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【线性代数】5.2.2 特征向量的性质
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2021-08-20 15:59:20
- 定理2：设 $\lambda_1,\lambda_2,..,\lambda_m$ 是方阵 $\bold A$ 的 $m$ 个特征值， $\bold p_1,\bold p_2,...,\bold p_m$ 依次是与之对应的特征向量，如果 $\lambda_1,\lambda_2,..,\lambda_m$ 各不相等，则 $\bold p_1,\bold p_2,...,\bold p_m$ 线性无关。
- 定理2表明：特征值不同，齐次方程组的系数矩阵不同，解空间的构造不同。
- 推论：设 $\lambda_1$ 和 $\lambda_2$ 是方阵 $\bold A$ 的两个不同特征值， $\xi_1,\xi_2,...\xi_s$ 和 $\eta_1,\eta_2,...,\eta_t$ 是对应于 $\lambda_1$ 和 $\lambda_2$ 的线性无关的特征向量，则 $\xi_1,\xi_2,...\xi_s,\eta_1,\eta_2,...,\eta_t$ 线性无关。
- 推论表明：对应于两个不同特征值的线性无关的特征向量组，合起来是线性无关的。
- 不同特征值对应的特征向量空间没有任何交集。
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什么是特征值和特征向量 A为一个N阶方阵，为一个向量，为一个值。满足上述等式，则称为一个特征向量，为一个特征值注：1、方阵才有特征值、特征向量，非方阵没有 2、特征向量 3、设，则复数范围内，A恰有...

什么是特征值和特征向量

$A\alpha =\lambda \alpha$

A为一个N阶方阵， $\alpha$ 为一个向量， $\lambda$ 为一个值。

满足上述等式，则称 $\alpha$ 为一个特征向量， $\lambda$ 为一个特征值

注：1、方阵才有特征值、特征向量，非方阵没有

2、特征向量 $\alpha \neq 0$

3、设 $A_{n*n}$ ，则复数范围内，A恰有N个特征值

4、对于 $\lambda$ 每个特征值，都有无穷个特征向量

证： $kA\left ( \alpha \right )=k\lambda\alpha =A\left ( k\alpha \right )=\lambda \left ( k\alpha \right )$

所以 $\alpha$ 为满足 $\lambda$ 为特征值的一个特征向量，则 $\alpha$ 任意乘以一个非零数k，则 $k\alpha$ 任然为满足 $\lambda$ 为特征值的一个特征向量

所以可以得出， $\lambda$ 为特征值时，有无穷个特征向量与其对应，即 $k\alpha$ ， $k\neq 0$

并且，其中的任意两个 $\alpha$ 相加，都为 $\lambda$ 为特征值时的特征向量

5、若 $\alpha (\alpha \neq 0)$ 为 $AX=0$ 的解，则可以称， $\alpha$ 为A特向值 $\lambda$ 为0时的特征向量

即 $A\alpha =0\alpha =0$

如何求特征值

$A\alpha =\lambda \alpha$

$A\alpha-\lambda \alpha =0$

$\left (A-\lambda E \right ) \alpha =0$

$\because \alpha \neq 0$

意味着 $\left (A-\lambda E \right ) \alpha =0$ 有非零解

$\therefore R(A-\lambda E)<n$

意味着 $A-\lambda E$ 的秩小于n，即不满秩，如果满秩的话，只有 $\alpha$ 是零向量，才有解

不满秩的充要条件，有 $\left | A-\lambda E \right |=0$

向量的行列式为0，则该向量不满秩

最后，由 $\left | A-\lambda E \right |=0$ 这个方程，解出 $\lambda$ 的值

如何求特征值对应的特征向量

将上述 $\lambda$ 的值，分别代入原方程 $\left (A-\lambda E \right ) \alpha =0$

可以分别求出其解 $\alpha$ ，即为 $\lambda$ 对应的特征向量

特征值和特征向量的一些性质

1、 $\lambda _{1}+\lambda _{2}+...+\lambda _{n}=a_{11}+a_{22}+...+a_{nn}=tr(A)$

A矩阵特征值的和，等于A矩阵，主对角线上元素的和，叫做矩阵A的迹

证明： $\left | A-\lambda E \right |=\begin{vmatrix} a_{11}-\lambda & a_{12} &... &a_{1n} \\ a_{21}& a_{22}-\lambda & &a_{2n} \\ .. .& ... & ... &... \\ a_{n1} & a_{n2} & ... & a_{nn}-\lambda \end{vmatrix}=(\lambda _{1}-\lambda )(\lambda _{2}-\lambda )...(\lambda _{n}-\lambda )$

寻找 $\lambda ^{n-1}$ 的系数，则只能在 $(a_{11}-\lambda )(a_{22}-\lambda )(a_{33}-\lambda )...(a_{nn}-\lambda )$ 当中进行组合选择

$a_{11}(-\lambda) ^{n-1}+a_{22}(-\lambda) ^{n-1}+...a_{nn}(-\lambda) ^{n-1}=(a_{11}+a_{22}+...+a_{nn})(-\lambda) ^{n-1}=\lambda _{1}(-\lambda) ^{n-1}+\lambda _{2}(-\lambda) ^{n-1}+...\lambda _{n}(-\lambda) ^{n-1}=(\lambda _{1}+\lambda _{2}+...+\lambda _{n})(-\lambda) ^{n-1}$

$\therefore a_{11}+a_{22}+...+a_{nn}=\lambda _{1}+\lambda _{2}+...+\lambda _{n}$

2、 $\lambda _{1}*\lambda _{2}*...*\lambda _{n}=\left | A \right |$

A矩阵特征值的积，等于A的行列式

证明： $\left | A-\lambda E \right |=\begin{vmatrix} a_{11}-\lambda & a_{12} &... &a_{1n} \\ a_{21}& a_{22}-\lambda & &a_{2n} \\ .. .& ... & ... &... \\ a_{n1} & a_{n2} & ... & a_{nn}-\lambda \end{vmatrix}=(\lambda _{1}-\lambda )(\lambda _{2}-\lambda )...(\lambda _{n}-\lambda )$

令 $\lambda =0$ ，则等式左端为A的行列式，等式右端，则为A矩阵特征值的积

3、不同特征值的特征向量之间，一定线性无关

证明：

设 $\lambda _{1}\lambda _{2}....\lambda _{s}$ 是A的各不相同的特征向量

$\alpha _{1}\alpha _{2}....\alpha _{s}$ 是与其对应的任一特征向量

使用数学归纳法

当n=1时， $\alpha _{1}\neq 0$ ，它自个儿自然是线性无关

当n=s-1时，设 $\alpha _{1}\alpha _{2}....\alpha _{s-1}$ 线性无关

当n=s时，如果可以证得 $\alpha _{1}\alpha _{2}....\alpha _{s}$ 线性无关，则我们的假设成立

即证明 $k_{1}\alpha _{1}+k_{2}\alpha _{2}+k_{3}\alpha _{3}+...k_{s}\alpha _{s}=0$ 时，只有当k1、k2、k3...ks为0时等式成立

$k_{1}A\alpha _{1}+k_{2}A\alpha _{2}+k_{3}A\alpha _{3}+...k_{s}A\alpha _{s}=0$

我们将等式左乘矩阵A，因为k是数值可以移到左边去，然后根据 $A\alpha =\lambda \alpha$ 的定义

$0=k_{1}A\alpha _{1}+k_{2}A\alpha _{2}+k_{3}A\alpha _{3}+...k_{s}A\alpha _{s}=k_{1}\lambda _{1}\alpha _{1}+k_{2}\lambda _{2}\alpha _{2}+k_{3}\lambda _{3}\alpha _{3}+...k_{s}\lambda _{s}\alpha _{s}$

然后我们将 $k_{1}\alpha _{1}+k_{2}\alpha _{2}+k_{3}\alpha _{3}+...k_{s}\alpha _{s}=0$ 等式两边乘上 $\lambda _{s}$ ，则可以得到

$k_{1}\lambda _{s}\alpha _{1}+k_{2}\lambda _{s}\alpha _{2}+k_{3}\lambda _{s}\alpha _{3}+...k_{s}\lambda _{s}\alpha _{s}=0$

减去上面的等式

$k_{1}\lambda _{1}\alpha _{1}+k_{2}\lambda _{2}\alpha _{2}+k_{3}\lambda _{3}\alpha _{3}+...k_{s}\lambda _{s}\alpha _{s}=0$

得

$k_{1}(\lambda _{1}-\lambda _{s})\alpha _{1}+k_{2}(\lambda _{2}-\lambda _{s})\alpha _{2}+k_{3}(\lambda _{3}-\lambda _{s})\alpha _{3}+...k_{s}(\lambda _{s}-\lambda _{s}) \alpha _{s}=0$

这里面 $k_{s}(\lambda _{s}-\lambda _{s}) \alpha _{s}$ 已经被消掉了，只剩下

$k_{1}(\lambda _{1}-\lambda _{s})\alpha _{1}+k_{2}(\lambda _{2}-\lambda _{s})\alpha _{2}+k_{3}(\lambda _{3}-\lambda _{s})\alpha _{3}+...k_{s-1}(\lambda _{s-1}-\lambda _{s}) \alpha _{s-1}=0$

我们已经知道 $\alpha _{1}\alpha _{2}....\alpha _{s-1}$ 是线性无关的了

就意味着

$k_{1}(\lambda _{1}-\lambda _{s})=0$

$k_{2}(\lambda _{2}-\lambda _{s})=0$

...

$k_{s-1}(\lambda _{s-1}-\lambda _{s})=0$

因为 $\lambda _{1}\lambda _{2}....\lambda _{s}$ 是A的各不相同的特征向量，所以k1、k2...ks-1都为零

将k1到ks-1的值代回到 $k_{1}\alpha _{1}+k_{2}\alpha _{2}+k_{3}\alpha _{3}+...k_{s}\alpha _{s}=0$

得到

$k_{s}\alpha _{s}=0$

所以ks也为零

我们就解出了 $k_{1}\alpha _{1}+k_{2}\alpha _{2}+k_{3}\alpha _{3}+...k_{s}\alpha _{s}=0$ 这个等式下，k1、k2、k3...ks都为0，这意味着 $\alpha _{1}\alpha _{2}....\alpha _{s}$ 线性无关，所以由数学归纳法可以证明

不同特征值的特征向量之间，一定线性无关

4、A的k重特征值 $\lambda$ 线性无关的特征向量最多有k个

如果 $\lambda$ 为单特征值（就是没有一样的特征向量），那么特征向量就只有1个

5、A矩阵逆的特征值为 $\frac{1}{\lambda }(\lambda \neq 0)$ ，且特征向量为 $\alpha$

证明： $A\alpha =\lambda \alpha \rightarrow \alpha =\lambda A^{-1}\alpha$

$\frac{1}{\lambda }\alpha =A^{-1}\alpha\rightarrow A^{-1}\alpha=\frac{1}{\lambda }\alpha$

这不就是定义么

6、A矩阵的伴随矩阵的特征值为 $\frac{\left | A \right |}{\lambda }(\lambda \neq 0)$ ，且特征向量为 $\alpha$

证明：很简单， $\left | A \right |A^{-1}=A^{*}$

$\left | A \right |A^{-1}\alpha=\frac{\left |A \right |}{\lambda }\alpha\rightarrow A^{*}\alpha=\frac{\left |A \right |}{\lambda }\alpha$

7、kA（A为矩阵）的特征值为 $k\lambda$ ，且特征向量为 $\alpha$

证明：很简单

$A\alpha =\lambda \alpha \rightarrow (kA)\alpha=(k\lambda) \alpha$

8、 $A^{k}$ 的特征值为 $\lambda ^{k}$ ，且特征向量为 $\alpha$

证明：也很简单，跟上面差不多

$A^{k}\alpha =A^{k-1}*A\alpha =A^{k-1}*\lambda \alpha=\lambda A^{k-1}\alpha$

不断的将A的次方脱下来，可以得到

$A^{k}\alpha =\lambda ^{k}\alpha$

9、若f(A)是A矩阵的一个多项式函数，那么f(A)的特征值为 $f(\lambda )$ ，且特征向量为 $\alpha$

证明：还是依靠定义，其实就跟上述的8一样的操作

10、 $A^{T}$ 的特征值还是 $\lambda$ ，但是它的特征向量跟 $\alpha$ 没啥关系

证明：使用求特征值的公式

$\left | A^{T}-\lambda E \right |=\left | A^{T}-\lambda E^{T} \right |=\left | (A-\lambda E)^{T} \right |=\left | A-\lambda E \right |=0$

所以他们的解应该是完全一样的

11、 $P^{-1}AP$ 的特征值还是 $\lambda$ ，特征向量为 $P^{-1}\alpha$

证明：

$P^{-1}AP (P^{-1}\alpha )=P^{-1}A\alpha =P^{-1}\lambda \alpha=\lambda (P^{-1}\alpha)$

即 $P^{-1}AP (P^{-1}\alpha )=\lambda (P^{-1}\alpha)$

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性质1：

定理：

推论：

性质2：

属于同一特征值的特征向量的非零线性组合仍是属于这一特征值的特征向量；但属于不同特征值的特征向量的非零线性组合一般就不是特征向量了。

特征值的求法公式：

特征值与矩阵的关系公式

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