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  • 向量的基本运算专题

    2019-10-08 19:36:12
    在OIOIOI中,我们简化了一下向量的存储方式及运算法则,我们定义向量为起点为(0,0)(0,0)(0,0)的一条有方向的线段。由于我们在考虑向量时只考虑其大小与方向,一般不考虑具体位置,故我们将向量平移至坐标...

    关于向量

    高中数学必修44说:

    几何向量是线性空间中有大小与方向的量。

    放图理解一下:

    如上图所示,向量可以形象的用一根箭头表示。箭头所指代表向量的方向,线段的长度代表向量的大小。

    OIOI中,我们简化了一下向量的存储方式及运算法则,我们定义向量为起点为(0,0)(0,0)的一条有方向的线段。由于我们在考虑向量时只考虑其大小与方向,一般不考虑具体位置,故我们将向量平移至坐标系原点处以简化运算。

    所以,在之后的讲解中,我们默认向量和点已经被存在了一个结构体里面(向量和点记录的东西都是一个坐标):

    struct Point{
    	double x,y;  //注意这个double
    };
    

    如果想分清楚具体是点还是向量,那么只需要在结构体后加入一句:

    typedef Point Vector;
    

    这样我们就可以只开一个结构体而做到存储两种量。

    tips:如果您觉得只用Point即可,那么请将后文的Vector全部视为Point(这样写出来也没有任何问题)

    向量的运算法则(具体原理请查阅数学必修44

    前置:模长

    A|A|表示向量AA的长度,为一个数。

    double Length(const Vector &p){
    	return sqrt(p.x*p.x+p.y*p.y);
    }
    
    前置:向量的方向


    (请暂且忽略BB以及βγ\beta和\gamma,后面要用)
    我们设向量AA(x,y)(x,y),那么
    cos(α)=sin(90α)=xAcos(\alpha)=sin(90^。-\alpha)=\frac{x}{|A|}
    sin(α)=cos(90α)=yAsin(\alpha)=cos(90^。-\alpha)=\frac{y}{|A|}
    那么,我们定义向量AA的方向为w(cos(α),sin(α))w(cos(\alpha),sin(\alpha))。

    点±向量=点
    //所有的重载运算符都定义在结构体外部,如果不重载运算符的话会很麻烦
    Point operator + (const Point &p,const Vector &q){
    	return (Point){p.x+q.x,p.y+q.y};
    }
    Point operator - (const Point &p,const Vector &q){
    	return (Point){p.x-q.x,p.y-q.y};
    }
    
    点-点=向量
    Vector operator - (const Point &p,const Point &q){
    	return (Vector){p.x-q.x,p.y-q.y};
    }
    

    友情提示:两个减的操作只需要写一个,如果实在看不顺眼,那么就讲其中一个减号改为另外一个不相冲突的符号。

    点+点无意义
    向量*常数=向量
    Vector operator * (const Vector &p,const double &k){
    									  //double很重要!!!
    	return (Vector){p.x*k,p.y*k};
    }
    
    向量/常数=向量
    Vector operator / (const Vector &p,const double &k){
    	return (Vector){p.x/k,p.y/k};
    }
    
    向量±向量=向量

    代码同点±向量

    向量的点积

    令向量X=(x1,x2),Y=(y1,y2),X=(x_1,x_2),Y=(y_1,y_2),则有:

    定义式:XY=XYcos(γ)X\cdot Y=|X||Y|cos(\gamma),其中γ\gammaX,YX,Y的夹角

    但更通用的是这样一个式子:XY=XYcos(γ)=x1y1+x2y2X\cdot Y=|X||Y|cos(\gamma)=x_1y_1+x_2y_2

    double Dot (const Vector &p,const Vector &q){
    	return p.x*q.x+p.y*q.y;
    }
    
    几何意义:A在B所在方向的投影的模长和B的模长的乘积
    tips:如果向量A,BA,B的点积为00,则A,BA,B垂直

    证明如下:

    我们有上面讲到的向量的方向可知,
    cos(α)=x1X,sin(α)=x2Ycos(\alpha)=\frac{x_1}{|X|},sin(\alpha)=\frac{x_2}{|Y|}
    cos(β)=y1X,sin(β)=y2Ycos(\beta)=\frac{y_1}{|X|},sin(\beta)=\frac{y_2}{|Y|}
    γ=αβ\gamma=\alpha-\beta得:
    cos(γ)=cos(αβ)cos(\gamma)=cos(\alpha-\beta)
    由数学必修4上一个著名公式得:
    cos(γ)=cos(αβ)=cos(β)cos(α)+sin(β)sin(α)cos(\gamma)=cos(\alpha-\beta)=cos(\beta)cos(\alpha)+sin(\beta)sin(\alpha)
    cos(γ)=x1X×y1Y+x2X×y2Ycos(\gamma)=\frac{x_1}{|X|}\times\frac{y_1}{|Y|}+\frac{x_2}{|X|}\times\frac{y_2}{|Y|}
    cos(γ)=x1y1+x2y2XYcos(\gamma)=\frac{x_1y_1+x_2y_2}{|X||Y|}
    XY=XYcos(γ)=x1y1+x2y2X\cdot Y=|X||Y|cos(\gamma)=x_1y_1+x_2y_2

    向量的叉积

    定义式:XY=XYsin(γ)X*Y=|X||Y|sin(\gamma)

    通用的式子:XY=XYsin(γ)=x1y2x2y1X*Y=|X||Y|sin(\gamma)=x_1y_2-x_2y_1

    double Cross (const Vector &p,const Vector &q){
    	return p.x*q.y-q.x*p.y;
    }
    

    证明大体同上,需要用到另一个著名的式子:

    sin(αβ)=sin(α)cos(β)cos(α)sin(β)sin(α-β)=sin(α)cos(β)-cos(α)sin(β)

    几何意义:A转到B所夹平行四边形的有向面积

    简单地解释一下:

    A,BA,B不共线的情况下,如果AABB上面,那么它们的叉积就小于0,0,反之则大于00

    如果A,BA,B共线,那么它们的叉积就等于00

    基础运算完整代码

    struct Point{
    	double x,y;
    };
    typedef Point Vector; 
    Point operator + (const Point &p,const Vector &q){
    	return (Point){p.x+q.x,p.y+q.y};
    }
    Vector operator - (const Point &p,const Point &q){
    	return (Vector){p.x-q.x,p.y-q.y};
    }
    Vector operator * (const Vector &p,const double &k){
    	return (Vector){p.x*k,p.y*k};
    }
    Vector operator / (const Vector &p,const double &k){
    	return (Vector){p.x/k,p.y/k};
    }
    double Dot (const Vector &p,const Vector &q){
    	return p.x*q.x+p.y*q.y;
    }
    double Cross (const Vector &p,const Vector &q){
    	return p.x*q.y-q.x*p.y;
    }
    double Length(const Vector &p){
    	return sqrt(Dot(p,p));
    }
    
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  • 数学篇(三)向量的基本运算

    千次阅读 2019-04-25 16:59:20
    1.1平面向量的加法运算 两个向量,; 向量满足四边形法则; 1.2平面向量的乘法运算 两个向量,; 向量乘表示为 ; 相比于向量加运算,向量乘运算要复杂点,很难看明白向量乘的几何意义; 将和用极坐标表示...

    1.平面向量

    1.1平面向量的加法运算

    两个向量\vec{A}=x_{1}+iy_{1}\vec{B}=x_{2}+iy_{2}

    向量满足四边形法则\vec{C}=\vec{A}+\vec{B}=(x_{1}+x_{2})+i(y_{1}+y_{2})

    1.2平面向量的乘法运算

    两个向量\vec{A}=x_{1}+iy_{1}\vec{B}=x_{2}+iy_{2}

    向量乘表示为

    \vec{D}=\vec{A}\cdot \vec{B}=(x_{1}+iy_{1})\cdot (x_{2}+iy_{2})=(x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2})+i(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1});

    相比于向量加运算,向量乘运算要复杂点,很难看明白向量乘的几何意义;

    \vec{A}\vec{B}用极坐标表示:\vec{A}=(\rho _{1},\theta_{1}),\vec{B}=(\rho _{2},\theta_{2})

    则向量乘法表示为:\vec{D}=(\rho _{1}\cdot \rho _{2},\theta_{1}+\theta_{2})=\rho_{1}\rho_{2}e^{i(\theta_{1}+\theta_{2})}

    2.空间向量

    如果三个向量\vec{a}\vec{b}\vec{c}不共面,那么对空间任一向量\vec{\rho },存在唯一的有序实数组\left \{ x \right.y \right.\left. z \right \},使的\vec{\rho }=x\vec{a}+y\vec{b}+z\vec{c}

    模长\left | \rho \right |=\sqrt[2]{x^{2}+y^{2}+z^{2}}

     

     

     

     

     

     

     

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  • 欢迎关注微信公众号:非标机械设计学习分享。向量:1、有大小又有方向的量。如力、位移,速度等。2、向量的大小称为向量的模,记作|a|。...4、向量的坐标1)(一个向量):向量的坐标表示法:用向量的起点和终...

    欢迎关注微信公众号:非标机械设计学习分享。

    80fdc69aeadb895dad2b8c273372027d.png

    向量:

    1、有大小又有方向的量。如力、位移,速度等。

    2、向量的大小称为向量的模,记作|a|。

    3、向量的运算:

    1)求和(结果仍是向量),利用三角形法则或平行四边形法则。

    2)向量和数的乘积(结果仍是向量)。

    定理:设向量a0,那么,向量b与向量a平行的充分必要条件是:存在唯一的实数λ,使b=λa。

    4、向量的坐标

    1)(一个向量):向量的坐标表示法:用向量的起点和终点两个点的坐标表示。

    例如:向量a表示由点M1指向点M2的向量,M1(x1,y2,z1)为起点,M2(x2,y2,z2)为终点,则向量a表示为

    a=M1M2=(x2-x1,y2-y1,z2-z1)

    即:向量的坐标为终点坐标减去起点坐标的对应坐标值。可理解为将向量a平移到起点与坐标原点重合。

    2)(两个向量):向量的加法、减法以及向量与数的乘积。

    (1)向量相加时,向量之和的坐标为对应坐标值之和;

    (2)向量相减时,向量之差的坐标为对应坐标值之差(前坐标-后坐标);

    (3)向量与数相乘,乘积的坐标为对应坐标值与数的乘积。

    5、(一个向量):向量的方向角:

    非零向量a与三条坐标轴正向的夹角α、β、γ称为它的方向角。向量的模、方向角与坐标之间的关系如下:

    ax=|a|cosα,ay=|a|cosβ,az=|a|cosγ,(1)

    即,向量的对应坐标值等于向量的模乘以对应方向角的余弦值。

    注:向量三个方向余弦值的平方和等于1

    注:向量的模等于向量各坐标值的平方和开算术平方根。(求向量的模就是求向量(坐标点与原点连线)的长度,解三角形。)

    再由式(1)可求出,各个方向余弦角。

    6、(两个向量):数量积、向量积、混合积

    设两个向量的夹角为θ(0≤θ≤π)。

    1)数量积:

    向量a和向量b的数量积(点乘)是一个数量(实数),记作a * b,其大小为|a||b|cosθ。

    注:向量a与向量b垂直的充分必要条件是a*b=0。(实数0)(因为,cos90°=0)

    2)向量积:

    向量a和向量b的向量积(×乘)是一个向量c,记作a x b,即 c=a x bc的模记作|c|=|axb|=|a||b|sinθ。

    即:两个向量积的向量积的模等于两个向量的模的乘积的正弦值。

    向量c的方向垂直于向量a和向量b所决定的平面,c的指向按右手法则确定。

    3)(两个向量)向量的坐标表示法:

    向量a=(x1,y2,z1),向量b=(x2,y2,z2)

    (1)数量积(点乘):向量积等于对应坐标乘积之和(乘积是一个数量(实数))。

    即:a*b=x1*x2+y1*y2+z1*z2

    (2)向量积(×乘):(乘积是一个向量)

    axb=(y1*z2-z1*y2,z1x2-x1z2,x1y2-y1x2)(注:写成矩阵形式比较直观)

    由向量积的定义可知,向量a与向量b平行的充分必要条件是axb=0(0向量)。

    (3)混合积:

    三个向量abc的混合积是一个数量。这个数量通过先作前两个向量的向量积axb,再作数量积(axb)*c得到,混合积记作[abc],即:

    [abc]=(axb)*c

    向量混合积[abc]的几何意义:(注:向量混合积应用,求空间任意四个点围成的四面体体积。)

    [abc]这个数,它的绝对值表示以向量abc为棱的平行六面体的体积,它的符号由向量abc组成右手系还是左手系来确定,前者为正,后者为负。

    常见考试知识点:

    1)(一个向量)求向量的模、方向余弦和方向角;

    求解过程:

    通过两点坐标求得向量的坐标,再求处向量的模,再由公式向量的方向角的余弦值等于向量的对应坐标值比向量的模求得,最后通过反三角函数求得向量的各个方向角。

    2)(两个向量)求两个向量的夹角

    求解过程:

    先求出两个向量的数量积(坐标运算)、两个向量的模(的乘积);然后通过两个向量的数量积等于两个向量的模的乘积的余弦值(求出cosθ),再用反三角函数求出夹角的数值。

    3)向量定义的考察,如两个向量平行、垂直的充分必要条件。

    4)求空间三角形的面积。(考点,向量的向量积,即×乘)(注:三角形的面积公式:面积等于两边之积乘以夹角的正弦值除以2。

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  • 叉积的计算结果依然是一个向量,叉积只能用于3D向量的运算,2D向量没有叉积 。 通过对两个3D向量 U 和 V 来计算叉积 我们则可以得到一个新的向量 向量 W 结果向量 W 同时垂直于 U 与 V 向量 众所周知 在Unity3d...

    Unity3D 中常用的向量运算

    那么接下来来看一看在游戏开发过程中常用的一些向量运算

    向量的叉积 / 叉乘

    叉积的定义(cross product)

       叉积的计算结果依然是一个向量,叉积只能用于3D向量的运算,2D向量没有叉积 。
       通过对两个3D向量 U 和 V  来计算叉积 我们则可以得到一个新的向量 向量 W  
       结果向量 W 同时垂直于 U 与 V 向量
    

    众所周知 在Unity3d 引擎中遵循左手坐标系

    左手拇指法则

        抬起左手,将拇指之外的其他四个手指指向 第一个 向量的方向U ,然后朝着V的方向沿角度0< α < Π 
      卷曲手指, 此时拇指所指向的方向即为新的向量 W 的方向。 
    
    //向量叉积的运算
    u = (ux,uy,uz)
    v=  (vx,vy,vz)
    u x v = (uy*vz-uz*vy , uz*vx-ux*vz , ux*vy-uy*vx)
    

    叉积的作用

       1. 可以计算一个平面的 法线(垂直于一个平面的向量)
       2. 可以判断一个物体在你左侧还是右侧
    

    向量的点积(Dot Product)

     定义:
     向量的点积是一个标量  因此有时候 点积又被称之为 标量积(saclar product)
    

    点积的运算

    u = (ux,uy,uz)
    v=  (vx,vy,vz)
    u·v = ux*vx + uy*vy + uz*vz
    

    余弦定理

    u·v = |u||v|cos(α)
    注意 当我们提到两个向量的夹角的时候 我们指的是最小角 0 < α < Π 
    (而且这两个向量必须是共起点)
    

    几何性质

    u·v = 0    u 和 v 互相垂直
    u·v > 0    u 和 v 的夹角小于90°
    u·v < 0    u 和 v 的夹角大于90°
    
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向量的坐标运算法则