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  • 向量 - 模 余弦值 和 方向角的计算

    千次阅读 2019-05-31 14:38:58
  • 向量积,数学中又称外积、叉积,物理中称矢积、叉乘,是一种在向量空间中向量的二元运算。与点积不同,它的运算结果是一个向量而不是一个标量。并且两个向量的叉积与这两个向量和垂直。其应用十分广泛,通常应用于...

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    向量积,数学中又称外积、叉积,物理中称矢积、叉乘,是一种在向量空间中向量的二元运算。与点积不同,它的运算结果是一个向量而不是一个标量。并且两个向量的叉积与这两个向量和垂直。其应用十分广泛,通常应用于物理学光学和计算机图形学中。


    如图,这是

    ,我们得到了一个实数
    ,而其绝对值为平行四边形面积。

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    如图,这是

    ,我们得到了一个垂直与已知两向量的法向量,且其模长为平行四边形面积。

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    运算定理

    均为向量,
    的夹角

    1,

    2,

    3,

    运用1,已知三点坐标,求三角形面积

    以任意一个点坐标为基准,做差得到两个向量,这两个向量可围成向量三角形。
    例如点

    ,点
    ,点

    得到向量

    使用公式2,然后取绝对值,得到三角形面积

    空间向量外积求三角形面积可以很容易的推广到平面。

    则有

    三角形是最简单的几何图形,而在计算机领域求多边形面积是非常重要的,而用向量外积算出的有向面积,是解决求多边形面积的重要方法,它适用于凸多边形和凹多边形,非常灵活,简洁优美。

    运用2,已知平面,求平面的法向量

    找到平面内不共线的两向量

    ,这两个向量决定了这个平面 使用公式2,得到向量
    ,按照向量外积的定义,
    垂直于

    故所求向量
    即平面的法向量

    向量外积得到的法向量,有很多用途,尤其是物理上的,例如3D图像渲染在CG和游戏领域非常重要,而好的视觉效果多半取决于环境光的仿真,光的传播有一个最基本的定理,那就是光线与平面的法线所成的反射角等于入射角,而与利用向量外积求平面法线,是最简洁优美的。

    运用3,求三棱锥体积

    由三个不共面向量

    所决定的平行六面体的体积为

    故由三个不共面向量所决定的三棱锥的体积为

    运用4,高中数学外挂

    用它来做高中数学题简直就是开挂。

    已知三点坐标,求三角形面积这个问题。按照高中数学的套路,无非就是两点间距离公式算三边长,然后要么用海伦公式算面积,要么用余弦定理求出余弦值,换成正弦值,再求面积,这两种方法海伦公式稍微简便一点,但无非都难算了一些。而使用向量外积则简洁优美,我直接算

    的值就是面积了。

    已知平面,求平面的法向量这个问题。按照高中数学的套路,无非找出平面内两个不共线向量

    ,然后设平面的法向量
    然后根据向量垂直
    联立解得
    为含参的式子(因为一个平面的法向量有无数个),最后取一个容易计算的法向量。而使用向量外积,那就很简单了,计算
    就搞定了。

    已知三棱锥的各个点坐标,求它的体积这个问题。按照高中数学的套路,无非就是用余弦定理和正弦定理暴算一个面的面积,再用向量的余弦定理暴算点到面的距离,然后求出体积。如果使用上述的公式,一步就能算出体积,非常方便。

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  • 方向余弦阵解算问题
  • 一.准备:利用commons-math3 数学包封装的向量进行计算。 二.前提:输入参数为三点,两个向量...3.2)但是平行四边形的对线不是平分线,菱形的对线才是平分线,所以我们要对向量进行归一化,各分量除以模长,...

    一.准备:利用commons-math3 数学包封装的向量进行计算。
    二.前提:输入参数为三点,两个向量共起点。
    三.操作:
    3.1)利用向量的相加构成的平行四边形法则来求角平分线,见图1.1、1.2
    图1.1
             图1.1
             图1.2
             图1.2

    3.2)但是平行四边形的对角线不是角平分线,菱形的对角线才是角平分线,所以我们要对向量进行归一化,各分量除以模长,将其转为单位向量且方向不变,这样就可以构造菱形对角线了;在将归一化的两个向量相加即可得到对角线向量(如图1.3)。
    归一化后
                    ( 图1.3)

    
     public static Point getAngularBisectorPoint(Point left, Point right, Point wareHouse) {
            RealVector vector1 = new ArrayRealVector(new double[]{left.x - wareHouse.x, left.y - wareHouse.y});  //RealVector common-math3  
            RealVector vector2 = new ArrayRealVector(new double[]{right.x - wareHouse.x, right.y - wareHouse.y});
            RealVector vector =  vector1.mapDivide(vector1.getNorm()).add(vector2.mapDivide(vector2.getNorm()));
            double[] vectorArray = vector.toArray();
            double x = vectorArray[0] + wareHouse.x;
            double y = vectorArray[1] + wareHouse.y;
            return new Point(x, y); //注意1这是锐角情况,钝角就反向延长 。2.结果存在细微误差 
        }  
    
    

    3.3) 将上面代码求得的点与中心仓库点连线即可得到角平分线

    3.4) 利用向量的向量积来判断其他点位于角平分线的哪一侧;由公式得
    P = ( x1, y1 ),Q = ( x2, y2 )
    P×Q = x1y2 - x2y1;
    若 P × Q > 0 , 则P在Q的顺时针方向。
    若 P × Q < 0 , 则P在Q的逆时针方向。
    若 P × Q = 0 , 则P与Q共线,但可能同向也可能反向。

    public static void dividePoints(List<Point> points, Point wareHouse, Point angularBisector) {
            Point point = new Point(angularBisector.x - wareHouse.x,
                    angularBisector.y - wareHouse.y);
            List<Point> onePartClients = new ArrayList<>();
            List<Point> otherPartClients = new ArrayList<>();
            for (Point point1 : points) {
                Point point2 = new Point(point1.x - wareHouse.x,
                        point1.y - wareHouse.y);
                double data = point.x * point2.y - point2.x * point.y;
                if (data < 0) { // point 在 point2 的逆时针
                    onePartClients.add(point1);
                } else {
                    otherPartClients.add(point1);
                }
            }
        }
    

    三.参考文献
    https://blog.csdn.net/m0_37667021/article/details/76498623
    https://blog.csdn.net/whiteForever/article/details/82762540

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  • 向量的常用计算公式

    万次阅读 2019-02-13 14:44:13
    在3d数学中,不用关心向量的数学意义,只... 几何意义:得到一个方向相反,大小相等的向量  2. 向量的模(向量的大小或者向量的长度)  结果: |v| = √(x)*2 + (y)*2 + (z)*2   几何意义:得到向量的长度 3....

    在3d数学中,不用关心向量的数学意义,只关心向量的几何意义.

    向量v={x,y,z} , w={a,b,c}

    1. 向量变负
         结果:-v = {-x,-y,-z}
         几何意义:得到一个方向相反,大小相等的向量 

    2. 向量的模(向量的大小或者向量的长度)
         结果: |v| = √(x)*2 + (y)*2 + (z)*2 
         几何意义:得到向量的长度

    3.向量 + 标量 
         无效
    4.向量 - 标量
         无效

    5.向量 * 标量
         结果: kv = {kx,ky,kz}
         几何意义: 以k为因子 缩放向量长度 , 如果k<0 那么 向量倒转 
    6.向量 / 标量
         同上 , 等价于 向量 *标量的倒数

    7.标准化向量(单位向量 或 法线)
         结果: v = {x * (1/|v|) , y * (1/|v|)  , z * (1/|v|) }
         几何意义: 当只关心方向 而不关心大小是用, 注意 零向量没有单位向量 , 因为零向量没有方向

    8.向量 + 向量
         前提: 两向量维度相同
         结果: newV = v + w = {x+a,y+b,z+c}
         几何意义: 平移向量 ,使向量v的头链接向量w的尾 ,接着从v的尾向w的头画一个向量。[向量加法的'三角形法则']
    9. 向量 - 向量
         前提:同上
         结果: newV = v - w = {x-a,y-b,z-c}
                            

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  • 向量角平分线

    千次阅读 2020-02-29 23:19:28
    向量的表示
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空空如也

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向量的方向角的公式