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  • 常用的向量距离公式

    千次阅读 2020-03-22 18:53:27
    欧几里得度量(educlidean metric),指在m维空间中两点之间的真实距离,或者向量的自然长度,即该点到原点的距离。 import numpy as np dist = np.sqrt(np.sum(np.square(x-y))) #或者 from scipy.spatial....

    目录

     

    1、欧式距离

    2、曼哈顿距离

    3、切比雪夫距离

    4、马氏距离


    1、欧式距离

    欧几里得度量(educlidean metric),指在m维空间中两点之间的真实距离,或者向量的自然长度,即该点到原点的距离。

    d(x,y)=\sqrt{\sum _{i=1} ^{n} (x_{i}-y_{i})^2}

    import numpy as np
    dist = np.sqrt(np.sum(np.square(x-y)))
    
    #或者
    from scipy.spatial.distance import pdist
    dist = pdist(np.vstack([x,y]))

    2、曼哈顿距离

    Manhattan Distance,也称为城市街区距离(City Block distance)。如果把欧式距离理解成点到点的直线距离,那么曼哈顿距离就指的是两点之间的实际距离(不一定是直线)。

    d(x,y) = \sum_{i=1}^{n} |x_i - y_i|

    import numpy as np
    dist = np.sum(np.abs(x-y))
    
    #或者
    from scipy.spatial.distance import pdist
    dist = pdist(np.vstack([x,y]),'cityblock')

    3、切比雪夫距离

    (Chebyshev Distance)

    d(x,y) = \lim_{i\rightarrow \infty } (\sum_{i=1}^{n} |x_i - y_i|)^{\frac{1}{i}}

    import numpy as np
    dist = np.max(np.abs(x-y))
    
    #or
    from scipy.spatial.distance import pdist
    dist = pdist(np.vstack([x,y]),'chebyshev')

    4、马氏距离

    (Mahalanobis Distance)

    d(x,y)=\sqrt{(x_i-y_i)^T S^{-1}(x_i - y_i)},其中S为协方差矩阵。

    若协方差矩阵是单位矩阵,即各个样本向量之间独立同分布,则公式就变成了欧式距离:

    d(x,y) = \sqrt{(x_i - y_i)^T (x_i - y_i)}

    若协方差矩阵是对角矩阵,公式就变成了标准化欧式距离:

    d(x,y) = \sqrt{\sum_{i=1}^{n}(\frac{x_i - y_i}{S_i})^2}

    import numpy as np
    
    X = np.vstack([x,y])
    X_T = X.T
    S = np.cov(X)#两个维度之间协方差矩阵
    SI = np.linalg.inv(S)#协方差矩阵的逆矩阵
    n = XT.shape[0]#样本之间两两组合
    dist = []
    for i in range(0,n):
        for j in range(i+1,n):
            delta = X_T[i] - X_T[j]
            d = np.sqrt(np.dot(np.dot(delta,SI), delta.T))
            dist.append(d)
    
    #or
    from scipy.spatial.distance import pdist
    X = np.vstack([x,y])
    X_T = X.T
    dist = pdist(X_T,'mahalanobis')
    
    
    #标准化欧式距离
    
    si = np.var(np.vstack([x,y]), axis=0, ddof=1)
    dist = np.sqrt(((x-y) **2 /si).sum())
    #or
    dist = pdist(np.vstack([x,y]), 'seuclidean')

     

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  • 2019_2020学年新教材高中数学第六章平面向量初步6.2.2直线上向量的坐标及其运算6.3.2两点间距离中点坐标公式向量平行课时作业新人教B版必修第二册
  • 数据点间距离公式

    千次阅读 2014-01-20 17:14:35
    令X=(x1,x2,..,xn)T,Y=(y1,y2,...yn)T为...相当于高维空间内向量说表示的到点之间的距离。 由于特征向量的各分量的量纲不一致,通常需要先对各分量进行标准化,使其与单位无关,比如对身高(cm)和体重(kg)个单

    X=(x1,x2,..,xn)T,Y=(y1,y2,...yn)T为两个输入向量,

     

    1.欧几里得距离(Euclidean distance)-EuclideanDistanceMeasure.

    Euclidean Distance

    相当于高维空间内向量说表示的点到点之间的距离。
    由于特征向量的各分量的量纲不一致,通常需要先对各分量进行标准化,使其与单位无关,比如对身高(cm)和体重(kg)两个单位不同的指标使用欧式距离可能使结果失效
    优点:简单,应用广泛(如果也算一个优点的话)
    缺点:没有考虑分量之间的相关性,体现单一特征的多个分量会干扰结果。


    2.马氏距离(Mahalanobis distance)-MahalanobisDistanceMeasure

    C=E[(X-X平均)(Y-Y平均)]为该类输入向量X的协方差矩阵.(T为转置符号,E取平均时是样本因此为n-1)

    适用场合:
    1)度量两个服从同一分布并且其协方差矩阵为C的随机变量X与Y的差异程度
    2)度量X与某一类的均值向量的差异程度,判别样本的归属。此时,Y为类均值向量.
    优点
    1)独立于分量量纲
    2)排除了样本之间的相关性影响。
    缺点:不同的特征不能差别对待,可能夸大弱特征。


    3.闵可夫斯基距离(Minkowsk distance)-MinkowskiDistanceMeasure(默认p=3)

    Minkowski Distance

    可看成是欧氏距离的指数推广,还没有见到过很好的应用实例,但通常,推广都是一种进步,特别的,

    当p=1,也成做曼哈顿距离,也称绝对距离,曼哈顿距离来源于城市区块距离,是将多个维度上的距离进行求和后的结果ManhattanDistanceMeasure.

    Manhattan Distance

    当q=∞时,称为切比雪夫距离ChebyshevDistanceMeasure 

    切比雪夫距离起源于国际象棋中国王的走法,我们知道国际象棋国王每次只能往周围的8格中走一步,那么如果要从棋盘中A格(x1, y1)走到B格(x2, y2)最少需要走几步?扩展到多维空间,其实切比雪夫距离就是当p趋向于无穷大时的明氏距离:

    Chebyshev Distance


    4.汉明距离(Hamming distance)-Mahout无

    在信息论中,两个等长字符串之间的汉明距离是两个字符串对应位置的不同字符的个数。换句话说,它就是将一个字符串变换成另外一个字符串所需要替换的字符个数。

        例如:

        1011101 与 1001001 之间的汉明距离是 2。
        2143896 与 2233796 之间的汉明距离是 3。
        "toned" 与 "roses" 之间的汉明距离是 3。


    5.Tanimoto系数(又称广义Jaccard系数)-TanimotoDistanceMeasure.

    通常应用于X为布尔向量,即各分量只取0或1的时候。此时,表示的是X,Y的公共特征的占X,Y所占有的特征的比例。


    5.Jaccard系数

    Jaccard系数主要用于计算符号度量或布尔值度量的个体间的相似度,因为个体的特征属性都是由符号度量或者布尔值标识,因此无法衡量差异具体值的大小,只能获得“是否相同”这个结果,所以Jaccard系数只关心个体间共同具有的特征是否一致这个问题。如果比较X与Y的Jaccard相似系数,只比较xn和yn中相同的个数,公式如下:


    Jaccard Coefficient


    7.皮尔逊相关系数(Pearson correlation coefficient)-PearsonCorrelationSimilarity

    即相关分析中的相关系数r,分别对X和Y基于自身总体标准化后计算空间向量的余弦夹角。公式如下:

    Pearson Correlation Coefficient


    8.余弦相似度(cosine similarity)-CosineDistanceMeasure

    Cosine Similarity

    就是两个向量之间的夹角的余弦值。

    余弦相似度用向量空间中两个向量夹角的余弦值作为衡量两个个体间差异的大小。相比距离度量,余弦相似度更加注重两个向量在方向上的差异,而非距离或长度上。

    优点:不受坐标轴旋转,放大缩小的影响。

    9.调整余弦相似度-Adjusted Cosine Similarity

    虽然余弦相似度对个体间存在的偏见可以进行一定的修正,但是因为只能分辨个体在维之间的差异,没法衡量每个维数值的差异,会导致这样一个情况:比如用户对内容评分,5分制,X和Y两个用户对两个内容的评分分别为(1,2)和(4,5),使用余弦相似度得出的结果是0.98,两者极为相似,但从评分上看X似乎不喜欢这2个内容,而Y比较喜欢,余弦相似度对数值的不敏感导致了结果的误差,需要修正这种不合理性,就出现了调整余弦相似度,即所有维度上的数值都减去一个均值,比如X和Y的评分均值都是3,那么调整后为(-2,-1)和(1,2),再用余弦相似度计算,得到-0.8,相似度为负值并且差异不小,但显然更加符合现实。

    调整余弦相似度和余弦相似度,皮尔逊相关系数在推荐系统中应用较多。在基于项目的推荐中,GroupLens有篇论文结果表明调整余弦相似度性能要优于后两者。

    10.基于权重的距离计算方法:

    WeightedDistanceMeasure、WeightedEuclideanDistanceMeasure 、 WeightedManhattanDistanceMeasure

    欧氏距离与余弦相似度

    借助三维坐标系来看下欧氏距离和余弦相似度的区别:

    distance and similarity

    根据欧氏距离和余弦相似度各自的计算方式和衡量特征,分别适用于不同的数据分析模型:欧氏距离能够体现个体数值特征的绝对差异,所以更多的用于需要从维度的数值大小中体现差异的分析,如使用用户行为指标分析用户价值的相似度或差异;而余弦相似度更多的是从方向上区分差异,而对绝对的数值不敏感,更多的用于使用用户对内容评分来区分用户兴趣的相似度和差异,同时修正了用户间可能存在的度量标准不统一的问题(因为余弦相似度对绝对数值不敏感)。

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  • 超平面的法向量距离公式

    千次阅读 2020-04-21 15:46:14
    文章目录1、超平面一般表示形式2、超平面的法向量3、到超平面的距离4、平行超平面之间的距离公式   1、超平面一般表示形式 在n维空间中,设任意点坐标为 xT=[x(1),x(2),...x(n)]T∈Rnx^T=[x^{(1)},x^{(2)},...x^...


    1、超平面一般表示形式

    在n维空间中,设任意点坐标为
    x = [ x ( 1 ) , x ( 2 ) , . . . x ( n ) ] T ∈ R n x=[x^{(1)},x^{(2)},...x^{(n)}]^T\in{R^n} x=[x(1),x(2),...x(n)]TRn

    设超平面参数
    w = [ w ( 1 ) , w ( 2 ) , . . . w ( n ) ] T ∈ R n w=[w^{(1)},w^{(2)},...w^{(n)}]^T\in{R^n} w=[w(1),w(2),...w(n)]TRn

    b ∈ R b\in{R} bR

    则超平面方程可表示为
    w T x + b = 0 (1) w^T x+b=0\tag{1} wTx+b=0(1)


    2、超平面的法向量

    超平面的法向量满足:超平面中任意向量都与该法向量垂直。设超平面上的两个点为 x 1 x_1 x1 x 2 x_2 x2,分别满足:
    w T x 1 + b = 0 (2) w^T x_1+b=0\tag{2} wTx1+b=0(2)

    w T x 2 + b = 0 (3) w^T x_2+b=0\tag{3} wTx2+b=0(3)

    两式相减,可得
    w T ( x 1 − x 2 ) = 0 (4) w^T (x_1-x_2)=0\tag{4} wT(x1x2)=0(4)

    v = ( x 1 − x 2 ) \bm{v}=(x_1-x_2) v=(x1x2),由于 x 1 x_1 x1 x 2 x_2 x2是任取的,故 v \bm{v} v 表示超平面上的任意向量。这时我们可以发现,式 ( 4 ) (4) (4)的含义恰好是:平面上任意一个向量都与 w w w 相互垂直,因此 w w w 就是超平面 w T x + b = 0 w^T x+b=0 wTx+b=0的一个法向量。


    3、点到超平面的距离

    记超平面外一点为 x 0 x_0 x0 ,记点 x 3 x_3 x3 在超平面 w T ⋅ x + b = 0 w^T\cdot x+b=0 wTx+b=0上的投影点为 x 0 ′ x_0' x0,满足:
    w T ⋅ x 0 ′ + b = 0 (5) w^T\cdot x_0'+b=0\tag{5} wTx0+b=0(5)

    则有向量 u = ( x 0 − x 0 ′ ) \bm{u}=(x_0-x_0') u=(x0x0) 与平面 w T x + b = 0 w^T x+b=0 wTx+b=0的法向量 w \bm{w} w互相平行,则两者的数量积:
    w T ( x 0 − x 0 ′ ) = w ⋅ ( x 0 − x 0 ′ ) = ∣ w ∣ ∗ ∣ x 0 − x 0 ′ ∣ ∗ c o s ( 0   o r   π ) = ± ∣ w ∣ ∗ d (6) w^T(x_0-x_0')=w\cdot (x_0-x_0')=|w|*|x_0-x_0'|*cos(0~or~\pi)=\pm|w|*d\tag{6} wT(x0x0)=w(x0x0)=wx0x0cos(0 or π)=±wd(6)

    其中 d = ∣ x 0 − x 0 ′ ∣ d=|x_0-x_0'| d=x0x0 即为待求的点到超平面间的距离。

    另一方面,根据式 ( 5 ) (5) (5)消去可得

    w T ( x 0 − x 0 ′ ) = w T x 0 − w T x 0 ′ = w T x 0 − ( − b ) = w T x 0 + b (7) w^T(x_0-x_0')=w^Tx_0-w^Tx_0'=w^Tx_0-(-b)=w^Tx_0+b\tag{7} wT(x0x0)=wTx0wTx0=wTx0(b)=wTx0+b(7)

    结合 ( 6 ) ( 7 ) (6)(7) (6)(7),考虑到 d ≥ 0 d\ge0 d0,可得
    d = ∣ w T x 0 + b ∣ ∣ w ∣ (8) d=\frac{|w^Tx_0+b|}{|w|}\tag{8} d=wwTx0+b(8)

    这里上式中的 ∣ w ∣ |w| w 表示 w w w 的模长,模长作为绝对值概念的推广,在欧式空间中,模长常常称为L2范数(也称为Euclidean范数或者Frobenius范数)
    ∣ ∣ w ∣ ∣ F = ( w ( 1 ) ) 2 + ( w ( 2 ) ) 2 + . . . + ( w ( n ) ) 2 ||w||_F=\sqrt{(w^{(1)})^2+(w^{(2)})^2+...+(w^{(n)})^2} wF=(w(1))2+(w(2))2+...+(w(n))2

    所以, d d d 的表达式即为:
    d = ∣ w T x 0 + b ∣ ∣ ∣ w ∣ ∣ F (9) d=\frac{|w^Tx_0+b|}{||w||_F}\tag{9} d=wFwTx0+b(9)

    这样来看,平面直角坐标系下的点到直线距离公式便是上式的一个特例。


    4、平行超平面之间的距离公式

    趁热打铁,继续推导平行超平面间的距离公式,设两个不重合的平行超平面分别为:
    w 1 T x + b 1 = 0 w_1^T x+b_1=0 w1Tx+b1=0

    w 2 T x + b 2 = 0 w_2^T x+b_2=0 w2Tx+b2=0

    由于两个超平面互相平行,因此由 2 2 2 中对法向量的讨论可知,两个超平面的法向量互相平行,我们取两个互相重合的法向量,即
    w = w 1 = w 2 w=w_1=w_2 w=w1=w2

    则可得
    w T x + b 1 = 0 (10) w^T x+b_1=0\tag{10} wTx+b1=0(10)

    w T x + b 2 = 0 (11) w^T x+b_2=0\tag{11} wTx+b2=0(11)

    P ( x 0 ) P(x_0) P(x0) 为平面1上的一个点,即满足:
    w T x 0 + b 1 = 0 (12) w^Tx_0+b_1=0\tag{12} wTx0+b1=0(12)

    则根据点到超平面的距离公式可得点 P ( x 0 ) P(x_0) P(x0) 到超平面2的距离 d d d 满足:
    d = ∣ w T x 0 + b 2 ∣ ∣ ∣ x 0 ∣ ∣ F = ∣ − b 1 + b 2 ∣ ∣ ∣ w ∣ ∣ F d=\frac{|w^Tx_0+b_2|}{||x_0||_F}=\frac{|-b_1+b_2|}{||w||_F} d=x0FwTx0+b2=wFb1+b2

    上式最后一步用到了式 ( 12 ) (12) (12)。最后我们得到了平行超平面之间的距离公式为
    d = ∣ b 2 − b 1 ∣ ∣ ∣ w ∣ ∣ F (13) d=\frac{|b_2-b_1|}{||w||_F}\tag{13} d=wFb2b1(13)

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  • 已知两点经纬度计算球面距离公式,一搜一大堆,形式如下: 可是至于这个公式为什么是这样的,今天推导了一下,详细推导过程如下。首先画个图(图1),要不然空间想象能力差的话容易犯糊涂。首先对图1做个大致的...

    已知两点经纬度计算球面距离的公式,一搜一大堆,形式如下:

    可是至于这个公式为什么是这样的,今天推导了一下,详细推导过程如下。首先画个图(图1),要不然空间想象能力差的话容易犯糊涂。首先对图1做个大致的说明,红色的半圆表示赤道,蓝色的圆弧表示本初子午线(也就是经度为0的子午线)。球最上方是北极点,点A和点B分别为要计算的两个点,坐标分别为A(jA,wA)和B(jB,wB)。

    图1 示意图

     

    再开始推导之前,我们需要在图中绘制一些辅助线,便于后面的描述和推导。如图1所示,A(jA,wA),B(jB,wB)两点分别为球面上的两点,坐标为经纬度表示。延A、B两点分别做垂直于赤道平面的垂线交赤道面为C、D两点。连接C、D两点,然后过A做CD的平行线交BD与点E。至此,所有的辅助线绘制完毕。假设地球为一个规则的圆球,半径为R(其实地球是一个椭球体,赤道的半径比极地的半径稍微大一点点)。

     

    第一步:确定已知条件,

     

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向量的两点间距离公式