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  • 空间向量坐标运算

    千次阅读 2016-01-22 16:24:39
    空间一点P的坐标的确定可以按如下方法:过P分别作三个坐标平面的平行平面(或垂直平面),分别与坐标轴交于A、B、C三点,|x|=OA,|y|=OB,|z|=OC,当与i方向相同时,x>0,反之x同理确定y、z.点P

    【基础知识必备】

    一、必记知识精选

    1.空间直角坐标系

    在空间选定一点O和一个单位正交基底{i,j,k}(i,j,k按右手系排列)建立坐标系,坐标轴正方向与i,j,k方向相同.空间一点P的坐标的确定可以按如下方法:过P分别作三个坐标平面的平行平面(或垂直平面),分别与坐标轴交于A、B、C三点,|x|=OA,|y|=OB,|z|=OC,当i方向相同时,x>0,反之x<0.同理确定y、z.点P的坐标与坐标相同.

    2.向量的直角坐标运算

    a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则

    a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3),

    a-b=(a1-b1,a2-b2,a3-b3),

    a·b=a1b1+a2b2+a3b3

    aba1=b1,a2=b2,a3=b3(R).或==

    aba1b1+a2b2+a3b3=0

    3.夹角和距离公式

    (1)夹角公式

    a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3)

    则cos<a,b>=

    (2)距离公式

    设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则

    ||=.

    (3)定比分点公式

    设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则

    若M分为定比≠-1),则M的坐标为

    x=,y=,z=

    特别地,当=1即M为中点时得中点坐标公式:

    x=,y=,z=.

    由中点公式,可得以A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),C(x3,y3,z3)为顶点的三角形重心公式:x=,y=,z=.

    4.两个概念

    (1)向量垂直于平面,若表示向量a的有向线段所在直线垂直于平面α,称a垂直于α,记作a⊥α.

    (2)法向量,如果a⊥α,称向量a是α的法向量.

    二、重点难点突破

    本节重点是空间右手直角坐标系,向量的坐标运算,夹角公式和距离公式.建立右手直角坐标系要以题中已知条件为依托,让尽可能多的点,尽可能多的线落在轴上或者是坐标平面上,简化运算过程.空间向量坐标运算要抓住空间向量的坐标表示这一根本去突破.即向量a在空间用惟一的有序数组a=(x,y,z)来表示.对于夹角公式.两点间距离公式要多练习.本节的难点是向量坐标的确定及夹角公式和两点间距离公式的应用.要理解两点间距离公式类似于平面上两点间的距离公式.可直接套用,两公式都与坐标原点的选取无关.

    三、易错点和易忽略点导析

    1.本节课涉及到几何量的代数运算,夹角公式和两点间距离公式的应用.易出现计算不准确而导致结论错误.

    2.易忽略向量坐标的表达形式a=(x,y,z),在实际解题中有很多同学忽略了“=”,与点坐标(x,y,z)混淆.

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  • 向量坐标相乘的计算算法

    千次阅读 2021-03-18 15:53:37
    比如已知向量AB=(2,3)与向量SD(5,8),求向量AB×向量SD=? 向量AB×向量SD=2×5+3×8=34 向量相乘分数量积、向量积两种: 向量 a = (x, y, z), 向量 b = (u, v, w), 数量积 (点积): a·b = xu+yv+zw 向量...

    比如已知向量AB=(2,3)与向量SD(5,8),求向量AB×向量SD=? 向量AB×向量SD=2×5+3×8=34

    向量相乘分数量积、向量积两种:

    向量 a = (x, y, z),

    向量 b = (u, v, w),

    数量积 (点积): a·b = xu+yv+zw

    向量积 (叉积): a×b =

    |i j k|

    |x y z|

    |u v w|

    向量的记法:印刷体记作粗体的字母(如a、b、u、v),书写时在字母顶上加一小箭头“→”。 如果给定向量的起点(A)和终点(B),可将向量记作AB(并于顶上加→)。在空间直角坐标系中,也能把向量以数对形式表示,例如xOy平面中(2,3)是一向量。
    在这里插入图片描述

    扩展资料:

    一般印刷用黑体的小写英文字母(a、b、c等)来表示,手写用在a、b、c等字母上加一箭头(→)表示,如 ,也可以用大写字母AB、CD上加一箭头(→)等表示,如, 。

    在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j作为一组基底。

    为平面直角坐标系内的任意向量,以坐标原点O为起点作向量 。

    由平面向量基本定理可知,有且只有一对实数(x,y),使得 ,因此把实数对 叫做向量 的坐标,记作 。这就是向量 的坐标表示。其中 就是点 的坐标。向量 称为点P的位置向量。

    方向相同或相反的非零向量叫做平行(或共线)向量.向量a、b平行(共线),记作a∥b。零向量长度为零,是起点与终点重合的向量,其方向不确定。我们规定:零向量与任一向量平行。平行于同一直线的一组向量是共线向量。

    若a=(x,y),b=(m,n),则a//b→a×b=xn-ym=0

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  • 空间向量及其运算

    千次阅读 2020-11-05 11:39:09
    平面内任意向量p\boldsymbol{p}p都可以用两个不共线的向量a\boldsymbol{a}a b\boldsymbol{b}b来表示,这是平面向量的基本定理。类似的我们定义,如果三个向量不共面,那么对空间中的任一向量p\boldsymbol{p}p,存在...

    平面内任意向量 p \boldsymbol{p} p都可以用两个不共线的向量 a \boldsymbol{a} a b \boldsymbol{b} b来表示,这是平面向量的基本定理。类似的我们定义,如果三个向量不共面,那么对空间中的任一向量 p \boldsymbol{p} p,存在有序实数组 { x , y , z } \{x,y,z\} {x,y,z}使得 p = x a + y b + z c \boldsymbol{p}=x\boldsymbol{a}+y\boldsymbol{b}+z\boldsymbol{c} p=xa+yb+zc,我们把向量 { a , b , c } \{\boldsymbol{a},\boldsymbol{b} ,\boldsymbol{c}\} {a,b,c}叫做空间的一个基底(base), a , b , c \boldsymbol{a},\boldsymbol{b} ,\boldsymbol{c} a,b,c叫做基向量(base vector),如果基向量两两垂直,则称这组基向量为正交向量;如果三个基向量两两垂直且为单位向量,则为单位正交向量。

    一、空间直角坐标系

    以起点同为 O O O三个单位正交向量 i , j , k \boldsymbol{i},\boldsymbol{j} ,\boldsymbol{k} i,j,k所确定的三个轴依次叫做 x x x轴(横轴), y y y轴(纵轴)和 z z z轴(竖轴),我们把 O x y z Oxyz Oxyz [ O ; i , j , k ] [\boldsymbol{O};\boldsymbol{i},\boldsymbol{j},\boldsymbol{k}] [O;i,j,k]四者的组合称为直角坐标系。
    1
    x x x y y y轴确定的平面叫做 x O y xOy xOy面,同理还有 x O z xOz xOz y O z yOz yOz,三个平面将空间划分为八个部分。如下图:
    2
    空间中任意一个向量都可以用坐标分解式表示。
    3
    向量 r = O M → = O P → + P N → + N M → = O P → + O Q → + O R → = x i + y j + z k \boldsymbol{r}=\overrightarrow {OM}=\overrightarrow {OP}+\overrightarrow {PN}+\overrightarrow {NM}=\overrightarrow {OP}+\overrightarrow {OQ}+\overrightarrow {OR}=x\boldsymbol{i}+y\boldsymbol{j}+z\boldsymbol{k} r=OM =OP +PN +NM =OP +OQ +OR =xi+yj+zk,这就建立了有序实数组(坐标) ( x , y , z ) (x,y,z) (x,y,z)、空间中向量 r \boldsymbol{r} r和空间中的点 M M M的联系。这些事实使得向量之间的运算与代数建立起了联系(即用数学计算来解决向量之间的关系)。

    二、向量的坐标运算

    a = ( a x , a y , a z ) \boldsymbol{a}=(a_x,a_y,a_z) a=(ax,ay,az) b = ( b x , b y , b z ) \boldsymbol{b}=(b_x,b_y,b_z) b=(bx,by,bz),其对应坐标表示
    a = a x i + a y j + a z k b = b x i + b y j + b z k \boldsymbol{a}=a_x\boldsymbol{i}+a_y\boldsymbol{j}+a_z\boldsymbol{k}\quad \boldsymbol{b}=b_x\boldsymbol{i}+b_y\boldsymbol{j}+b_z\boldsymbol{k} a=axi+ayj+azkb=bxi+byj+bzk

    2.1 向量线性运算

    • 基底形式:
      a + b = ( a x ± b x ) i + ( a y ± b y ) j + ( a z ± b z ) k \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=(a_x\pm b_x)\boldsymbol{i}+(a_y \pm b_y)\boldsymbol{j}+(a_z\pm b_z)\boldsymbol{k} a+b=(ax±bx)i+(ay±by)j+(az±bz)k
      λ a = λ a x i + λ a y j + λ a z k \lambda \boldsymbol{a}=\lambda a_x\boldsymbol{i}+\lambda a_y\boldsymbol{j}+\lambda a_z\boldsymbol{k} λa=λaxi+λayj+λazk

    • 坐标形式:
      a + b = ( a x ± b x , a y ± b y , a z ± b z ) \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=(a_x \pm b_x,a_y \pm b_y,a_z\pm b_z) a+b=(ax±bx,ay±by,az±bz)
      λ a = ( λ a x , λ a y , λ a z ) \lambda \boldsymbol{a}=(\lambda a_x,\lambda a_y,\lambda a_z) λa=(λax,λay,λaz)

    2.2 向量间的数量积运算

    数量积又称点积。设一物体在恒力 F F F作用下沿直线从点 M 1 M_1 M1移动到 M 2 M_2 M2 s s s表示位移 M 1 M 2 → \overrightarrow {M_1M_2} M1M2 ,物理学上告诉我们,力 F F F作的功为:
    W = ∣ F ∣ ∣ s ∣ c o s θ W=|F||s|cos\theta W=Fscosθ
    其中 θ \theta θ F F F s s s的夹角。
    在这里插入图片描述
    抽象成数学表达:
    a ⋅ b = ∣ a ∣ ∣ b ∣ c o s θ \boldsymbol a \cdot \boldsymbol b=|a||b|cos\theta ab=abcosθ

    定义可知

    • a ⋅ a = ∣ a ∣ 2 \boldsymbol a \cdot \boldsymbol a=|a|^2 aa=a2
    • 向量 a ⊥ b \boldsymbol a \bot\boldsymbol b ab的充分必要条件是 a ⋅ b = 0 \boldsymbol a\cdot \boldsymbol b=0 ab=0

    满足以下性质

    • 交换律 a ⋅ b \boldsymbol a \cdot \boldsymbol b ab= b ⋅ a \boldsymbol b \cdot \boldsymbol a ba
    • 结合律 ( a + b ) ⋅ c = a ⋅ c + b ⋅ c (\boldsymbol a + \boldsymbol b)\cdot\boldsymbol c=\boldsymbol a \cdot \boldsymbol c+\boldsymbol b \cdot \boldsymbol c (a+b)c=ac+bc

    PS:向量夹角范围是[0 PI],所以不存在 a ⋅ b \boldsymbol a \cdot \boldsymbol b ab b ⋅ a \boldsymbol b \cdot \boldsymbol a ba夹角不一样的情况,都是一样的 θ \theta θ

    坐标形式的数量积
    a ⋅ b = ( a x b x + a y b y + a z b z ) (1) \boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=(a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z)\tag{1} ab=(axbx+ayby+azbz)(1)

    2.3 向量积和混合积

    • 向量积
      a × b = ( a y b z − a z b y , a z b x − a x b z , a x b y − a y b x ) (2) \boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}=(a_yb_z-a_zb_y,a_zb_x-a_xb_z,a_xb_y-a_yb_x)\tag{2} a×b=(aybzazbyazbxaxbz,axbyaybx)(2)
    • 混合积
      略。

    2.4 向量属性

    设向量坐标为: r = ( x , y , z ) \boldsymbol{r}=(x,y,z) r=(x,y,z),对应向量形式为: r = x i + y j + z k \boldsymbol{r}=x\boldsymbol{i}+y\boldsymbol{j}+z\boldsymbol{k} r=xi+yj+zk

    • 模(大小)
      ∣ r ∣ = x 2 + y 2 + z 2 |\boldsymbol{r}|=x^2+y^2+z^2 r=x2+y2+z2
      设空间中的两点 A A A B B B,其坐标分别为设 a = ( x 1 , y 1 , z 1 ) \boldsymbol{a}=(x_1,y_1,z_1) a=(x1,y1,z1) b = ( x 1 , y 2 , z 3 ) \boldsymbol{b}=(x_1,y_2,z_3) b=(x1,y2,z3)
      根据三角或平行四边形法则, A B → = O B → − O A → = ( x 2 − x 1 , y 2 − y 1 , z 2 − z 1 ) \overrightarrow {AB}=\overrightarrow {OB}-\overrightarrow {OA}=(x_2-x_1,y_2-y_1,z_2-z_1) AB =OB OA =(x2x1y2y1,z2z1),其大小为 ∣ A B ∣ = ( x 2 − x 1 ) 2 + ( y 2 − y 1 ) 2 + ( z 2 − z 1 ) 2 |AB|=(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2 AB=(x2x1)2+(y2y1)2+(z2z1)2

    • 方向角和方向余弦
      一个非零向量与三个坐标轴的夹角称为向量在坐标系下的方向角,对应的余弦值为方向余弦。三个方向余弦的平方和等于1。换句话说,一个向量在坐标系上有唯一的比例关系:余弦
      1

    2.5 向量间的关系

    • 平行
      当向量 a ≠ 0 \boldsymbol{a} \ne\boldsymbol{0} a=0,向量 a \\ b \boldsymbol{a}\verb|\\|\boldsymbol{b} a\\b相当于 a = λ b \boldsymbol{a}=\lambda\boldsymbol{b} a=λb,坐标表示为:
      ( b x , b y , b z ) = λ ( a x , a y , a z ) (3) (b_x,b_y,b_z)=\lambda(a_x,a_y,a_z)\tag{3} (bx,by,bz)=λ(ax,ay,az)(3)
      或者:
      b x a x = b y a y = b z a z (4) \frac{b_x}{a_x}=\frac{b_y}{a_y}=\frac{b_z}{a_z}\tag{4} axbx=ayby=azbz(4)
      如果向量 a \boldsymbol{a} a的坐标有一个为零,那么将分式去掉并添加对应 b \boldsymbol{b} b坐标等于零约束。

    - 投影(非常重要)
    在这里插入图片描述
    给定一个点 O O O和一个单位向量 e \boldsymbol{e} e可以确定一个延伸至无穷远的数轴 u \boldsymbol u u,在这个空间上任取一个向量记为 O M → = r \overrightarrow{OM}=\boldsymbol{r} OM =r(平移至共起点),过待投影的向量 r \boldsymbol r r终点作一个垂直于数轴 u u u的平面,相交于 M ′ M' M(M在数轴 u u u点投影),向量 O M ′ → \overrightarrow{OM'} OM 叫做向量 r \boldsymbol{r} r u \boldsymbol u u轴上的分向量。

    任何一个在数轴 u u u上的向量都可以在用一个数 λ \lambda λ和同方向的单位向量 e e e表示,如下:
    O M ′ → = λ e \overrightarrow{OM'}=\lambda{\boldsymbol{e}} OM =λe
    这个数在数学上被称为向量 r \boldsymbol r r u \boldsymbol u u上的向量投影,记作 P r j u r Prj_u\boldsymbol{r} Prjur ( r ) u (\boldsymbol{r})_u (r)u

    按照投影的观点,直角坐标系上的一个向量 a \boldsymbol a a在直角坐标系 O x y z Oxyz Oxyz上的坐标为( a x , b x , c x a_x,b_x,c_x ax,bx,cx)就是向量 a \boldsymbol a a在三个坐标轴上的投影,也就是:
    a x = P r j x a , a y = P r j y a , a z = P r j z a a_x=Prj_x\boldsymbol a,a_y=Prj_y\boldsymbol a,a_z=Prj_z\boldsymbol a ax=Prjxaay=Prjyaaz=Prjza
    或者你更习惯这种表示方式:
    a x = ( a ) x , a y = ( a ) y , a z = ( a ) z a_x=(\boldsymbol a)_x,a_y=(\boldsymbol a)_y,a_z=(\boldsymbol a)_z ax=(a)xay=(a)yaz=(a)z

    投影有以下性质:

    • 性质1 ( a ) u = ∣ a ∣ c o s φ (\boldsymbol a)_u=|a|cos\varphi (a)u=acosφ,其中 φ \varphi φ是向量 a \boldsymbol a a u \boldsymbol u u轴的夹角;
    • 性质2 ( a + b ) u = ( a ) u + ( b ) u (\boldsymbol a+\boldsymbol b)_u=(\boldsymbol a)_u+(\boldsymbol b)_u (a+b)u=(a)u+(b)u;
    • 性质3 ( λ a ) u = λ ( a ) u (\lambda \boldsymbol a)_u=\lambda (a)_u (λa)u=λ(a)u
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  • 向量坐标运算

    千次阅读 2013-11-26 10:09:04
    坐标表示: 向量的模:

    坐标表示:

    ,


    向量的模:


    向量点乘:


    向量叉乘:


    \vec{a}\times\vec{b}=\left|\vec{a} \right|\cdot\left|\vec{b} \right|\cdot\sin<\vec{a},\vec{b}>=  
    \begin{vmatrix} \vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\x1 & y1& z1 \\ x2 & y2&z2 \end{vmatrix}=\left(y1 \cdot z2-y2 \cdot z1,x2 \cdot z1-x1 \cdot z2,x1 \cdot y2-x2 \cdot y1 \right)  

    方向为 旋转到 ,大拇指的指向。(右手法则)




    附上两个在线数学公式编辑工具(latex)

    http://codecogs.izyba.com/products/eqneditor/editor.php

    http://www.numberempire.com/texequationeditor/equationeditor.php

    公式编辑参考https://phil-commune.net/bbs/thread-885-1-1.html

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  • R3空间曲线坐标系变换及向量分析

    千次阅读 2019-09-11 19:58:17
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空空如也

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向量的坐标运算法则