的10kg么?因此用闵氏距离来衡量这些样本间的相似度很有问题。

           简单说来,闵氏距离的缺点主要有两个:(1)将各个分量的量纲(scale),也就是“单位”当作相同的看待了。(2)没有考虑各个分量的分布(期望,方差等)可能是不同的。

    (3)Matlab计算闵氏距离

    例子:计算向量(0,0)、(1,0)、(0,2)两两间的闵氏距离(以变参数为2的欧氏距离为例)

    X = [0 0 ; 1 0 ; 0 2]

    D = pdist(X,'minkowski',2)

    结果:

    D =

        1.0000    2.0000    2.2361

    5. 标准化欧氏距离 (Standardized Euclidean distance )

    (1)标准欧氏距离的定义

      标准化欧氏距离是针对简单欧氏距离的缺点而作的一种改进方案。标准欧氏距离的思路:既然数据各维分量的分布不一样,好吧!那我先将各个分量都“标准 化”到均值、方差相等吧。均值和方差标准化到多少呢?这里先复习点统计学知识吧,假设样本集X的均值(mean)为m,标准差(standard deviation)为s,那么X的“标准化变量”表示为:

      而且标准化变量的数学期望为0,方差为1。因此样本集的标准化过程(standardization)用公式描述就是:

      标准化后的值 =  ( 标准化前的值  - 分量的均值 ) /分量的标准差

      经过简单的推导就可以得到两个n维向量a(x11,x12,…,x1n)与 b(x21,x22,…,x2n)间的标准化欧氏距离的公式:

      如果将方差的倒数看成是一个权重,这个公式可以看成是一种加权欧氏距离(Weighted Euclidean distance)

    (2)Matlab计算标准化欧氏距离

    例子:计算向量(0,0)、(1,0)、(0,2)两两间的标准化欧氏距离 (假设两个分量的标准差分别为0.5和1)

    X = [0 0 ; 1 0 ; 0 2]

    D = pdist(X, 'seuclidean',[0.5,1])

    结果:

    D =

        2.0000    2.0000    2.8284

     

    6. 马氏距离(Mahalanobis Distance)

    (1)马氏距离定义

           有M个样本向量X1~Xm,协方差矩阵记为S,均值记为向量μ,则其中样本向量X到u的马氏距离表示为:

           而其中向量Xi与Xj之间的马氏距离定义为:

           若协方差矩阵是单位矩阵(各个样本向量之间独立同分布),则公式就成了:

           也就是欧氏距离了。

      若协方差矩阵是对角矩阵,公式变成了标准化欧氏距离。

    (2)马氏距离的优缺点:量纲无关,排除变量之间的相关性的干扰。

    (3) Matlab计算(1 2),( 1 3),( 2 2),( 3 1)两两之间的马氏距离

    X = [1 2; 1 3; 2 2; 3 1]

    Y = pdist(X,'mahalanobis')

    结果:

    Y =

        2.3452    2.0000    2.3452    1.2247    2.4495    1.2247

    7. 夹角余弦(Cosine)

           有没有搞错,又不是学几何,怎么扯到夹角余弦了?各位看官稍安勿躁。几何中夹角余弦可用来衡量两个向量方向的差异,机器学习中借用这一概念来衡量样本向量之间的差异。

    (1)在二维空间中向量A(x1,y1)与向量B(x2,y2)的夹角余弦公式:

    (2) 两个n维样本点a(x11,x12,…,x1n)和b(x21,x22,…,x2n)的夹角余弦

           类似的,对于两个n维样本点a(x11,x12,…,x1n)和b(x21,x22,…,x2n),可以使用类似于夹角余弦的概念来衡量它们间的相似程度。

      即:

           夹角余弦取值范围为[-1,1]。夹角余弦越大表示两个向量的夹角越小,夹角余弦越小表示两向量的夹角越大。当两个向量的方向重合时夹角余弦取最大值1,当两个向量的方向完全相反夹角余弦取最小值-1。

           夹角余弦的具体应用可以参阅参考文献[1]。

     

    借助三维坐标系来看下欧氏距离和余弦相似度的区别:

     

    根据欧氏距离和余弦相似度各自的计算方式和衡量特征,分别适用于不同的数 据分析模型:欧氏距离能够体现个体数值特征的绝对差异,所以更多的用于需要从维度的数值大小中体现差异的分析,如使用用户行为指标分析用户价值的相似度或 差异;而余弦相似度更多的是从方向上区分差异,而对绝对的数值不敏感,更多的用于使用用户对内容评分来区分用户兴趣的相似度和差异,同时修正了用户间可能 存在的度量标准不统一的问题(因为余弦相似度对绝对数值不敏感)。

     

    (3)Matlab计算夹角余弦

    例子:计算(1,0)、( 1,1.732)、( -1,0)两两间的夹角余弦

    X = [1 0 ; 1 1.732 ; -1 0]

    D = 1- pdist(X, 'cosine')  % Matlab中的pdist(X, 'cosine')得到的是1减夹角余弦的值

    结果:

    D =

        0.5000   -1.0000   -0.5000

    8. 汉明距离(Hamming distance)

    (1)汉明距离的定义

           两个等长字符串s1与s2之间的汉明距离定义为将其中一个变为另外一个所需要作的最小替换次数。例如字符串“1111”与“1001”之间的汉明距离为2。

           应用:信息编码(为了增强容错性,应使得编码间的最小汉明距离尽可能大)。

    (2)Matlab计算汉明距离

      Matlab中2个向量之间的汉明距离的定义为2个向量不同的分量所占的百分比。

           例子:计算向量(0,0)、(1,0)、(0,2)两两间的汉明距离

    X = [0 0 ; 1 0 ; 0 2];

    D = PDIST(X, 'hamming')

    结果:

    D =

        0.5000    0.5000    1.0000

    9. 杰卡德相似系数(Jaccard similarity coefficient)

    (1) 杰卡德相似系数

           两个集合A和B的交集元素在A,B的并集中所占的比例,称为两个集合的杰卡德相似系数,用符号J(A,B)表示。

      杰卡德相似系数是衡量两个集合的相似度一种指标。

    (2) 杰卡德距离

           与杰卡德相似系数相反的概念是杰卡德距离(Jaccard distance)。杰卡德距离可用如下公式表示:

      杰卡德距离用两个集合中不同元素占所有元素的比例来衡量两个集合的区分度。

    (3) 杰卡德相似系数与杰卡德距离的应用

           可将杰卡德相似系数用在衡量样本的相似度上。

      样本A与样本B是两个n维向量,而且所有维度的取值都是0或1。例如:A(0111)和B(1011)。我们将样本看成是一个集合,1表示集合包含该元素,0表示集合不包含该元素。

    p :样本A与B都是1的维度的个数

    q :样本A是1,样本B是0的维度的个数

    r :样本A是0,样本B是1的维度的个数

    s :样本A与B都是0的维度的个数

    那么样本A与B的杰卡德相似系数可以表示为:

    这里p+q+r可理解为A与B的并集的元素个数,而p是A与B的交集的元素个数。

    而样本A与B的杰卡德距离表示为:

    (4)Matlab 计算杰卡德距离

    Matlab的pdist函数定义的杰卡德距离跟我这里的定义有一些差别,Matlab中将其定义为不同的维度的个数占“非全零维度”的比例。

    例子:计算(1,1,0)、(1,-1,0)、(-1,1,0)两两之间的杰卡德距离

    X = [1 1 0; 1 -1 0; -1 1 0]

    D = pdist( X , 'jaccard')

    结果

    D =

    0.5000    0.5000    1.0000

    10. 相关系数 ( Correlation coefficient )与相关距离(Correlation distance)

    (1) 相关系数的定义

    相关系数是衡量随机变量X与Y相关程度的一种方法,相关系数的取值范围是[-1,1]。相关系数的绝对值越大,则表明X与Y相关度越高。当X与Y线性相关时,相关系数取值为1(正线性相关)或-1(负线性相关)。

    (2)相关距离的定义

    (3)Matlab计算(1, 2 ,3 ,4 )与( 3 ,8 ,7 ,6 )之间的相关系数与相关距离

    X = [1 2 3 4 ; 3 8 7 6]

    C = corrcoef( X' )   %将返回相关系数矩阵

    D = pdist( X , 'correlation')

    结果:

    C =

        1.0000    0.4781

        0.4781    1.0000

    D = 0.5219

          其中0.4781就是相关系数,0.5219是相关距离。

    11. 信息熵(Information Entropy)

           信息熵并不属于一种相似性度量。那为什么放在这篇文章中啊?这个。。。我也不知道。 (╯▽╰)

    信息熵是衡量分布的混乱程度或分散程度的一种度量。分布越分散(或者说分布越平均),信息熵就越大。分布越有序(或者说分布越集中),信息熵就越小。

           计算给定的样本集X的信息熵的公式:

    参数的含义:

    n:样本集X的分类数

    pi:X中第i类元素出现的概率

           信息熵越大表明样本集S分类越分散,信息熵越小则表明样本集X分类越集中。。当S中n个分类出现的概率一样大时(都是1/n),信息熵取最大值log2(n)。当X只有一个分类时,信息熵取最小值0

    展开全文
  • 向量空间中各类距离表示

    万次阅读 2018-04-02 13:28:57
    个n维变量A(x11,x12,…x1n)与B(x21,x22,…,x2n)的闵可夫斯基距离的定义为: 其中p是一个变参数 [ ] 当p=1时,就是曼哈顿距离。 [ ] 当p=2时,就是欧式距离。 [ ] 当p→∞时,就是切比雪夫距离。 2. 欧氏...

    1. 闵可夫斯基距离

    严格意义上讲,闵可夫斯基距离不是一种距离,而是一组距离的定义。

    两个n维变量A(x11,x12,…x1n)与B(x21,x22,…,x2n)间的闵可夫斯基距离的定义为:

    这里写图片描述
    其中p是一个变参数

    • [ ] 当p=1时,就是曼哈顿距离。
    • [ ] 当p=2时,就是欧式距离。
    • [ ] 当p→∞时,就是切比雪夫距离。

    2. 欧氏距离(Euclidean Distance)

    欧式距离(L2范数)是最易于理解的一种距离计算方法,源自欧式空间中两点间的距离公式:dist(A,B)

    (1)二维平面上两点a(x1,y1)与b(x2,y2)间的欧式距离:

    这里写图片描述

    (2)三维空间间两点A(x1,y1,z1)与B(x2,y2,z2)间的欧式距离:

    这里写图片描述

    (3)两个n维向量A(x11,x12,…,x1n)与B(x21,x22,…,x2n)间的欧式距离:

    这里写图片描述

    表示为向量运算的形式:

    这里写图片描述

    (4)Python实现欧式距离

    from numpy import *
    
    vector1 = mat([1,2,3])
    vector2 = mat([4,5,6])
    print sqrt((vector1-vector2)*(vector-vector).T))
     
    • 1
    • 2
    • 3
    • 4
    • 5

    3. 曼哈顿距离(Manhattan Distance)

     从名字就可以猜出这种距离的计算方法。想象你在曼哈顿要从一个十字路口来车到另外一个十字路口,驾驶距离是两点间的直线距离吗?显然不是,除非你能穿越大楼。实际驾驶距离就是这个“曼哈顿距离”(L1范数),而这也是曼哈顿距离名称的来源。曼哈顿距离也称为城市街区距离(City Block distance)

    (1)二维平面两点A(x1,y1)与B(x2,y2)间的曼哈顿距离:

    这里写图片描述

    (2)两个n维向量A(x11,x12,…,x1n)与B(x21,x22,…,x2n)间的曼哈顿距离:

    这里写图片描述

    (3)Python实现曼哈顿距离

    from numpy import *
    
    vector1 = mat([1,2,3])
    vector2 = mat([4,5,6])
    print sum(abs(vector1-vector2))
     
    • 1
    • 2
    • 3
    • 4
    • 5

    4. 切比雪夫距离(Chebyshev Distance)

     国际象棋中,国王走一步能够移动到相邻的8个方格中的任意一个。那么国王从格子(x1,y1)走到格子(x2,y2)最少需要多少步?最少步数总是

    这里写图片描述步。有一种类似的距离度量方法叫作切比雪夫距离.。

    (1)二维平面两点A(x1,y1)与B(x2,y2)间的切比雪夫距离:

    这里写图片描述

    (2)两个n维向量A(x11,x12,…,x1n)与B(x21,x22,…,x2n)间的切比雪夫距离:

    这里写图片描述

    这个公式的另一种等价形式是:

    这里写图片描述

    from numpy import *
    
    vector1 = mat([1,2,3])
    vector2 = mat([4,7,5])
    print abs(vector1-vector2).max()

    5. 夹角余弦(Cosine)

     几何中的夹角余弦可用来衡量两个向量方向的差异,机器学习中借用这一概念来衡量样本向量之间的差异。

    (1)在二维空间中向量A(x1,y1)与B(x2,y2)的夹角余弦公式

    这里写图片描述

    (2)两个n维样本点A(x11,x12,…,x1n)与B(x21,x22,…,x2n)的夹角余弦:可以使用类似于夹角余弦的概念来衡量它们间的相似程度。


    这里写图片描述

    夹角余弦取值范围为[-1,1]。夹角余弦越大,表示两个向量的夹角越小;夹角余弦越小,表示两个向量的夹角越大。当两个向量的方向重合时,夹角余弦取最大值1;当两个向量方向完全相反时,夹角余弦取最小值-1

    from numpy import *
    
    vector1 = mat([1,2,3])
    vector2 = mat([4,7,5])
    cosV12 = dot(vector1,vector2.T)/(linalg.norm(vector1)*linale.norm(vector2))
    print cosV12

    6. 汉明距离(Hamming Distance)

    (1)汉明距离的定义:两个等长字符串s1与s2之间的汉明距离定义为将其中一个变为另外一个所需要的最小替换次数。例如字符串“1111”与“1001”之间的汉明距离为2.
     应用:信息编码(为了增强容错性,应使得编码间的最小汉明距离尽可能大)
    (2)Python实现汉明距离

    from numpy import *
    matV = mat([[1,1,0,1,0,1,0,0,1],[0,1,1,0,0,0,1,1,1]])
    '''
    nonzero函数把非零值的索引分别存储为行和列,如以下smstr的结果为
    (matrix([[0, 0, 0, 0, 0, 0]], dtype=int64), # 表示非零值都在第0行
     matrix([[0, 2, 3, 5, 6, 7]], dtype=int64)) # 表示各个非零值所在的列
    '''
    smstr = nonzero(matV[0]-matV[1])
    print shape(smstr[0])[1] # 获取smstr第0行的数组然后计算出他的行列数,所取的列数即为汉明距离
     
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    7. 杰卡德相似系数(Jaccard Similarity Coefficient)

    (1)杰卡德相似系数:两个集合A和B的交集元素在A、B的并集中所占的比例,称为两个集合的杰卡德相似系数,用符号J(A,B)表示。

    这里写图片描述
    杰卡德相似系数是衡量两个集合的相似度的一种指标。

    (2)杰卡德距离:与杰卡德相似系数相反的概念是杰卡德距离(Jaccard Distance),杰卡德距离可用如下公式表示:

    这里写图片描述
    杰卡德距离用两个集合中不同元素占所有元素的比例来衡量两个集合的区分度。

    (3)杰卡德相似系数与杰卡德距离的应用。

    可将杰卡德相似系数用在衡量样本的相似度上。

     样本A与样本B是两个n维向量,而且所有维度的取值都是0或1.例如A(0111)和B(1011)。我们将样本堪称一个集合,1表示集合包含该元素,0表示集合不包含该元素。


    p:样本A与B都是1的维度的个数。
    q:样本A是1、样本B是0的维度的个数。
    r:样本A是0、样本B是1的维度的个数。
    s:样本A与B都是0的维度的个数。

    那么样本A与B的杰卡德相似系数可以表示为:

    这里写图片描述

     这里p+q+r可理解为A与B的并集(集合中元素索引为1代表包含这个元素,即假如两个集合中这个元素的索引都为0即不包含这个元素),而p是A与B的交集的元素个数。

    (4)Python实现杰卡德距离。

    from numpy import *
    import scipy.spatial.distance as dist # 导入SciPy距离公式
    matV = mat([[1,1,0,1,0,1,0,0,1],[0,1,1,0,0,0,1,1,1]])
    print "dist.jaccard:",dist.pdist(matV,'jaccard')

    参考资料:
    1、https://blog.csdn.net/tagst/article/details/50214669#4-%E5%88%87%E6%AF%94%E9%9B%AA%E5%A4%AB%E8%B7%9D%E7%A6%BBchebyshev-distance 2018.3.30

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  • 常用的向量距离公式

    万次阅读 2020-03-22 18:53:27
    欧几里得度量(educlidean metric),指在m维空间中两点之间的真实距离,或者向量的自然长度,即该点到原点的距离。 import numpy as np dist = np.sqrt(np.sum(np.square(x-y))) #或者 from scipy.spatial....

    目录

     

    1、欧式距离

    2、曼哈顿距离

    3、切比雪夫距离

    4、马氏距离


    1、欧式距离

    欧几里得度量(educlidean metric),指在m维空间中两点之间的真实距离,或者向量的自然长度,即该点到原点的距离。

    d(x,y)=\sqrt{\sum _{i=1} ^{n} (x_{i}-y_{i})^2}

    import numpy as np
    dist = np.sqrt(np.sum(np.square(x-y)))
    
    #或者
    from scipy.spatial.distance import pdist
    dist = pdist(np.vstack([x,y]))

    2、曼哈顿距离

    Manhattan Distance,也称为城市街区距离(City Block distance)。如果把欧式距离理解成点到点的直线距离,那么曼哈顿距离就指的是两点之间的实际距离(不一定是直线)。

    d(x,y) = \sum_{i=1}^{n} |x_i - y_i|

    import numpy as np
    dist = np.sum(np.abs(x-y))
    
    #或者
    from scipy.spatial.distance import pdist
    dist = pdist(np.vstack([x,y]),'cityblock')

    3、切比雪夫距离

    (Chebyshev Distance)

    d(x,y) = \lim_{i\rightarrow \infty } (\sum_{i=1}^{n} |x_i - y_i|)^{\frac{1}{i}}

    import numpy as np
    dist = np.max(np.abs(x-y))
    
    #or
    from scipy.spatial.distance import pdist
    dist = pdist(np.vstack([x,y]),'chebyshev')

    4、马氏距离

    (Mahalanobis Distance)

    d(x,y)=\sqrt{(x_i-y_i)^T S^{-1}(x_i - y_i)},其中S为协方差矩阵。

    若协方差矩阵是单位矩阵,即各个样本向量之间独立同分布,则公式就变成了欧式距离:

    d(x,y) = \sqrt{(x_i - y_i)^T (x_i - y_i)}

    若协方差矩阵是对角矩阵,公式就变成了标准化欧式距离:

    d(x,y) = \sqrt{\sum_{i=1}^{n}(\frac{x_i - y_i}{S_i})^2}

    import numpy as np
    
    X = np.vstack([x,y])
    X_T = X.T
    S = np.cov(X)#两个维度之间协方差矩阵
    SI = np.linalg.inv(S)#协方差矩阵的逆矩阵
    n = XT.shape[0]#样本之间两两组合
    dist = []
    for i in range(0,n):
        for j in range(i+1,n):
            delta = X_T[i] - X_T[j]
            d = np.sqrt(np.dot(np.dot(delta,SI), delta.T))
            dist.append(d)
    
    #or
    from scipy.spatial.distance import pdist
    X = np.vstack([x,y])
    X_T = X.T
    dist = pdist(X_T,'mahalanobis')
    
    
    #标准化欧式距离
    
    si = np.var(np.vstack([x,y]), axis=0, ddof=1)
    dist = np.sqrt(((x-y) **2 /si).sum())
    #or
    dist = pdist(np.vstack([x,y]), 'seuclidean')

     

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