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  • 向量的内积外积与其几何意义

    千次阅读 2020-04-02 22:45:51
    向量 a⃗=(x1,y1),b⃗=(x2,y2)\vec a=(x_1,y_1),\vec b=(x_2,y_2)a=(x1​,y1​),b=(x2​,y2​),夹角为 θ\thetaθ,内为: a⃗⋅b⃗=∣a⃗∣∣b⃗∣cos⁡θ=x1x2+y1y2 \vec a \cdot \vec b=|\vec a||\vec b|...

    一、点乘(内积)

    有向量 a=(x1,y1)b=(x2,y2)\vec a=(x_1,y_1),\vec b=(x_2,y_2),夹角为 θ\theta,内积为:
    ab=abcosθ=x1x2+y1y2 \vec a \cdot \vec b=|\vec a||\vec b|\cos\theta=x_1x_2 + y_1y_2

    几何意义:
    1. 夹角,由 ab=abcosθ\vec a \cdot \vec b=|\vec a||\vec b|\cos\theta 知,当内积 >0>0θ<90\theta<90^\circ,内积 <0<0θ>90\theta>90^\circ,内积 =0=0θ=90\theta=90^\circ。同时也可以计算 θ\theta 的值:θ=arccosabab\theta=arccos\frac {\vec a \cdot \vec b}{|\vec a||\vec b|}
    2. 投影acosθ=abb|\vec a|\cos\theta=\frac {\vec a \cdot \vec b}{|\vec b|} 表示 a\vec ab\vec b 上的投影。
      对偶性ab=a(bcosθ)=b(acosθ)\vec a \cdot \vec b=|\vec a|(|\vec b|\cos\theta)=|\vec b|(|\vec a|\cos\theta)
      a(bcosθ)|\vec a|(|\vec b|\cos\theta) 的理解是 a\vec a 的长度与 b\vec ba\vec a 上的投影的乘积;
      b(acosθ)|\vec b|(|\vec a|\cos\theta) 的理解是 b\vec b 的长度与 a\vec ab\vec b 上的投影的乘积;
      而这两个是相等的。

    二、叉乘(外积)

    在这里插入图片描述
    上面的公式,就是求三阶行列式。

    几何意义:
    1. 上面如果不把 i,j,k\vec i,\vec j,\vec k 的具体指带入公式,而是写成 a×b=mi+nj+lk\vec a \times \vec b=m\vec i+n\vec j+l\vec k 的形式,向量 (m,n,l)(m,n,l) 就是一个同时垂直 a\vec ab\vec b 的向量,如下图:
      在这里插入图片描述
    2. 对于二维向量,a=(x1,y1)b=(x2,y2)\vec a=(x_1,y_1),\vec b=(x_2,y_2),按照上面的公式得:
      a×b=x1y1x2y2=x1y2x2y1\vec a \times \vec b=\begin{vmatrix} x_1 & y_1 \\ x_2 & y_2 \\ \end{vmatrix}=x_1y_2-x_2y_1,设这个数值为 mm
      则,m=a×b=absinθ|m|=|a×b|=|a| |b|\sin\thetaθ\thetaa\vec ab\vec b 的夹角)
      且,|m| = a\vec ab\vec b构成的平行四边形的面积 ,如下图:
      在这里插入图片描述
    3. 判断向量的相对位置(顺逆时针)
      a\vec ab\vec b 如图所示:

    在这里插入图片描述
    如果让 a\vec a 以最小角度转到 b\vec b 的方向,是顺时针还是逆时针呢,从图中很容易看出,但怎么用数字判断呢?
    仍然是 m=a×b=x1y2x2y1m=\vec a \times \vec b=x_1y_2-x_2y_1
    m>0m>0a\vec a 逆时针转到 b\vec b 的角度 <180<180^\circ
    m<0m<0a\vec a 逆时针转到 b\vec b 的角度 >180>180^\circ
    m=0m=0a\vec ab\vec b 共线。

    直观记忆如下图:
    在这里插入图片描述
    m>0m>0b\vec b 在蓝色部分;
    m<0m<0b\vec b 在红色部分;
    m=0m=0b\vec b 在分界线上(与 a\vec a 共线 )。

    三、扩展(坐标系引发的顺逆指针分不清事件)

    我们平时默认的坐标系是这样的:
    在这里插入图片描述
    但有时候的坐标系是这样的(比如数字图像中):
    在这里插入图片描述
    可以发现,同样的 a=(2,1)\vec a=(2,1) 转到 b=(1,2)\vec b=(1,2) ,在上面的坐标系中就是逆时针,而在下面的坐标系中就是顺时针,所以为了统一说明,定义了 “正旋转” :xx 轴旋转到 yy 轴的方向。
    所以,上面利用向量叉乘判断向量相对位置的性质描述应该为:
    m>0m>0a\vec a 正旋转到 b\vec b 的角度 <180<180^\circ
    m<0m<0a\vec a 正旋转到 b\vec b 的角度 >180>180^\circ
    m=0m=0a\vec ab\vec b 共线。
    而那张直观记忆图只在我们平时默认的坐标系中才成立。

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  • 向量是由n个实数组成的一个n行1列(n*1)或...向量的点乘,也叫向量的、数量,对两个向量执行点乘运算,就是对这两个向量对应位一一相乘之后求和的操作,点乘的结果是一个标量。 点乘公式 对于向量a和向量b:


    向量是由n个实数组成的一个n行1列(n*1)或一个1行n列(1*n)的有序数组;


    向量的点乘,也叫向量的内积、数量积,对两个向量执行点乘运算,就是对这两个向量对应位一一相乘之后求和的操作,点乘的结果是一个标量


    点乘公式


    对于向量a和向量b:


                                                               


    a和b的点积公式为:



    要求一维向量a和向量b的行列数相同。


    点乘几何意义


    点乘的几何意义是可以用来表征或计算两个向量之间的夹角,以及在b向量在a向量方向上的投影,有公式:




    推导过程如下,首先看一下向量组成:





    定义向量:




    根据三角形余弦定理有:




    根据关系c=a-b(a、b、c均为向量)有:




    即:



    向量a,b的长度都是可以计算的已知量,从而有a和b间的夹角θ:




    根据这个公式就可以计算向量a和向量b之间的夹角。从而就可以进一步判断这两个向量是否是同一方向,是否正交(也就是垂直)等方向关系,具体对应关系为:


         a·b>0    方向基本相同,夹角在0°到90°之间

         a·b=0    正交,相互垂直  

         a·b<0    方向基本相反,夹角在90°到180°之间 


    叉乘公式


    两个向量的叉乘,又叫向量积、外积、叉积,叉乘的运算结果是一个向量而不是一个标量。并且两个向量的叉积与这两个向量组成的坐标平面垂直。


    对于向量a和向量b:




    a和b的叉乘公式为:




    其中:




    根据i、j、k间关系,有:




    叉乘几何意义


    在三维几何中,向量a和向量b的叉乘结果是一个向量,更为熟知的叫法是法向量,该向量垂直于a和b向量构成的平面。


    在3D图像学中,叉乘的概念非常有用,可以通过两个向量的叉乘,生成第三个垂直于a,b的法向量,从而构建X、Y、Z坐标系。如下图所示: 



    在二维空间中,叉乘还有另外一个几何意义就是:aXb等于由向量a和向量b构成的平行四边形的面积。


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  • 参考: https://blog.csdn.net/dcrmg/article/details/52416832 ... 1 向量内积(点乘) ...a和b的点积(点乘)公式为: ...向量积的几何意义及用途 包括: 表征或计算两个向量之间的夹角 b向量在a向量...

    参考:

    https://blog.csdn.net/dcrmg/article/details/52416832

    https://blog.csdn.net/qingzhuyuxian/article/details/84945319

     

    1 向量内积(点乘)

    公式

    a和b的点积(点乘)公式为:

    向量内积的几何意义及用途

    包括:

    1. 表征或计算两个向量之间的夹角
    2. b向量在a向量方向上的投影积,当a是单位向量时,内积意义是投影。
    3. 当a是直线L的单位法向量时,计算b终点到L的距离

     

    2 向量外积(叉乘)

    2.1 公式:

    对于向量a和向量b:

    a和b的外积公式为:

     

    几何意义及用途:

    在三维几何中,向量a和向量b的外积结果是一个向量,有个更通俗易懂的叫法是法向量,该向量垂直于a和b向量构成的平面。

    常用于以下情况:

    1. 通过两个向量的外积,生成第三个垂直于a,b的法向量,从而构建X、Y、Z坐标系;
    2. 当a是单位向量时,计算b终点到a所在直线的距离
    3. 在二维空间中,aXb等于由向量a和向量b构成的平行四边形的面积。

     

     

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  • 本篇内容主要是对线性代数中向量点积和外积补充,同时说明一下向量的四则运算,如果对向量和向量空间相关含义有所遗忘的话可以回顾:1、算法工程师的数学基础|线性代数中的向量和向量空间 数学中的运算包括:加减...

    线性代数主要包含向量、向量空间(或称线性空间)以及向量的线性变换和有限维的线性方程组。本篇文章主要介绍线性代数部分中的向量和向量空间。

    本篇内容主要是对线性代数中向量点积和外积补充,同时说明一下向量的四则运算,如果对向量和向量空间相关含义有所遗忘的话可以回顾:1、算法工程师的数学基础|线性代数中的向量和向量空间

    数学中的运算包括:加减乘除,同样向量的运算也包括这几项,需要注意的是,保证向量的维度相同。

    1、向量加减法

    加法和减法是可逆的运算,比如加一个数m可以转变为减去这个数m的负数-m。

    2、向量乘法

    3、向量乘以常数

    4、内积

    向量的内积又称为点乘或者数量乘。

    5、外积

    两个向量的外积又叫叉乘或者叉乘向量积,其运算结果是一个向量,并且两个向量的外积与这两个向量组成的平面垂直。

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  • 向量的内积和外积

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