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  • 引导:高一、高三一轮复习阅读● 本文适合高一学生预习与章节复习时阅读,也适合高三学生一轮复习时阅读;● 阅读时建议先看视频,再读...01向量的概念、加减法则视频:向量的概念、加减法则、1、向量:既有大小,又...
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    引导:高一、高三一轮复习阅读

    ● 本文适合高一学生预习与章节复习时阅读,也适合高三学生一轮复习时阅读

    ● 阅读时建议先看视频,再读文字;

    ● 看视频时注意及时暂停,深入思考,步步为营,理解透彻。

    向量是一个很好的数学工具,能实现图形的运算。高中向量知识是学生较易克服的一个难点。实际学习中发现,偏文的同学普遍觉得向量较难。

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    01

    向量的概念、加减法则

    视频:向量的概念、加减法则、

    1、向量:既有大小,又有方向的量,具有双重性,不能比较大小。

    2、向量与起点、终点的位置没有关系,只与起点、终点的相对位置有关。

    3、向量表示法:有向线段法、单字母法、双字母法

    4、单位向量:模长为1的向量。

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    把平面上一切单位向量的始点放在同一点,那么这些向量的终点所构成的图形是圆。

    5、相等向量:大小相等、方向相同的向量。

    6、相反向量:大小相等、方向相反的向量。

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    7、向量加法法则。

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    8、向量减法法则。

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    注:利用三角形法则,可以合并或分解向量。为了加快计算速度,在理解的基础上要记忆:同起点向量之差是由减向量终点指向被减向量终点的向量。

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    02

    向量的数乘与平行向量基本定理

    视频:向量数乘与平行向量基本定理。

    9、数乘向量:

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    10、数乘向量满足如下运算律:

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    11、平行(共线)向量基本定理:

    向量a(a≠0)与b共线,当且仅当有唯一一个实数λ,使b=λ 。

    12、数乘说明:

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    03

    平面向量基本定理

    视频:平面向量基本定理

    13、平面向量基本定理:

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    我们把不共线向量e1、e2叫做这一平面内所有向量的一个基底。

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    人生有缘才相遇 扫码相识更有趣

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            视频学习

            天然有趣

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    问题引入

    在这里插入图片描述
    那么这些公式有什么联系,它们的共性是什么,能不能把这些公式写成简单,并且实际意义更明显的形式。

    向量场的积分

    常力在dr这一段位移上所做的功,也可以看成向量沿dr方向的一个换流量。前面介绍的对坐标的曲线积分。
    向量T就是曲线γ的单位切向量,它的方向和γ的方向一致。
    在这里插入图片描述

    n是曲面Σ的单位法向量。这里的cosα,cosβ,cosγ是n方向余弦

    在这里插入图片描述

    梯度、散度与旋度

    在这里插入图片描述

    在这里插入图片描述

    在这里插入图片描述

    散度与旋度的运算法则

    在这里插入图片描述

    积分公式的向量形式

    在这里插入图片描述

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    格林公式是二维空间推广到三维就是高斯公式

    在这里插入图片描述
    如果把斯托克斯公式取成xoy平面的区域D,
    在这里插入图片描述
    这时候斯托克斯公式就退化为格林公式,因此格林公式是斯托克斯公式的一个特例。

    在这里插入图片描述
    这几个公式的共性,公式右端的积分区域都是左端积分区域的边界,
    而且左端积分的被积函数,都是右端函数的某一种形式的导数。

    应用举例

    例题1

    在这里插入图片描述

    在这里插入图片描述

    在这里插入图片描述

    例题2

    在这里插入图片描述
    任何一个向量场生成一个旋度场,这个旋度场就是一个无源场。
    任何一个三原函数它所构成的梯度场,一定是一个无旋场。

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  • 向量数量积定义当我们学习到了向量数量积的定义这时我们心中可能会有疑问,为什么要学...向量的分解首先,由平面向量基本定理可知,平面中的任意向量都可表示成两个不共线向量的线性组合,也可以理解为任意向量都可...

    向量数量积定义

    当我们学习到了向量数量积的定义

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    这时我们心中可能会有疑问,为什么要学数量积?如此定义数量积的意义是什么?

    其实数学中所有概念的定义都不是凭空而来的,都是为了解决一类问题而定义的,这些概念和定义是有实际意义的。那么接下来我将根据自己的理解来解释一下向量数量积的这么定义的意义。

    向量的分解

    首先,由平面向量基本定理可知,平面中的任意向量都可表示成两个不共线向量的线性组合,也可以理解为任意向量都可以分解成两个不共线的向量。垂直是一种特殊的不共线的位置关系,我们认为垂直的两个方向之间是互相不影响的,因此我们经常选择互相垂直的两个单位向量作为基本向量,可以将任意一个向量表示成这两个向量的线性组合,这就是坐标表示平面向量的由来。因此我们经常会把向量在两个互相垂直的方向上进行分解。

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    两个向量的互相作用

    假设平面中有两个向量FL,可将向量F分解成与向量L垂直的分量和与向量L共线的分量。有这么一种情况,当向量F在与向量L垂直方向的分量上不会对向量L产生作用,而在与向量L共线方向的分量才会对向量L产生作用。例如力和位移是两个向量,力在与位移共线的方向上才会做功,与位移垂直的方向上不会做功,而且做的功为共线两个向量大小的乘积。

    为了表示这种向量之间的互相作用,才有了向量数量积的定义,数量积的计算结果为一个向量与另一个向量在其方向分量的大小的乘积。

    只有明白向量数量积定义的意义,我们才能更好地理解和进一步学好向量。

    本文由小朱与数学原创,欢迎关注,带你一起长知识!

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  • 向量的基本运算

    万次阅读 2018-09-13 18:54:53
    向量是什么 向量就是给定一个点A,连接原点到点A,并具有由O到A方向的连线,表示为OA→OA→\vec{OA}. 书本的定义:向量就是具有大小和方向东西。 大小(magnitude) 向量的大小(magnitude)写作∥x∥‖x‖\...

    向量是什么

    向量就是给定一个点A,连接原点到点A,并具有由O到A方向的连线,表示为OA\vec{OA}. 书本的定义:向量就是具有大小和方向东西。

    fig1

    大小(magnitude)

    向量的大小(magnitude)写作x\Vert x \Vert,称为模(norm).
    通过(Pythagoras’ theorem)毕达哥拉斯定理求模如下图,
    OA2=OB2+AB2{OA}^2 = {OB}^2 + {AB}^2
    OA2=32+42{OA}^2 = {3}^2 + {4}^2
    x=5\Vert x \Vert = 5

    fig2

    方向(direction)

    定义向量u(u1,u2)\mathbf{u} (u_1,u_2)的方向为向量w(u1u,u2u)\mathbf{w}(\frac{u_1}{\|u\|}, \frac{u_2}{\|u\|})。如下图:
    fig3

    可以看到:
    cos(θ)=u1ucos(\theta)=\frac{u_1}{\|u\|}
    cos(α)=u2ucos(\alpha)=\frac{u_2}{\|u\|}
    所以向量u(3,4)\mathbf{u}(3,4)方向向量是w(0.6,0.8)\mathbf{w}(0.6,0.8)。方向向量的模为1.如下图
    fig4

    两个向量的加法

    任意给给两个向量u(u1,u2)\mathbf{u} (u_1, u_2)v(v1,v2)\mathbf{v} (v_1, v_2)两个向量相加:u+v=(u1+v1,u2+v2)\mathbf{u}+\mathbf{v}= (u_1+v_1, u_2+v_2)

    ![fig5](https://imgconvert.csdnimg.cn/aHR0cHM6Ly9pMi53cC5jb20vd3d3LnN2bS10dXRvcmlhbC5jb20vd3AtY29udGVudC91cGxvYWRzLzIwMTQvMTEvMDUtc3VtLW9mLXR3by12ZWN0b3JzLWUxNDE1NTUzMjA3MzQwLnBuZw)

    两个向量的减法

    任意给给两个向量u(u1,u2)\mathbf{u} (u_1, u_2)v(v1,v2)\mathbf{v} (v_1, v_2)两个向量相减:uv=(u1v1,u2v2)\mathbf{u}-\mathbf{v}= (u_1-v_1, u_2-v_2)。 方向指向被减数的方向。
    fig6

    向量的点积(dot product)

    xy=xycos(θ)\mathbf{x} \cdot \mathbf{y} = \|x\| \|y\|cos(\theta), θ\theta 为两个向量的夹角。
    推导过程如下:
    fig7

    根据前面的分析我们知道,
    cos(β)=adjacenthypotenuse=x1xcos(\beta) =\frac{adjacent}{hypotenuse} =\frac{x_1}{\|x\|}
    sin(β)=oppositehypotenuse=x2xsin(\beta) =\frac{opposite}{hypotenuse} =\frac{x_2}{\|x\|}
    cos(α)=adjacenthypotenuse=y1ycos(\alpha) =\frac{adjacent}{hypotenuse} =\frac{y_1}{\|y\|}
    sin(α)=oppositehypotenuse=y2ysin(\alpha) =\frac{opposite}{hypotenuse} = \frac{y_2}{\|y\|}
    从图片中得到 θ=βα\theta = \beta - \alpha, 那么cos(θ)=cos(βα)cos(\theta) = cos(\beta - \alpha)
    cos(βα)=cos(β)cos(α)+sin(β)sin(α)cos(\beta - \alpha) = cos(\beta)cos(\alpha) + sin(\beta)sin(\alpha)
    于是,
    cos(θ)=cos(βα)=cos(β)cos(α)+sin(β)sin(α)cos(\theta) = cos(\beta - \alpha) = cos(\beta)cos(\alpha) + sin(\beta)sin(\alpha)
    cos(θ)=x1xy1y+x2xy2ycos(\theta) = \frac{x_1}{\|x\|}\frac{y_1}{\|y\|}+ \frac{x_2}{\|x\|}\frac{y_2}{\|y\|}
    cos(θ)=x1y1+x2y2xycos(\theta) = \frac{x_1y_1 + x_2y_2}{\|x\|\|y\|}
    xycos(θ)=x1y1+x2y2 \|x\|\|y\|cos(\theta) = x_1y_1 + x_2y_2

    点积的算术定义就出来,
    xy=x1y1+x2y2=i=12(xiyi)\mathbf{x} \cdot \mathbf{y} =x_1y_1 + x_2y_2 = \sum_{i=1}^{2}(x_iy_i)
    从上面的集合定义也能知道,两个向量的点积是一个数。

    向量的正交投影

    如图给定两个向量xy,那么向量xy上的投影为z
    fig8
    通过上面的学习我们知道,
    cos(θ)=zxcos(\theta)= \frac{\|z\|}{\|x\|}
    z=xcos(θ)\|z\|=\|x\|cos(\theta)
    点积cos(θ)=xyxycos(\theta) = \frac{\mathbf{x} \cdot \mathbf{y}}{\|x\|\|y\|}
    于是可以推导得
    z=xyy\|z\|=\frac{\mathbf{x} \cdot \mathbf{y}}{\|y\|}
    另外我们知道方向向量的,如果u表示向量y的方向向量,u=yy\mathbf{u}=\frac{\mathbf{y}}{\|y\|}, 那么向量x在向量y上面的投影可以由下式计算:
    z=ux\|z\|=\mathbf{u} \cdot \mathbf{x}

    我们还注意到,向量x在向量y上的投影得到的向量z,它的方向向量和向量y的方向向量是一致的,所以向量z可表示为z=zu\mathbf{z}=\|z\|\mathbf{u}

    知道了向量x在向量y上面的投影z后,我们就能够计算向量x-z的距离:
    xz=(34)2+(51)2=17\|x-z\| = \sqrt{(3-4)^2 + (5-1)^2}=\sqrt{17}

    fig9

    详见原文地址:https://www.svm-tutorial.com/2014/11/svm-understanding-math-part-2/

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