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  •   设a, b, c为R3上的三个向量,λ, μ为两个标量,×表示两向量之间的向量积,·表示两向量之间的数量积。则:    1. 向量积的定义   a与b的向量积为一向量,记为a×b。记a与b之间的夹角为θ,则它的模与方向...

      设a, b, c为R3上的三个向量,λ, μ为两个标量,×表示两向量之间的叉积,·表示两向量之间的数量积。则:
      

    1. 叉积的定义

      a与b的叉积为一向量,记为a×b。记ab之间的夹角为θ,则它的模与方向分别为:

    1. 模:|a×b| = |a||b|sinθ
    2. 方向:垂直于ab所构成的平面,且满足右手法则

    2. 叉积的代数规则

    1. 反交换律:a×b = -b×a
    2. 分配律:a×(b+c) = a×b+a×c
    3. 与标量乘法兼容:(λa)×b = a×(λb) = λ(a×b)
    4. 数乘结合律:(λa)×(μb) = (λμ)(a×b)
    5. 雅可比恒等式:a×(b×c)+b×(c×a)+c×(a×b) = 0
    6. 分配律,线性性和雅可比恒等式表明:具有向量加法和叉积的R3构成了一个李代数。
    7. 两个非零向量ab平行,当且仅当a×b = 0

    3. 拉格朗日公式

    1. (a×b)×c = b(a·c)-a(b·c)
    2. a×(b×c) = b(a·c)-c(a·b)

      可以使用拉格朗日公式第2条证明代数规则第5条的雅可比恒等式:

    (b×c)+b×(c×a)+c×(a×b)
    = b(a·c)-c(a·b)+c(b·a)-a(b·c)+a(c·b)-b(c·a)
    = [a(c·b)-a(b·c)]+[b(a·c)-b(c·a)]+[c(b·a)-c(a·b)]
    = 0
    

    4. 向量的混合积

    • (a×b)·c = (b×c)·a = (c×a)·b
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  • 向量外积和内

    千次阅读 2020-09-07 09:43:14
    计算公式 几何意义 两个向量之间的夹角 向量b在向量a上的投影 ...外积 ...外积在数值上等于两个向量组成平行四边形的面积 reference https://www.cnblogs.com/gxcdream/p/7597865.html ...

    向量的加法

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    向量的减法

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    内积

    计算公式

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    几何意义

    1. 两个向量之间的夹角
    2. 向量b在向量a上的投影

    推导过程

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    外积

    计算公式

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    几何意义

    1. 两个向量构成的平面的法向量
    2. 构件三维坐标系
    3. 外积在数值上等于两个向量组成平行四边形的面积

    reference

    1. https://www.cnblogs.com/gxcdream/p/7597865.html
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  • 1. 向量外积的概念的引入(力矩的计算) 2. 向量外积的定义(分两步:方向和模) 3. 向量外积的性质(平行向量外积为零,反之亦然;外积不满足交换律;外积满足数乘的结合律;外积满足分配律) 4. ...

     

    1. 向量外积的概念的引入(力矩的计算)

     

    2. 向量外积的定义(分两步:方向和模)

     

    3. 向量外积的性质(平行向量的外积为零,反之亦然;外积不满足交换律;外积满足数乘的结合律;外积满足分配律)

     

    4. 外积的几何意义(两个向量的外积的模,等于以两个向量为邻边的平行四边形的面积)

     

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  • 向量的内外积

    万次阅读 2019-07-19 10:40:29
    一、向量的内 1.1向量的定义 ...概括地说,向量的内(点乘/点/数量)就是对两个向量执行点乘运算,即对这两个向量对应位一一相乘之后求和的操作,如下所示,对于向量a和向量b: ...

    本文参考:https://www.cnblogs.com/gxcdream/p/7597865.html

    • 一、向量的内积

    • 1.1向量内积的定义

    概括地说,向量的内积(点乘/点积/数量积)就是对两个向量执行点乘运算,即对这两个向量对应位一一相乘之后求和的操作,如下所示,对于向量a和向量b:

                                                   a=[a_{1},a_{2},...a_{n}]                b=[b_{1},b_{2},...b_{n}]

    a和b的点积公式为:

                                                        a\cdot b=a_{1}\cdot b_{1}+a_{2}\cdot b_{2}+...+a_{n}\cdot b_{n}

    这里要求一维向量a和向量b的行列数相同。注意:点乘的结果是一个标量(数量而不是向量).

    定义:两个向量a与b的内积为 a·b = |a||b|cos∠(a, b),特别地,0·a =a·0 = 0;若a,b是非零向量,则a与b正交的充要条件是a·b = 0。

    • 1.2向量内积的性质

    1. a^2 ≥ 0;当a^2 = 0时,必有a = 0(正定性)
    2. a·b = b·a (对称性)
    3. (λa + μb)·c = λa·c + μb·c,对任意实数λ, μ成立(线性)
    4. cos∠(a,b) =a·b/(|a||b|)
    5. |a·b| ≤ |a||b|,等号只在a与b共线时成立
    • 1.3向量内积的几何意义

    内积(点乘)的几何意义包括:

    1. 表征或计算两个向量之间的夹角
    2. b向量在a向量方向上的投影

    公式a\cdot b=\left | a \right |\left | b \right |cos\theta推导过程如下,首先看一下向量组成:

    根据余弦定理有:

                                                                                     c^{2}=a^{2}+b^{2}-2\left | a \right |\left | b \right |cos\theta

    将c=a-b带入上式中得出:

                                            (a-b)(a-b)=a^{2}+b^{2}-2a\cdot b=a^{2}+b^{2}-2\left | a \right |\left | b \right |cos\theta

    因此可以得出:

                                                                               a\cdot b=\left | a \right |\left | b \right |cos\theta

    向量a,b的长度都是可以计算的已知量,从而有a和b间的夹角θ:

                                                                               \theta =arccos(\frac{a\cdot b}{\left | a \right |\left | b \right |})

    进而可以进一步判断两个向量是否同一方向或正交(即垂直)等方向关系,具体对应关系为:

    a∙b>0→方向基本相同,夹角在0°到90°之间 
               a∙b=0→ 正交,相互垂直 
               a∙b<0→ 方向基本相反,夹角在90°到180°之间

    • 二、向量的外积

    • 2.1向量外积的定义

    概括地说,两个向量的外积,又叫叉乘、叉积向量积,其运算结果是一个向量而不是一个标量。并且两个向量的外积与这两个向量组成的坐标平面垂直。

    定义:向量a与b的外积a×b是一个向量,其长度等于|a×b| = |a||b|sin∠(a,b),其方向正交于a与b。并且,(a,b,a×b)构成右手系。 特别地,0×a = a×0 = 0.此外,对任意向量a,a×a=0。

    对于向量a和向量b:

                                                                        a=(x_{1},y_{1},z_{1})

                                                                        b=(x_{2},y_{2},z_{2})

    a和b的外积公式为:

                                a\times b=\begin{vmatrix} i & j & k\\ x_{1}& y_{1} & z_{1}\\ x_{2}& y_{2} & z_{2} \end{vmatrix}=(y_{1}z_{2}-y_{2}z_{1})i-(x_{1}z_{2}-x_{2} z_{1})j+(x_{1}y_{2}-x_{2} y_{1})k

    其中:

                                                   i=(1,0,0)             j=(0,1,0)            k=(0,0,1)

    根据i、j、k间关系,有:

                                                    a\times b=(y_{1}z_{2}-y_{2}z_{1},-(x_{1}z_{2}-x_{2} z_{1}),x_{1}y_{2}-x_{2} y_{1})

    • 2.2向量外积的性质

    1. a × b = -b × a. (反称性)
    2. (λa + μb) × c = λ(a ×c) + μ(b ×c). (线性)
    • 2.3向量外积的几何意义

    在三维几何中,向量a和向量b的外积结果称为法向量,该向量垂直于a和b向量构成的平面。在3D图像学中,外积的概念非常有用,可以通过两个向量的外积,生成第三个垂直于a,b的法向量,从而构建X、Y、Z坐标系。如下图所示:

    在二维空间中,外积还有另外一个几何意义:|a×b|在数值上等于由向量a和向量b构成的平行四边形的面积。

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向量的外积运算