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  • matlab 矩阵加减乘除运算

    千次阅读 2020-07-14 09:51:19
    文章目录matlab 矩阵加减乘除运算1 加、减运算2 乘法**3.向量点积****4.向量叉乘****5.混合积****6.矩阵卷积和多项式乘法**7.反褶积(解卷)和多项式除法运算8.张量积**9 除法运算** matlab 矩阵加减乘除...

    matlab 矩阵加减乘除运算

    1 .加、减运算

    运算符:“+”和“-”分别为加、减运算符。
    运算规则:对应元素相加、减,即按线性代数中矩阵的“十”,“一”运算进行。

    2. 乘法

    运算符:*
    运算规则:按线性代数中矩阵乘法运算进行,即放在前面的矩阵的各行元素,分别与放
    在后面的矩阵的各列元素对应相乘并相加。

    3.向量点积

    函数 dot
    格式 C = dot(A,B) %若 A、B 为向量,则返回向量 A 与 B 的点积,A 与 B 长度
    相同;若为矩阵,则 A 与 B 有相同的维数。
    C = dot(A,B,dim) %在 dim 维数中给出 A 与 B 的点积

    >>X=[-1 0 2]>>Y=[-2 -1 1]; 
    >>Z=dot(X, Y) 
    则显示:Z = 
    4 
    还可用另一种算法:
    sum(X.*Y) 
    ans= 
     4 
    

    4.向量叉乘

    在数学上,两向量的叉乘是一个过两相交向量的交点且垂直于两向量所在平面的向量。
    在 Matlab 中,用函数 cross 实现。
    函数 cross
    格式 C = cross(A,B) %若 A、B 为向量,则返回 A 与 B 的叉乘,即 C=A×B,A、B
    必须是 3 个元素的向量;若 A、B 为矩阵,则返回一个 3×n
    矩阵,其中的列是 A 与 B 对应列的叉积,A、B 都是 3×n 矩
    阵。
    C = cross(A,B,dim) %在 dim 维数中给出向量 A 与 B 的叉积。A 和 B 必须具有
    相同的维数,size(A,dim)和 size(B,dim)必须是 3。 例 1-24 计算垂直于向量(1, 2, 3)和(4, 5, 6)的向量。

     >>a=[1 2 3]; 
     >>b=[4 5 6]; 
     >>c=cross(a,b) 
    结果显示:
     c= 
     -3 6 -3 
    可得垂直于向量(1, 2, 3)(4, 5, 6)的向量为±(-3, 6, -3) 
    

    5.混合积

    混合积由以上两函数实现:

    计算向量 a=(1, 2, 3)、b=(4, 5, 6)和 c=(-3, 6, -3) 的混合积a ⋅(b ×c)
    解:

    >>a=[1 2 3]; b=[4 5 6]; c=[-3 6 -3]; 
    >>x=dot(a, cross(b, c)) 
    结果显示:x = 
     54 
    注意:先叉乘后点乘,顺序不可颠倒。
    

    6.矩阵的卷积和多项式乘法

    函数 conv
    格式 w = conv(u,v) %u、v 为向量,其长度可不相同。
    说明 长度为 m 的向量序列 u 和长度为 n 的向量序列 v 的卷积(Convolution)定义为:
    ∑= = + − kj 1 w (k) u(j) v(k 1 j) 式中:w 向量序列的长度为(m+n-1),当 m=n 时,
    w(1) = u(1)*v(1)
    w(2) = u(1)*v(2)+u(2)*v(1)
    w(3) = u(1)*v(3)+u(2)*v(2)+u(3)*v(1)

    w(n) = u(1)*v(n)+u(2)*v(n-1)+ … +u(n)v(1)

    w(2
    n-1) = u(n)*v(n)

    7.反褶积(解卷)和多项式除法运算

    函数 deconv
    格式 [q,r] = deconv(v,u) %多项式 v 除以多项式 u,返回商多项式 q 和余多项式 r。
    注意:v、u、q、r 都是按降幂排列的多项式系数向量。

    8.张量积

    函数 kron
    格式 C=kron (A,B) %A 为 m×n 矩阵,B 为 p×q 矩阵,则 C 为 mp×nq 矩阵。

    9. 除法运算

    Matlab 提供了两种除法运算:左除(\)和右除(/)。一般情况下,x=a\b 是方程 ax =b
    的解,而 x=b/a 是方程 x
    a=b 的解。

    例:a=[1 2 3; 4 2 6; 7 4 9] 
    b=[4; 1; 2]; 
    x=a\b 
    则显示:x= 
    -1.5000 
     2.0000 
    0.5000 
    如果 a 为非奇异矩阵,则 a\b 和 b/a 可通过 a 的逆矩阵与 b 阵得到:
     a\b = inv(a)*b 
     b/a = b*inv(a) 
    

    数组除法:
    A./B 表示 A 中元素与 B 中元素对应相除

    资料整理来源:[MATLAB6.0数学手册].蒲俊.吉家锋.伊良忠

    展开全文
  • 那么,材质节点的加减乘除你都懂吗?01加1. 一维向量+一维向量=一维向量0.3+0.2=0.52. 一维向量+二维/三维向量=二维/三维向量0.2+(0.3,03,0.3)=(0.2,0.2,0.2)+(0.3,0.3,0.3)=(0.5,0.5,0.5)02乘5*0.1=0.5...
    209c27808569b7ab5a0a309faebe2e88.png

    UE4材质是很重要的一个模块,对材质如果能从较深层理解其原理及各节点的应用,会在项目中起到事半功倍的效果。那么,材质节点的加减乘除你都懂吗?

    01

    1. 一维向量+一维向量=一维向量

    3fbea1091652159cc6b145ffc7c308be.gif27798125c44daede9c94373e65114290.png

    0.3+0.2=0.5

    2. 一维向量+二维/三维向量=二维/三维向量

    97c60b250222012bc1d0587ead94a475.giffa963d58137d987ccbe407d9410bf388.png

    0.2+(0.3,03,0.3)

    =(0.2,0.2,0.2)+(0.3,0.3,0.3)

    =(0.5,0.5,0.5)

    02

    8c9dc873a7690aeda6d04d6b136e0f79.gif2490390203502354e7fa5fd4d5f64745.png

    5*0.1=0.5

    39e77fcd1995950eb6c440e26da96091.gifc556287ed934f9a7c7c99cc0f47c4491.png

    5*(0.1,0.1,0.1)

    =(5*0.1,5*0.1,5*0.1)=(0.5,0.5,0.5)

    03

    ce5a7b991b4e36165472a1eb4fd44249.gif888927c3448b4038df6dbeae0723ac0c.png

    5-4.5=0.5

    04

    375f3b8f4bfdae4b3995dca22d36c679.gif21afbd7aec426da29bc419b3b3d2f03a.png

    5/10=0.5

    05

    扩展    *2-1?

    如果对一个贴图进行乘2减1的操作会有什么效果呢?

    b3212dcbe306c038d53ca5d87fd3647c.gif1dba1a932b61e8a26a15f52bcde823ee.png

    通过对纹理坐标(渐变的)提取通道,对其进行乘2减1的运算操作。

    开始是[0,1]区间,乘2操作后变成[0,2]区间。

    减1运算后,[-1,1]区间。

    就得到了上图的效果。

    随意取一张噪波进行乘2减1的操作会得到什么效果呢?

    77bc98b18ec022367f6c8b2b56bea70c.gif77534fb220243a914e2d15d27e5452b0.png

    tips:最后需要使用Saturate以保证黑色区域不为负。

    总结:*2-1

    剔除图像上小于等于0.5的亮度部分,整体亮度降低,最高亮度(1)部分保持不变。

    上述知识点采集于:

    d471bae25c75f2739c66fcde590d9cac.png

    www.aboutcg.org/courseDetails/926/introduce

    两套新上架UE4教程:

    86239dd4aa12cc3b3f8a45fd187a5b00.png2e4503cebe7c3bcddf5714b2c5e47db5.png

    www.aboutcg.org/courseDetails/970/introduce

    e95057ecd2cb6f7b9061a381488aac74.png

    www.aboutcg.org/courseDetails/967/introduce

    “在看”我吗?

    209c27808569b7ab5a0a309faebe2e88.png
    展开全文
  • 熟悉复数几种表达方式及其加减乘除运算规则;掌握正弦量相量表示法、相量性能及其运算方法;掌握复阻抗和复导纳概念;学会用相量图进行正弦量辅助分析;正确理解正弦交流电路中几种功率分析
  • 文章目录矩阵合并删除行、列:(赋予空矩阵/数组)共轭转置矩阵的加减乘除运算矩阵乘法除法矩阵元素的查找,排序,求和,求积,差分矩阵元素的查找矩阵元素排序:向量元素排序矩阵元素求和矩阵元素求积矩阵元素差...

    矩阵合并

    a=zeros(2,3)
    b=ones(2,4)
    c=7:9
    d=[a b] % 水平合并,行数相同
    e=[a;c] % 垂直合并,列数相同
    
    a =
         0     0     0
         0     0     0
    b =
         1     1     1     1
         1     1     1     1
    c =
         7     8     9
    d =
         0     0     0     1     1     1     1
         0     0     0     1     1     1     1
    e =
         0     0     0
         0     0     0
         7     8     9
    >> 
    

    删除行、列:(赋予空矩阵/数组)

    a=magic(4)
    a(3,:)=[]
    a(3,:)
    
    a =
        16     2     3    13
         5    11    10     8
         9     7     6    12
         4    14    15     1
    a =
        16     2     3    13
         5    11    10     8
         4    14    15     1
    ans =
         4    14    15     1
    >> 
    

    共轭转置

    a=[2i-5 3i+1;8 5i]
    b=a' % 共轭转置
    c=conj(a') % 只转置
    d= a.' % 只转置
    
    a =
      -5.0000 + 2.0000i   1.0000 + 3.0000i
       8.0000 + 0.0000i   0.0000 + 5.0000i
    b =
      -5.0000 - 2.0000i   8.0000 + 0.0000i
       1.0000 - 3.0000i   0.0000 - 5.0000i
    c =
      -5.0000 + 2.0000i   8.0000 + 0.0000i
       1.0000 + 3.0000i   0.0000 + 5.0000i
    d =
      -5.0000 + 2.0000i   8.0000 + 0.0000i
       1.0000 + 3.0000i   0.0000 + 5.0000i
    >> 
    

    矩阵加减法需要维度相同,但可以和标量运算
    单个数在matlab中是以标量形式存储的

    >> a=magic(3)
    a =
         8     1     6
         3     5     7
         4     9     2
    >> a+2
    ans =
        10     3     8
         5     7     9
         6    11     4
    

    矩阵的加减乘除幂运算

    矩阵乘法除法

    乘法只要AB满足线代的可乘条件就行

    除法则比较复杂,有左除右除两种

    a=magic(3)
    b=pascal(3)
    c=a/b % 要求a,b列数相同(c*b=a,a是被除数,b是除数)
    d=a\b % 要求a, b行数相同 (a*d=b,b是被除数,a是除数)
    
    a =
         8     1     6
         3     5     7
         4     9     2
    b =
         1     1     1
         1     2     3
         1     3     6
    c =
        27   -31    12
         1     2     0
       -13    29   -12
    d =
        0.0667    0.0500    0.0972
        0.0667    0.3000    0.6389
        0.0667    0.0500   -0.0694
    >> c*b
    ans =
         8     1     6
         3     5     7
         4     9     2
    >> a*d
    ans =
        1.0000    1.0000    1.0000
        1.0000    2.0000    3.0000
        1.0000    3.0000    6.0000
    >> 
    

    乘方:

    a=pascal(3)   % 对称正定,元素为pascal三角,逆矩阵的元素均为整数
    b=a^2
    c=a*a
    
    a =
         1     1     1
         1     2     3
         1     3     6
    b =
         3     6    10
         6    14    25
        10    25    46
    c =
         3     6    10
         6    14    25
        10    25    46
    >> 
    

    矩阵元素的查找,排序,求和,求积,差分

    矩阵元素的查找

    a=pascal(3)   % 对称正定,元素为pascal三角,逆矩阵的元素均为整数
    b=find(a)  % 返回矩阵a中非零元素的单下标
    c=find(a>5)
    a(find(a==1))=10
    
    a =
         1     1     1
         1     2     3
         1     3     6
    b =
         1
         2
         3
         4
         5
         6
         7
         8
         9
    c =
         9
    a =
        10    10    10
        10     2     3
        10     3     6
    >> 
    

    矩阵元素排序:

    a=magic(3)   
    b=sort(a)  % 按列升序排序
    c=sort(a,2) % 按行升序排序
    d=sort(a,'descend') % 按列降序排序
    e=sort(a,2,'descend') % 按行降序排序
    
    a =
         8     1     6
         3     5     7
         4     9     2
    b =
         3     1     2
         4     5     6
         8     9     7
    c =
         1     6     8
         3     5     7
         2     4     9
    d =
         8     9     7
         4     5     6
         3     1     2
    e =
         8     6     1
         7     5     3
         9     4     2
    >> 
    

    向量元素排序

    a=[2 34 5 7 1 3 7 45]
    b=sort(a) % 升序
    
    a =
         2    34     5     7     1     3     7    45
    b =
         1     2     3     5     7     7    34    45
    >> 
    

    矩阵元素求和

    a=magic(3)
    b=sum(a) % 每列求和
    c=sum(a,2)  % 每行求和
    d=cumsum(a)  % 按列递次求和
    e=cumsum(a,2)
    f=sum(sum(a))  % 所有元素求和
    
    a =
         8     1     6
         3     5     7
         4     9     2
    b =
        15    15    15
    c =
        15
        15
        15
    d =
         8     1     6
        11     6    13
        15    15    15
    e =
         8     9    15
         3     8    15
         4    13    15
    f =
        45
    >> 
    

    矩阵元素求积

    a=magic(3)
    b=prod(a) % 每列求积
    c=prod(a,2)  % 每行求积
    d=cumprod(a)  % 按列递次求积
    e=cumprod(a,2)
    
    a =
         8     1     6
         3     5     7
         4     9     2
    b =
        96    45    84
    c =
        48
       105
        72
    d =
         8     1     6
        24     5    42
        96    45    84
    e =
         8     8    48
         3    15   105
         4    36    72
    >> 
    

    矩阵元素差分

    a=magic(3)
    b=diff(a) % 各列差分,大行号减小行号,同diff(a,1,1)
    c=diff(a,2)% 二阶列差分,即对一阶差分再进行一阶差分运算,相当于diff(b)
    d=diff(a,1,2) % 各行差分
    
    a =
         8     1     6
         3     5     7
         4     9     2
    b =
        -5     4     1
         1     4    -5
    c =
         6     0    -6
    d =
        -7     5
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  • 一、矩阵的加减乘除

    千次阅读 2019-03-31 17:51:39
    矩阵也存在加减乘除 矩阵就是填满数字表格,一般用大写字母表示,关于矩阵很重要一点是,它不是一个自然概念,它是数值一种表示方法,矩阵的运算也是人为约定(人造规则,完全可以采用不同方法) 假设...

    矩阵也存在加减乘除

    矩阵就是填满数字的表格,一般用大写字母表示,关于矩阵很重要的一点是,它不是一个自然的概念,它是数值的一种表示方法,矩阵的运算也是人为约定的(人造的规则,完全可以采用不同的方法)

    假设:

    $$ A = \left[ \begin {matrix} a & b \\ c & d \end {matrix} \right] $$ ,$$ B = \left[ \begin {matrix} e & f \\ g & h \end {matrix} \right] $$$$ C = \left[ \begin {matrix} i & j & k \\ l & m & n \end {matrix} \right] $$$$ D = \left[ \begin {matrix} o & p \\ q & r \\ s & t \end {matrix} \right] $$

    矩阵加法

    $$ A + B = \left[ \begin {matrix} a+e & b+f \\ c+g & d+h \end {matrix} \right] $$

    注:同位置相加,所以 A 无法加 C

    矩阵减法

    标量与矩阵相乘

    $$ a \cdot B = a \cdot \left[ \begin {matrix} e & f \\ g & h \end {matrix} \right] = \left[ \begin {matrix} a \cdot e & a \cdot f \\ a \cdot g & a \cdot h \end {matrix} \right] $$

    所以

    $$ A - B = A + (-1) \cdot B = \left[ \begin {matrix} a & b \\ c & d \end {matrix} \right] + \left[ \begin {matrix} -e & -f \\ -g & -h \end {matrix} \right] = \left[ \begin {matrix} a-e & b-f \\ c-g & d-h \end {matrix} \right]$$

    矩阵乘法

    其实是行向量与列向量的点积

    $$ A \cdot B = \left[ \begin {matrix} a \cdot e + b \cdot g & a \cdot f + b \cdot h \\ c \cdot e + d \cdot g & c \cdot f + d \cdot h \end {matrix} \right] $$

    矩阵除法

    方阵:行和列相同的矩阵称为方阵,A和B都可以称为方阵

    对角矩阵:除反对角线外,其它数据都为0的方阵,称为对角矩阵,例如:

    $$E=\left[\begin{matrix}3 & 0\\0 & 2\end{matrix}\right] \qquad or \qquad F=\left[\begin{matrix}2 & 0 & 0\\0 & 5 & 0\\0 & 0 & 3\end{matrix}\right]$$

    单位矩阵:反对角线的数据全为1的对角矩阵,称为单位矩阵,例如:

    $$I=\left[\begin{matrix}1 & 0\\0 & 1\end{matrix}\right] \qquad or \qquad I^{'}=\left[\begin{matrix}1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{matrix}\right]$$

    注:单位矩阵I与方阵A有个属性,I·A=A,A·I=A

    常规数学中,

    $$\frac{1}{a} \cdot a = 1$$

    矩阵中,也存在类似的式子,

    A^{-1} \cdot A = I

    其中,A^{-1}为矩阵A的逆矩阵,矩阵世界中,单位元是单位矩阵

    求矩阵的逆矩阵,就是矩阵除法

    2x2矩阵的逆矩阵

    假设

    A=\left[\begin{matrix}a & b\\c & d\end{matrix}\right]

    矩阵A的行列式为:

    \left | A \right | = ad-bc

    矩阵A的逆矩阵为:

    A^{-1}=\frac{1}{\left | A \right |} \left [ \begin {matrix} d & -b \\ -c & a \end {matrix} \right ] = \frac{1}{ad - bc} \left [ \begin {matrix} d & -b \\ -c & a \end {matrix} \right ]

    3x3矩阵的逆矩阵-方法1

    求解过程较复杂,主要步骤为:

    1. 从矩阵A求余子式

    2. 从余子式求代数余子式

    3. 从代数余子式求伴随矩阵

    4. 从矩阵A或矩阵A和代数余子式求矩阵A的行列式

    5. 从矩阵A的行列式和伴随矩阵求矩阵A的逆矩阵

    下面为详细步骤:

    假设

    A = \left [ \begin{matrix} 1 & 0 & 1\\ 0 & 2 & 1\\ 1 & 1 & 1 \end{matrix} \right ]

    1. 从矩阵A求余子式,等于矩阵A去掉某一数字元素所在的行和列后,剩余的数字元素形成的2x2矩阵的行列式:

    matrix \ of \ minors = \begin{bmatrix} \begin{vmatrix} 2 & 1\\ 1 & 1 \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} 0 & 1\\ 1 & 1 \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} 0 & 2\\ 1 & 1 \end{vmatrix}\\ \begin{vmatrix} 0 & 1\\ 1 & 1 \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} 1 & 1\\ 1 & 1 \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} 1 & 0\\ 1 & 1 \end{vmatrix}\\ \begin{vmatrix} 0 & 1\\ 2 & 1 \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} 1 & 1\\ 0 & 1 \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} 1 & 0\\ 0 & 2 \end{vmatrix} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -1 & -2\\ -1 & 0 & 1\\ -2 & 1 & 2 \end{bmatrix}

    2. 从余子式求代数余子式,等于余子式与符号矩阵对应元素相乘,注意,不是行向量与列向量的点积:

    符号矩阵固定为:

    \begin{bmatrix} +1 & -1 & +1\\ -1 & +1 & -1\\ +1 & -1 & +1 \end{bmatrix}

    因此,代数余子式cofactors为:

    cofactors = \begin{bmatrix} 1*(+1) & (-1)*(-1) & (-2)*1\\ (-1)*(-1) & 0*1 & 1*(-1)\\ (-2)*1 & 1*(-1) & 2*1 \end{bmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 1 & -2\\ 1 & 0 & -1\\ -2 & -1 & 2 \end{vmatrix}

    3. 从代数余子式求伴随矩阵,等于代数余子式沿反对角线转置,也就是行和列进行转换:

    adjugate = \begin{bmatrix} 1 & 1 & -2\\ 1 & 0 & -1\\ -2 & -1 & 2 \end{bmatrix}

    4. 从矩阵A和伴随矩阵求矩阵A的行列式,等于矩阵A中任意一行的元素与伴随矩阵相应行的元素,相乘然后相加:

    假设我们选取矩阵A中的第二行元素,相应的,也会选取伴随矩阵中的第二行元素,

    \left | A \right | = 0*1 \ + \ 2*0 \ + \ 1*(-1) = -1

    5. 从矩阵A的行列式和伴随矩阵求矩阵A的逆矩阵,等于1除以矩阵A的行列式,然后再乘以伴随矩阵:

    A^{-1} = \frac{1}{\left | A \right |}\cdot adjugate = \begin{bmatrix} -1 & -1 & 2\\ -1 & 0 & 1\\ 2 & 1 & -2 \end{bmatrix}

    3x3矩阵的逆矩阵-方法2

    该方法称为高斯消去法(Gauss-Jordan elimination,查看证明过程),主要步骤为:

    1. 增广原矩阵

    2. 基础行运算

    下面为详细步骤:

    假设

    A=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1\\ 0 & 2 & 1\\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}

    1. 增广原矩阵,等于在原矩阵的右侧增加一个同等大小的单位矩阵:

    augment \quad A = \left [ \begin{matrix} 1 & 0 & 1\\ 0 & 2 & 1\\ 1 & 1 & 1 \end{matrix} \left | \begin{matrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right ]

    2. 基础行运算,等于原始矩阵执行一堆行运算,相应的,在单位矩阵执行相同的行运算,直到原始矩阵变成单位矩阵,此时,原始单位矩阵就变成了原始矩阵的逆矩阵;行运算--行可以由原始行乘以任意数字来代替,也可以对任意两行进行交换,还可以用其他行加上或减去某一行,然后用结果代替原始行;下面开始基础行运算:

    第三行减去第一行,然后用结果代替第三行,增广矩阵变为:

    \left [ \begin{matrix} 1 & 0 & 1\\ 0 & 2 & 1\\ 0 & 1 & 0 \end{matrix} \left | \begin{matrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ -1 & 0 & 1 \end{matrix} \right ]

    第三行与第二行进行交换:

    \left [ \begin{matrix} 1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 2 & 1 \end{matrix} \left | \begin{matrix} 1 & 0 & 0\\ -1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0 \end{matrix} \right ]

    第三行减去(第二行乘以2),然后用结果代替第三行:

    \left [ \begin{matrix} 1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \left | \begin{matrix} 1 & 0 & 0\\ -1 & 0 & 1\\ 2 & 1 & -2 \end{matrix} \right ]

    第一行减去第三行,然后用结果代替第一行:

    \left [ \begin{matrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \left | \begin{matrix} -1 & -1 & 2\\ -1 & 0 & 1\\ 2 & 1 & -2 \end{matrix} \right ]

    此时,增广矩阵的左侧已经变成了单位矩阵,那么,增广矩阵的右侧就是原始矩阵的逆矩阵

    注:高斯消去法也可以用来求解2x2矩阵的逆矩阵

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空空如也

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向量的加减乘除运算