目录：

一、向量的内积和几何意义

二、向量的外积和几何意义

 

一、向量的内积和几何意义（点乘）

对于向量a和向量b：





1、a和b的内积公式为：

 



 

要求一维向量a和向量b的行列数相同。

2、内积的几何意义

点乘的几何意义是可以用来表征或计算两个向量之间的夹角，以及在b向量在a向量方向上的投影。

二、向量的外积和几何意义（叉乘）

两个向量的外积，又叫向量积、叉乘等。外积的运算结果是一个向量而不是一个标量。并且两个向量的叉积与这两个向量组成的坐标平面垂直。

对于向量a和向量b：



 

1、a和b的外积公式为：

 



 

其中：



 

根据i、j、k间关系，有：



 



2、叉乘几何意义

在三维几何中，向量a和向量b的叉乘结果是一个向量，更为熟知的叫法是法向量，该向量垂直于a和b向量构成的平面。

内积
向量的内积与矩阵的乘法差不多，如下式计算所示：

外积
而向量的外积就几乎与矩阵的运算没有关系了，如以下公式



在外积的运算过程中引入^，此符号叫做反对称符号，就是向量a ^是一个反对称矩阵。

本文主要讨论向量的内积和外积。
目录：
一、向量的内积和几何意义
二、向量的外积和几何意义
一、向量的内积和几何意义（点乘）
对于向量a和向量b：
1、a和b的内积公式为：
要求一维向量a和向量b的行列数相同。
2、内积的几何意义
点乘的几何意义是可以用来表征或计算两个向量之间的夹角，以及在b向量在a向量方向上的投影。
二、向量的外积和几何意义（叉乘）
两个向量的外积，又叫向量积、叉乘等。外积的运算结果是一个向量而不是一个标量。并且两个向量的叉积与这两个向量组成的坐标平面垂直。
对于向量a和向量b：
1、a和b的外积公式为：
其中：
根据i、j、k间关系，有：

2、叉乘几何意义
在三维几何中，向量a和向量b的叉乘结果是一个向量，更为熟知的叫法是法向量，该向量垂直于a和b向量构成的平面。
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炫云：线性代数4——向量3（叉积） 
炫云：线性代数3——向量2（点积） 
炫云：线性代数2——向量1（向量简介） 
预备知识　矢量的叉乘
　　 我们定义以下运算 

为矢量 
 的
混合积． 混合积满足 

这个公式可由图 1记忆． 

　　 图中箭头的方向由叉乘的方向（顺时针或逆时针）决定，与内积无关， 即 
．如果混合积的顺序取与箭头相反的方向， 根据叉乘的性质，需要在前面加上负号（叉乘不满足乘法交换律）． 式 2与式 3互为相反数 

　　 注意即使将混合积省略括号记为 
 或者 
 也应该理解为先叉乘后内积． 
 没有定义， 因为矢量不能叉乘标量． 
几何法证明

　　 如图 2， 以三个矢量为棱作平行六面体． 可知 
 就是 
 所在平行四边形的面积． 令 
， 则 
 为平面的法向量， 平行六面体的高为 
， 所以平行六面体的体积等于底面积乘以高 

同理可得对于同一平行六面体 

这里只证明了式 2的绝对值， 要证明正负号， 定义 
 时 
 为负值即可．
代数法证明
预备知识　行列式
　　 不难证明三矢矢积若展开成分量的形式，等于三个矢量组成的行列式 

而利用行列式中任意两行置换符号改变，即可证明式 2．