精华内容
下载资源
问答
  • 向量的三重积公式是经常会在向量代数中使用到的恒等式,它的表达形式如下所示:a⃗×(b⃗×c⃗)=(a⃗⋅c⃗)b⃗−(a⃗⋅b⃗)c⃗\vec{a}\times\left(\vec{b}\times\vec{c}\right) = \left(\vec{a}\cdot\vec{c}\right)\...

    向量的三重积公式是经常会在向量代数中使用到的恒等式,它的表达形式如下所示: a ⃗ × ( b ⃗ × c ⃗ ) = ( a ⃗ ⋅ c ⃗ ) b ⃗ − ( a ⃗ ⋅ b ⃗ ) c ⃗ \vec{a}\times\left(\vec{b}\times\vec{c}\right) = \left(\vec{a}\cdot\vec{c}\right)\vec{b}-\left(\vec{a}\cdot\vec{b}\right)\vec{c} a ×(b ×c )=(a c )b (a b )c

    我们可以使用以下python代码来进行证明(我们对上式稍微变形一下证明这个恒等式即可) a ⃗ × ( b ⃗ × c ⃗ ) − ( a ⃗ ⋅ c ⃗ ) b ⃗ + ( a ⃗ ⋅ b ⃗ ) c ⃗ = 0 \vec{a}\times\left(\vec{b}\times\vec{c}\right) - \left(\vec{a}\cdot\vec{c}\right)\vec{b}+\left(\vec{a}\cdot\vec{b}\right)\vec{c}=0 a ×(b ×c )(a c )b +(a b )c =0

    import sympy as sym
    from sympy import sin,cos,diff
    
    x_a,y_a,z_a,x_b,y_b,z_b,x_c,y_c,z_c = sym.symbols('x_a,y_a,z_a,x_b,y_b,z_b,x_c,y_c,z_c')
    a = sym.Matrix([x_a,y_a,z_a])
    b = sym.Matrix([x_b,y_b,z_b])
    c = sym.Matrix([x_c,y_c,z_c])
    
    A = a.cross(b.cross(c))
    B = a.dot(c)*b
    C = a.dot(b)*c
    
    print(sym.simplify(A-B+C))
    

    输出的结果为:
    在这里插入图片描述
    可见,这个恒等式是成立的。
    当然,我们也可以手动计算,计算量稍微大一点,需要耐心和仔细。

    利用三重积公式,我们可以得到另外一个有趣的恒等式,即:
    a ⃗ × ( b ⃗ × c ⃗ ) + b ⃗ × ( c ⃗ × a ⃗ ) + c ⃗ × ( a ⃗ × b ⃗ ) = 0 \vec{a}\times\left(\vec{b}\times\vec{c}\right) + \vec{b}\times\left(\vec{c}\times\vec{a}\right) + \vec{c}\times\left(\vec{a}\times\vec{b}\right) = 0 a ×(b ×c )+b ×(c ×a )+c ×(a ×b )=0

    我们也可以直接使用python程序进行证明:

    import sympy as sym
    from sympy import sin,cos,diff
    
    x_a,y_a,z_a,x_b,y_b,z_b,x_c,y_c,z_c = sym.symbols('x_a,y_a,z_a,x_b,y_b,z_b,x_c,y_c,z_c')
    a = sym.Matrix([x_a,y_a,z_a])
    b = sym.Matrix([x_b,y_b,z_b])
    c = sym.Matrix([x_c,y_c,z_c])
    
    A = a.cross(b.cross(c))
    B = b.cross(c.cross(a))
    C = c.cross(a.cross(b))
    
    print(sym.simplify(A+B+C))
    

    输出的结果为:
    在这里插入图片描述
    可见,这个恒等式是成立的。
    当然,我们也可以手动计算,直接利用三重积公式展开然后合并同类项即可。

    展开全文
  • 数学----向量积公式推导

    万次阅读 多人点赞 2019-03-10 09:52:01
    向量的点有两种形式的定义,代数定义和几何定义。 一 几何定义: 向量:a·b=|a||b|cosα 注意:该定义只对2维3维空间有效。 二 代数定义: 设二维空间内有两个向量和,定义它们的数量(又叫内、点...

    向量的点积有两种形式的定义,代数定义和几何定义。

    一  几何定义:

    向量点积:a·b=|a||b|cosα

    注意:该定义只对2维3维空间有效。

    二 代数定义:

    设二维空间内有两个向量  和  ,定义它们的数量积(又叫内积、点积)为以下实数:

    更一般地,n维向量的内积定义如下: [1] 

    三 定义间的推导

    1 几何定义推导代数定义

    2 代数定义推导几何定义


     

    向量将代数与几何进行了统一。向量可以将代数问题转化为几何问题,几何问题转化为代数问题。

    四 点积的用途:

    向量的点积与它们夹角的余弦成正比,因此在聚光灯的效果计算中,可以根据点积来得到光照效果,如果点积越大,说明夹角越小,则物体离光照的轴线越近,光照越强。

    参考资料:

                 向量点乘(内积)和叉乘(外积、向量积)概念及几何意义解读(经典)

                 数学----三角形余弦定理证明

                 两点间距离公式

                 点积

    展开全文
  • a和b的点积公式为: 这里要求一维向量a和向量b的行列数相同。注意:点乘的结果是一个标量(数量而不是向量) 定义:两个向量a与b的内积为 a·b = |a||b|cos∠(a, b),特别地,0·a =a·0 = 0...

    向量的内积(点乘)

    定义

    概括地说,向量的内积(点乘/数量积)。对两个向量执行点乘运算,就是对这两个向量对应位一一相乘之后求和的操作,如下所示,对于向量a和向量b:

    a和b的点积公式为:

    这里要求一维向量a和向量b的行列数相同。注意:点乘的结果是一个标量(数量而不是向量)

    定义:两个向量ab的内积为 a·b = |a||b|cos∠(a, b),特别地,0·a =a·0 = 0;若ab是非零向量,则ab****正交的充要条件是a·b = 0。

    向量内积的性质:

    1. a^2 ≥ 0;当a^2 = 0时,必有a = 0. (正定性)
    2. a·b = b·a. (对称性)
    3. a + μbc = λa·c + μb·c,对任意实数λ, μ成立. (线性)
    4. cos∠(a,b) =a·b/(|a||b|).
    5. |a·b| ≤ |a||b|,等号只在ab共线时成立.

    向量内积的几何意义

    内积(点乘)的几何意义包括:

    1. 表征或计算两个向量之间的夹角
    2. b向量在a向量方向上的投影

    有公式:

    推导过程如下,首先看一下向量组成:

    定义向量c

    根据三角形余弦定理(这里a、b、c均为向量,下同)有:

    根据关系c=a-b有:

    即:

    a∙b=|a||b|cos⁡(θ)

    向量a,b的长度都是可以计算的已知量,从而有a和b间的夹角θ:

    θ=arccos⁡(a∙b|a||b|)

    进而可以进一步判断两个向量是否同一方向或正交(即垂直)等方向关系,具体对应关系为:

    a∙b>0→方向基本相同,夹角在0°到90°之间
    a∙b=0→ 正交,相互垂直
    a∙b<0→ 方向基本相反,夹角在90°到180°之间

    向量的外积(叉乘)

    定义

    概括地说,两个向量的外积,又叫叉乘、叉积向量积,其运算结果是一个向量而不是一个标量。并且两个向量的外积与这两个向量组成的坐标平面垂直。

    定义:向量ab的外积a×b是一个向量,其长度等于|a×b| = |a||b|sin∠(a,b),其方向正交于ab。并且,(a,b,a×b)构成右手系。
    特别地,0×a = a×0 = 0.此外,对任意向量aa×a=0

    对于向量a和向量b:

    a和b的外积公式为:

    其中:

    根据i、j、k间关系,有:

    向量外积的性质

    1. a × b = -b × a. (反称性)
    2. a + μb) × c = λ(a ×c) + μ(b ×c). (线性)

    向量外积的几何意义

    在三维几何中,向量a和向量b的外积结果是一个向量,有个更通俗易懂的叫法是法向量,该向量垂直于a和b向量构成的平面。

    在3D图像学中,外积的概念非常有用,可以通过两个向量的外积,生成第三个垂直于a,b的法向量,从而构建X、Y、Z坐标系。如下图所示:

    在二维空间中,外积还有另外一个几何意义就是:|a×b|在数值上等于由向量a和向量b构成的平行四边形的面积。

    Reference

    展开全文
  • 向量积,数学中又称外积、叉积,物理中称矢积、叉乘,是一种在向量空间中向量的二元运算。与点积不同,它的运算结果是一个向量而不是一个标量。并且两个向量的叉积与这两个向量和垂直。其应用十分广泛,通常应用于...

    cd4f262ebce15c604cba175cb897769a.png

    向量积,数学中又称外积、叉积,物理中称矢积、叉乘,是一种在向量空间中向量的二元运算。与点积不同,它的运算结果是一个向量而不是一个标量。并且两个向量的叉积与这两个向量和垂直。其应用十分广泛,通常应用于物理学光学和计算机图形学中。


    如图,这是

    ,我们得到了一个实数
    ,而其绝对值为平行四边形面积。

    92abf67dd11596caac37776caa5447ee.png


    如图,这是

    ,我们得到了一个垂直与已知两向量的法向量,且其模长为平行四边形面积。

    72642bbb5913eb657b0e39313389e717.png

    运算定理

    均为向量,
    的夹角

    1,

    2,

    3,

    运用1,已知三点坐标,求三角形面积

    以任意一个点坐标为基准,做差得到两个向量,这两个向量可围成向量三角形。
    例如点

    ,点
    ,点

    得到向量

    使用公式2,然后取绝对值,得到三角形面积

    空间向量外积求三角形面积可以很容易的推广到平面。

    则有

    三角形是最简单的几何图形,而在计算机领域求多边形面积是非常重要的,而用向量外积算出的有向面积,是解决求多边形面积的重要方法,它适用于凸多边形和凹多边形,非常灵活,简洁优美。

    运用2,已知平面,求平面的法向量

    找到平面内不共线的两向量

    ,这两个向量决定了这个平面 使用公式2,得到向量
    ,按照向量外积的定义,
    垂直于

    故所求向量
    即平面的法向量

    向量外积得到的法向量,有很多用途,尤其是物理上的,例如3D图像渲染在CG和游戏领域非常重要,而好的视觉效果多半取决于环境光的仿真,光的传播有一个最基本的定理,那就是光线与平面的法线所成的反射角等于入射角,而与利用向量外积求平面法线,是最简洁优美的。

    运用3,求三棱锥体积

    由三个不共面向量

    所决定的平行六面体的体积为

    故由三个不共面向量所决定的三棱锥的体积为

    运用4,高中数学外挂

    用它来做高中数学题简直就是开挂。

    已知三点坐标,求三角形面积这个问题。按照高中数学的套路,无非就是两点间距离公式算三边长,然后要么用海伦公式算面积,要么用余弦定理求出余弦值,换成正弦值,再求面积,这两种方法海伦公式稍微简便一点,但无非都难算了一些。而使用向量外积则简洁优美,我直接算

    的值就是面积了。

    已知平面,求平面的法向量这个问题。按照高中数学的套路,无非找出平面内两个不共线向量

    ,然后设平面的法向量
    然后根据向量垂直
    联立解得
    为含参的式子(因为一个平面的法向量有无数个),最后取一个容易计算的法向量。而使用向量外积,那就很简单了,计算
    就搞定了。

    已知三棱锥的各个点坐标,求它的体积这个问题。按照高中数学的套路,无非就是用余弦定理和正弦定理暴算一个面的面积,再用向量的余弦定理暴算点到面的距离,然后求出体积。如果使用上述的公式,一步就能算出体积,非常方便。

    展开全文
  • 向量的矢量计算

    千次阅读 2020-01-04 16:30:51
    如果已知向量向量,以及他们之间的夹角,那么按照定义它们之间的矢量数值大小为: ,其方向根据右手定则指向屏幕的内部。 这个结果的数值大小等于平行四边形的面积,理由如下: 如果已知向量a和向量b...
  • 向量的外和内

    2020-09-07 09:43:14
    计算公式 几何意义 两个向量之间的夹角 向量b在向量a上的投影 ...外 ...外在数值上等于两个向量组成平行四边形的面积 reference https://www.cnblogs.com/gxcdream/p/7597865.html ...
  • 本篇内容依然是向量的运算,只不过不属于线性运算,内容包括向量的数量积与向量积。 一、向量的数量积(内积、点乘,参与运算的是向量,结果是数) (一)问题产生的背景与表达 (二)向量数量积定义(几何) 向量...
  • 向量积

    千次阅读 2017-12-19 12:35:13
    向量积(cross product)在中文中又被称为外积、叉积、矢积、叉乘。从英文中可以看到,叉乘或者叉积更符合直译标准。在学习的时候,就没有完全的数学描述,有时间看一下原版的线性代数书籍,弄的更严谨一些。直观...
  • 在网上看到向量公式,大部分都只写定义,没有说明公式的推导,本文尝试进行推导,以满足各位的求知欲。
  • 向量

    千次阅读 2017-12-22 18:03:17
    向量一般指点; 在数学中,数量(dot product; scalar product,也称为点)是接受在实数R上的两个向量并返回一个实数值标量的二元运算。它是欧几里得空间的标准内。[1]  两个向量a = [a1, a2,…, an...
  • 向量的内和外

    2021-02-06 08:07:43
    1、a和b的内积公式为: 要求一维向量a和向量b的行列数相同。 2、内积的几何意义 点乘的几何意义是可以用来表征或计算两个向量之间的夹角,以及在b向量在a向量方向上的投影。 二、向量的外积和几何意义...
  • 向量的内与其几何意义

    千次阅读 2020-04-02 22:45:51
    向量 a⃗=(x1,y1),b⃗=(x2,y2)\vec a=(x_1,y_1),\vec b=(x_2,y_2)a=(x1​,y1​),b=(x2​,y2​),夹角为 θ\thetaθ,内为: a⃗⋅b⃗=∣a⃗∣∣b⃗∣cos⁡θ=x1x2+y1y2 \vec a \cdot \vec b=|\vec a||\vec b|...
  • 向量的内

    2019-10-14 10:58:00
    向量内积的理解向量内积的定义向量内积的性质向量内积的几何...a和b的点积公式为: 这里要求一维向量a和向量b的行列数相同。注意:点乘的结果是一个标量(数量而不是向量) 定义:两个向量a与b的内积为 a·b = |a||b...
  • 向量的外与克罗内克的定义 外(outer product)是线性代数中的一类重要运算,对于n维和m维的两个向量,其外为一个n×mn\times mn×m的矩阵。 给定两个向量u=(u1,u2,...um)\textbf{u}=(u_1, u_2,...u_m)u=...
  • 两个向量的外积,又叫向量积、叉乘等。外积的运算结果是一个向量。并且两个向量的叉积与这两个向量组成的坐标平面垂直(右手定理) 叉乘的几何意义: 向量a和向量b的叉乘结果是一个向量,更为熟知的叫法是法向量,...
  • 向量积,数学中又称外积、叉积,物理中称矢积、叉乘,是一种在向量空间中向量的二元运算。与点积不同,它的运算结果是一个向量而不是一个标量。并且两个向量的叉积与这两个向量和垂直。其应用也十分广泛,通常应用于...
  • 向量是由n个实数组成的一个n行1列(n*1)或一个1行n列(1*n)的有序数组;...向量的点乘,也叫向量的内、数量,对两个向量执行点乘运算,就是对这两个向量对应位一一相乘之后求和的操作,点...
  • 计算两个向量的点

    2021-07-11 22:27:40
    给定两个向量,计算它们的点(内)。 输入 输入数据有若干行。每行上有两个向量(维数皆不超过20),对应一种情形。 输出 对于每一种情形,先输出"Case #: "(#为序号,从1起),然后输出结果(保留2位小数),...
  • python实现向量积运算

    2021-07-19 21:22:06
    即list1[0]乘以list2[0]然后相加并且以此类推 ist1 = [111,222,333,444,555,666,777,888,999] list2 = [999,777,555,333,111,888] count = 0 for i in range(100): #为了防止两个列表长度不一致 ...
  • 向量是由n个实数组成的一个n行1列(n*1)或...向量的点乘,也叫向量的内、数量,对两个向量执行点乘运算,就是对这两个向量对应位一一相乘之后求和的操作,点乘的结果是一个标量。 点乘公式 对于向量a和向量b:
  • 两垂直向量的外计算 cesium.corss()函数: Cartesian3.cross = function(left, right, result) { //>>includeStart('debug', pragmas.debug); Check.typeOf.object('left', left); Check.typeOf.object('...
  • 向量积计算三角形面积

    千次阅读 2020-02-09 17:57:33
    向量积:数学中又称外积、叉积,物理中称矢积、叉乘,是一种在向量空间中向量的二元运算。 向量积可以被定义为: 模长:(在这里θ表示两向量之间的夹角(共起点的前提下)(0°≤θ≤180°),它位于这两个矢量所...
  • 向量的内、外及其几何含义

    万次阅读 多人点赞 2019-03-18 15:37:51
    一、向量的内积(点乘) ...a和b的点积公式为: 这里要求一维向量a和向量b的行列数相同。注意:点乘的结果是一个标量(数量而不是向量) 定义:两个向量a与b的内积为a·b= |a||b|cos∠(a, b),特别地,0·a=a·0...
  • 机器学习初级篇12——浅谈向量的各种积向量点乘(内积)和叉乘(外积、向量积)概念及几何意义解读一.点乘公式二.叉乘公式 向量点乘(内积)和叉乘(外积、向量积)概念及几何意义解读 向量是由n个实数组成的一个n行...
  • 向量的内与共轭

    千次阅读 2020-11-30 10:35:03
    其中,表示复共轭,这种内积公式转换称之为典范内积 公式2: 举个例子说明: , 所以,上述展开的典范内积计算结果是共轭的。 公式1和公式2的定义携带了相同的矢量内积信息,在矢量内积的意义上2个定义...
  • 关于向量的混合

    万次阅读 2018-09-11 11:07:02
    三重,又称混合,是三个向量相乘的结果。向量空间中,有两种方法将三个向量相乘,得到三重,分别称作标量三重向量三重。设 a ,b ,c 是空间中三个向量,则 (a×b)·c 称为三个向量 a ,b ,c 的...
  • 向量加减法,向量的点(乘),向量的叉积(乘) 向量 是用来表示既有大小又有方向的量,不过向量在空间中没有具体的位置,通常用一个加粗的小写字母来表示一个向量,或者不加粗顶上带有小箭头的小写字母来表示 ...
  • 支持向量积【SVM】

    千次阅读 2019-03-16 16:33:26
    支持向量积根据数据的情况分为三种。如果数据是线性可分的,则用线性可分支持向量积。如果数据是近似线性可分的,则用线性支持向量积。如果数据是不可分的,则用非线性支持向量积。 一、线性可分支持向量积 1.1 ...

空空如也

空空如也

1 2 3 4 5 ... 20
收藏数 29,553
精华内容 11,821
关键字:

向量的向量积公式