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  • 向量的叉乘运算法则

    万次阅读 2021-01-13 03:30:55
    向量的叉乘运算法则为|向量c|=|向量向量b|=|a||b|sin,向量的外积不遵守乘法交换率,因为向量向量b=-向量向量a。点乘和叉乘的区别点乘,也叫向量的内积、数量积。顾名思义,求下来的结果是一个数。向量a·...

    向量的叉乘运算法则为|向量c|=|向量a×向量b|=|a||b|sin,向量的外积不遵守乘法交换率,因为向量a×向量b=-向量b×向量a。

    点乘和叉乘的区别

    点乘,也叫向量的内积、数量积。顾名思义,求下来的结果是一个数。

    向量a·向量b=|a||b|cos

    在物理学中,已知力与位移求功,实际上就是求向量F与向量s的内积,即要用点乘。

    叉乘,也叫向量的外积、向量积。顾名思义,求下来的结果是一个向量,记这个向量为c。

    |向量c|=|向量a×向量b|=|a||b|sin

    向量c的方向与a,b所在的平面垂直,且方向要用“右手法则”判断(用右手的四指先表示向量a的方向,然后手指朝着手心的方向摆动到向量b的方向,大拇指所指的方向就是向量c的方向)。

    向量的外积不遵守乘法交换率,因为向量a×向量b=-向量b×向量a。

    物理学中的应用

    在物理学中,已知力与力臂求力矩,就是向量的外积,即叉乘。

    将向量用坐标表示(三维向量),

    若向量a=(a1,b1,c1),向量b=(a2,b2,c2),

    则向量a×向量b=| i j k ||a1 b1 c1||a2 b2 c2|=(b1c2-b2c1,c1a2-a1c2,a1b2-a2b1)

    (i、j、k分别为空间中相互垂直的三条坐标轴的单位向量)。

    展开全文
  • 答:数字的加、减、乘、除的基本运算同理,上一篇学习了什么是向量之后,我们接着来学习向量基本运算我们先来看一个东西,如下图相信,很多人都不会陌生,我们高中学习物理的时候,都学习过平行四边形定则。...

    我们在小学的时候,学完了什么是数字之后,接下来学习的是什么呢?

    答:数字的加、减、乘、除的基本运算

    同理,上一篇学习了什么是向量之后,我们接着来学习向量的基本运算

    我们先来看一个东西,如下图

    相信,很多人都不会陌生,我们高中学习物理的时候,都学习过平行四边形定则。两个力合成时,以表示这两个力的线段为邻边作平行四边形,这个平行四边形的对角线就表示合力的大小和方向,这就叫做平行四边形定则(Parallelogram law)。

    但是为什么会这样啊?大家想过没有??

    虽然可以从不同的角度,不同的学科来解释,但是这里数学的几何来直观的解释:

    我们知道力是矢量,也就是向量,既有大小又有方向

    我们使用下面数学的这个例子来说明平行四边形法则:

    我们可以理解为:

    从原点出发,先走到(5,2)这个位置,再从(5,2)这个位置出发,再走(2,5)这个向量所对应的这么多的位移,最终我们到达的这个位置就是向量加法的结果最终的结果相当于从(0,0)这个位置到达了(7,7)这个位置的位移

    连接起点(0,0)和终点(7,7)就有一个三角形的形状,这不就是我们物理中学习的三角形定则吗?

    其实;三角形定则是平行四边形定则的简化。平行四边形定则的实质是一样的 ,都是矢量运算法则的表述方式。

    如果我们在三角形的另外一侧相应的补上和这两个向量平行的两条边的话,就出现了平行四边形

    总结这个过程:

    从原点(0,0)出发,先向x轴方向移动了5个单位,再向y轴移动了2个单位,这个就是(5,2)这个向量表示的含义

    接着,从(5,2)这个坐标点,先向x轴移动2个单位,再向y轴移动5个单位,(2,5)向量表示的含义

    最终我们从原点(0,0),总共向x轴移动了7个单位,总共向y轴移动了7个单位,这就是我们得到的向量(7,7)

    总结出结论:

    抽象,从2维扩展到3维:

    同样扩展到n维:

    这里向量的减法就不做说明和演示了,因为减法的本质其实可以理解为加法,因为“减去一个数相当于加上这个数的相反数”

    向量的数量乘法:

    总结:

    下面使用Python来实现向量的基本运算:

    class Vector:

    def __init__(self, lst):

    self._values = list(lst)

    def __add__(self, another):

    """向量加法,返回结果向量"""

    assert len(self) == len(another), \

    "Error in adding. Length of vectors must be same."

    # return Vector([a + b for a, b in zip(self._values, another._values)])

    return Vector([a + b for a, b in zip(self, another)])

    def __sub__(self, another):

    """向量减法,返回结果向量"""

    assert len(self) == len(another), \

    "Error in subtracting. Length of vectors must be same."

    return Vector([a - b for a, b in zip(self, another)])

    def __mul__(self, k):

    """返回数量乘法的结果向量:self * k"""

    return Vector([k * e for e in self])

    def __rmul__(self, k):

    """返回数量乘法的结果向量:k * self"""

    return self * k

    def __pos__(self):

    """返回向量取正的结果向量"""

    return 1 * self

    def __neg__(self):

    """返回向量取负的结果向量"""

    return -1 * self

    def __iter__(self):

    """返回向量的迭代器"""

    return self._values.__iter__()

    def __getitem__(self, index):

    """取向量的第index个元素"""

    return self._values[index]

    def __len__(self):

    """返回向量长度(有多少个元素)"""

    return len(self._values)

    def __repr__(self):

    return "Vector({})".format(self._values)

    def __str__(self):

    return "({})".format(", ".join(str(e) for e in self._values))

    测试代码:

    from playLA.Vector import Vector

    if __name__ == "__main__":

    vec = Vector([5, 2])

    print(vec)

    print("len(vec) ={}".format(len(vec)))

    print("vec[0] ={}, vec[1] ={}".format(vec[0], vec[1]))

    vec2 = Vector([3, 1])

    print("{}+{}={}".format(vec, vec2, vec + vec2))

    print("{}-{}={}".format(vec, vec2, vec - vec2))

    print("{}*{}={}".format(vec, 3, vec * 3))

    print("{}*{}={}".format(3, vec, 3 * vec))

    print("+{}={}".format(vec, +vec))

    print("-{}={}".format(vec, -vec))

    运行结果:

    向量运算的基本性质:

    回忆我们⼩学时学习的数的运算,我们也要先有数的运算的相关性质,之后才敢进⾏更加复杂的运算

    ⽐如:加法交换律,乘法交换律,加法结合律,乘法结合律,等等

    对于向量运算,我们也要这么做

    零向量

    Python实现零向量:

    只需要在我们的Vector方法中添加一个这样的类方法:

    @classmethod

    def zero(cls, dim):

    """返回一个dim维的零向量"""

    return cls([0] * dim)

    测试效果:

    总结:

    两个视角看待了向量:有向的线段

    高维空间中的数据点

    两个视角可以相互转换

    展开全文
  • matlab-向量基本运算

    2021-07-30 09:27:08
    matlab-向量与矩阵 列向量column vectors: 用方括号括起来的一组分号分隔的数字 a=[1;2;3;4] a = 1 2 3 4 标量乘法: 用一个数字乘以一个列向量 c=3; b=c*a b = 3 6 9 12 行向量: 用一组...

    matlab-向量与矩阵

    列向量column vectors:
    用方括号括起来的一组分号分隔的数字

    a=[1;2;3;4]

    a =

       1       
       2       
       3       
       4     
    

    标量乘法:
    用一个数字乘以一个列向量

    c=3;
    b=c*a

    b =

       3       
       6       
       9       
      12    
    

    行向量:
    用一组数字括在方括号中,但使用空格或逗号来分隔数字

    a=[1 2 3 4]

    a =

       1              2              3              4       
    

    转置:
    用一个引号或记号来表示转置操作(’)

    b=a’

    b =

       1       
       2       
       3       
       4      
    

    向量的加减:必须要是同类型的两个向量

    通过已有的向量创建更大的向量:

    a=[1;4;5];
    b=[2;3;3]
    d=[a;b]

    d =

       1       
       4       
       5       
       2       
       3       
       3     
    

    r=[1 2 3];
    o=[5 6 7];
    p=[r o]

    p =

       1              2              3              5              6              7       
    

    创建具有一致性间隔的向量:
    x=[xi:q:xe]
    xi是第一个元素,xe是最后一个元素,q是增量.

    x=[0:2:10]

    x =

       0              2              4              6              8             10 
    

    可以用此来创建用于绘图的自变量的取值列表

    format short
    x=[0:0.1:1]

    x =

         0    0.1000    0.2000    0.3000    0.4000    0.5000    0.6000    0.7000    0.8000    0.9000    1.0000
    

    这组x的值可以用来创建表示某个给定函数的值的自变量的取值列表.

    y=exp(x)

    y =

    1.0000    1.1052    1.2214    1.3499    1.4918    1.6487    1.8221    2.0138    2.2255    2.4596    2.7183
    

    y=x^2
    错误使用 ^ (第 51 行)
    用于对矩阵求幂的维度不正确。请检查并确保矩阵为方阵并且幂为标量。要执行按元素矩阵求幂,请使用 ‘.^’。

    对向量求平方注意符号:

    y=x.^2

    y =

         0    0.0100    0.0400    0.0900    0.1600    0.2500    0.3600    0.4900    0.6400    0.8100    1.0000
    

    在创建均匀间距元素阵列的过程中,可以选择一个负增量.

    x=[100:-10:0]

    x =

    100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0

    linspace(a,b)
    创建一个包含100个规则间距元素的行向量,各个元素的取值范围在a到b之间.
    linspace(a,b,n)
    创建一个包含n个规则间距元素的行向量,各个元素的取值范围在a到b之间.

    linspace(1,10,5)

    ans =

    1.0000    3.2500    5.5000    7.7500   10.0000
    

    logspace(a,b,n)
    创建n个规则间距元素的行向量,各个元素的取值范围在 1 0 a 10^a 10a 1 0 b 10^b 10b之间.

    logspace(1,2,5)

    ans =

    10.0000 17.7828 31.6228 56.2341 100.0000

    向量的特征化
    length():
    返回一个向量中包含元素的数量

    a=[1;2;3;4]

    a =

     1
     2
     3
     4
    

    length(a)

    ans =

     4
    

    a=[1 2 3 4];
    length(a)

    ans =

     4
    

    可以使用max和min命令查找向量中的最大和最小元素

    a=[1 2 3 4];
    x=max(a);
    b=min(a);
    x

    x =

     4
    

    b

    b =

     1
    

    列向量模的计算
    向量点积(.*)

    a=[1;2;3];
    j=a.*a

    j =

     1
     4
     9
    

    b=sum(j)

    b =

    14
    

    p=sqrt(b)

    p =

    3.7417
    

    行向量的模:
    |u|= u ∗ u ′ \sqrt{\smash[b]{u*u'}} uu

    a=[1 2 3];
    b=a’;
    c=a*b

    c =

    14
    

    d=sqrt ( c ) (c) (c)

    d =

    3.7417
    

    注意矩阵(. ∗ * )与( ∗ * )的区别

    a=[1 2 3];
    b=a’;c=b.*a

    c =

     1     2     3
     2     4     6
     3     6     9
    

    (. ∗ * ):矩阵对应元素相乘
    ( ∗ * )矩阵相乘

    abs:
    返回向量的绝对值,其元素就是原始向量中元素的绝对值

    a=[-1 -4 9];
    abs(a)

    ans =

     1     4     9
    

    向量点积和叉积

    A*B= ∑ i = 1 \displaystyle\sum_{i=1} i=1 a i a_i ai b i b_i bi
    dot(A,B)求解

    A=[1;4;7];
    B=[2;-1;5];
    C=dot(A,B)

    C =

    33
    

    通过点积来计算向量的大小:

    A=[1 2 3];
    m=sqrt(dot(A,A))

    m =

    3.7417
    

    cross(A,B)
    计算向量的叉积,但向量必须是三维的.

    A=[1 2 3];
    B=[2 3 4];
    d=cross(A,B)

    d =

    -1     2    -1
    

    引用向量中的元素:
    向量v的第i个分量可以通过写入v(i)来引用

    A=[1 2 3];
    A(2)

    ans =

     2
    

    使用冒号引用向量,v( : : :),可以列出向量的所有分量.

    A( : : :)

    ans =

     1
     2
     3
    

    A(4:6)
    引用4到6个分量,来创建一个具有三个分量的新向量.

    A=[1 2 3 4 5 6 7 8 9];
    A(4:6)

    ans =

     4     5     6
    
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  • 四元数与三维向量相乘运算法则四元数与三维向量相乘运算法则参考网站:https://www.cnblogs.com/jeason1997/p/9822353.html四元数和向量相乘可以表示这个向量按照这个四元数进行旋转之后得到的新的向量。例如:向量 ...

    四元数与三维向量相乘运算法则

    四元数与三维向量相乘运算法则

    参考网站:

    https://www.cnblogs.com/jeason1997/p/9822353.html

    四元数和向量相乘可以表示这个向量按照这个四元数进行旋转之后得到的新的向量。

    例如:向量 c(0,0,10) 绕着Y轴旋转90°,得到新的向量是 c(10,0,0)。

    通常四元ss被记为(w,x,y,z)或(x,y,z,w),以下q表示四元数,v表示向量,那么四元数和向量相乘的运算法则表示为:

    q x v = (q) x (v) x (q-1)

    例: q = (√2/2 , 0 , √2/2 , 0);

    这里需要将三维向量v扩充为四元数(0,v), 如c(0,0,10)变为c(0,0,0,10);

    q-1 是四元数q的逆,求逆过程如下:

    共轭四元数:q*=(w,-x,-y,-z) 则为 (√2/2 , 0 ,-√2/2 , 0)

    四元数的模:N(q) = √(x2 + y2 + z2+ w2 ),通常四元数表示为单位四元数,所以模等于1

    四元数的逆: q-1 = q*/N(q) 则为 (√2/2 , 0 ,-√2/2 , 0)

    四元数的乘法公式:

    7b04404cd87e2c403788cbcfd682b882.png

    按照上述公式可得到新四元数(0,10,0,0),则旋转后新坐标为(10,0,0)

    按上述方法计算所得到的新四元数的首项一定等于0。

    上述方法 R语言实现:

    计算共轭四元数

    q_star

    qstar

    return(qstar)

    }

    计算四元数模

    Nq

    N

    return(N)

    }

    计算四元数的逆

    q_reverse

    qreverse

    return(qreverse)

    }

    叉乘公式

    q_multiply

    w1

    x1

    y1

    z1

    w2

    x2

    y2

    z2

    amulb

    (w1*y2+y1*w2+z1*x2-x1*z2),(w1*z2+z1*w2+x1*y2-y1*x2))

    return(amulb)

    }

    四元数与三维向量相乘

    mul

    a

    b

    return(b)

    }

    四元数与三维向量相乘运算法则相关教程

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  • 我正在尝试使用Theano来计算关于向量以及几个标量的函数的粗糙度(编辑:也就是说,我基本上希望附加到我正在计算粗麻布的向量的标量) .这是一个最小的例子:import theanoimport theano.tensor as TA = T.vector('A')...
  • 向量基本概念

    2021-03-27 14:14:51
    向量基本概念1. 线性运算1.1 加减法运算1.2 共线定理知识点结论总结2. 等比数列 1. 线性运算 1.1 加减法运算 向量加法的三角形法则:将第一个向量的终点与第二个向量的起点重合,以第一个向量的起点为起点,第二...
  • MATLAB入门教程* 1* 下一篇文章1.MATLAB的基本知识1-1、基本运算与函数在MATLAB下进行基本数学运算,只需将运算式直接打入提示号(>>)之後,并按入Enter键即可。例如:>> (5*2+1.3-0.8)*10/25ans =4....
  • 遗言 恩,你没听错,就是遗言,因为大学的时候是一名学渣,没有好好学习3D图形相关的几何知识....向量运算 负向量 要得到任意维度向量的负向量,只需要简单地将向量地每一个分量变负即可.数学表达式如下. -[a1,a..
  • 7.1.1 分段线性插值所谓分段线性插值就是通过插值点用折线段连接起来逼近原曲线,这也是计算机绘制图形的基本原理。实现分段线性插值不需编制函数程序,MATLAB自身提供了内部函数interp1其主要用法如下:interp1(x,y...
  • 向量叉乘公式是什么啊

    千次阅读 2021-02-05 03:17:56
    |向量c|=|向量向量b|=|a||b|sin向量c的方向与a,b所在的平面垂直,且方向要用“右手法则”判断(用右手的四指先表示向量a的方向,然后手指朝着手心的方向摆动到向量b的方向,大拇指所指的方向就是向量c的...
  • 三维空间中平面的法向量计算

    千次阅读 2020-12-19 03:13:50
    三维空间中平面的法向量计算取平面上三点分别为: P1(x1,y1,z1), P2(x2,y2,z2), P3(x3,y3,z3), 设法向量为(dx,dy,dz), 则法向量满足以下等式:(x2-x1)*dx+(y2-y1)*dy+(z2-z1)*dz=0;(x3-x1)*dx+(y3-y1)*dy+(z3-z1...
  • 掌握基本Matlab运算规则;掌握Matlab帮助的使用方法;实验的设备及条件计算机一台(带有MATLAB7.0以上的软件环境)。实验内容要求建立一个名为experiment01.m的,把与实验内容1-7相关的实验命令都放入该文件中,题与题...
  • 向量加减法,向量的点积(乘),向量的叉积(乘) 向量 是用来表示既有大小又有方向的量,不过向量在空间中没有具体的位置,通常用一个加粗的小写字母来表示一个向量,或者不加粗顶上带有小箭头的小写字母来表示 ...
  • python_(1)_向量运算

    2021-06-01 16:28:24
    向量向量 import numpy as np a = np.array([1,2,3,4]) print(type(a)) print(a) <class 'numpy.ndarray'> [1 2 3 4] 列向量向量 相当于一个 n×1n\times1n×1 的矩阵 import numpy as np a = np....
  • 在WebGL的实际应用中我们广泛使用向量的几何运算计算角度、距离,判断点线、点面之间的关系,比如物体之间的碰撞检测。本文简要介绍三维计算机图形学中常用的基本运算的概念及其用途。点积(Dot Product)点乘比较...

空空如也

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向量的基本运算法则