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已知两个非零向量a、b，那么|a||b|cosθ(θ是a与b的夹角)32313133353236313431303231363533e59b9ee7ad9431333365656531叫做a与b的数量积或内积。记作a·b。两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。即：若a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a·b=x1·x2+y1·y2
向量的数量积公式：a*b=|a||b|cosθ,a,b表示向量，θ表示向量a,b共起点时的夹角，很明显向量的数量积表示数，不是向量。
一个向量和另个向量在这个向量上的投影的乘积，前提始位置要相同。
[扩展资料]
数量积的性质
设a、b为非零向量，则
①设e是单位向量，且e与a的夹角为θ，则e·a=a·e=|a|cosθ
②a⊥b=a·b=0
③当a与b同向时，a·b=|a||b|；当a与b反向时，a·a=|a|2=a2或|a|=√a·a
④|a·b|≤|a|·|b|，当且仅当a与b共线时，即a∥b时等号成立
⑤cosθ=a·b╱|a||b|(θ为向量a.b的夹角)
⑥零向量与任意向量的数量积为0。
向量数量积的运算律
⑴交换律：a·b=b·a
⑵数乘结合律：(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)
⑶分配律：(a+b)·c=a·c+b·c
平面向量数量积的几何意义
①一个向量在另一个向量方向上的投影
设θ是a、b的夹角，则|b|cosθ叫做向量b在向量a的方向上的投影，|a|cosθ叫做向量a在向量b方向上的投 影。
②a·b的几何意义
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积
★注意：投影和两向量的数量积都是数量，不是向量。
③数量积a·b的几何意义是：a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积。

	

● 本文适合高二上学期、高三一轮复习的同学阅读。先看视频再看文字，看视频时注意利用暂停，想清楚每一步变形的依据。
01
空间向量的线性运算、共面、数量积
视频讲解
1、空间向量的概念
2、空间向量的加减法
3、空间向量的数乘
4、共线向量
5、共面向量
6、空间向量的夹角
7、空间向量的数量积
8、空间向量基本定理
02
空间直角坐标系、空间两点距离公式、空间向量坐标表示与运算
视频讲解
9、空间直解坐标系
(1)空间直角坐标系：从空间某一定点引三条两两垂直，且有相同单位长度的数轴：x轴、y轴、z轴，这样就建立了一个空间直角坐标系Oxyz 。              .
(2)相关概念：点Ｏ叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy平面、yOz平面、zOx平面。
(3).右手直角坐标系
在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴 的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系。
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10、空间中两点的距离公式
11、空间向量的正交分解与坐标表示
12、空间向量的坐标计算
03
空间向量的平行、垂直、共面
视频讲解
13、空间向量的平行、垂直、模、夹角
(本文部分图片与视频来自于网络，仅供学习交流用，若有不妥，请联系删除。)
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先从比较熟悉的数量积说起，给出定义：
        
      最近学校里教到了静电场。其中有一个看起来很简单的公式：       
      这里的U指的是两点间电势差，E是匀强电场的场强，d是两点沿场强方向的距离。这个公式看起来不会产生任何麻烦，但是当从数学角度去关注它的时候，可以发现，等式的左边是个标量，等式右边的E是个矢量，那么只剩下一种可能：d也是一个矢量。因为物理量的矢标性是高中物理的一个重点，所以遇到新的矢量都会声明定义一下。然而，课本是这样描述的：
        
      其中“沿电场方向的距离”就是d。这个描述是有误导性的，一方面提出是“距离”，而之前在必修一中提到距离是标量，唯一定义过的有关长度的矢量是位移x；一方面又提出“沿电场方向”，直接给出了方向。但是数学运算规律是不能违背的，所以它一定是个向量，方向就是电场方向。或者我们可以直接从书本中推导的过程来看这个问题：
        
      而在必修二中，对于恒力做功是这样定义的：
        
      可以发现，最后一个式子已经是一个数量向量积的展开式了，这个式子是完全符合数学运算的，但是，这里的l只代表了位移大小，F也只代表力的大小，所以当我们默认W=qEd也是完全展开的话，U=Ed中实际上E,d都是表示这两个矢量的模；而当默认W=qEd还是向量最初的形式时，那么E，d都应该是向量了。然而在定义(1)中，并没有明确E,d到底是模长还是向量。于是才产生了混乱的局面，或者说，不管是矢量还是标量，在公式中由于没有箭头，看不出区别。可以考虑简化一下这个式子，因为这个式子是由恒力做功的定义得出的，所以只需要保留原来未展开的向量形式中的两点间位移就可以了，根本不需要去定义一个d，求解U时就可以直接求x和E的数量积。推导过程可以写成这样：
        
      实际上数量积运算产生的问题还是稍微想一下可以想通的，更严重的问题出在不熟悉的向量积上。观察洛伦兹力(	运动电荷在磁场中所受到的力)的计算公式：
        
      (这里的v是v在与B垂直方向上的分量)这个式子也很简单。但是分析它的矢标性是发现：式子的左边是矢量，右边的q是标量，v，B都是矢量。而按照高中里的数学知识，左右是绝不可能等同的，因为我们已知的向量的乘积只有数量积这一种形式。这是在计算它的大小时遇到的问题，如果对于其方向的判断，在书中是这样描述的：
        
      然而，单独去记忆这个“左手定则”，会带来不少麻烦，因为其他电磁相互作用的现象基本都是使用右手定则的(如电磁感应，通电导线的磁场方向等)。这时，就有必要引入向量积的定义了：  也就是说，两个向量的向量积是一个新向量，这个向量的大小在上面已经定义过了，它的方向需要用右手定则确定：把右手的四指从a以不超过180度的转角转向b时，竖起的大拇指指向是c的方向。这时的c是a∧b的结果，所以需要注意a∧b与b∧a的区别。右手定则的判定举例如下：
        
      经过上面的讨论，我们有理由怀疑洛伦兹力的计算公式里面是含有向量的向量积的。而实际上，洛伦兹力的计算公式应该写作这样：
        
      当然，这里需要注意v和B的顺序，否则用右手定则判定出来的洛伦兹力方向会恰好相反。解决了洛伦兹力，再来解决安培力(通电导线在磁场中受到的力)，作为洛伦兹力的宏观表现，它也需要使用左手定则，来看看它的公式：
        
      (这里的L是L在与B垂直方向上的分量)很奇怪，这个式子的矢标性不存在问题。然而，如果是严格按照数学规律来推断的话，这就是歌向量数乘的运算，所以B的方向和F的方向是统一的，然而这和使用左手定则来判定F方向显然矛盾，所以又有理由怀疑这个式子的右边也存在向量积运算。已经知道了安培力是洛伦兹力的宏观表现，不如用洛伦兹力推导一下。这里只需要建立L和v的关系，把v消掉。
        
      可以发现，这个问题和U=Ed是一致的，都是没有定义L的矢标性。想到洛伦兹力，自然也会想到动生电动势(导体作切割磁感线运动，在同时垂直于磁场和运动方向的两端产生的电动势，是电磁感应的一种形式)。来看看它的计算公式：
        
      (v,B,L互相垂直)同样地，检查这个式子的矢标性，如果把v和B之间的运算看作数量积的时候，好像没什么问题，那么，为什么书本中还需要使用右手定则来判定三者之间的方向关系？根据之前的经验，再尝试从它的产生原因进行分析推导。动生电动势是这样产生的：当运动的导体中的自由电子也随导体的运动而运动，这些运动的自由电子在磁场中受到向下的洛伦兹力F的作用，在F的作用下自由电荷向D端运动，使C端出现过剩正电荷，D端出现过剩负电荷。于是C端的电势高于D端，出现方向由C指向D的静电场，自由电子于是受到这个新产生的静电场的电场力，方向向上。随两端正负电荷的积累，电场力F‘不断增大，直到F和F’的大小相等时，自由电子不再移动，CD间产生了稳定电势差。
        
      而电动势等于单位正电荷从负极通过电源内部移动到正极非静电力所做的功。而这里的非静电力就是洛伦兹力。
        
      意识到实际上这是个很复杂的式子，先进行了向量积的运算，再进行数量积的运算。课本中作的简化是不太合理的，常常导致判断的错误，举个例子：一个圆弧状的导体O，在垂直于屏幕向内的匀强磁场中运动，求动生电动势。
        
      如果用课本中的公式，我们已经知道了v，B的方向，两者已经垂直，由于要求v,B,L都垂直，我们可以作L在v,B确定的平面的垂面上的投影：
        
      投影应该是图中的这条橙色线。然而，当我们未简化过的公式时，我们会发现式子中的L(也就是正电荷的位移)和v,B的向量积是垂直的，所以E实际上应该是0。
        
      仍然可以发现，这样的问题是由于没有定义L的矢标性产生的。总结一下，物理课本里简化的公式实际上挺多的，基本上都是为了避免讨论向量的数量积和向量积。虽然这样的简化常常通过使用左右手定则，或者硬性规定一个垂直方向上的分量来弥补，但是矢标性常常会产生迷惑，左右手定则的不统一也会引起记忆问题，而硬性的规定甚至会导致结果的错误。而当充分引入了矢量的这两个运算之后，在计算时，不需要特意去找硬性规定的垂直分量，只要严格按照公式；在判断物理量的方向时，因为右手定则对于向量积是成立的，也只要按照一个单一的右手定则来判断。并且由于这两个运算不会造成矢标性的混乱，在数学上也更说得通，优美多了。
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向量积的坐标运及度量公式
* * 向量数量积的 坐标运算与度量公式 一.复习回顾： 2. 二.探究新知: 三.新课讲授: 1.向量内积的坐标运算 结论：两个向量的数量积等于它们       对应坐标的乘积的和。 即: x  o  B(b1,b2)  A(a1,a2)  y                所以，根据平面向量数量积的坐标表示，向量的数量积的运算可转化为向量的坐标运算。 二.探究新知: 2.两向量垂直和平行的条件 平行 垂直 巩固提高： 二.探究新知: 3.向量的长度、距离、夹角公式 3.向量的长度、距离、夹角公式 ∴   ＝60o. θ 三.典型例题 例 1   已知a＝(1，√3  )，b＝(– 2，2√3   ), (1)求a·b； (2)求a与b的夹角θ. 解：(1)a·b＝1×(–2)＋√3×2√3＝4; (2) a ＝√12＋(√3  )2＝2, b ＝√(– 2)2＋(2√3  )2 ＝4, cos    ＝                 ＝            ＝     , 4 2×4 a·b a  b 1 2 θ 变式1： 练习A 1(4).  A 3. x 0 y   例2 已知A(1，2)，B(2，3)，C(-2，5)， 试判断?ABC的形状，并给出证明. A(1,2) B(2,3) C(-2,5) 练习A.2.3. 课堂练习： B D A ①②③④ 例3 已知四点坐标：A(-1，3)、B(1，1)、C(4，4)、D(3，5).(1)求证：四边形ABCD是直角梯形；(2)求∠DAB的大小. (1) 证明：                    AB = (1 – (-1), 1 – 3)                          = (2, -2),  BC = (4 – 1,4 – 1) = (3, 3). DC = (4 – 3, 4 – 5) = (1, -1), ∵  AB = 2DC, x A B C D y ∴    AB⊥BC. ∵  AB·BC = 2×3 +(-2) ×3 = 0, ∴  AB//DC. 知识反馈 ∴ ABCD是直角梯形. 又∵  AB≠DC, x A B C D y (2)解： |AB| = √(1 – (-1))2 + (1 – 3)2 = 2√2 , AD = (3 – (-1), 5 – 3) = (4, 2), |AD| = √(3 – (-1))2 + (5 – 3)2 = 2√5 , AD·AB = 4×2 + 2× (-2) = 4, cos∠DAB =               =                =       ,       AD·AB |AD||AB| 4 2√5 ·2√2 √10 10 ∴∠DAB = arccos       . √10 10