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  • 1. 运算法则 运算法则描述客观存在现象。运算法则含义由人为规定运算符号表达。...人为定义向量空间来容纳“向量”、“向量加法”向量标量乘法”及三者性质。让“向量空间”作为几者家。

    知道《线性代数应该这样学》一书源于贺利坚老师的“程序员与线性代数”博文。


    读此书的动机:在浅显领悟能力下学习线性代数皮毛之余,希望自身的“看书习惯”和“耐心”得到训练。边读边作下不成熟的读书笔记。


    1. 运算法则

    运算法则描述客观存在的现象。运算法则的含义由人为规定的运算符号表达。


    现实生活中,每年买一本书,到第二年年底就会有两本书。数学中,用加法运算法则描述第二年年底有两本书的现象,在数学表达式中用加法运算符号将这个过程清楚的表示出来:1 + 1 = 2(本)。


    2. 向量空间

    人为定义向量空间来容纳“向量”、“向量加法”和“向量标量乘法”及三者的性质。让“向量空间”作为几者的家


    “向量”是人为定义,在平面和空间中抽象出了一个新的东西:始于“原点”的箭头。“向量加法”和“向量标量乘法”分别是在标量(数)的加法和乘法基础之上人为定义的一种运算法则,用来描述“向量”间的关系。


    向量空间是满足“向量加法”和“向量标量乘法”法则的集合(向量集),已包含了书中的6个性质[1.2章节 page19]。在二维空间内,向量的加法和标量乘法有较为明显的几何含义。


    Figure1.实向量加法在二维空间的几何含义

    上图表示二维平面中的向量加法的几何过程,在书中,此过程完全是按照向量加法法则的代数定义来实现的a +b的代数含义是将两向量的横、纵坐标分别相加。书中定义的向量的始点都在原点,代数下,可计算得到a + b的和c的终点坐标为(5, 2);几何下,a + b的c的终点是b起点基于a终点按照原来的长度和方向延长出去得到b’的终点。


    书中是先定义代数之上的“向量加法法则”,然后用几何方式形象的描述了“向量加法法则”的实质。为什么凭空就如此(各坐标对应作和的法则)定义“向量加法法则”。它必是能够描述某种有用的现象(对象,性质),所以定义是被反推出来的,此时的定义既能够描述物理对象(向量)也能够描述它的性质(运算法则下的交换律等)。标量乘法也是如此。


    3. 子空间

     A subset U of V is called a subspace of V if U is also a vector space (using the same addition and scalar multiplication as on V).


    如果U也是向量空间(采用与V相同加法和标量乘法)且U为V的子集时,那么U称为V的子空间。[V是实数和复数集下的向量空间]


    只要是向量空间,则它必须能够容纳自定义的“向量”这个对象(要有单位元0向量),还要满足向量的“加法”和“标量乘法”法则。被定义的子空间用来描述组成向量空间的更小维空间,如3维空间下的平面。[2014.6.8-11:47]


    4. 向量空间的和与直和

    (1) [向量空间的和]

    “向量空间和”的定义来时似天外飞仙般突然。“向量空间和”的定义建立在子空间和向量的基础之上。根据其定义可以描述这样一个事实:子空间按照“向量空间和”法则运算后可以组成更高维的向量空间,定义“向量空间和”的动机可能就是来源于此处。“向量空间”的本质是“向量对象”及“向量的加法和标量乘法法则”,“向量空间和”即是用“向量”及其“法则”去描述。“向量空间和”使每个向量空间中的元素(向量)和其它参加作和的向量空间中的所有元素作和(向量加法法则)。可以用几何形象的认识到“向量空间和”及“所有”的含义:


    Figure2:二维向量空间子空间作和含义

    X ={(x, 0)},Y = {(0, y)}为二维实向量空间T = {(x, y)}(x, y属于实数)的子空间。根据“向量空间和”的定义,X + Y = T即它表示了整个二维平面(得到了二维平面中的所有向量对象):每取X(Y)中的一个向量,需要枚举Y(X)中的向量来作和得到一个新的向量,取完X(Y)中的向量为止。所有的新向量构成了二维实平面


    (2) [向量空间的直和]

    将“向量空间和”的一种特殊情况定义为“向量空间的直和”。“向量空间直和”描述了这么一个事实:可以用“较特殊的子空间”通过“向量空间和”来组成一个更高维的向量空间


    X = {(x, 0)},Y= {(0, y)}两个二维向量空间的子空间通过“向量空间和”法则来描述了俩子空间组成二维实向量空间的过程。A = {x, 0, 0},B = {0, y, z}两个三维向量空间的子空间通过“向量空间和”法则组成三维向量空间。


    (3) [简单的向量空间和的验证]

    U ={(x, 0, 0)},W = {(0, y, 0)},Y = {(y, y, 0)},省略书中的限制条件。因为只是三维空间和,U + W的过程可以根据Figure 2类似的形象描述得到U + Y = U + W = {(x, y, 0)}。Y子空间相当于W顺、逆旋转了45°。[2014.6.10-12:53]

    5. 总结

    “线性代数”依旧是在描述自然存在的客观规律。在线性代数中的“概念”及“运算法则”都是为了能够描述这些规律才会被那么定义和规定,或者是在已有定义基础之上再定义新的概念和法则。在学习这些定义和法则时,不求去究出到底是哪一自然规律使线性代数如此定义和规定,但还是清楚这些定义是在描述什么,以为将来具体应用时做个可能的铺垫。[2014.6.10-12:56]


    Math Note Over.
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  • 向量的基础概念

    2019-10-12 21:48:57
    向量的几何定义 1.向量是一个有大小方向的有向线段; 在这段话中出现了两组关键字分别是:大小方向,那么何为向量的大小方向呢?[见图] 在上图中线段的长度代表向量的大小,箭头的指向代表向量的方向。 ...

    什么是向量?向量究竟长啥样?我相信大多数人都很模糊这个概念,那么下面我就简单的给大家介绍一下什么是向量,嘻嘻


       向量的几何定义      

       1.向量是一个有大小和方向的有向线段;

    在这段话中出现了两组关键字分别是:大小和方向,那么何为向量的大小方向呢?[见图]

    在上图中线段的长度代表向量的大小,箭头的指向代表向量的方向

     2.向量和位置(起点)无关,只和大小(长度),方向有关。

    3.向量用于表示位移的,一个元素(点,图片,模型)由自身所在的位置往一
    个方向进行一定距离的位移。

    看到这儿你是否对向量的概念有了基础认识呢,下篇博文分享向量的一些运算公式以及unityAPI的用法!
     

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  • 程序员与线性代数 ... 原创 2014年05月28日 05:47:18 ... 逛微博,摸到了一堆宝:关于线性代数学习文章。  先是发现了陈晓鸣(http://weibo.com/acumon),前百度资深工程师,终身学

    程序员与线性代数


    http://blog.csdn.net/sxhelijian/article/details/27290885
    原创 2014年05月28日 05:47:18

      逛微博,摸到了一堆宝:关于线性代数学习的文章。

      先是发现了陈晓鸣(http://weibo.com/acumon),前百度资深工程师,终身学习者。再找到“文艺复兴记”(http://weibo.com/weidagang)。这是人的线索。

      文章的线索,先看到了《程序观点下的线性代数》。从应用的角度,该文把线性代数视为一门DSL。线性代数在初等数学基础上建立了向量模型,定义了一套语法和语义,符合程序语言的语言契约。向量模型具有坐标系无关性和线性性,它是整个线性代数的核心,是解决线性空间问题的最佳模型。

      再发现了孟岩(http://blog.csdn.net/myan/)的《理解矩阵(一)》和《理解矩阵(二)》,指出线性代数属于“第二代数学模型”,试图引导读者品味其在表述方式和抽象性方面的全面进化。

      还有一本书《线性代数应该这样学》,看豆瓣,该是学线性代数中的一本很好的参考书。

      立此文,给学想好线性代数的学子的路标。




    http://blog.csdn.net/misskissc/article/details/29825569

    (向量空间)概念和法则的人为定义 I

    原创 2014年06月10日 12:56:06

    知道《线性代数应该这样学》一书源于贺利坚老师的“程序员与线性代数”博文。


    读此书的动机:在浅显领悟能力下学习线性代数皮毛之余,希望自身的“看书习惯”和“耐心”得到训练。边读边作下不成熟的读书笔记。


    1. 运算法则

    运算法则描述客观存在的现象。运算法则的含义由人为规定的运算符号表达。


    现实生活中,每年买一本书,到第二年年底就会有两本书。数学中,用加法运算法则描述第二年年底有两本书的现象,在数学表达式中用加法运算符号将这个过程清楚的表示出来:1 + 1 = 2(本)。


    2. 向量空间

    人为定义向量空间来容纳“向量”、“向量加法”和“向量标量乘法”及三者的性质。让“向量空间”作为几者的家


    “向量”是人为定义,在平面和空间中抽象出了一个新的东西:始于“原点”的箭头。“向量加法”和“向量标量乘法”分别是在标量(数)的加法和乘法基础之上人为定义的一种运算法则,用来描述“向量”间的关系。


    向量空间是满足“向量加法”和“向量标量乘法”法则的集合(向量集),已包含了书中的6个性质[1.2章节 page19]。在二维空间内,向量的加法和标量乘法有较为明显的几何含义。


    Figure1.实向量加法在二维空间的几何含义

    上图表示二维平面中的向量加法的几何过程,在书中,此过程完全是按照向量加法法则的代数定义来实现的a +b的代数含义是将两向量的横、纵坐标分别相加。书中定义的向量的始点都在原点,代数下,可计算得到a + b的和c的终点坐标为(5, 2);几何下,a + b的c的终点是b起点基于a终点按照原来的长度和方向延长出去得到b’的终点。


    书中是先定义代数之上的“向量加法法则”,然后用几何方式形象的描述了“向量加法法则”的实质。为什么凭空就如此(各坐标对应作和的法则)定义“向量加法法则”。它必是能够描述某种有用的现象(对象,性质),所以定义是被反推出来的,此时的定义既能够描述物理对象(向量)也能够描述它的性质(运算法则下的交换律等)。标量乘法也是如此。


    3. 子空间

     A subset U of V is called a subspace of V if U is also a vector space (using the same addition and scalar multiplication as on V).


    如果U也是向量空间(采用与V相同加法和标量乘法)且U为V的子集时,那么U称为V的子空间。[V是实数和复数集下的向量空间]


    只要是向量空间,则它必须能够容纳自定义的“向量”这个对象(要有单位元0向量),还要满足向量的“加法”和“标量乘法”法则。被定义的子空间用来描述组成向量空间的更小维空间,如3维空间下的平面。[2014.6.8-11:47]


    4. 向量空间的和与直和

    (1) [向量空间的和]

    “向量空间和”的定义来时似天外飞仙般突然。“向量空间和”的定义建立在子空间和向量的基础之上。根据其定义可以描述这样一个事实:子空间按照“向量空间和”法则运算后可以组成更高维的向量空间,定义“向量空间和”的动机可能就是来源于此处。“向量空间”的本质是“向量对象”及“向量的加法和标量乘法法则”,“向量空间和”即是用“向量”及其“法则”去描述。“向量空间和”使每个向量空间中的元素(向量)和其它参加作和的向量空间中的所有元素作和(向量加法法则)。可以用几何形象的认识到“向量空间和”及“所有”的含义:


    Figure2:二维向量空间子空间作和含义

    X ={(x, 0)},Y = {(0, y)}为二维实向量空间T = {(x, y)}(x, y属于实数)的子空间。根据“向量空间和”的定义,X + Y = T即它表示了整个二维平面(得到了二维平面中的所有向量对象):每取X(Y)中的一个向量,需要枚举Y(X)中的向量来作和得到一个新的向量,取完X(Y)中的向量为止。所有的新向量构成了二维实平面


    (2) [向量空间的直和]

    将“向量空间和”的一种特殊情况定义为“向量空间的直和”。“向量空间直和”描述了这么一个事实:可以用“较特殊的子空间”通过“向量空间和”来组成一个更高维的向量空间


    X = {(x, 0)},Y= {(0, y)}两个二维向量空间的子空间通过“向量空间和”法则来描述了俩子空间组成二维实向量空间的过程。A = {x, 0, 0},B = {0, y, z}两个三维向量空间的子空间通过“向量空间和”法则组成三维向量空间。


    (3) [简单的向量空间和的验证]

    U ={(x, 0, 0)},W = {(0, y, 0)},Y = {(y, y, 0)},省略书中的限制条件。因为只是三维空间和,U + W的过程可以根据Figure 2类似的形象描述得到U + Y = U + W = {(x, y, 0)}。Y子空间相当于W顺、逆旋转了45°。[2014.6.10-12:53]

    5. 总结

    “线性代数”依旧是在描述自然存在的客观规律。在线性代数中的“概念”及“运算法则”都是为了能够描述这些规律才会被那么定义和规定,或者是在已有定义基础之上再定义新的概念和法则。在学习这些定义和法则时,不求去究出到底是哪一自然规律使线性代数如此定义和规定,但还是清楚这些定义是在描述什么,以为将来具体应用时做个可能的铺垫。[2014.6.10-12:56]


    Math Note Over.
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  • 向量的内积(点乘)定义概括地说,向量的内积(点乘/数量积)。对两个向量执行点乘运算,就是对这两个向量对应位一一相乘之后求和的操作,如下所示,对于向量a向量b: ab的点积公式为:这里要求一维向量a向量b的...

    向量的内积(点乘)

    定义

    概括地说,向量的内积(点乘/数量积)。对两个向量执行点乘运算,就是对这两个向量对应位一一相乘之后求和的操作,如下所示,对于向量a和向量b:

    a和b的点积公式为:

    这里要求一维向量a和向量b的行列数相同。注意:点乘的结果是一个标量(数量而不是向量)

    定义:两个向量a与b的内积为 a·b = |a||b|cos∠(a, b),特别地,0·a =a·0 = 0;若a,b是非零向量,则a与b****正交的充要条件是a·b = 0。

    向量内积的性质:

    a^2 ≥ 0;当a^2 = 0时,必有a = 0. (正定性)

    a·b = b·a. (对称性)

    (λa + μb)·c = λa·c + μb·c,对任意实数λ, μ成立. (线性)

    cos∠(a,b) =a·b/(|a||b|).

    |a·b| ≤ |a||b|,等号只在a与b共线时成立.

    向量内积的几何意义

    内积(点乘)的几何意义包括:

    表征或计算两个向量之间的夹角

    b向量在a向量方向上的投影

    有公式:

    推导过程如下,首先看一下向量组成:

    定义向量c:

    根据三角形余弦定理(这里a、b、c均为向量,下同)有:

    根据关系c=a-b有:

    即:

    a∙b=|a||b|cos⁡(θ)

    向量a,b的长度都是可以计算的已知量,从而有a和b间的夹角θ:

    θ=arccos⁡(a∙b|a||b|)

    进而可以进一步判断两个向量是否同一方向或正交(即垂直)等方向关系,具体对应关系为:

    a∙b>0→方向基本相同,夹角在0°到90°之间

    a∙b=0→ 正交,相互垂直

    a∙b<0→ 方向基本相反,夹角在90°到180°之间

    向量的外积(叉乘)

    定义

    概括地说,两个向量的外积,又叫叉乘、叉积向量积,其运算结果是一个向量而不是一个标量。并且两个向量的外积与这两个向量组成的坐标平面垂直。

    定义:向量a与b的外积a×b是一个向量,其长度等于|a×b| = |a||b|sin∠(a,b),其方向正交于a与b。并且,(a,b,a×b)构成右手系。

    特别地,0×a = a×0 = 0.此外,对任意向量a,a×a=0。

    对于向量a和向量b:

    a和b的外积公式为:

    其中:

    根据i、j、k间关系,有:

    向量外积的性质

    a × b = -b × a. (反称性)

    (λa + μb) × c = λ(a ×c) + μ(b ×c). (线性)

    向量外积的几何意义

    在三维几何中,向量a和向量b的外积结果是一个向量,有个更通俗易懂的叫法是法向量,该向量垂直于a和b向量构成的平面。

    在3D图像学中,外积的概念非常有用,可以通过两个向量的外积,生成第三个垂直于a,b的法向量,从而构建X、Y、Z坐标系。如下图所示:

    在二维空间中,外积还有另外一个几何意义就是:|a×b|在数值上等于由向量a和向量b构成的平行四边形的面积。

    Reference

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    千次阅读 2016-03-22 11:45:53
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    万次阅读 多人点赞 2017-07-31 20:36:36
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    2019-08-29 13:16:31
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空空如也

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