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  • 向量的内、外积及其几何含义

    万次阅读 2019-03-18 15:37:51
    一、向量的内积(点乘) 定义 概括地说,向量的内积(点乘/数量积)。对两个向量执行点乘运算,就是对这两个向量对应位一一相乘之后求和的操作,如下所示,对于向量a和向量b: a和b的点积公式为: 这里要求...

    一、向量的内积(点乘)

    定义

    概括地说,向量的内积(点乘/数量积)。对两个向量执行点乘运算,就是对这两个向量对应位一一相乘之后求和的操作,如下所示,对于向量a和向量b:

     

    a和b的点积公式为:

    这里要求一维向量a和向量b的行列数相同。注意:点乘的结果是一个标量(数量而不是向量)

    定义:两个向量ab的内积为 a·b = |a||b|cos∠(a, b),特别地,0·a =a·0 = 0;若ab是非零向量,则ab****正交的充要条件是a·b = 0。

    向量内积的性质:

    1. a^2 ≥ 0;当a^2 = 0时,必有a = 0. (正定性)
    2. a·b = b·a. (对称性)
    3. a + μbc = λa·c + μb·c,对任意实数λ, μ成立. (线性)
    4. cos∠(a,b) =a·b/(|a||b|).
    5. |a·b| ≤ |a||b|,等号只在ab共线时成立.

    向量内积的几何意义

    内积(点乘)的几何意义包括:

    1. 表征或计算两个向量之间的夹角
    2. b向量在a向量方向上的投影

    有公式:

    推导过程如下,首先看一下向量组成:

    定义向量c

    根据三角形余弦定理(这里a、b、c均为向量,下同)有:

    根据关系c=a-b有:

    即:

    a∙b=|a||b|cos⁡(θ)

    向量a,b的长度都是可以计算的已知量,从而有a和b间的夹角θ:

    θ=arccos⁡(a∙b|a||b|)

    进而可以进一步判断两个向量是否同一方向或正交(即垂直)等方向关系,具体对应关系为:

    a∙b>0→方向基本相同,夹角在0°到90°之间 
    a∙b=0→ 正交,相互垂直 
    a∙b<0→ 方向基本相反,夹角在90°到180°之间

    二、向量的外积(叉乘)

    定义

    概括地说,两个向量的外积,又叫叉乘、叉积向量积,其运算结果是一个向量而不是一个标量。并且两个向量的外积与这两个向量组成的坐标平面垂直。

    定义:向量ab的外积a×b是一个向量,其长度等于|a×b| = |a||b|sin∠(a,b),其方向正交于ab。并且,(a,b,a×b)构成右手系。 
    特别地,0×a = a×0 = 0.此外,对任意向量aa×a=0

    对于向量a和向量b:

    a和b的外积公式为:

    其中:

    根据i、j、k间关系,有:

    向量外积的性质

    1. a × b = -b × a. (反称性)
    2. a + μb) × c = λ(a ×c) + μ(b ×c). (线性)

    向量外积的几何意义

    在三维几何中,向量a和向量b的外积结果是一个向量,有个更通俗易懂的叫法是法向量,该向量垂直于a和b向量构成的平面。

    在3D图像学中,外积的概念非常有用,可以通过两个向量的外积,生成第三个垂直于a,b的法向量,从而构建X、Y、Z坐标系。如下图所示:

    在二维空间中,外积还有另外一个几何意义就是:|a×b|在数值上等于由向量a和向量b构成的平行四边形的面积。

     

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  • 今天在学习SVM算法的时候,涉及到了向量的运算,所以我在这里进行了整理。 首先我先对向量进行一下介绍: 向量是由n个实数组成的一个n行1列(n*1)或一个1行n列(1*n)的有序数组; 一、内积(向量点乘) 1.定义 ...


    今天在学习SVM算法的时候,涉及到了向量的运算,所以我在这里进行了整理。

    首先我先对向量进行一下介绍:
    向量是由n个实数组成的一个n行1列(n*1)或一个1行n列(1*n)的有序数组;

    一、内积(向量点乘)

    1.定义

    向量的点乘,也叫向量的内积、数量积,对两个向量执行点乘运算,就是对这两个向量对应位一一相乘之后求和的操作,点乘的结果是一个标量。

    具体点说,两个向量a与b的内积为 a·b = |a||b|cos∠(a, b),它是数量而不是向量。
    特别地,0·a =a·0 = 0;若a,b是非零向量,则a与b正交的充要条件是a·b = 0。
    在这里插入图片描述

    2.点乘

    比如说,给定向量a和向量b:

    在这里插入图片描述
    a和b的点积公式为:
    在这里插入图片描述
    可以是必须要求一维向量a和向量b的行列数相同才可以。

    3.点乘的几何意义

    点乘的几何意义是可以用来表征或计算两个向量之间的夹角,以及在b向量在a向量方向上的投影,有公式:
    在这里插入图片描述
    我们用一个图来具体看一下:
    在这里插入图片描述
    根据数学上的知识,我们可以知道: c=a-b
    我们来具体推导一下。
    根据数学中的三角形余弦定理可以得出:
    在这里插入图片描述
    然后上面又推出c=a-b,将c带入上面公式可得:
    在这里插入图片描述
    化简之后可以得出:
    在这里插入图片描述
    根据这个公式就可以计算向量a和向量b之间的夹角。从而就可以进一步判断这两个向量是否是同一方向,是否正交(也就是垂直)等方向关系,具体对应关系为:

     a·b>0    方向基本相同,夹角在0°到90°之间
    
     a·b=0    正交,相互垂直  
    
     a·b<0    方向基本相反,夹角在90°到180°之间
    

    4.基本性质

    • a^2 ≥ 0;当a^2 = 0时,必有a = 0. (正定性)
    • a·b = b·a.
    • (λa + μb)·c = λa·c + μb·c,对任意实数λ, μ成立. (线性)
    • cos∠(a,b) =a·b/(|a||b|).
    • |a·b| ≤ |a||b|,等号只在a与b共线时成立.

    余弦定理:在△ABC中,成立 c^2 = a^2 + b^2 - 2abcosC,如下图所示:
    在这里插入图片描述

    二、外积(叉乘、向量积)

    1.定义

    两个向量的叉乘,又叫向量积、外积、叉积,叉乘的运算结果是一个向量而不是一个标量。并且两个向量的叉积与这两个向量组成的坐标平面垂直。

    具体的来说,向量a与b的外积a×b是一个向量,其长度等于|a×b| = |a||b|sin∠(a,b),其方向正交于a与b。并且,(a,b,a×b)构成右手系。
    特别地,0×a = a×0 = 0.此外,对任意向量a,a×a=0。
    在这里插入图片描述

    2.叉乘公式

    给定两个向量a和b:
    在这里插入图片描述
    a和b的乘积公式为:
    在这里插入图片描述
    其中:
    在这里插入图片描述
    则根据i,j,k的关系可以得出:
    在这里插入图片描述

    3.外积的几何意义

    在二维空间上,a与b的外积在数值上等于以a,b为邻边的平行四边形的面积。
    正弦定理:a/sinA = b/sinB = c/sinC,如下图所示:
    在这里插入图片描述

    在三维几何中,向量a和向量b的叉乘结果是一个向量,更为熟知的叫法是法向量,该向量垂直于a和b向量构成的平面。

    在3D图像学中,叉乘的概念非常有用,可以通过两个向量的叉乘,生成第三个垂直于a,b的法向量,从而构建X、Y、Z坐标系。如下图所示:
    在这里插入图片描述

    4.基本性质

    • a × b = -b × a. (反衬性)
    • (λa + μb) × c = λ(a ×c) + μ(b ×c). (线性)

    本文参考自:https://blog.csdn.net/xuxinrk/article/details/80395746

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  • 在空间几何这一章的学习...本章节还需要学习向量及其线性运算,此知识点也是先由平面过度到空间的,这里我们需要知道向量的一些加减乘除运算,还有模的运算和方向角的运算,然后一个重点知识就是要分清数量和向量...
    f02dc23dae6dd5d8523636934f51fe5e.png5ca20ff88e5fc35b69973b230121a7c5.png

    在空间几何这一章的学习当中,首先需要建立空间直角坐标系,利用数形结合的方法,再者就是一些公式,空间内两点的距离公式,各个图形的标准形式的方程,本章节我们是从平面的图形方程过渡到空间里的图形方程,方便大家进行比较学习,本章节还需要学习向量及其线性运算,此知识点也是先由平面过度到空间的,这里我们需要知道向量的一些加减乘除运算,还有模的运算和方向角的运算,然后一个重点知识就是要分清数量积和向量积。本次的学霸笔记主要内容就是这些了,希望大家带着这些知识点继续下面的学习吧。

    一.空间直角、曲面、曲线

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    空间

    直角坐标系

    1. 点的坐标

    2. 直角坐标系

    3. 坐标轴

    4. 坐标面

    5. 八个卦限

    6. 点的投影

    7. 特殊的坐标

    1、点的坐标:在坐标系中用数字表示一个点的位置

    2、直角坐标系

    3、坐标轴:三条坐标轴分别为x,y,z

    4、做表面:三个做表面,x轴与y轴所在的平面,x轴与z轴所在的平面,y轴与z轴所在平面

    5、八个卦限

    6、点的投影:设M点是空间的一点,过点M做三个平面分别垂直于x轴,y轴,z轴并交x轴,y轴,z轴于点P、Q、R三点。点P、Q、R分别为点M在x轴,y轴,z轴上的投影

    7、特殊的坐标:(1)原点(0,0,0)(2)坐标轴上的点(3)坐标面上的点    

    曲面方程

    1. 曲面方程

    2. 柱面方程

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    1、曲面方程的概念:曲面是空间动点的轨迹

    2、柱面:椭圆柱面,双曲柱面,抛物柱面

    5c4f98564420235365d0043a63173ade.png

    空间曲线及其方程

    abf635b4cab89848c62b7222367fc979.png

    1、空间曲线的一般方程:空间曲线可以看作两张曲面的交线

    2、空间曲线的参数方程:将动点坐标x、y、z表示为t的函数

    3、空间曲线在坐标平面上的投影

    但是看了空间直角、曲面、曲线,同学们是不是觉得这也不是很困难呐?

    当然,这只是这一章的开始,接下来跟紧我的脚步,我们要更进一步啦。

    二.旋转曲面与二次曲面

    e2d40468cd87000bccbe012b549e6f75.png

    旋转

    曲面

    二次

    曲面

    d2000153bc485ca7cea1ed705c7a2445.png

    三.向量及其线性运算

    8f44f69bda5fa9d2c36f3d6cec08c283.png

    向量的

    线性

    运算

    向量的

    坐标

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    1、旋转曲面:由一条平面曲线绕其所在平面上的一条定直线旋转一周所形成的曲面成为旋转曲面

    2、二次曲面:我们将x、y、z的三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面

    3、二次曲面的几种类型:(1)椭圆锥面(2)椭球面(3)单叶双曲面(4)双叶双曲面(5)椭圆抛物面(6)双曲抛物面(7)旋转单叶双曲面(8)旋转双叶双曲面

    e8194157ddfa8c79e42610477c72704a.png

    以上的内容大家可能觉得标准方程太多记不住,其实大家只要结合平面的方程进行记忆就会容易很多,通过在二者之间找出相同点和不同点来进行记忆就会事半功倍。

    四.数量积与向量积

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    向量的

    数量积

    1.定义  2.性质 

    3.运算  4.坐标,运算

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    两向量的数量积

           1.定义

           2.性质

           3.运算

           4.坐标,运算

    80e2f578487665f2fb798c18f4d56ef3.png

    这部分的内容其实很容易,只需要结合高中所学习的内容进行学习就会很容易,并且在这里给大家的建议是几何中学习数学的重要办法是数形结合,通过画图来便于自己的理解。

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    江海大计算机

    编辑    马小宇

    图片    杨   阳

    文字    杨   阳

    审核    高鑫海

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  • 向量的表达形式 向量的运算与应用设均不是零向量. (1)数量积(内积、点积)及其应用. 1. 2.,由1,2.为两向量的夹角. 3. 4.称为a在b上的投影 (2)向量积(外积、叉积)及其应用. 1.其中用右手规则确定方向(转向角不超过pi),...

    本文使用 Zhihu On VSCode 创作并发布

    向量及其表达形式

    既有大小又有方向的量叫做向量.
    向量的表达形式

    向量的运算与应用

    均不是零向量.

    (1)数量积(内积、点积)及其应用.
    1.

    2.
    ,由1,2.
    为两向量的夹角.

    3.

    4.
    称为a在b上的投影

    (2)向量积(外积、叉积)及其应用.
    1.
    其中
    用右手规则确定方向(转向角不超过pi),
    为两向量夹角.

    2.

    (3)混合积及其应用.
    三向量共面.

    向量的方向角与方向余弦

    (1)向量

    轴正方向的夹角
    ,
    ,
    称为
    方向角.
    (2)
    ,
    ,
    称为向量
    方向余弦,且
    ,
    ,

    (3)
    称为向量
    的单位向量.

    (4)任意向量
    其中
    的方向余弦,
    的模,
    ,
    .

    公式证明以及性质推导:

    (1)向量积:

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    Image
    对于标准正交基
    ,有:

    通过叉乘的反对称性,有:

    (2)混合积(标量三重积)
    一般形式为:
    ,也可写作:
    .由于叉积计算优先级是高于点积的,因此这样也不会产生歧义.

    例题

    例1:在平行四边形ABCD中,设

    表示向量
    为平行四边形的交点.

    7893cd0b1cee362f5c056a6eb08f9490.png
    Image

    例2:求解以向量为元的线性方程组

    其中


    解得

    例3:已知点

    以及实数
    ,在直线
    上求点
    ,使

    由于


    所以
    所以

    例4:求证以

    三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.

    因为
    所以是等腰三角形.

    例5:在z轴上求与两点

    等距离的点.

    设该点为
    ,那么有:

    解得:

    例6:已知两点

    ,求与向量
    方向相同的单位向量
    .
    .

    例7:已知两点

    ,计算向量
    的模长,方向余弦,方向角.
    .

    例8:设点

    位于第一卦限,向经
    轴的夹角依次为
    ,且
    求点A的坐标.

    ,与
    轴夹角依次为:
    ,那么有:
    ,
    .
    .

    所以

    例9:设正方体的一条对角线为

    ,一条棱为
    ,且
    ,求
    方向上的投影
    .

    将正方体看做符合左手规则的空间直角坐标系,对角线的3个方向余弦相等,所以
    夹角
    的余弦值
    .

    例10:用向量证明三角形的余弦定理.

    e2c6fc2596358924fa744f0b836b1377.png
    Image

    设在
    中,

    要证

    ,那么有:
    .

    例11:已知三点

    ,求
    .
    .

    所以
    .

    例12:设

    ,计算
    .

    例13:已知三角形ABC的顶点分别是

    ,求三角形ABC的面积.
    .
    .

    例14:设刚体以等角速度

    轴旋转,计算刚体上一点M的线速度.

    d0c2804a86869f154022ad7b23c05209.png
    Image

    如图,用向量
    表示角速度,设M到旋转轴的距离为
    ,在l轴取一点O做向量
    轴夹角为
    .

    设线速度为向量
    ,由大小关系可知
    方向垂直于

    所以:
    .

    例15:已知

    四点共面,求点M的坐标
    所满足的关系.
    三向量共面
    .
    展开全文
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    2019-10-29 12:27:00
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    千次阅读 2015-12-11 18:33:03
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    2017-08-07 12:40:00
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空空如也

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向量的内积及其运算