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  • 向量的基本运算专题

    2019-10-08 19:36:12
    在OIOIOI中,我们简化了一下向量的存储方式及运算法则,我们定义向量为起点为(0,0)(0,0)(0,0)的一条有方向的线段。由于我们在考虑向量时只考虑其大小与方向,一般不考虑具体位置,故我们将向量平移至坐标...

    关于向量

    高中数学必修44说:

    几何向量是线性空间中有大小与方向的量。

    放图理解一下:

    如上图所示,向量可以形象的用一根箭头表示。箭头所指代表向量的方向,线段的长度代表向量的大小。

    OIOI中,我们简化了一下向量的存储方式及运算法则,我们定义向量为起点为(0,0)(0,0)的一条有方向的线段。由于我们在考虑向量时只考虑其大小与方向,一般不考虑具体位置,故我们将向量平移至坐标系原点处以简化运算。

    所以,在之后的讲解中,我们默认向量和点已经被存在了一个结构体里面(向量和点记录的东西都是一个坐标):

    struct Point{
    	double x,y;  //注意这个double
    };
    

    如果想分清楚具体是点还是向量,那么只需要在结构体后加入一句:

    typedef Point Vector;
    

    这样我们就可以只开一个结构体而做到存储两种量。

    tips:如果您觉得只用Point即可,那么请将后文的Vector全部视为Point(这样写出来也没有任何问题)

    向量的运算法则(具体原理请查阅数学必修44

    前置:模长

    A|A|表示向量AA的长度,为一个数。

    double Length(const Vector &p){
    	return sqrt(p.x*p.x+p.y*p.y);
    }
    
    前置:向量的方向


    (请暂且忽略BB以及βγ\beta和\gamma,后面要用)
    我们设向量AA(x,y)(x,y),那么
    cos(α)=sin(90α)=xAcos(\alpha)=sin(90^。-\alpha)=\frac{x}{|A|}
    sin(α)=cos(90α)=yAsin(\alpha)=cos(90^。-\alpha)=\frac{y}{|A|}
    那么,我们定义向量AA的方向为w(cos(α),sin(α))w(cos(\alpha),sin(\alpha))。

    点±向量=点
    //所有的重载运算符都定义在结构体外部,如果不重载运算符的话会很麻烦
    Point operator + (const Point &p,const Vector &q){
    	return (Point){p.x+q.x,p.y+q.y};
    }
    Point operator - (const Point &p,const Vector &q){
    	return (Point){p.x-q.x,p.y-q.y};
    }
    
    点-点=向量
    Vector operator - (const Point &p,const Point &q){
    	return (Vector){p.x-q.x,p.y-q.y};
    }
    

    友情提示:两个减的操作只需要写一个,如果实在看不顺眼,那么就讲其中一个减号改为另外一个不相冲突的符号。

    点+点无意义
    向量*常数=向量
    Vector operator * (const Vector &p,const double &k){
    									  //double很重要!!!
    	return (Vector){p.x*k,p.y*k};
    }
    
    向量/常数=向量
    Vector operator / (const Vector &p,const double &k){
    	return (Vector){p.x/k,p.y/k};
    }
    
    向量±向量=向量

    代码同点±向量

    向量的点积

    令向量X=(x1,x2),Y=(y1,y2),X=(x_1,x_2),Y=(y_1,y_2),则有:

    定义式:XY=XYcos(γ)X\cdot Y=|X||Y|cos(\gamma),其中γ\gammaX,YX,Y的夹角

    但更通用的是这样一个式子:XY=XYcos(γ)=x1y1+x2y2X\cdot Y=|X||Y|cos(\gamma)=x_1y_1+x_2y_2

    double Dot (const Vector &p,const Vector &q){
    	return p.x*q.x+p.y*q.y;
    }
    
    几何意义:A在B所在方向的投影的模长和B的模长的乘积
    tips:如果向量A,BA,B的点积为00,则A,BA,B垂直

    证明如下:

    我们有上面讲到的向量的方向可知,
    cos(α)=x1X,sin(α)=x2Ycos(\alpha)=\frac{x_1}{|X|},sin(\alpha)=\frac{x_2}{|Y|}
    cos(β)=y1X,sin(β)=y2Ycos(\beta)=\frac{y_1}{|X|},sin(\beta)=\frac{y_2}{|Y|}
    γ=αβ\gamma=\alpha-\beta得:
    cos(γ)=cos(αβ)cos(\gamma)=cos(\alpha-\beta)
    由数学必修4上一个著名公式得:
    cos(γ)=cos(αβ)=cos(β)cos(α)+sin(β)sin(α)cos(\gamma)=cos(\alpha-\beta)=cos(\beta)cos(\alpha)+sin(\beta)sin(\alpha)
    cos(γ)=x1X×y1Y+x2X×y2Ycos(\gamma)=\frac{x_1}{|X|}\times\frac{y_1}{|Y|}+\frac{x_2}{|X|}\times\frac{y_2}{|Y|}
    cos(γ)=x1y1+x2y2XYcos(\gamma)=\frac{x_1y_1+x_2y_2}{|X||Y|}
    XY=XYcos(γ)=x1y1+x2y2X\cdot Y=|X||Y|cos(\gamma)=x_1y_1+x_2y_2

    向量的叉积

    定义式:XY=XYsin(γ)X*Y=|X||Y|sin(\gamma)

    通用的式子:XY=XYsin(γ)=x1y2x2y1X*Y=|X||Y|sin(\gamma)=x_1y_2-x_2y_1

    double Cross (const Vector &p,const Vector &q){
    	return p.x*q.y-q.x*p.y;
    }
    

    证明大体同上,需要用到另一个著名的式子:

    sin(αβ)=sin(α)cos(β)cos(α)sin(β)sin(α-β)=sin(α)cos(β)-cos(α)sin(β)

    几何意义:A转到B所夹平行四边形的有向面积

    简单地解释一下:

    A,BA,B不共线的情况下,如果AABB上面,那么它们的叉积就小于0,0,反之则大于00

    如果A,BA,B共线,那么它们的叉积就等于00

    基础运算完整代码

    struct Point{
    	double x,y;
    };
    typedef Point Vector; 
    Point operator + (const Point &p,const Vector &q){
    	return (Point){p.x+q.x,p.y+q.y};
    }
    Vector operator - (const Point &p,const Point &q){
    	return (Vector){p.x-q.x,p.y-q.y};
    }
    Vector operator * (const Vector &p,const double &k){
    	return (Vector){p.x*k,p.y*k};
    }
    Vector operator / (const Vector &p,const double &k){
    	return (Vector){p.x/k,p.y/k};
    }
    double Dot (const Vector &p,const Vector &q){
    	return p.x*q.x+p.y*q.y;
    }
    double Cross (const Vector &p,const Vector &q){
    	return p.x*q.y-q.x*p.y;
    }
    double Length(const Vector &p){
    	return sqrt(Dot(p,p));
    }
    
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  • 数学篇(三)向量的基本运算

    千次阅读 2019-04-25 16:59:20
    1.1平面向量的加法运算 两个向量,; 向量满足四边形法则; 1.2平面向量的乘法运算 两个向量,; 向量乘表示为 ; 相比于向量加运算,向量乘运算要复杂点,很难看明白向量乘的几何意义; 将和用极坐标表示...

    1.平面向量

    1.1平面向量的加法运算

    两个向量\vec{A}=x_{1}+iy_{1}\vec{B}=x_{2}+iy_{2}

    向量满足四边形法则\vec{C}=\vec{A}+\vec{B}=(x_{1}+x_{2})+i(y_{1}+y_{2})

    1.2平面向量的乘法运算

    两个向量\vec{A}=x_{1}+iy_{1}\vec{B}=x_{2}+iy_{2}

    向量乘表示为

    \vec{D}=\vec{A}\cdot \vec{B}=(x_{1}+iy_{1})\cdot (x_{2}+iy_{2})=(x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2})+i(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1});

    相比于向量加运算,向量乘运算要复杂点,很难看明白向量乘的几何意义;

    \vec{A}\vec{B}用极坐标表示:\vec{A}=(\rho _{1},\theta_{1}),\vec{B}=(\rho _{2},\theta_{2})

    则向量乘法表示为:\vec{D}=(\rho _{1}\cdot \rho _{2},\theta_{1}+\theta_{2})=\rho_{1}\rho_{2}e^{i(\theta_{1}+\theta_{2})}

    2.空间向量

    如果三个向量\vec{a}\vec{b}\vec{c}不共面,那么对空间任一向量\vec{\rho },存在唯一的有序实数组\left \{ x \right.y \right.\left. z \right \},使的\vec{\rho }=x\vec{a}+y\vec{b}+z\vec{c}

    模长\left | \rho \right |=\sqrt[2]{x^{2}+y^{2}+z^{2}}

     

     

     

     

     

     

     

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  • 向量的运算

    2019-05-06 09:41:07
    基本运算 向量的加法 首尾相连法则(当然还有其他名字:平行四边形法则、三角形法则) 如图a⃗+b⃗\vec{a}+\vec{b}a+b就相当于将b⃗\vec{b}b的起点平移到a⃗\vec{a}a的终点(a⃗、b⃗\vec{a}、\vec{b}a、b以原点为起点)...

    向量

    有大小,有方向的量,记为a\vec{a}

    基本运算

    向量的加法

    首尾相连法则(当然还有其他名字:平行四边形法则、三角形法则)
    在这里插入图片描述
    如图a+b\vec{a}+\vec{b}就相当于将b\vec{b}的起点平移到a\vec{a}的终点(ab\vec{a}、\vec{b}以原点为起点),得到b\vec{b'},就如下图:

    在这里插入图片描述
    a+b=c\vec{a}+\vec{b}=\vec{c},因为它们作用效果一样,这就是首尾相连法则,即由a\vec{a}的起点,到b\vec{b'}的终点。

    向量的积

    数量积

    即一个向量与一个标量相乘,即数乘。
    如下图:
    在这里插入图片描述

    代数表示为:λa\lambda\vec{a}

    在这里插入图片描述


    内积

    两个向量点乘,代数表示为:ab=abcosθ\vec{a}\cdot \vec{b}=\mid\vec{a}\mid\mid\vec{b}\mid cos\theta

    意义为:a\vec{a}的大小与b\vec{b}a\vec{a}上的投影的大小的乘积

    乘积为标量

    a\vec{a}(x1,y1)(x_1,y_1),b\vec{b}(x2,y2)(x_2,y_2)

    ab=x1x2+y1y2\vec{a}\cdot \vec{b}=x_1*x_2+y_1*y_2

    具体证明略,详见6060课时学高中数学。


    外积

    两个向量叉乘为外积,外积是一个向量。

    a×b=absinθ=x1y2x2y1\vec{a}\times\vec{b}=\mid\vec{a}\mid\mid\vec{b}\mid sin\theta=x_1*y_2-x_2*y_1

    其中θ\theta表示a\vec{a}沿着逆时针方向旋转到b\vec{b}的度数。

    这里其实有点问题,外积是一个向量,但运算结果是一个标量(我解决不了),但是在计算几何中,用到的往往是关于与向量类似的运算,所以理解就好了。在做题中,我们仅仅只是用(伪外积)去求一个线段到另外一个线段,是如何旋转(度数严格小于180°180°),从而确定线段是顺时针还是逆时针旋转,或者用来去掉重复的面积的。

    这点应该要清楚理解。

    而不是

    a×b=absinθ=x1y2x2y1\mid\vec{a}\times\vec{b}\mid=\mid\vec{a}\mid\mid\vec{b}\mid sin\theta=x_1*y_2-x_2*y_1

    其中θ\theta表示a\vec{a}b\vec{b}的夹角(0θ180°0\le\theta\le 180°)度数。

    证明不知道。

    展开全文
  • 向量的基本概念

    2021-03-27 14:14:51
    向量的基本概念1. 线性运算1.1 加减法运算1.2 共线定理知识点结论总结2. 等比数列 1. 线性运算 1.1 加减法运算 向量加法的三角形法则:将第一个向量的终点与第二个向量的起点重合,以第一个向量的起点为起点,第二...

    1. 线性运算

    1.1 加减法运算

    1. 向量加法的三角形法则:将第一个向量的终点与第二个向量的起点重合,以第一个向量的起点为起点,第二个向量的终点为终点的向量为和向量。
    2. 向量加法的平行四边形法则:若两个向量是从同一点出发的不共线向量,以这两个向量为领边作平行四边形,则以同一起点为起点的对角线所对应的向量为和向量。
    3. 向量减法的三角形法则:将两个向量的起点放在一起,以减向量的终点为起点,被减向量的终点为终点的向量为差向量。

    1.2 共线定理

    知识点

    1. 一般地,我们规定实数 λλ 与向量 a\vec{a} 的积是一个向量,这种运算叫做向量数乘,记作 λaλ\vec{a},它的长度和方向规定如下:
      (1)λa=λa|λ\vec{a}| = |λ||\vec{a}|
      (2)当 λ>0λ>0 时,λaλ\vec{a}a\vec{a} 的方向相同;当 λ<0λ<0 时,λaλ\vec{a}a\vec{a} 的方向相反;当 λ=0λ=0 时,λaλ\vec{a} = 0\vec{0}

      根据实数与向量积的定义,有如下运算律:
      λ,μλ,μ 为实数,则:
      (1)λ(μa)=(λμ)aλ(μ\vec{a}) = (λμ)\vec{a}
      (2)(λ+μ)a=λa+μa(λ+μ)\vec{a} = λ\vec{a}+μ\vec{a}
      (2)λ(a+b)=λa+λbλ(\vec{a}+\vec{b}) = λ\vec{a}+λ\vec{b}

    2. 向量 a(a0)\vec{a} (\vec{a} ≠ \vec{0})b\vec{b} 共线,当且仅当存在唯一一个实数 λλ ,使得 b=λa\vec{b} = λ\vec{a}
      【注】向量共线定理的应用需要特别注意 (a0)(\vec{a} ≠ \vec{0}),否则,若 a=0\vec{a} = 0b0\vec{b} ≠ \vec{0},则不存在 λλ 使得 b=λa\vec{b} = λ\vec{a};若 a=0\vec{a} = 0b=0\vec{b} = \vec{0},则使得 b=λa\vec{b} = λ\vec{a} 成立的实数 λλ 不唯一;

    结论总结

    1. AB=λBC    OC=xOA+yOB(x+y=1)\overrightarrow{AB} = λ\overrightarrow{BC} \iff \overrightarrow{OC} = x\overrightarrow{OA} + y\overrightarrow{OB} (x+y=1)

    【证明】(1)从左边往右边证明,由于 AB=λBC\overrightarrow{AB} = λ\overrightarrow{BC},由向量减法可得 OBOA=λ(OCOB)\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} = λ(\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}),整理可得 OC=(1+1λ)OB1λOA\overrightarrow{OC} = (1+\dfrac{1}{λ})\overrightarrow{OB} - \dfrac{1}{λ}\overrightarrow{OA},令 x=1λx=-\dfrac{1}{λ}y=1+1λy=1+\dfrac{1}{λ},可得 x+y=1x+y=1,得证。
    (2)从右边往左边证明,因为 OC=xOA+yOB(x+y=1)\overrightarrow{OC} = x\overrightarrow{OA} + y\overrightarrow{OB} (x+y=1),所以 OC=xOA+(1x)OB\overrightarrow{OC} = x\overrightarrow{OA} + (1-x)\overrightarrow{OB},整理得 x(OAOB)=OCOBx(\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}) = \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OB},则 xAB=BC-x\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BC},令 λ=1xλ=-\dfrac{1}{x},可得 AB=λBC\overrightarrow{AB} = λ\overrightarrow{BC},得证。

    【注】若点 OOAABBCC三点不共线,AABBCC三点的位置可以任意互换,但当AABBCC 三点的相对位置不同时,系数 xxyy 的正负会随之改变,可以利用向量加法的平行四边形法则进行解释。

    1.1 向量与三角形

    知识点

    1. 若向量 a\vec{a}b\vec{b} 不平行,则 a\vec{a}b\vec{b}a+b\vec{a}+\vec{b}ab\vec{a}-\vec{b},可以构成一个平行四边形的两邻边和两对角线。

      根据三角形三边之间的关系,我们可以得到 a|\vec{a}|b|\vec{b}|a+b|\vec{a}|+|\vec{b}|ab|\vec{a}|-|\vec{b}| 之间的关系:
      (1)利用三角形三边之间的关系,可以得到 aba±ba+b||\vec{a}| - |\vec{b}|| ≤ |\vec{a}|±|\vec{b}| ≤ |\vec{a}| + |\vec{b}|
      (2)a+b2+ab2=2(a2+b2)|\vec{a} + \vec{b}|^2 + |\vec{a} - \vec{b}|^2 = 2(|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2)

    2. 基本定理与坐标表示

    2.1 基本定理的应用

    知识点

    1. 如果 e1\vec{e_1}e2\vec{e_2} 是同一个平面内的两个不共线的非零向量,那么对于这一平面内的任意向量 a\vec{a},有且只有一对实数 λλμμ,使 a=λe1+μe2\vec{a} = λ\vec{e_1} + μ\vec{e_2},其中,不共线的向量 e1\vec{e_1}e2\vec{e_2}叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。

    2.2 坐标运算

    知识点

      1. 向量加法、减法、数乘向量
        a=(x1,y1)\vec{a} = (x_1, y_1)b=(x2,y2)\vec{b} = (x_2, y_2),则 a+b=(x1+x2,y1+y2)\vec{a} + \vec{b} = (x_1+x_2, y_1+y_2)ab=(x1x2,y1y2)\vec{a} - \vec{b} = (x_1-x_2, y_1-y_2)λa=(λx1,λy1)λ\vec{a} = (λx_1, λy_1)
      2. 向量坐标的求法
        (1)若向量的起点是坐标原点,则终点坐标即为向量的坐标。
        (2)设 A(x1,y1)A (x_1,y_1)B(x2,y2)B(x_2,y_2),则 AB=(x2x1,y2y1)\overrightarrow{AB} = (x_2-x_1, y_2-y_1)
      3. 平面向量共线
        a=(x1,y1)\vec{a}=(x_1,y_1)b=(x2,y2)\vec{b}=(x_2,y_2),其中 b0\vec{b} ≠ \vec{0},则 ab    x1y2x2y1=0\vec{a} ∥ \vec{b} \iff x_1y_2-x_2y_1=0
    展开全文
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    2018-08-13 17:34:09
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空空如也

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向量的基本运算法则