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  • 向量的内积外积与其几何意义

    千次阅读 2020-04-02 22:45:51
    向量 a⃗=(x1,y1),b⃗=(x2,y2)\vec a=(x_1,y_1),\vec b=(x_2,y_2)a=(x1​,y1​),b=(x2​,y2​),夹角为 θ\thetaθ,内为: a⃗⋅b⃗=∣a⃗∣∣b⃗∣cos⁡θ=x1x2+y1y2 \vec a \cdot \vec b=|\vec a||\vec b|...

    一、点乘(内积)

    有向量 a ⃗ = ( x 1 , y 1 ) , b ⃗ = ( x 2 , y 2 ) \vec a=(x_1,y_1),\vec b=(x_2,y_2) a =(x1,y1)b =(x2,y2),夹角为 θ \theta θ,内积为:
    a ⃗ ⋅ b ⃗ = ∣ a ⃗ ∣ ∣ b ⃗ ∣ cos ⁡ θ = x 1 x 2 + y 1 y 2 \vec a \cdot \vec b=|\vec a||\vec b|\cos\theta=x_1x_2 + y_1y_2 a b =a b cosθ=x1x2+y1y2

    几何意义:
    1. 夹角,由 a ⃗ ⋅ b ⃗ = ∣ a ⃗ ∣ ∣ b ⃗ ∣ cos ⁡ θ \vec a \cdot \vec b=|\vec a||\vec b|\cos\theta a b =a b cosθ 知,当内积 > 0 >0 >0 θ < 9 0 ∘ \theta<90^\circ θ<90,内积 < 0 <0 <0 θ > 9 0 ∘ \theta>90^\circ θ>90,内积 = 0 =0 =0 θ = 9 0 ∘ \theta=90^\circ θ=90。同时也可以计算 θ \theta θ 的值: θ = a r c c o s a ⃗ ⋅ b ⃗ ∣ a ⃗ ∣ ∣ b ⃗ ∣ \theta=arccos\frac {\vec a \cdot \vec b}{|\vec a||\vec b|} θ=arccosa b a b
    2. 投影 ∣ a ⃗ ∣ cos ⁡ θ = a ⃗ ⋅ b ⃗ ∣ b ⃗ ∣ |\vec a|\cos\theta=\frac {\vec a \cdot \vec b}{|\vec b|} a cosθ=b a b 表示 a ⃗ \vec a a b ⃗ \vec b b 上的投影。
      对偶性 a ⃗ ⋅ b ⃗ = ∣ a ⃗ ∣ ( ∣ b ⃗ ∣ cos ⁡ θ ) = ∣ b ⃗ ∣ ( ∣ a ⃗ ∣ cos ⁡ θ ) \vec a \cdot \vec b=|\vec a|(|\vec b|\cos\theta)=|\vec b|(|\vec a|\cos\theta) a b =a (b cosθ)=b (a cosθ)
      ∣ a ⃗ ∣ ( ∣ b ⃗ ∣ cos ⁡ θ ) |\vec a|(|\vec b|\cos\theta) a (b cosθ) 的理解是 a ⃗ \vec a a 的长度与 b ⃗ \vec b b a ⃗ \vec a a 上的投影的乘积;
      ∣ b ⃗ ∣ ( ∣ a ⃗ ∣ cos ⁡ θ ) |\vec b|(|\vec a|\cos\theta) b (a cosθ) 的理解是 b ⃗ \vec b b 的长度与 a ⃗ \vec a a b ⃗ \vec b b 上的投影的乘积;
      而这两个是相等的。

    二、叉乘(外积)

    在这里插入图片描述
    上面的公式,就是求三阶行列式。

    几何意义:
    1. 上面如果不把 i ⃗ , j ⃗ , k ⃗ \vec i,\vec j,\vec k i ,j ,k 的具体指带入公式,而是写成 a ⃗ × b ⃗ = m i ⃗ + n j ⃗ + l k ⃗ \vec a \times \vec b=m\vec i+n\vec j+l\vec k a ×b =mi +nj +lk 的形式,向量 ( m , n , l ) (m,n,l) (m,n,l) 就是一个同时垂直 a ⃗ \vec a a b ⃗ \vec b b 的向量,如下图:
      在这里插入图片描述
    2. 对于二维向量, a ⃗ = ( x 1 , y 1 ) , b ⃗ = ( x 2 , y 2 ) \vec a=(x_1,y_1),\vec b=(x_2,y_2) a =(x1,y1)b =(x2,y2),按照上面的公式得:
      a ⃗ × b ⃗ = ∣ x 1 y 1 x 2 y 2 ∣ = x 1 y 2 − x 2 y 1 \vec a \times \vec b=\begin{vmatrix} x_1 & y_1 \\ x_2 & y_2 \\ \end{vmatrix}=x_1y_2-x_2y_1 a ×b =x1x2y1y2=x1y2x2y1,设这个数值为 m m m
      则, ∣ m ∣ = ∣ a × b ∣ = ∣ a ∣ ∣ b ∣ sin ⁡ θ |m|=|a×b|=|a| |b|\sin\theta m=a×b=absinθ θ \theta θ a ⃗ \vec a a b ⃗ \vec b b 的夹角)
      且,|m| = a ⃗ \vec a a b ⃗ \vec b b 构成的平行四边形的面积 ,如下图:
      在这里插入图片描述
    3. 判断向量的相对位置(顺逆时针)
      a ⃗ \vec a a b ⃗ \vec b b 如图所示:

    在这里插入图片描述
    如果让 a ⃗ \vec a a 以最小角度转到 b ⃗ \vec b b 的方向,是顺时针还是逆时针呢,从图中很容易看出,但怎么用数字判断呢?
    仍然是 m = a ⃗ × b ⃗ = x 1 y 2 − x 2 y 1 m=\vec a \times \vec b=x_1y_2-x_2y_1 m=a ×b =x1y2x2y1
    m > 0 m>0 m>0 a ⃗ \vec a a 逆时针转到 b ⃗ \vec b b 的角度 < 18 0 ∘ <180^\circ <180
    m < 0 m<0 m<0 a ⃗ \vec a a 逆时针转到 b ⃗ \vec b b 的角度 > 18 0 ∘ >180^\circ >180
    m = 0 m=0 m=0 a ⃗ \vec a a b ⃗ \vec b b 共线。

    直观记忆如下图:
    在这里插入图片描述
    m > 0 m>0 m>0 b ⃗ \vec b b 在蓝色部分;
    m < 0 m<0 m<0 b ⃗ \vec b b 在红色部分;
    m = 0 m=0 m=0 b ⃗ \vec b b 在分界线上(与 a ⃗ \vec a a 共线 )。

    三、扩展(坐标系引发的顺逆指针分不清事件)

    我们平时默认的坐标系是这样的:
    在这里插入图片描述
    但有时候的坐标系是这样的(比如数字图像中):
    在这里插入图片描述
    可以发现,同样的 a ⃗ = ( 2 , 1 ) \vec a=(2,1) a =(2,1) 转到 b ⃗ = ( 1 , 2 ) \vec b=(1,2) b =(1,2) ,在上面的坐标系中就是逆时针,而在下面的坐标系中就是顺时针,所以为了统一说明,定义了 “正旋转” : x x x 轴旋转到 y y y 轴的方向。
    所以,上面利用向量叉乘判断向量相对位置的性质描述应该为:
    m > 0 m>0 m>0 a ⃗ \vec a a 正旋转到 b ⃗ \vec b b 的角度 < 18 0 ∘ <180^\circ <180
    m < 0 m<0 m<0 a ⃗ \vec a a 正旋转到 b ⃗ \vec b b 的角度 > 18 0 ∘ >180^\circ >180
    m = 0 m=0 m=0 a ⃗ \vec a a b ⃗ \vec b b 共线。
    而那张直观记忆图只在我们平时默认的坐标系中才成立。

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  • 向量叉积的几何意义

    万次阅读 多人点赞 2016-02-22 13:38:59
    记得上大学时的第一节课是《空间解析几何》,和大多数的教材一样,开篇就是向量和叉积的定义。点的定义很好理解 ,a·b(为了讨论方便,之后都假设b为单位向量)可以看成向量a在向量b方向上的投影长度。 ...

    其实这篇文章主要讨论为何向量叉积这样定义,标题是为了吸引人,让更多有同样疑惑的人搜到。
    记得上大学时的第一节课是《空间解析几何》,和大多数的教材一样,开篇就是向量点积和叉积的定义。点积的定义很好理解 ,a·b(为了讨论方便,之后都假设b为单位向量)可以看成向量a在向量b方向上的投影长度。
    图1
    (图1)

    叉积的定义就比较奇怪了,按理说a·b是a在平行于b方向上的分量上的长度,相应的a×b应该是a在垂直b方向上的分量的长度,也就是上图中虚线部分。然而a×b被定义成了一个向量,方向垂直于oab平面(在这里,如果用右手法则的话,垂直纸面向里)。将叉积定义为向量还好理解,这个奇怪的方向是什么鬼?

    闲话少说,先上结论:为了满足乘法交换律
    乘法的三大运算定律:
    1.乘法分配律
    两个数的和同一个数相乘,等于把两个加数分别同这个数相乘,再把两个积加起来,和不变。
    (a+b)×c =a×c+b×c
    2.乘法结合律
    三个数相乘,先把前两个数相乘,再和另外一个数相乘,或先把后两个数相乘,再和另外一个数相乘,积不变。
    a×b×c=a×(b×c)
    3.乘法交换律
    乘法交换律是两个数相乘,交换因数的位置,它们的积不变。
    a×b=b×a
    点积和叉积作为我们定义的乘法,要尽量满足这三个运算定律。所谓尽量满足,就是说不做强制要求,三个满足不了就先满足两个,两个满足不了就先满足一个,一个都满足不了还是不要叫他乘法了,换个名字吧。当然满足得越多越好,实在满足不了,近似满足也可以接受。

    下面分别来检验点积和叉积是否满足乘法运算定律。由于结合律作用不大,应用的也比较少,这里暂时不做检验,只检验分配律和交换律。

    点积a·b

    这里写图片描述
    (图2)

    向量a分解成了两个向量a1和a2,a=a1+a2
    a·b=OX2的长度(假设b为单位向量)
    a1·b=OX1的长度
    a2·b=X1X2的长度
    明显 OX2的长度 = OX1的长度+X1X2的长度
    亦即 a·b=a1·b+a2·b 分配律成立
    再来看看交换律
    按点积的定义a·b = a的长度×b的长度×cos(a和b的夹角)
    b·a = b的长度×a的长度×cos(b和a的夹角)
    都是数值的运算 所以a·b=b·a 交换律成立
    然而点积也有一点不合理之处,两个向量的点积结果是一个标量,方向丢掉了。假如我们把点积的结果定义为一个向量是不是可以呢?反正定义都是人为的,我们重新定义点积也未尝不可。好,我们就把a·b 定义为一个向量,大小和之前一样,是a的长度×b的长度×cos(a和b的夹角),方向是b的方向,也就是a在b方向上的水平分量,对应上图中的向量OX2。
    按照新定义的点积
    a·b=向量OX2
    a1·b =向量OX1
    a2·b =向量X1X2
    向量OX2=向量OX1+向量X1X2,
    所以按新定义的点积,分配律是成立的
    我们再来看看交换律
    这里写图片描述
    (图3)

    按我们定义的点积a·b的朝向是b方向,b·a的朝向是a方向,两个点积的方向不同,交换律不成立。这就是将点积定义为标量而不是向量的原因,也可以说点积为了满足交换律放弃了结果的方向。

    叉积a×b

    同样的我们来重新定义叉积,将叉积a×b定义为a在b的垂直方向上的分量,接着和点积一样去掉方向将结果定义为标量,看下图
    这里写图片描述
    (图4)

    a×b = y0y2的长度,
    a1×b = y0y1的长度,
    a2×b = y1y2的长度,
    和点积的情况是一样的,满足分配律也满足交换律,完美。
    但是我们这里都是在二维的情况下来考量的,我们来看看三维空间下是什么情况:
    这里写图片描述
    (图5)

    向量a分解为两个向量OA1和A1A2(A1和A2分别是向量a1,a2的顶点,图上未画出来),p1和p2是垂直于b的平面,虚线部分的长度就是我们定义的叉积a1×b
    这里写图片描述
    (图6)

    上图虚线部分的长度就是我们定义的叉积a2×b
    我们将p1,p2平面合到一起
    这里写图片描述
    (图7)

    从前两图的视线方向看,就是下面的效果:
    这里写图片描述
    (图8)

    这里为了画图方便,选择了两个比较极端的分量a1,a2。
    从上面的最后一张图上看,虚线部分的长度之和明显大于实线部分的长度(也就是a×b ),新定义的叉积不满足分配律。
    仔细看上图,三条线段组成了一个闭合的三角形,将每一个线段看成一个向量:
    这里写图片描述
    (图9)

    则a×b = a1×b + a2×b,也就是说我们修改下定义,把叉积定义为一个向量就能满足分配律了。

    再来看交换律,回头看图(3),按我们现在的定义a×b 和b×a 分别垂直b和a,方向不一致,不满足交换律。
    这时候如果我们修改定义将a×b绕着b轴按左手法则旋转90度,这时a×b垂直a,b所在平面,如下图左半部分
    这里写图片描述
    (图10)
    当然按右手法则旋转也是可以的,这里主要是为了和书本上的定义一致。
    同时我们对b×a进行同样的操作,看图(10)右半部分。我们看到a×b和b×a都垂直于平面,在一条直线上,但是方向相反(大小相等我们就不做过多解释了),即:
    a×b = -b×a
    近似满足了乘法交换律,只要我们能够接受这个多出来的负号。

    那么问题来了,跟挖掘机技术无关,修改过定义以后的叉积还满足分配律吗?
    答案是肯定的。看图(9),a×b,a1×b,a2×b三个向量是未做旋转前的叉积向量,这时的b轴垂直纸面朝里,这三个向量在一个平面上,且这个平面垂直于b轴。
    我们对图(9)稍作修改
    这里写图片描述
    图(11)
    将a2×b移至和b轴相交处,将整个平行四边形逆时针旋转90度,a×b,a1×b,a2×b都旋转了90度,平行四边形的形状没有发生改变,
    a×b = a1×b + a2×b
    仍然成立。

    另外,之前点积也是在二维的情况下讨论的,在三维空间下还满足乘法分配律和交换律吗?
    这个问题就留给聪明的你了。

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  • 向量的内、外积及其几何含义

    万次阅读 多人点赞 2019-03-18 15:37:51
    一、向量的内(点乘) 定义 概括地说,向量的内(点乘/数量)。对两个向量执行点乘运算,就是对这两个向量对应位一一相乘之后求和的操作,如下所示,对于向量a和向量b: a和b的点公式为: 这里要求...

    一、向量的内积(点乘)

    定义

    概括地说,向量的内积(点乘/数量积)。对两个向量执行点乘运算,就是对这两个向量对应位一一相乘之后求和的操作,如下所示,对于向量a和向量b:

     

    a和b的点积公式为:

    这里要求一维向量a和向量b的行列数相同。注意:点乘的结果是一个标量(数量而不是向量)

    定义:两个向量ab的内积为 a·b = |a||b|cos∠(a, b),特别地,0·a =a·0 = 0;若ab是非零向量,则ab****正交的充要条件是a·b = 0。

    向量内积的性质:

    1. a^2 ≥ 0;当a^2 = 0时,必有a = 0. (正定性)
    2. a·b = b·a. (对称性)
    3. a + μbc = λa·c + μb·c,对任意实数λ, μ成立. (线性)
    4. cos∠(a,b) =a·b/(|a||b|).
    5. |a·b| ≤ |a||b|,等号只在ab共线时成立.

    向量内积的几何意义

    内积(点乘)的几何意义包括:

    1. 表征或计算两个向量之间的夹角
    2. b向量在a向量方向上的投影

    有公式:

    推导过程如下,首先看一下向量组成:

    定义向量c

    根据三角形余弦定理(这里a、b、c均为向量,下同)有:

    根据关系c=a-b有:

    即:

    a∙b=|a||b|cos⁡(θ)

    向量a,b的长度都是可以计算的已知量,从而有a和b间的夹角θ:

    θ=arccos⁡(a∙b|a||b|)

    进而可以进一步判断两个向量是否同一方向或正交(即垂直)等方向关系,具体对应关系为:

    a∙b>0→方向基本相同,夹角在0°到90°之间 
    a∙b=0→ 正交,相互垂直 
    a∙b<0→ 方向基本相反,夹角在90°到180°之间

    二、向量的外积(叉乘)

    定义

    概括地说,两个向量的外积,又叫叉乘、叉积向量积,其运算结果是一个向量而不是一个标量。并且两个向量的外积与这两个向量组成的坐标平面垂直。

    定义:向量ab的外积a×b是一个向量,其长度等于|a×b| = |a||b|sin∠(a,b),其方向正交于ab。并且,(a,b,a×b)构成右手系。 
    特别地,0×a = a×0 = 0.此外,对任意向量aa×a=0

    对于向量a和向量b:

    a和b的外积公式为:

    其中:

    根据i、j、k间关系,有:

    向量外积的性质

    1. a × b = -b × a. (反称性)
    2. a + μb) × c = λ(a ×c) + μ(b ×c). (线性)

    向量外积的几何意义

    在三维几何中,向量a和向量b的外积结果是一个向量,有个更通俗易懂的叫法是法向量,该向量垂直于a和b向量构成的平面。

    在3D图像学中,外积的概念非常有用,可以通过两个向量的外积,生成第三个垂直于a,b的法向量,从而构建X、Y、Z坐标系。如下图所示:

    在二维空间中,外积还有另外一个几何意义就是:|a×b|在数值上等于由向量a和向量b构成的平行四边形的面积。

     

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  • 向量几何意义证明过程

    千次阅读 2021-07-23 20:52:58
    两个向量x,y∈Rnx,y \in{\Bbb R}^nx,y∈Rn的内​定义如下: ⟨x,y⟩:=x⋅y=∑i=1nxiyi \langle x,y \rangle := x \cdot y = \sum_{i=1}^n x_i y_i ⟨x,y⟩:=x⋅y=i=1∑n​xi​yi​ 即对两个向量执行对应位一一相乘...

    两个向量 x , y ∈ R n x,y \in{\Bbb R}^n x,yRn的内积​定义如下:
    ⟨ x , y ⟩ : = x ⋅ y = ∑ i = 1 n x i y i \langle x,y \rangle := x \cdot y = \sum_{i=1}^n x_i y_i x,y:=xy=i=1nxiyi
    即对两个向量执行对应位一一相乘再求和。

    如图,经过证明可以得到,即两个向量的内积(内乘)可以计算两个向量的夹角。

    A ⃗ ⋅ B ⃗ = ∣ ∣ A ⃗ ∣ ∣ ∣ ∣ B ⃗ ∣ ∣ c o s θ \vec A \cdot \vec B = ||\vec A||||\vec B||cos\theta A B =A B cosθ

    证明过程如下:

    参考资料:

    展开全文
  • 参考: https://blog.csdn.net/dcrmg/article/details/52416832 ... 1 向量(点乘) ...a和b的点(点乘)公式为: ...向量几何意义及用途 包括: 表征或计算两个向量之间的夹角 b向量在a向量...
  • 向量是由n个实数组成的一个n行1列(n*1)或...向量的点乘,也叫向量的内、数量,对两个向量执行点乘运算,就是对这两个向量对应位一一相乘之后求和的操作,点乘的结果是一个标量。 点乘公式 对于向量a和向量b:
  • 向量是由n个实数组成的一个n行1列(n*1)或一个1行n列(1*n)的有序数组;...向量的点乘,也叫向量的内、数量,对两个向量执行点乘运算,就是对这两个向量对应位一一相乘之后求和的操作,点...
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  • 向量点乘与向量叉乘的几何意义

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    向量点乘(内向量点乘公式为: ...内(点乘)的几何意义: 表征或计算两个向量之间的夹角 b向量在a向量方向上的投影 判断两个向量是否同一方向或正交(即垂直)等方向关系,具体对应关系为:...

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