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  • 学习向量的坐标表示,首先要理解向量坐标产生的原理,其次是练熟向量坐标运算的规则。01平面向量的正交分解视频:平面向量的正交分解与坐标表示1、把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量正交分解。2、...
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    引导:高一、高三一轮复习阅读

    ● 本文适合高一学生预习与章节复习时阅读,也适合高三学生一轮复习时阅读

    ● 阅读时建议先看视频,再读文字;

    ● 看视频时注意及时暂停,深入思考,步步为营,理解透彻。

    学习向量的坐标表示,首先要理解向量坐标产生的原理,其次是练熟向量坐标运算的规则。

    01

    平面向量的正交分解

    视频:平面向量的正交分解与坐标表示

    1、把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量正交分解。

    2、平面向量的坐标

    (1)在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量 i、j作为基底.对于平面内的一个向量a,由平面向量基本定理可知,有且只有一对实数x,y,使得a=xi+yj.平面内的任一向量a都可由x、y唯一确定,我们把有序数对(x,y)叫做向量a的坐标,记作a=(x,y).

    (2)在平面直角坐标平面中,i=(1,0),j=(0,1),0=(0,0).

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    02

    平面向量的坐标表示举例、坐标运算

    视频:平面向量坐标表示举例、坐标运算讲解

    3、平面向量的坐标

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    即任意一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标。

    4、平面向量的坐标运算规则。

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    5、应用举例

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    在表示点、向量的坐标时,可利用向量的相等、加减法运算等求坐标,也可以利用向量、点的坐标定义求坐标.。

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    向量坐标运算的方法

    (1)若已知向量的坐标,则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行.

    (2)若已知有向线段两端点的坐标,则可先求出向量的坐标,然后再进行向量的坐标运算.

    (3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行。

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    03

    平行向量的坐标表示

    视频:平行向量的坐标表示

    6、平行向量的坐标表示

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    7、应用举例

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    根据向量共线条件求参数问题,一般有两种思路,

    一是利用向量共线 定理a=λb(b≠0),列方程组求解,

    二是利用向量共线的坐标表达式 x1y2-x2y1=0求解.

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    (1)三点共线问题的实质是向量共线问题,两个向量共线只需满足方向相 同或相反,两个向量共线与两个向量平行是一致的,利用向量平行证明 三点共线需分两步完成:①证明向量平行;②证明两个向量有公共点.

    (2)若A,B,C三点共线,即由这三个点组成的任意两个向量共线。

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  • 1. 问题引入——解析几何的重要性 2. 平面解析几何——用代数关系来研究平面几何图形 ...3. 空间直角坐标系(符合右手法则,坐标面,...7. 空间向量的坐标表示(径向量、方向角、方向余弦、分量) ...

     

    1. 问题引入——解析几何的重要性

     

    2. 平面解析几何——用代数关系来研究平面几何图形

     

    3. 空间直角坐标系(符合右手法则,坐标面,卦限)

     

    4. 空间中点的坐标

     

    5. 空间两点的距离

     

    6. 向量的基本概念

     

    7. 空间向量的坐标表示(径向量、方向角、方向余弦、分量)

     

    8. 三维向量及n维向量

     

    9. 向量的加法运算

     

    10. 向量的数乘运算

     

    11. 向量平行的等价说法

     

    12. 向量的基表示(基向量分解式)

     

    13. 分点公式

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  • 展开全部表示方法两个向量a和b的叉积写作a×b(有时也被写成a∧b,避免32313133353236313431303231363533e78988e69d8331333431363036和字母x混淆)。...)方向:a向量与b向量的向量积的方向与这两个向量所在平面垂直...

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    表示方法

    两个向量a和b的叉积写作a×b(有时也被写成a∧b,避免32313133353236313431303231363533e78988e69d8331333431363036和字母x混淆)。

    定义

    向量积可以被定义为:。

    模长:(在这里θ表示两向量之间的夹角(共起点的前提下)(0°≤θ≤180°),它位于这两个矢量所定义的平面上。)

    方向:a向量与b向量的向量积的方向与这两个向量所在平面垂直,且遵守右手定则。(一个简单的确定满足“右手定则”的结果向量的方向的方法是这样的:若坐标系是满足右手定则的,当右手的四指从a以不超过180度的转角转向b时,竖起的大拇指指向是c的方向。)

    也可以这样定义(等效):

    向量积|c|=|a×b|=|a||b|sin

    即c的长度在数值上等于以a,b,夹角为θ组成的平行四边形的面积。

    而c的方向垂直于a与b所决定的平面,c的指向按右手定则从a转向b来确定。

    扩展资料:

    证明

    为了更好地推导,加入三个轴对齐的单位向量i,j,k。

    i,j,k满足以下特点:

    i=jxk;j=kxi;k=ixj;

    kxj=–i;ixk=–j;jxi=–k;

    ixi=jxj=kxk=0;(0是指0向量)

    由此可知,i,j,k是三个相互垂直的向量。它们刚好可以构成一个坐标系。

    这三个向量的特例就是i=(1,0,0)j=(0,1,0)k=(0,0,1)。

    对于处于i,j,k构成的坐标系中的向量u,v我们可以如下表示:

    u=Xu*i+Yu*j+Zu*k;

    v=Xv*i+Yv*j+Zv*k;

    那么uxv=(Xu*i+Yu*j+Zu*k)x(Xv*i+Yv*j+Zv*k)

    =Xu*Xv*(ixi)+Xu*Yv*(ixj)+Xu*Zv*(ixk)+Yu*Xv*(jxi)+Yu*Yv*(jxj)+Yu*Zv*(jxk)+Zu*Xv*(kxi)+Zu*Yv*(kxj)+Zu*Zv*(kxk)

    由于上面的i,j,k三个向量的特点,所以,最后的结果可以简化为

    uxv=(Yu*Zv–Zu*Yv)*i+(Zu*Xv–Xu*Zv)*j+(Xu*Yv–Yu*Xv)*k。

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  • (x, y, z, 1) 表示坐标点:表示坐标系中一个固定的坐标点 (x, y, z, 0) 表示向量:表示坐标系中一个有向线段 这里可以看出,区别就是0与1。点的重点在点,向量的重点在方向。 有上面两者的定义,可以大概说点是一个...

    在相机变换中经常会遇到利用齐次坐标进行运算的情况,以前都是感觉模模糊糊。今天看了一些文章,对它有了进一步的自我理解。

    先下结论:
    (x, y, z, 1) 表示坐标点:表示坐标系中一个固定的坐标点
    (x, y, z, 0) 表示向量:表示坐标系中一个有向线段
    这里可以看出,区别就是0与1。点的重点在点,向量的重点在方向。
    有上面两者的定义,可以大概说点是一个固定的值,即在坐标系中可以找到该点即可;而向量主要表现在方向上,即基向量可以表示一个向量,对基向量乘以任意值,那么这个向量所表达的意义还是不变的。

    而这里为什么齐次坐标中最后一项“1”,可以表示一个固定点,这里我们对坐标点乘以任意值w(w≠0),那么点变为(wx, wy, wz, w),这里可以看到不管w是任何值,我们只需要将改变后的坐标点最后一项变为1,即对坐标点同时除以w,便可以将该坐标点还原,假设如何最后一项是零的话,那么便会失去该性质。
    而对于向量,这里再次强调,它只是表示一个有向线段,不管这个线段有多长,只要我们知道它的方向,我们便可以表示出该向量。而0即区分可坐标点,同时也可以表示该向量。
    也可这样理解(可能不严谨),点的长度要一定,向量的长度可以随意。

    以上是自我理解,下面是一些较严谨的证明,这里依然一xyz坐标系为例。
    对于一个向量V,可以用一组坐标表示(vx, vy, vz),使得V = vx×x + vy×y + vz×z (1)
    对于一个点P,也可以用一组坐标表示(px, py, pz),使得P-O = px×x + py×y + pz×z (2)
    对式(2)经过变换,可得P = px×x + py×y + pz×z + O (3)
    对式(1)以矩阵形式表示为:V = (vx vy vz 0)T * (x y z o)
    对式(3)以矩阵形式表示为:P = (px py pz 1)T * (x y z o)
    这是(x y z o)可以看做坐标基矩阵。

    参考:https://www.cnblogs.com/csyisong/archive/2008/12/09/1351372.html
    https://blog.csdn.net/yinfourever/article/details/98480841

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空空如也

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向量的坐标表示