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  • 向量的L2范数求导

    2020-12-23 13:02:49
    回归中最为基础的方法, 最小二乘法.\[\begin{align*...= \frac { 1 }{ 2 } { \left\| A\vec { x } -\vec { b } \right\| }^{ 2 }\quad \\\end{align*}\]向量范数定义\[\begin{align*}\vec x &= [x_1,\cdots,x_...

    回归中最为基础的方法, 最小二乘法.

    \[\begin{align*}

    J_{LS}{(\theta)} &= \frac { 1 }{ 2 } { \left\| A\vec { x } -\vec { b } \right\| }^{ 2 }\quad \\

    \end{align*}

    \]

    向量的范数定义

    \[\begin{align*}

    \vec x &= [x_1,\cdots,x_n]^{\rm T}\\

    \|\vec x\|_p &= \left( \sum_{i=1}^m{|x_i|^p}\right)^\frac{1}{p}, \space p

    \end{align*}

    \]

    \(L_2\)范数具体为

    \[\|\vec x\|_2 = (|x_1|^2 + \cdots+|x_m|^2)^{\frac{1}2} = \sqrt{\vec x ^{\rm T}\vec x }

    \]

    矩阵求导

    采用列向量形式定义的偏导算子称为列向量偏导算子, 习惯称为\(\color {red} {梯度算子}\), n x 1 列向量偏导算子即梯度算子记作 \(\nabla_x\), 定义为

    \[\nabla_x = \frac{\partial}{\partial x} = \left[ \frac{\partial}{\partial x_1}, \cdots, \frac{\partial}{\partial x_m}\right] ^{\rm T}

    \]

    如果\(\vec x 是一个n\times 1\text{的列向量}\), 那么

    \[\begin{eqnarray}

    \frac{\partial y x}{\partial x}=y^T \\

    \frac{\partial(x^TA x)}{\partial x}=(A+A^T)x \\

    \end{eqnarray}

    \]

    通过以上准备, 我们下面进行求解

    \[\begin{align*}

    \therefore \quad J_{LS}{(\theta)} &= \frac { 1 }{ 2 } { \left\| A{ x } -\vec { b } \right\| }^{ 2 } \\

    &= \frac{1}{2} (Ax-b)^T (Ax-b) \\

    &= \frac{1}{2} (x^TA^T-b^T)(Ax-b) \\

    &= \frac{1}{2}(x^TA^TAx-2b^TAx+b^Tb)

    \end{align*} \\

    \]

    需要注意的 b, x 都是列向量, 那么 \(b^T Ax\) 是个标量, 标量的转置等于自身, \(b^T Ax =x^TA^Tb\)

    对\(\vec x\)求导得:

    \[J_{LS}'{(\theta)}=A^TA x-A^Tb=A^T(Ax-b)

    \]

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  • 向量范数

    千次阅读 2019-03-20 15:15:55
    向量范数的定义: 具有“长度”概念的函数,是向量空间到实数的映射:Rn→RR^n\to RRn→R ,并满足一下三个性质: 1)正定性:∣∣x∣∣≥0,∣∣x∣∣=0iffx=0||x||\ge 0,\quad ||x||=0 \quad iff\quad x=0∣∣x∣...

    矩阵范数参考:矩阵范数矩阵范数推导

    向量范数的定义:

    具有“长度”概念的函数,是向量空间到实数的映射: R n → R R^n\to R RnR ,并满足一下三个性质:
    1)正定性: ∣ ∣ x ∣ ∣ ≥ 0 , ∣ ∣ x ∣ ∣ = 0 i f f x = 0 ||x||\ge 0,\quad ||x||=0 \quad iff\quad x=0 x0,x=0iffx=0 ;
    2)齐次性: ∣ ∣ c x ∣ ∣ = ∣ c ∣ ∣ ∣ x ∣ ∣ ||cx||=|c|| |x|| cx=cx;
    3)三角不等式: ∣ ∣ x + y ∣ ∣ ≤ ∣ ∣ x ∣ ∣ + ∣ ∣ y ∣ ∣ ||x+y||\le ||x||+||y|| x+yx+y

    l p l_p lp范数:

    ∣ ∣ x ∣ ∣ p = ( ∑ i = 1 N ∣ x i ∣ p ) 1 / p , p ∈ [ 1 , i n f ) ||x||_p = (\sum_{i=1}^N |x_i|^p)^{1/p}, \quad p\in[1,inf) xp=(i=1Nxip)1/p,p[1,inf)
    在p范数下定义的单位球(unit ball)都是凸集(convex set,简单地说,若集合A中任意两点的连线段上的点也在集合A中,则A是凸集),但是当0<p<1时,在该定义下的unit ball并不是凸集(注意:我们没说在该范数定义下,因为如前所述,0<p<1时,并不是范数).下图展示了p取不同值时unit ball的形状:
    在这里插入图片描述
    当0<p<1时,上面类似p范数的定义不能对任意两点满足三角不等式. 另外,常见的L0范数,即向量中非零元素的个数,也不满足三角不等式。

    常见Lp范数:

    1) l 0 l_0 l0 范数:向量中非零元素的的个数;
    2) l 1 l_1 l1 范数:向量元素绝对值之和,也就是曼哈顿距离;
    3) l 2 l_2 l2 范数:向量各元素平方和开根号,欧几里得距离;
    4) l ∞ l_\infty l范数:所有向量元素中绝对值中的最大值;
    5) l − ∞ l_{-\infty} l范数:所有向量元素中绝对值中的最小值;

    关于 l 1 l_1 l1 l 2 l_2 l2正则化:

    在这里插入图片描述
    从带约束条件的优化求解(拉格朗日乘子法)角度:

    以二维情况讨论,上图左边是 L2 正则化,右边是 L1 正则化。从另一个方面来看,满足正则化条件,实际上是求解蓝色区域与黄色区域的交点,即同时满足限定条件和目标函数最小化。对于 L2 来说,限定区域是圆,这样,得到的解 w1 或 w2 为 0 的概率很小,很大概率是非零的。

    对于 L1 来说,限定区域是正方形,方形与蓝色区域相交的交点是顶点的概率很大,这从视觉和常识上来看是很容易理解的。也就是说,方形的凸点会更接近最优解对应的位置,而凸点处必有 w1 或 w2 为 0。这样,得到的解 w1 或 w2 为零的概率就很大了。所以,L1 正则化的解具有稀疏性。

    扩展到高维,同样的道理,L2 的限定区域是平滑的,与中心点等距;而 L1 的限定区域是包含凸点的,尖锐的。这些凸点更接近的最优解位置,而在这些凸点上,很多 wj 为 0。

    从最大后验概率角度解释:

    L1正则化可通过假设权重w的先验分布为拉普拉斯分布,由最大后验概率估计导出。
    L2正则化可通过假设权重w的先验分布为高斯分布,由最大后验概率估计导出。
    参考资料:
    【1】https://blog.csdn.net/red_stone1/article/details/80755144 正则化
    【2】https://www.cnblogs.com/fstang/p/4197120.html 向量范数
    【3】https://www.cnblogs.com/wjgaas/p/4523779.html 先验概率、似然函数与后验概率
    【4】https://blog.csdn.net/m0_38045485/article/details/82147817 高斯先验和拉普拉斯先验

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  • 相关联的范数称为欧几里得范数。较早的文献称之为毕达哥拉斯度量。 在欧几里得空间中,点x=(x1,...,xn)x = (x_1,...,x_n)x=(x1​,...,xn​)和y=(y1,...,yn)y = (y_1,...,y_n)y=(y1​,...,yn​)之间的...
     
    

    又称为欧几里得距离,指的是欧几里得空间中两点间“普通”(即直线)距离。使用这个距离,欧氏空间成为度量空间。相关联的范数称为欧几里得范数。较早的文献称之为毕达哥拉斯度量

    欧几里得空间中,点 x = ( x 1 , . . . , x n ) x = (x_1,...,x_n) x=(x1,...,xn) y = ( y 1 , . . . , y n ) y = (y_1,...,y_n) y=(y1,...,yn)之间的欧氏距离为:
    d ( x , y ) : = ( x 1 − y 1 ) 2 + ( x 2 − y 2 ) 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + ( x n − y n ) 2 d(x,y):= \sqrt{(x_1-y_1)^2+(x_2-y_2)^2+\cdot\cdot\cdot+(x_n-y_n)^2} d(x,y)=(x1y1)2+(x2y2)2++(xnyn)2
    向量 x ⃗ \vec{x} x 的自然长度,即该点到原点的距离为
    ∣ ∣ x ⃗ ∣ ∣ 2 = ∣ x 1 ∣ 2 + ⋅ ⋅ ⋅ ∣ x n ∣ 2 ||\vec{x}||_2=\sqrt{|x_1|^2+\cdot\cdot\cdot|x_n|^2} x 2=x12+xn2
    它是一个纯数值。在欧几里得度量下,两点之间线段最短。

    • 范数(维基百科

      范数(norm),是具有“长度”概念的函数。

      • 1-范数:向量元素绝对值之和

      ∣ ∣ x ∣ ∣ 1 = ∑ i = 1 N ∣ x i ∣ ||x||_1 = \sum_{i=1}^{N}|x_i| x1=i=1Nxi

      • 2-范数:Euclid范数(欧几里得范数,常用计算向量长度),即向量元素绝对值的平方和再开方

      ∣ ∣ X ∣ ∣ 2 = ∑ i − 1 N x i 2 ||X||_2=\sqrt{\sum_{i-1}^{N}x_i^2} X2=i1Nxi2

      • + ∞ +\infty +范数:所有向量元素绝对值中的最大值

      ∣ ∣ X ∣ ∣ + ∞ = max ⁡ i ∣ x i ∣ ||X||_{+\infty} = \max_{i}|x_i| X+=imaxxi

      • − ∞ -\infty 范数:所有向量元素绝对值中的最小值

      ∣ ∣ X ∣ ∣ − ∞ = min ⁡ i ∣ x i ∣ ||X||_{-\infty} = \min_{i}|x_i| X=iminxi

      • p-范数:向量元素绝对值的p次方和的1/p次幂

      ∣ ∣ X ∣ ∣ p = ( ∑ i = 1 N ∣ x i ∣ p ) 1 p ||X||_p=(\sum_{i=1}^{N}|x_i|^p)^\frac{1}{p} Xp=(i=1Nxip)p1

    • 矩阵范数

      • 1-范数:列和范数,即所有矩阵列向量绝对值之和的最大值
      • 2-范数:谱范数,即A’A矩阵的最大特征值的开平方
      • ∞ \infty 范数:行和范数,即所有矩阵行向量绝对值之和的最大值
      • F-范数:Frobenius范数,即矩阵元素绝对值的平方和再开平方
      • 核范数:矩阵A的奇异值
    • Reference

    1. 0 范数、1 范数、2 范数有什么区别?
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  • 向量范数和矩阵范数

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    范数 范数(norm)是数学中的一种基本概念。在泛函分析中,它定义在赋范线性空间中,并满足一定的条件,即 ①非负性;②齐性;③三角不等式。...一、向量范数 总体公式 举例 先定义一个向量为: 1.1 ..
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  • 要更好的理解范数,就要从函数、几何与矩阵的角度去理解,我尽量讲的通俗一些。我们都知道,函数与几何图形往往是有对应的关系,这个很好想象,特别是在三维以下的空间内,函数是几何图像的数学概括,而几何图像是...
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    千次阅读 2015-04-05 14:39:38
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  • 向量范数和矩阵范数的定义

    千次阅读 2017-11-11 14:01:27
    Source: https://www.zhihu.com/question/20473040?utm_campaign=rss&utm_medium=rss&utm_source=rss&utm_content=title 向量范数 1-范数: ,即向量元素绝对值之和,...,Euclid范数(欧几里得范数,常用计算向量
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  • 常见向量范数和矩阵范数

    千次阅读 2018-04-17 21:01:57
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  • 手动完成它可能是最快的(虽然总有一些巧妙的技巧,有些帖子我没想到): In [75]: from numpy import random, array In [76]: from numpy.linalg import norm In ...45.8 us per loop 我试了几,这是我看到的最大的区别.
  • 向量和矩阵的范数整理

    千次阅读 2018-09-04 20:39:02
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    万次阅读 2016-11-03 17:17:22
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  • 在数学上,范数包括向量范数和矩阵范数向量范数表征向量空间中向量的大小,矩阵范数表征矩阵引起变化的大小。 范数就是距离,计算距离的方法不同,就产生了L0范数、L1范数等等。 在向量范数中: L0范数向量中非...

空空如也

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向量的二次范数