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向量的内积和外积
2021-02-06 08:07:43一、向量的内积和几何意义 二、向量的外积和几何意义 一、向量的内积和几何意义(点乘) 对于向量a和向量b: 1、a和b的内积公式为: 要求一维向量a和向量b的行列数相同。 2、内积的几何意义 点乘...目录:
一、向量的内积和几何意义
二、向量的外积和几何意义
一、向量的内积和几何意义(点乘)
对于向量a和向量b:
1、a和b的内积公式为:
要求一维向量a和向量b的行列数相同。
2、内积的几何意义
点乘的几何意义是可以用来表征或计算两个向量之间的夹角,以及在b向量在a向量方向上的投影。
二、向量的外积和几何意义(叉乘)
两个向量的外积,又叫向量积、叉乘等。外积的运算结果是一个向量而不是一个标量。并且两个向量的叉积与这两个向量组成的坐标平面垂直。
对于向量a和向量b:
1、a和b的外积公式为:
其中:
根据i、j、k间关系,有:
2、叉乘几何意义在三维几何中,向量a和向量b的叉乘结果是一个向量,更为熟知的叫法是法向量,该向量垂直于a和b向量构成的平面。
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目录:
一、向量的内积和几何意义
二、向量的外积和几何意义
一、向量的内积和几何意义(点乘)
对于向量a和向量b:
1、a和b的内积公式为:
要求一维向量a和向量b的行列数相同。
2、内积的几何意义
点乘的几何意义是可以用来表征或计算两个向量之间的夹角,以及在b向量在a向量方向上的投影。
二、向量的外积和几何意义(叉乘)
两个向量的外积,又叫向量积、叉乘等。外积的运算结果是一个向量而不是一个标量。并且两个向量的叉积与这两个向量组成的坐标平面垂直。
对于向量a和向量b:
1、a和b的外积公式为:
其中:
根据i、j、k间关系,有:
2、叉乘几何意义在三维几何中,向量a和向量b的叉乘结果是一个向量,更为熟知的叫法是法向量,该向量垂直于a和b向量构成的平面。
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炫云:线性代数3——向量2(点积)
炫云:线性代数2——向量1(向量简介)
预备知识 矢量的叉乘
我们定义以下运算
为矢量混合积. 混合积满足的
这个公式可由图 1记忆.图 1:式 2 记忆法
图中箭头的方向由叉乘的方向(顺时针或逆时针)决定,与内积无关, 即.如果混合积的顺序取与箭头相反的方向, 根据叉乘的性质,需要在前面加上负号(叉乘不满足乘法交换律). 式 2与式 3互为相反数
注意即使将混合积省略括号记为或者
也应该理解为先叉乘后内积.
几何法证明没有定义, 因为矢量不能叉乘标量.
图 2:矢量混合积的几何意义
如图 2, 以三个矢量为棱作平行六面体. 可知就是
所在平行四边形的面积. 令
, 则
为平面的法向量, 平行六面体的高为
, 所以平行六面体的体积等于底面积乘以高
同理可得对于同一平行六面体
这里只证明了式 2的绝对值, 要证明正负号, 定义时
为负值即可.
代数法证明
预备知识 行列式
不难证明三矢矢积若展开成分量的形式,等于三个矢量组成的行列式
而利用行列式中任意两行置换符号改变,即可证明式 2. -
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