• 简洁直观的旋转矩阵导数公式的推导
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2020-05-12 21:53:32

假设只发生旋转，下标e表示地球系，下标b表示机体系。

反对称矩阵的表示方法
a × b = [ a ] × b a \times b = [a]_{\times}b
其中：
[ a ] × = [ 0 − a z a y a z 0 − a x − a y a x 0 ] [a]_{\times}=\left[ \begin{matrix} 0 & -a_z & a_y \\ a_z & 0 & -a_x \\ -a_y & a_x & 0 \end{matrix} \right]

公理
d r e ⃗ d t = ω e ⃗ × r e ⃗ \frac{d\vec{r_e}}{dt}=\vec{\omega_e} \times \vec{r_e}

推导
将旋转矩阵看成3个地球系表达的列向量的组合
d R b e d t = d [ b 1 e ⃗ b 2 e ⃗ b 3 e ⃗ ] d t = [ ω e ⃗ × b 1 e ⃗ ω e ⃗ × b 2 e ⃗ ω e ⃗ × b 3 e ⃗ ] = [ ( R b e ω b ⃗ ) × b 1 e ⃗ ( R b e ω b ⃗ ) × b 2 e ⃗ ( R b e ω b ⃗ ) × b 3 e ⃗ ] = [ ( R b e ω b ⃗ ) × ( R b e e 1 ⃗ ) ( R b e ω b ⃗ ) × ( R b e e 2 ⃗ ) ( R b e ω b ⃗ ) × ( R b e e 3 ⃗ ) ] \frac{d{R_b^e}}{dt}=\frac{d[\vec{b_1^e}\quad\vec{b_2^e}\quad\vec{b_3^e}]}{dt}=[\vec{\omega_e} \times \vec{b_1^e} \quad \vec{\omega_e} \times \vec{b_2^e} \quad \vec{\omega_e} \times \vec{b_3^e}]\\=[(R_b^e\vec{\omega_b}) \times \vec{b_1^e} \quad (R_b^e\vec{\omega_b}) \times \vec{b_2^e} \quad (R_b^e\vec{\omega_b}) \times \vec{b_3^e}]\\=[(R_b^e\vec{\omega_b}) \times (R_b^e\vec{e_1}) \quad (R_b^e\vec{\omega_b}) \times (R_b^e\vec{e_2}) \quad (R_b^e\vec{\omega_b}) \times (R_b^e\vec{e_3})]

其中：
e 1 ⃗ = [ 1 0 0 ] T \vec{e_1}=[1\quad0\quad0]^T
e 2 ⃗ = [ 0 1 0 ] T \vec{e_2}=[0\quad1\quad0]^T
e 3 ⃗ = [ 0 0 1 ] T \vec{e_3}=[0\quad0\quad1]^T
对于旋转矩阵 R R 和向量叉乘，有以下性质（本文不证明了，有兴趣的可以自己推导）
( R a ⃗ ) × ( R b ⃗ ) = R ( a ⃗ × b ⃗ ) (R\vec{a}) \times (R\vec{b})=R(\vec{a} \times \vec{b})

应用该性质得到：
d R b e d t = [ R b e ( ω b ⃗ × e 1 ⃗ ) R b e ( ω b ⃗ × e 2 ⃗ ) R b e ( ω b ⃗ × e 3 ⃗ ) ] = R b e [ ω b ⃗ × e 1 ⃗ ω b ⃗ × e 2 ⃗ ω b ⃗ × e 3 ⃗ ] = R b e [ [ ω b ⃗ ] × e 1 ⃗ [ ω b ⃗ ] × e 2 ⃗ [ ω b ⃗ ] × e 3 ⃗ ] = R b e [ ω b ⃗ ] × \frac{d{R_b^e}}{dt}=[R_b^e(\vec{\omega_b} \times \vec{e_1}) \quad R_b^e(\vec{\omega_b} \times \vec{e_2}) \quad R_b^e(\vec{\omega_b} \times \vec{e_3})]\\=R_b^e[\vec{\omega_b} \times \vec{e_1} \quad \vec{\omega_b} \times \vec{e_2} \quad \vec{\omega_b} \times \vec{e_3}]\\=R_b^e[[\vec{\omega_b}]_{\times} \vec{e_1} \quad [\vec{\omega_b}]_{\times} \vec{e_2} \quad [\vec{\omega_b}]_{\times} \vec{e_3}]\\=R_b^e[\vec{\omega_b}]_{\times}

综上所述：
d R b e d t = R b e [ ω b ⃗ ] × \frac{d{R_b^e}}{dt}=R_b^e[\vec{\omega_b}]_{\times}

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• 矩阵、向量求导公式

# 1 矩阵的迹

矩阵的迹：对于n阶方阵A，A的迹(trace)是主对角线上的元素之和，即tr(A)=Σi∈[1,n]aii。迹的性质：

（1）tr(AT)=tr(A)；

（2）tr(A+B)=tr(A)+tr(B)；

（3）tr(AB)=tr(BA)；

（4）tr(ABC)=tr(BCA)=tr(CAB)。

# 2 行列式的性质

行列式的性质：设A、B是n阶方阵，c为常数，行列式的性质如下：

（1）|c·A|=cn|A|；

（2）|AT|=|A|；

（3）|A·B|=|A|·|B|；

（4）若A是可逆矩阵，则|A-1|=1/|A|；

（5）|An|=|A|n

# 3 向量相对于标量的导数与标量相对于向量的导数

向量相对于标量的导数与标量相对于向量的导数：向量α相对于标量x的导数、标量x相对于向量α的导数都是向量，其第i个分量分别为：

（1）(∂α/∂x)i=∂αi/∂x；

（2）(∂x/∂α)i=∂x/∂αi

# 4 矩阵相对于标量的导数与标量相对于矩阵的导数

矩阵相对于标量的导数与标量相对于矩阵的导数：矩阵A对于标量x的导数、标量x对于矩阵A的导数都是矩阵，其第i行第j列上的元素分别为：

（1）(∂A/∂x)ij=∂Aij/∂x；

（2）(∂x/∂A)ij=∂x/∂Aij

# 5 函数f(x)对向量x的导数

函数f(x)对向量x的导数：假定函数f(x)对向量x的元素可导，则：

（1）f(x)关于向量x的一阶导数是一个向量，其第i个分量为：(▽f(x))i=∂f(x)/∂xi

（2）f(x)关于向量x的二阶导数是称为海森矩阵的一个方阵，其第i行第j列上的元素为：(▽2f(x))ij=∂2f(x)/∂xi∂xj

# 6 向量和矩阵的导数满足乘法法则

向量和矩阵的导数满足乘法法则

（1）∂xTα/∂x=∂αTx/∂x=α；

（2）∂AB/∂x=(∂A/∂x)·B+A·(∂B/∂x)。

# 7 逆矩阵的导数

逆矩阵的导数：∂A-1/∂x=-A-1·∂A/∂x·A-1

# 8 关于矩阵的迹的求导公式

关于矩阵的迹的求导公式

（1）∂tr(AB)/∂Aij=Bji

（2）∂tr(AB)/∂A=BT

（3）∂tr(ATB)/∂A=B；

（4）∂tr(A)/∂A=Ⅰ，其中Ⅰ是单位阵；

（5）∂tr(ABAT)/∂A=A·(B+BT)；

# 9 求导链式法则

求导链式法则：链式法则是计算复杂导数时的重要工具，若f(x)=g(h(x))，则有：

# 10 矩阵最常用求导公式

矩阵最常用求导公式

（1）∂xTAx/∂x=(A+AT)x；

（2）上面的公式应该是下面的特例，这样看的话下面的公式好像不对…只有当W是对称矩阵，即WT=W时，下式才是正确的：

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