精华内容
下载资源
问答
  • 简洁直观的旋转矩阵导数公式的推导
    千次阅读 多人点赞
    2020-05-12 21:53:32

    假设只发生旋转,下标e表示地球系,下标b表示机体系。

    反对称矩阵的表示方法
    a × b = [ a ] × b a \times b = [a]_{\times}b a×b=[a]×b
    其中:
    [ a ] × = [ 0 − a z a y a z 0 − a x − a y a x 0 ] [a]_{\times}=\left[ \begin{matrix} 0 & -a_z & a_y \\ a_z & 0 & -a_x \\ -a_y & a_x & 0 \end{matrix} \right] [a]×=0azayaz0axayax0

    公理
    d r e ⃗ d t = ω e ⃗ × r e ⃗ \frac{d\vec{r_e}}{dt}=\vec{\omega_e} \times \vec{r_e} dtdre =ωe ×re

    推导
    将旋转矩阵看成3个地球系表达的列向量的组合
    d R b e d t = d [ b 1 e ⃗ b 2 e ⃗ b 3 e ⃗ ] d t = [ ω e ⃗ × b 1 e ⃗ ω e ⃗ × b 2 e ⃗ ω e ⃗ × b 3 e ⃗ ] = [ ( R b e ω b ⃗ ) × b 1 e ⃗ ( R b e ω b ⃗ ) × b 2 e ⃗ ( R b e ω b ⃗ ) × b 3 e ⃗ ] = [ ( R b e ω b ⃗ ) × ( R b e e 1 ⃗ ) ( R b e ω b ⃗ ) × ( R b e e 2 ⃗ ) ( R b e ω b ⃗ ) × ( R b e e 3 ⃗ ) ] \frac{d{R_b^e}}{dt}=\frac{d[\vec{b_1^e}\quad\vec{b_2^e}\quad\vec{b_3^e}]}{dt}=[\vec{\omega_e} \times \vec{b_1^e} \quad \vec{\omega_e} \times \vec{b_2^e} \quad \vec{\omega_e} \times \vec{b_3^e}]\\=[(R_b^e\vec{\omega_b}) \times \vec{b_1^e} \quad (R_b^e\vec{\omega_b}) \times \vec{b_2^e} \quad (R_b^e\vec{\omega_b}) \times \vec{b_3^e}]\\=[(R_b^e\vec{\omega_b}) \times (R_b^e\vec{e_1}) \quad (R_b^e\vec{\omega_b}) \times (R_b^e\vec{e_2}) \quad (R_b^e\vec{\omega_b}) \times (R_b^e\vec{e_3})] dtdRbe=dtd[b1e b2e b3e ]=[ωe ×b1e ωe ×b2e ωe ×b3e ]=[(Rbeωb )×b1e (Rbeωb )×b2e (Rbeωb )×b3e ]=[(Rbeωb )×(Rbee1 )(Rbeωb )×(Rbee2 )(Rbeωb )×(Rbee3 )]

    其中:
    e 1 ⃗ = [ 1 0 0 ] T \vec{e_1}=[1\quad0\quad0]^T e1 =[100]T
    e 2 ⃗ = [ 0 1 0 ] T \vec{e_2}=[0\quad1\quad0]^T e2 =[010]T
    e 3 ⃗ = [ 0 0 1 ] T \vec{e_3}=[0\quad0\quad1]^T e3 =[001]T
    对于旋转矩阵 R R R和向量叉乘,有以下性质(本文不证明了,有兴趣的可以自己推导)
    ( R a ⃗ ) × ( R b ⃗ ) = R ( a ⃗ × b ⃗ ) (R\vec{a}) \times (R\vec{b})=R(\vec{a} \times \vec{b}) (Ra )×(Rb )=R(a ×b )

    应用该性质得到:
    d R b e d t = [ R b e ( ω b ⃗ × e 1 ⃗ ) R b e ( ω b ⃗ × e 2 ⃗ ) R b e ( ω b ⃗ × e 3 ⃗ ) ] = R b e [ ω b ⃗ × e 1 ⃗ ω b ⃗ × e 2 ⃗ ω b ⃗ × e 3 ⃗ ] = R b e [ [ ω b ⃗ ] × e 1 ⃗ [ ω b ⃗ ] × e 2 ⃗ [ ω b ⃗ ] × e 3 ⃗ ] = R b e [ ω b ⃗ ] × \frac{d{R_b^e}}{dt}=[R_b^e(\vec{\omega_b} \times \vec{e_1}) \quad R_b^e(\vec{\omega_b} \times \vec{e_2}) \quad R_b^e(\vec{\omega_b} \times \vec{e_3})]\\=R_b^e[\vec{\omega_b} \times \vec{e_1} \quad \vec{\omega_b} \times \vec{e_2} \quad \vec{\omega_b} \times \vec{e_3}]\\=R_b^e[[\vec{\omega_b}]_{\times} \vec{e_1} \quad [\vec{\omega_b}]_{\times} \vec{e_2} \quad [\vec{\omega_b}]_{\times} \vec{e_3}]\\=R_b^e[\vec{\omega_b}]_{\times} dtdRbe=[Rbe(ωb ×e1 )Rbe(ωb ×e2 )Rbe(ωb ×e3 )]=Rbe[ωb ×e1 ωb ×e2 ωb ×e3 ]=Rbe[[ωb ]×e1 [ωb ]×e2 [ωb ]×e3 ]=Rbe[ωb ]×

    综上所述:
    d R b e d t = R b e [ ω b ⃗ ] × \frac{d{R_b^e}}{dt}=R_b^e[\vec{\omega_b}]_{\times} dtdRbe=Rbe[ωb ]×

    更多相关内容
  • 单位矢量的导数公式

    2022-02-19 23:03:27
    1.柱坐标下单位矢量空间导数 2.球坐标下单位矢量的空间导数 具体推导请查阅这篇文章,写得非常好! [1]罗宏超,鞠丽平.微分几何法求解单位矢量的空间导数[J].大学物理,2016,35(12):23-25+41.

    1.柱坐标下单位矢量空间导数

    在这里插入图片描述

    2.球坐标下单位矢量的空间导数

    在这里插入图片描述
    具体推导请查阅这篇文章,写得非常好!

    [1]罗宏超,鞠丽平.微分几何法求解单位矢量的空间导数[J].大学物理,2016,35(12):23-25+41.

    展开全文
  • 矩阵、向量求导公式


    1 矩阵的迹

    矩阵的迹:对于n阶方阵A,A的迹(trace)是主对角线上的元素之和,即tr(A)=Σi∈[1,n]aii。迹的性质:

    (1)tr(AT)=tr(A);

    (2)tr(A+B)=tr(A)+tr(B);

    (3)tr(AB)=tr(BA);

    (4)tr(ABC)=tr(BCA)=tr(CAB)。


    2 行列式的性质

    行列式的性质:设A、B是n阶方阵,c为常数,行列式的性质如下:

    (1)|c·A|=cn|A|;

    (2)|AT|=|A|;

    (3)|A·B|=|A|·|B|;

    (4)若A是可逆矩阵,则|A-1|=1/|A|;

    (5)|An|=|A|n


    3 向量相对于标量的导数与标量相对于向量的导数

    向量相对于标量的导数与标量相对于向量的导数:向量α相对于标量x的导数、标量x相对于向量α的导数都是向量,其第i个分量分别为:

    (1)(∂α/∂x)i=∂αi/∂x;

    (2)(∂x/∂α)i=∂x/∂αi


    4 矩阵相对于标量的导数与标量相对于矩阵的导数

    矩阵相对于标量的导数与标量相对于矩阵的导数:矩阵A对于标量x的导数、标量x对于矩阵A的导数都是矩阵,其第i行第j列上的元素分别为:

    (1)(∂A/∂x)ij=∂Aij/∂x;

    (2)(∂x/∂A)ij=∂x/∂Aij


    5 函数f(x)对向量x的导数

    函数f(x)对向量x的导数:假定函数f(x)对向量x的元素可导,则:

    (1)f(x)关于向量x的一阶导数是一个向量,其第i个分量为:(▽f(x))i=∂f(x)/∂xi

    (2)f(x)关于向量x的二阶导数是称为海森矩阵的一个方阵,其第i行第j列上的元素为:(▽2f(x))ij=∂2f(x)/∂xi∂xj


    6 向量和矩阵的导数满足乘法法则

    向量和矩阵的导数满足乘法法则

    (1)∂xTα/∂x=∂αTx/∂x=α;

    (2)∂AB/∂x=(∂A/∂x)·B+A·(∂B/∂x)。


    7 逆矩阵的导数

    逆矩阵的导数:∂A-1/∂x=-A-1·∂A/∂x·A-1


    8 关于矩阵的迹的求导公式

    关于矩阵的迹的求导公式

    (1)∂tr(AB)/∂Aij=Bji

    (2)∂tr(AB)/∂A=BT

    (3)∂tr(ATB)/∂A=B;

    (4)∂tr(A)/∂A=Ⅰ,其中Ⅰ是单位阵;

    (5)∂tr(ABAT)/∂A=A·(B+BT);


    9 求导链式法则

    求导链式法则:链式法则是计算复杂导数时的重要工具,若f(x)=g(h(x)),则有:
    在这里插入图片描述


    10 矩阵最常用求导公式

    矩阵最常用求导公式

    (1)∂xTAx/∂x=(A+AT)x;

    (2)上面的公式应该是下面的特例,这样看的话下面的公式好像不对…只有当W是对称矩阵,即WT=W时,下式才是正确的:
    在这里插入图片描述


    END

    展开全文
  • 常用的向量矩阵求导公式

    万次阅读 多人点赞 2016-10-14 14:29:06
    总结下数理推导中常用的向量矩阵求导公式,方便以后查询。

    总结下数理推导中常用的向量矩阵求导公式,方便以后查询。


    1、


    2、


    3、


    4、


    5、

    展开全文
  • 向量求导公式

    千次阅读 2016-12-15 16:00:01
    最近在看吴恩达的视频啊、LDA啊、PCA啊,觉得很有必要将向量求导公式复习一下,要不感觉算的时候怪怪的~
  • 向量,标量对向量导数

    万次阅读 多人点赞 2016-06-14 17:09:28
    比如这里x是列向量,求Ax关于x求导数,那么对x的每个分量分别求偏导数(写成一行),然后整理排成一列(同x一样是列向量)。 同理有 关于x的转置x.T求导数,x.T是行向量,那么Ax分别对x.T向量中的分量求偏导(写...
  • 向量求导的常用公式

    千次阅读 2019-05-09 15:15:15
    向量求导的常用公式 鲁鹏 北京理工大学宇航学院 2019.05.09 最近经常会遇到常数和向量向量求导的计算,感觉需要总结点什么了。以后,我还会在这个文档中添加新的公式。 前提和定义 首先做如下定义,已知...
  • 这几天突然想到了优化理论中的梯度下降算法,看到了几个名词,愣了一下,虽然...数学中的全微分(方程),全导数(公式),偏微分(方程),梯度,导数,方向导数,切线,斜率,射线,可导与连续,(多元)函数的积分与微分,...
  • [转载] ...记得在高中做数学题时,经常要求曲线的切线。...上大学又学习了曲面切线和法向量的求法,求偏导是法向量,然后套公式求出切线。 一个经典例子如下: (来自web上某个《几何应用》ppt...
  • 向量求导的二个公式

    2020-04-28 16:16:45
    ∂xTa∂x=∂aTx∂x=a\frac{\partial \mathbf{x}^{T} \mathbf{a}}{\partial \mathbf{x}}=\frac{\partial \mathbf{a}^{T} \mathbf{x}}{\partial \mathbf{x}}=\mathbf{a}∂x∂xTa​=∂x∂aTx​=a ∂xTBx∂x=(B+BT)x\...
  • 向量的数量函数的导数

    千次阅读 2014-05-08 16:11:47
    公式向量
  • 向量点乘相关公式推导

    千次阅读 2016-12-03 17:12:14
    向量点乘相关公式推导 2016-08-18 15:28 1117人阅读 评论(0) 收藏 举报  分类: 3D数学(3)  版权声明:本文为博主原创文章,未经博主允许不得转载。 1.向量点乘公式推导和几何...
  • 文章目录前言方向导数梯度方向导数公式的证明 前言 前文介绍了多元函数微分的实质,接下来介绍多元函数中的方向导数与梯度,以二元函数为例 方向导数 方向导数的实质:自变量沿着xoy平面上的某个方向变化时,f的...
  • 导数定义为函数的自变量变化值趋向于0时,函数的变化量与自变量的变化量的比值的极限,即 如果该极限存在,则称函数在该点可导。导数的几何意义就是函数在某一点处的切线的斜率。 以下列出了各种基本函数和运算的...
  • 直观理解梯度,以及偏导数、方向导数和法向量

    千次阅读 多人点赞 2019-10-21 18:05:46
    title: 直观理解梯度,以及法向量和切平面 mathjax: true date: 2019-10-17 17:59:53 tags: categories: 博客:blog.shinelee.me | 博客园 | CSDN 写在前面 梯度是微积分中的基本概念,也是机器学习解优化问题经常...
  • 导数:函数(因变量对应实数值...梯度:向量向量的每一维对应偏导数) 方向导数:函数(因变量对应实数值) 梯度下降:一种优化方法 二阶导数:函数(因变量对应实数值) 二阶方向导数:函数(因变量对应实数值)
  • 我们也可以重写这个公式,把它表示两个向量的点乘形式。把1xn偏导数矩阵写成一个向量,并将其记录为 ∇f\nabla f∇f,并将其称为梯度。我们可以得到方向导数: Duf(a)=∇f(a)⋅u D_uf(\bold a) = \nabla f(\bold a) ...
  • 向量和矩阵的求导公式

    万次阅读 多人点赞 2019-03-24 10:15:53
    2 ( x T A x ) = ( A + A T ) \nabla^{2}(x^{T}Ax)=(A+A^{T}) ∇2(xTAx)=(A+AT) https://onlinelibrary.wiley.com/doi/pdf/10.1002/9780470173862.app4 如果是向量或者矩阵对标量求导,则使用分子布局为准,如果是...
  • 设已知两点 M1(5,2,2),M2(4,0,3)M_1(5, \sqrt{2}, 2), M_2(4, 0, 3)M1​(5,2​,2),M2​(4,0,3) ,计算向量M1M2→\overrightarrow{M_1M_2}M1​M2​​ 模长 M1M2→=M2→−M1→=(−1,−2,1)∣M1M2→∣=(−1)2+(−2)2+...
  • 此例程使用 Fornberg 算法计算在一组点 (xPts) 上定义的向量 (u) 的第 k 阶导数。 输入: k,您要计算的导数的阶数。 xPts,在其上评估 u 的点集。 u,在 xPts (u(i) := u(xPts(i))) 上计算的值 u(x) 的数组。 要求...
  • 向量求导方法与技巧

    千次阅读 2020-07-29 19:11:26
    ps:向量是矩阵的特殊形式,当强调行(列)矩阵时,将其写作为向量。 求解规律如下: 标量/矩阵形式的求导: 将分母中的所有元素对标量依次求导,排列顺序与分母排列顺序一致。 矩阵/矩阵形式的求导: 将分子中的元素...
  • 高中数学必修1-5常用公式(定理)

    千次阅读 2020-12-24 15:24:57
    向量的模公式:已知,,. 47.向量的数量积与夹角公式:已知,, ; . 48.向量的平行与垂直:(1)平行:∥(); (2)垂直:·. 49.已知前项和求通项公式: 50.等差数列的通项公式:; (其中). 等差数列的前项和公式:. 51.等比数列的...
  • 常用的向量求导公式

    2019-12-20 11:20:01
    ​​​​​ ​​
  • 一文读懂方向导数与梯度

    千次阅读 多人点赞 2020-03-19 06:08:08
    一文读懂方向导数与梯度 单位向量e的两种表示,e = ai + bj和e = i cos α + j cos β ,其中α、β为单位向量的方向角,为了更直观,本文使用e = i cos α + j cos β 这一表示 一、单位向量表示的直线的参数方程 1...
  • 复数 标量/向量/矩阵 求导

    千次阅读 2020-12-02 22:32:31
    Note – 但是这个公式应该有前提是导数存在,因为我们知道,根据定义 d z d z ∗ \frac{d z}{d z^*} dz∗dz​ 不存在,但是套公式仍然可以得到 d z d z ∗ = 0 \frac{d z}{d z^*}=0 dz∗dz​=0 对于复数向量和矩阵...
  • 矩阵论:向量求导/微分和矩阵微分

    万次阅读 多人点赞 2017-04-03 16:51:05
    著名的matrix cookbook为广大的研究者们提供了一本大字典,里面有着各种简单到复杂矩阵和向量的求导法则。 布局(Layout) 矩阵求导有两种布局,分子布局(numerator layout)和分母布局(denominator layout)。 ...
  • 直观理解偏导数、方向导数和法向量和梯度

    万次阅读 多人点赞 2020-05-05 01:40:56
    此外,根据上面方向导数公式可知,在夹角ϕ方向函数值上升,ϕ>π/2时方向导数为负,表示该方向函数值下降。 至此,方才有了梯度的几何意义: 当前位置的梯度方向,为函数在该位置处方向导数最大的方向,也是函...

空空如也

空空如也

1 2 3 4 5 ... 20
收藏数 25,258
精华内容 10,103
关键字:

向量的导数公式