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  • 考纲原文(1)了解平面向量的基本定理及其意义.(2)掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.(3)会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.(4)理解用坐标表示的平面向量共线的...应用平面向量基本定理表示向量的实质应用...

    考纲原文

    (1)了解平面向量的基本定理及其意义.

    (2)掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.

    (3)会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.

    (4)理解用坐标表示的平面向量共线的条件.

    知识点详解

    平面向量基本定理

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    三、平面向量的坐标运算

    1.向量坐标的求法

    (1)若向量的起点是坐标原点,则终点坐标即为向量的坐标.

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    4.向量的夹角

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    考向分析

    考向一 平面向量基本定理的应用

    1.应用平面向量基本定理表示向量的实质

    应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算,共线向量定理的应用起着至关重要的作用.当基底确定后,任一向量的表示都是唯一的.

    2.应用平面向量基本定理的关键点

    (1)平面向量基本定理中的基底必须是两个不共线的向量.

    (2)选定基底后,通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件,把相关向量用这一组基底表示出来.

    (3)强调几何性质在向量运算中的作用,用基底表示未知向量,常借助图形的几何性质,如平行、相似等.

    3.用平面向量基本定理解决问题的一般思路

    (1)先选择一组基底,并运用平面向量基本定理将条件和结论表示成该基底的线性组合,再进行向量的运算.

    (2)在基底未给出的情况下,合理地选取基底会给解题带来方便,另外,要熟练运用线段中点的向量表达式.

    考向二 平面向量的坐标运算

    1.向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的,若已知有向线段两端点的坐标,则应先求向量的坐标.学.

    2.解题过程中,常利用向量相等则其坐标相同这一原则,通过列方程(组)来进行求解,并注意方程思想的应用.

    牢记:向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系.两个相等的向量,无论起点在什么位置,它们的坐标都是相同的.

    考向三 向量共线(平行)的坐标表示

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    4.利用向量共线的坐标运算求三角函数值:利用向量共线的坐标运算转化为三角方程,再利用三角恒等变换求解.

    【名师点睛】

    (1)应用平面向量基本定理表示向量是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.

    (2)用向量基本定理解决问题的一般思路是:先选择一组基底,并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式,再通过向量的运算来解决.

    (3)向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来,这就为向量和函数、方程、不等式的结合提供了前提,运用向量的有关知识可以解决某些函数、方程、不等式问题.

    (4)以向量为载体求相关变量的取值范围,是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算,可将原问题转化为解不等式或求函数值域的问题,是此类问题的一般方法.

    (5)向量的两个作用:①载体作用,关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”,转化为我们熟悉的数学问题;②工具作用,利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.

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    对偶性的实质就是转置,【1,2】的转置是【1

                                                                                    2】这从向量的角度就是维度的增加,向量之间有唯一的对应关系。这里的两个向量就是对偶的关系。也就是我们所说的转置矩阵。

    向量内积就是矩阵叉乘

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  • 不多说了,直接看下面运行结果就清楚了: >> A=[1 2 3]; B=[1;1;1]; B*A ans =  1 2 3  1 2 3  1 2 3 >> A=[1;2;3]; B=[1 1 1]; A*B ans =  1 1 1  2 2 2

    不多说了,直接看下面的运行结果就清楚了:

    >> A=[1 2 3];
    B=[1;1;1];
    B*A
    ans =
         1     2     3
         1     2     3
         1     2     3

    >> A=[1;2;3];
    B=[1 1 1];
    A*B
    ans =
         1     1     1
         2     2     2
         3     3     3

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  • 线性空间中,当你选定一组基之后,不仅可以用一个向量来描述空间中任何一个对象,而且可以用矩阵来描述该空间中任何一个运动(变换),从而得出矩阵是线性空间里变换描述。而使某个对象发生对应运动(变换)...

     

    目录

    彻底理解线性代数;

    特征值,特征向量;

    线性代数的本质

    矩阵的逆矩阵的实质:

    行列式值为0的实质:

    Essense Of Linear Algebra的理解


    Essense Of Linear Algebra让你

    彻底理解线性代数;

    特征值,特征向量;

    线性空间中,当你选定一组基之后,不仅可以用一个向量来描述空间中的任何一个对象,而且可以用矩阵来描述该空间中的任何一个运动(变换),从而得出矩阵是线性空间里的变换的描述。而使某个对象发生对应运动(变换)的方法,就是用代表那个运动(变换)的矩阵,乘以代表那个对象的向量。转换为数学语言: 是矩阵, 是向量, 相当于将 作线性变换从而得到 ,从而使得矩阵 (由n个向量组成)在对象或者说向量 上的变换就由简单的实数 来刻画,由此称 为矩阵A的特征值,而 称为 对应的特征向量。


    总结来说,特征值和特征向量的出现实际上将复杂的矩阵由实数和低维的向量来形象的描述(代表),实现了降维的目的。在几何空间上还可以这样理解:矩阵A是向量的集合,而 则是向量的方向, 可以理解为矩阵A在 方向上作投影,而矩阵又是线性空间变换的描述,所以变换后方向保持不变,仅是各个方向投影后有个缩放比例 。

     

    线性代数的本质

    是用静态的坐标(一维(线),二维(面),三维(体)),描述事物的运动。这是其实质。

    矩阵:矩阵就是建立不同的维度,不同的基坐标系。这样你应该理解矩阵的运算法则。加法,乘法。矩阵的阶代表不同的维度,二阶是平面,三阶是体也就是三维,4阶就是超立方体,依次类推。

    你可能不理解多维度空间。简单点说:点,线,面,体。从0到3维。怎样理解567维。

    • 你想在线上看到的是点,这是一维;
    • 在面上看到的都是线,都是一维的东西,这就是2维。
    • 在体上看到都是面,都是2维得到东西,这就是3维。
    • 在超立方体(为什么是超立方体,就是比立方体多一维度),看到就都是立方体,这就是4维度空间
    • 接下来就是依次类推,可能你想不到是什么样的。但是知道这个递推关系,能说出就可以。
    • 不同阶矩阵代表不同维度空间基向量的建立。矩阵的的运算法则,就是代表复合建立基向量。

    矩阵的逆矩阵的实质:

    就是使A经历A逆的变化成为单位矩阵;这其实就是一个循环过程:E变化成A,在通过A逆成为E;

    就是基坐标经历一次变化,在经历一次成为原来的样子。|A|的值不为o才能有逆矩阵。当矩阵的值为0时,维度降低,在返回原来的维度不能成功,比如,原来是2维度,表示平面,经历一次变化维度为1,代表直线,直线在经历一次变化进行返回,可以成任何平面,所以不可逆。三维也是一样,立方体变成面,面可以变成任何立方体,所以不可逆。

    行列式值为0的实质:

    就是维度的压缩。

    Essense Of Linear Algebra的理解

    接下来就是对Essense Of Linear Algebra的理解,最好还是去看看。

    列相关就是进行了维度压缩,注意n维度的压缩一维或多维都是0:

    旋转90后的坐标系:

    矩阵相乘或者进行假发运算行成复合矩阵,就是两个坐标系进行复合,还是一个2维度的。

    行列式值为0的意义:就是维度的压缩。

     

    行列式值的本质,一阶是线长度,二阶是面积,三阶是体积。

    行或列成比例行列式的值为0的实质:就是维度压缩一维或者多维,举例:三维表示体积,维度压缩1维成面,压缩二维是线,他们的体积都是0.。以此类推,这就是实质。

    3阶行列式数值的意义——平行六面体的体积:

    3阶矩阵相乘,根据二阶的地推你应该知道三阶相乘就是进来拿一个新的3维坐标系。

    矩阵运算不满足交换,左右乘代表基坐标系建立的先后顺序,顺序不同结果不同。

     

    3阶行列式数值为0说明基坐标系压缩为面或线或点,他们之间线性相关,体积为0。

    3维矩阵的意义就是体积。

    3维组合姬基向量变化。

    剪刀基坐标系。

    2维矩阵:乘法就是对应的向量相乘在求和。

     

    当你理解了什么是矩阵,矩阵的运算具有什么意义后你会更好理解下面。

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空空如也

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向量的实质