向量性质：
①   零向量是任何向量的线性组合,零向量与任何同维实向量正交.
②   单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关.
③   部分相关,整体必相关；整体无关,部分必无关.
④   原向量组无关,接长向量组无关；接长向量组相关,原向量组相关.
⑤   两个向量线性相关对应元素成比例；两两正交的非零向量组线性无关.
⑥   向量组中任一向量≤≤都是此向量组的线性组合.
⑦   向量组线性相关向量组中至少有一个向量可由其余个向量线性表示.
向量组线性无关向量组中每一个向量都不能由其余个向量线性表示.
⑧   维列向量组线性相关；
  维列向量组线性无关.
⑨   .
⑩   若线性无关，而线性相关,则可由线性表示,且表示法惟一.
⑪   矩阵的行向量组的秩等于列向量组的秩.
阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数.
⑫   矩阵的行初等变换不改变矩阵的秩,且不改变列向量间的线性关系.
  矩阵的列初等变换不改变矩阵的秩,且不改变行向量间的线性关系.
向量组等价 和可以相互线性表示.  记作：
矩阵等价 经过有限次初等变换化为.  记作：
⑬   矩阵与等价作为向量组等价,即：秩相等的向量组不一定等价.
矩阵与作为向量组等价
矩阵与等价.
⑭   向量组可由向量组线性表示≤.
⑮   向量组可由向量组线性表示,且，则线性相关.
向量组线性无关,且可由线性表示,则≤.
⑯   向量组可由向量组线性表示,且,则两向量组等价；
⑰   任一向量组和它的极大无关组等价.
⑱   向量组的任意两个极大无关组等价,且这两个组所含向量的个数相等.
⑲   若两个线性无关的向量组等价,则它们包含的向量个数相等.
⑳   若是矩阵,则,若，的行向量线性无关；
                                    若，的列向量线性无关,即：
线性无关.
 

本节介绍特征值对应的特征向量线性无关或者相关的性质
1 矩阵不同的特征值对应的特征向量线性无关
证明：假设：


此时ai都是特征值,hi是对应的特征向量,假设这些特征向量具有非平凡的线性关系(也就是线性相关)。
我们假设存在线性相关的最少的向量数是m，由于hi都是非零向量。因此m>=2;
此时有：


令A作用在上式的两边，得到:


将(2)式减去(1)式与am的乘积得到：


当j=m时有：


这表明有m-1个特征向量线性相关，与我们假定的最小向量数m矛盾，因此我们知道不同的特征值对应的特征向量
是线性无关的.
2 如果nxn矩阵A的特征多项式有不同的根，则A有n个线性无关的特征向量
这个定理告诉我们若矩阵有n个不同的特征值，则存在n个线性无关的特征向量。他们构成n维
空间的一组基,任何一个向量h都可以表示为这些特征向量的线性组合：


证明：根据第一个定理易证 

设 $\Omega=\sed{\bbx\in\bbR^3; |\bbx|\leq 1}$. 设 $V:\bbR^3\to\bbR^3$, $V=(V_1,V_2,V_3)$ 是 $C^1$ 向量场, $V$ 在 $\bbR^3\bs \Omega$ 上恒为零, $\dps{\frac{\p V_1}{\p x}+\frac{\p V_2}{\p y}+\frac{\p V_3}{\p z}=0}$ 在 $\bbR^3$ 上恒为零. 
(1) 设 $f:\bbR^3\to \bbR$ 是 $C^1$ 函数, 求 $\dps{\iiint_\Omega \n f\cdot V\rd x\rd y\rd z}$.
(2) 求 $\dps{\iiint_\Omega V_1\rd x\rd y\rd z}$.
解答:  $$\beex \bea 0&=\iint_{\p\Omega} fV\cdot n \rd S\\ &=\iiint_\Omega \Div(fV)\rd x\rd y\rd z\\ &=\iiint_\Omega \n f\cdot V+f\Div V\rd x\rd y\rd z\\ &=\iiint_\Omega \n f\cdot V\rd x\rd y\rd z. \eea \eeex$$ 特别地, 取 $f(\bbx)=x_1$, 有 $$\bex \iiint_\Omega V_1\rd x\rd y\rd z=0. \eex$$  

背景
划重点
2.6 向量的性质

交换律、结合律、分配率





2.7 零向量

所有维度都是0


证明零向量的存在（对于程序员来说，就不必要做严谨的证明了）

2.8 实战
class Vector:
    def __init__(self, lst):
        self._values = list(lst)

    def __repr__(self):
        return "Vector({})".format(self._values)

    def __str__(self):
        return "({})".format(', '.join(str(item) for item in self._values))

    def __len__(self):
        '''长度'''
        return len(self._values)

    def __getitem__(self, index):
        '''获取索引元素'''
        return self._values[index]

    def __add__(self, other):
        assert len(self) == len(other), '长度需要想等'
        return Vector([a + b for a, b in zip(self, other)])

    def __iter__(self):
        '''增加迭代器'''
        return self._values.__iter__()

    def __sub__(self, other):
        assert len(self) == len(other), '长度需要想等'
        return Vector([a - b for a, b in zip(self, other)])

    def __mul__(self, other):
        return Vector([other * e for e in self])

    def __rmul__(self, other):
        return self * other

    def __pos__(self):
        return 1 * self

    def __neg__(self):
        return -1 * self

    @classmethod
    def zero(cls, dim):
        return cls([0] * dim)


if __name__ == '__main__':
    # 生成零向量
    print(Vector.zero(4))