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  • 向量的性质

    千次阅读 2013-07-30 11:43:00
    ① 零向量是任何向量的线性组合,零向量与任何同维实向量正交. ② 单个零向量线性相关;单个非零向量线性无关. ③ 部分相关,整体必相关;整体无关,部分必无关. ④ 原向量组无关,接长向量组无关;接长向量组...

    向量性质:

    ①   零向量是任何向量的线性组合,零向量与任何同维实向量正交.

    ②   单个零向量线性相关;单个非零向量线性无关.

    ③   部分相关,整体必相关;整体无关,部分必无关.

    ④   原向量组无关,接长向量组无关;接长向量组相关,原向量组相关.

    ⑤   两个向量线性相关对应元素成比例;两两正交的非零向量组线性无关.

    ⑥   向量组中任一向量都是此向量组的线性组合.

    ⑦   向量组线性相关向量组中至少有一个向量可由其余个向量线性表示.

    向量组线性无关向量组中每一个向量都不能由其余个向量线性表示.

    ⑧   维列向量组线性相关;

      维列向量组线性无关.

    ⑨   .

    ⑩   若线性无关,而线性相关,则可由线性表示,且表示法惟一.

    ⑪   矩阵的行向量组的秩等于列向量组的秩.

    阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数.

    ⑫   矩阵的行初等变换不改变矩阵的秩,且不改变列向量间的线性关系.

      矩阵的列初等变换不改变矩阵的秩,且不改变行向量间的线性关系.

    向量组等价 和可以相互线性表示.  记作:

    矩阵等价 经过有限次初等变换化为.  记作:

    ⑬   矩阵与等价作为向量组等价,即:秩相等的向量组不一定等价.

    矩阵与作为向量组等价

    矩阵与等价.

    ⑭   向量组可由向量组线性表示≤.

    ⑮   向量组可由向量组线性表示,且,则线性相关.

    向量组线性无关,且可由线性表示,则≤.

    ⑯   向量组可由向量组线性表示,且,则两向量组等价;

    ⑰   任一向量组和它的极大无关组等价.

    ⑱   向量组的任意两个极大无关组等价,且这两个组所含向量的个数相等.

    ⑲   若两个线性无关的向量组等价,则它们包含的向量个数相等.

    ⑳   若是矩阵,则,若,的行向量线性无关;

                                        若,的列向量线性无关,即:

    线性无关.

     

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  • 线性代数(二十九) :特征值与特征向量的性质(一)

    本节介绍特征值对应的特征向量线性无关或者相关的性质

    1 矩阵不同的特征值对应的特征向量线性无关

    证明:假设:


    此时ai都是特征值,hi是对应的特征向量,假设这些特征向量具有非平凡的线性关系(也就是线性相关)。

    我们假设存在线性相关的最少的向量数是m,由于hi都是非零向量。因此m>=2;

    此时有:


    令A作用在上式的两边,得到:


    将(2)式减去(1)式与am的乘积得到:


    当j=m时有:


    这表明有m-1个特征向量线性相关,与我们假定的最小向量数m矛盾,因此我们知道不同的特征值对应的特征向量

    是线性无关的.

    2 如果nxn矩阵A的特征多项式有不同的根,则A有n个线性无关的特征向量

    这个定理告诉我们若矩阵有n个不同的特征值,则存在n个线性无关的特征向量。他们构成n维

    空间的一组基,任何一个向量h都可以表示为这些特征向量的线性组合:


    证明:根据第一个定理易证 



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  • 设 $\Omega=\sed{\bbx\in\bbR^3;... 设 $V:\bbR^3\to\bbR^3$, $V=(V_1,V_2,V_3)$ 是 $C^1$ 向量场, $V$ 在 $\bbR^3\bs \Omega$ 上恒为零, $\dps{\frac{\p V_1}{\p x}+\frac{\p V_2}{\p y}+\frac{\p V_3}{\p z}=0}$...

    设 $\Omega=\sed{\bbx\in\bbR^3; |\bbx|\leq 1}$. 设 $V:\bbR^3\to\bbR^3$, $V=(V_1,V_2,V_3)$ 是 $C^1$ 向量场, $V$ 在 $\bbR^3\bs \Omega$ 上恒为零, $\dps{\frac{\p V_1}{\p x}+\frac{\p V_2}{\p y}+\frac{\p V_3}{\p z}=0}$ 在 $\bbR^3$ 上恒为零.
    (1) 设 $f:\bbR^3\to \bbR$ 是 $C^1$ 函数, 求 $\dps{\iiint_\Omega \n f\cdot V\rd x\rd y\rd z}$.
    (2) 求 $\dps{\iiint_\Omega V_1\rd x\rd y\rd z}$.

    解答: $$\beex \bea 0&=\iint_{\p\Omega} fV\cdot n \rd S\\ &=\iiint_\Omega \Div(fV)\rd x\rd y\rd z\\ &=\iiint_\Omega \n f\cdot V+f\Div V\rd x\rd y\rd z\\ &=\iiint_\Omega \n f\cdot V\rd x\rd y\rd z. \eea \eeex$$ 特别地, 取 $f(\bbx)=x_1$, 有 $$\bex \iiint_\Omega V_1\rd x\rd y\rd z=0. \eex$$

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  • 2.6 向量的性质 交换律、结合律、分配率 2.7 零向量 所有维度都是0 证明零向量的存在(对于程序员来说,就不必要做严谨的证明了) 2.8 实战 class Vector : def __init__ ( self ,...

    背景

    划重点

    2.6 向量的性质

    • 交换律、结合律、分配率
      在这里插入图片描述
      在这里插入图片描述

    2.7 零向量

    • 所有维度都是0
      在这里插入图片描述
    • 证明零向量的存在(对于程序员来说,就不必要做严谨的证明了)

    2.8 实战

    class Vector:
        def __init__(self, lst):
            self._values = list(lst)
    
        def __repr__(self):
            return "Vector({})".format(self._values)
    
        def __str__(self):
            return "({})".format(', '.join(str(item) for item in self._values))
    
        def __len__(self):
            '''长度'''
            return len(self._values)
    
        def __getitem__(self, index):
            '''获取索引元素'''
            return self._values[index]
    
        def __add__(self, other):
            assert len(self) == len(other), '长度需要想等'
            return Vector([a + b for a, b in zip(self, other)])
    
        def __iter__(self):
            '''增加迭代器'''
            return self._values.__iter__()
    
        def __sub__(self, other):
            assert len(self) == len(other), '长度需要想等'
            return Vector([a - b for a, b in zip(self, other)])
    
        def __mul__(self, other):
            return Vector([other * e for e in self])
    
        def __rmul__(self, other):
            return self * other
    
        def __pos__(self):
            return 1 * self
    
        def __neg__(self):
            return -1 * self
    
        @classmethod
        def zero(cls, dim):
            return cls([0] * dim)
    
    
    if __name__ == '__main__':
        # 生成零向量
        print(Vector.zero(4))
    

    在这里插入图片描述

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  • 向量投影的性质

    千次阅读 2018-03-27 21:53:57
    向量aaa在向量uuu上的投影记为 Prju→a→Prju→a→...向量投影的性质: Prju→a→=|a→|cosϕPrju→a→=|a→|cos⁡ϕPrj_\overrightarrow u \overrightarrow a = |\overrightarrow a|\cos \phi,其中ϕϕ\phi为a...
  • 通过引入Hermite插值条件,给出一个全新的具有Hermite插值性质的可加细函数向量,即Hermite插值型可加细函数向量,并结合相应的Hermite插值型尺度滤波器,刻画了Hermite插值型可加细函数向量的性质.
  • 向量的基本性质

    2019-06-02 02:39:28
    [TOC] ...# 基本性质 1. $$ \vec a + \vec b = \vec b + \vec a $$ 2. $$ (\vec a + \vec b) + \vec c = \vec a + (\vec b + \vec c) $$ 3. $$ k(\vec a+\vec b) = k\vec a+k\vec b $$ 4. $$ (k+c)\...
  • 支持向量性质研究,奉国和,,对于分类支持向量机和回归支持向量机推导了它们一些性质,得出了一些有价值结论,对于全面地了解支持向量本质有帮助。
  • 向量的叉积性质 用途

    千次阅读 2014-12-12 21:35:35
    向量的叉积性质都忘完了…… 但是它可以用来判断点在直线的某侧。进而可以解决点是否在三角形内,两个矩形是否重叠等问题。 向量的叉积的模表示这两个向量围成的平行四边形的面积。   设矢量P = ( x1, y1 ),Q...
  • 矩阵的特征值与特征向量1 基本定义2 性质3 计算例1例2例34 特征值与特征向量的性质 注意:由于已经过了大学要考线性代数的年纪,关于矩阵的初等变化、齐次与非齐次方程的求解这种期末考试要计算的问题没有进行梳理 ...
  • 向量运算基本性质 向量加法也遵循交换律、结合律。 数量乘法也遵循分配律、结合律。 这些并不是定义得来,而是通过严谨数学证明得来。 例如 零向量 不定义什么是零向量,我们从推导出一个性质出发。 举例...
  • 向量性质备忘录

    2020-10-18 13:40:16
    向量秩: 向量满秩 = 向量线性无关 = 矩阵满秩 = 行列式!=0 线性无关:即一组向量内任一元素都不能被其他元素线性表示; 即不存在一组不全为0数,使 a.1x.1+a.2x.2+·······+a.nx.n = 0; x只有0解; 在非齐...
  • 向量叉乘线性性质 几何解释

    千次阅读 2019-05-09 12:23:10
    叉乘(向量的外积)是物理里面常常用到的概念, 它是由两个向量得到一个新的向量的运算。一般我们都是从几何意义下手: 向量和叉乘, 得到一个垂直于和的向量, 它的方向由右手螺旋法则确定, 它的长度是和张开的平行...
  • 向量叉乘线性性质几何解释

    千次阅读 2019-04-27 18:15:52
    维基百科里还有更多性质的介绍和证明: https://en.wikipedia.org/wiki/Cross_product 转载 https://www.cnblogs.com/zzdyyy/p/7643267.html
  • 在平面四边形$ABCD$中,已知$E,F,G,H$分别是棱$AB,BC,CD,DA$中点,若$|EG|^2-|HF|^2=1,$设$|AD|=x,|BC|=y,|AB|=z,|CD|=1,$则$\dfrac...注:一般任意四边形有这样的向量性质:如图$\overrightarrow{AB}+\overrightarr...
  • 第二十四篇 特征值问题编程基础:特征值特征向量的求解和性质 特征值方程 在分析结构稳定性或振动系统的固有频率时,经常会出现这种情况。我们必须找到一个向量{x},当它与[a]相乘时,得到它自身的标量倍。这个λ...
  • 向量的内积(点乘) 要求一维向量a和向量b的行列数相同。点乘的结果是一个标量而不是向量 定义:两个向量a与b的内积为 a·b = |a||b|cos∠(a, b),0·a =a·0 = 0;若a,b是非零向量,则a与b向量正交的充要条件是a...
  • 摘自 张绍飞, 赵迪. 矩阵论教程[M]. 机械工业出版社, 2012.p94
  • 征值和特征向量的几何意义、计算及其性质 一、特征值和特征向量的几何意义 特征值和特征向量确实有很明确的几何意义,矩阵(既然讨论特征向量的问题,当然是方阵,这里不讨论广义特征向量的概念,就是...
  • 文章目录特征值特征向量的定义求特征值性质例题求特征向量特征值与特征向量的性质 只有方阵才能求特征值和特征向量。 特征值特征向量的定义 对于一个nnn阶方阵AnA_nAn​,存在一个数值λ\lambdaλ和一个非零列向量α...
  • 特征值和特征向量确实有很明确的几何意义,矩阵(既然讨论特征向量的问题,当然是方阵,这里不讨论广义特征向量的概念,就是一般的特征向量)乘以一个向量的结果仍是同维数的一个向量。因此,矩阵乘法对应了一个变换...
  • 这次深入一些,充分利用向量的性质模仿一个物理现象。 首先,我要介绍一下将要使用的两个基本但非常重要的技巧。 一、求与某个向量a正交的向量b 根据向量内积的性质以及正交向量之间的关系,有: 设a=(xa,ya),b=...
  • 向量

    2020-03-24 16:01:42
    向量的夹角公式 性质 数量积的坐标表达式 投影的运算 模的长度乘上夹角余弦 a在b上面的投影就是b的模乘上a向量在b向量上的投影 2.向量积(叉乘): 向量积的定义 性质 向量积满足结合律和分配律 交换律是相反...
  • 这次深入一些,充分利用向量的性质模仿一个物理现象。 首先,我要介绍一下将要使用的两个基本但非常重要的技巧。一、求与某个向量a正交的向量b 根据向量内积的性质以及正交向量之间的关系,有:设a...
  • 3. 向量外积的性质(平行向量的外积为零,反之亦然;外积不满足交换律;外积满足数乘的结合律;外积满足分配律) 4. 外积的几何意义(两个向量的外积的模,等于以两个向量为邻边的平行四边形的面积) ...
  • 矩阵特征值和特征向量

    千次阅读 2015-03-20 14:29:01
    第五章 矩阵的特征值和特征向量 来源:线性代数精品课程组 作者:线性代数精品课程组 1.教学目的和要求: ...(3) 了解实对称矩阵的特征值和特征向量的性质. 2.教学重点: (1) 会求矩阵的特征值与特征向量.

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