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  • 参考: https://blog.csdn.net/dcrmg/article/details/52416832 ... 1 向量(点乘) ...a和b的点积(点乘)公式为: ...向量几何意义及用途 包括: 表征或计算两个向量之间的夹角 b向量在a向量...

    参考:

    https://blog.csdn.net/dcrmg/article/details/52416832

    https://blog.csdn.net/qingzhuyuxian/article/details/84945319

     

    1 向量内积(点乘)

    公式

    a和b的点积(点乘)公式为:

    向量内积的几何意义及用途

    包括:

    1. 表征或计算两个向量之间的夹角
    2. b向量在a向量方向上的投影积,当a是单位向量时,内积意义是投影。
    3. 当a是直线L的单位法向量时,计算b终点到L的距离

     

    2 向量外积(叉乘)

    2.1 公式:

    对于向量a和向量b:

    a和b的外积公式为:

     

    几何意义及用途:

    在三维几何中,向量a和向量b的外积结果是一个向量,有个更通俗易懂的叫法是法向量,该向量垂直于a和b向量构成的平面。

    常用于以下情况:

    1. 通过两个向量的外积,生成第三个垂直于a,b的法向量,从而构建X、Y、Z坐标系;
    2. 当a是单位向量时,计算b终点到a所在直线的距离
    3. 在二维空间中,aXb等于由向量a和向量b构成的平行四边形的面积。

     

     

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  • 向量点积及其意义

    千次阅读 2017-05-06 21:21:42
    ,定义它们的数量(又叫内点积)为以下实数: 更一般地,n维向量的内定义如下: 几何定义 设二维空间内有两个向量   和   ,它们的夹角为   ,则内定义为以下实数:...

    定义

    编辑

    代数定义

    设二维空间内有两个向量
       
       
    ,定义它们的数量积(又叫内积、点积)为以下实数:
    更一般地,n维向量的内积定义如下:

    几何定义

    设二维空间内有两个向量
       
       
    ,它们的夹角为
       
    ,则内积定义为以下实数:
    该定义只对二维和三维空间有效。

    点积的值

    编辑
    u的大小、v的大小、u,v夹角的余弦。在u,v非零的前提下,点积如果为负,则u,v形成的角大于90度;如果为零,那么u,v垂直;如果为正,那么u,v形成的角为锐角。
    两个单位向量的点积得到两个 向量夹角的cos值,通过它可以知道两个向量的相似性,利用点积可判断一个多边形是否面向摄像机还是背向摄像机。
    向量的点积与它们夹角的余弦成正比,因此在聚光灯的效果计算中,可以根据点积来得到光照效果,如果点积越大,说明夹角越小,则物理离光照的轴线越近,光照越强

    应用

    点乘的几何意义和用处就是计算两个向量之间的夹角,以及在某一方向上的投影。
    在生产生活中,点积同样应用广泛。利用点积可判断一个多边形是否面向摄像机还是背向摄像机。向量的点积与它们夹角的余弦成正比,因此在聚光灯的效果计算中,可以根据点积来得到光照效果,如果点积越大,说明夹角越小,则物理离光照的轴线越近,光照越强。物理中,点积可以用来计算合力和功。若b为单位矢量,则点积即为a在方向b的投影,即给出了力在这个方向上的分解。功即是力和位移的点积。计算机图形学常用来进行方向性判断,如两矢量点积大于0,则它们的方向朝向相近;如果小于0,则方向相反。矢量内积是人工智能领域中的神经网络技术的数学基础之一,此方法还被用于动画渲染(Animation-Rendering)。
    线性变换中点积的意义:
    根据点积的代数公式:a·b=a1b1+a2b2+……+anbn,假设a为给定权重向量,b为特征向量,则a·b其实为一种线性组合,函数F(a·b)则可以构建一个基于a·b+c = 0 (c为偏移)的某一超平面的线性分类器,F是个简单函数,会将超过一定阈值的值对应到第一类,其它的值对应到第二类。

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  • 两个向量x,y∈Rnx,y \in{\Bbb R}^nx,y∈Rn的内​定义如下: ⟨x,y⟩:=x⋅y=∑i=1nxiyi \langle x,y \rangle := x \cdot y = \sum_{i=1}^n x_i y_i ⟨x,y⟩:=x⋅y=i=1∑n​xi​yi​ 即对两个向量执行对应位一一相乘...

    两个向量 x , y ∈ R n x,y \in{\Bbb R}^n x,yRn的内积​定义如下:
    ⟨ x , y ⟩ : = x ⋅ y = ∑ i = 1 n x i y i \langle x,y \rangle := x \cdot y = \sum_{i=1}^n x_i y_i x,y:=xy=i=1nxiyi
    即对两个向量执行对应位一一相乘再求和。

    如图,经过证明可以得到,即两个向量的内积(内乘)可以计算两个向量的夹角。

    A ⃗ ⋅ B ⃗ = ∣ ∣ A ⃗ ∣ ∣ ∣ ∣ B ⃗ ∣ ∣ c o s θ \vec A \cdot \vec B = ||\vec A||||\vec B||cos\theta A B =A B cosθ

    证明过程如下:

    参考资料:

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  • 向量的内与其几何意义

    千次阅读 2020-04-02 22:45:51
    向量 a⃗=(x1,y1),b⃗=(x2,y2)\vec a=(x_1,y_1),\vec b=(x_2,y_2)a=(x1​,y1​),b=(x2​,y2​),夹角为 θ\thetaθ,内为: a⃗⋅b⃗=∣a⃗∣∣b⃗∣cos⁡θ=x1x2+y1y2 \vec a \cdot \vec b=|\vec a||\vec b|...

    一、点乘(内积)

    有向量 a ⃗ = ( x 1 , y 1 ) , b ⃗ = ( x 2 , y 2 ) \vec a=(x_1,y_1),\vec b=(x_2,y_2) a =(x1,y1)b =(x2,y2),夹角为 θ \theta θ,内积为:
    a ⃗ ⋅ b ⃗ = ∣ a ⃗ ∣ ∣ b ⃗ ∣ cos ⁡ θ = x 1 x 2 + y 1 y 2 \vec a \cdot \vec b=|\vec a||\vec b|\cos\theta=x_1x_2 + y_1y_2 a b =a b cosθ=x1x2+y1y2

    几何意义:
    1. 夹角,由 a ⃗ ⋅ b ⃗ = ∣ a ⃗ ∣ ∣ b ⃗ ∣ cos ⁡ θ \vec a \cdot \vec b=|\vec a||\vec b|\cos\theta a b =a b cosθ 知,当内积 > 0 >0 >0 θ < 9 0 ∘ \theta<90^\circ θ<90,内积 < 0 <0 <0 θ > 9 0 ∘ \theta>90^\circ θ>90,内积 = 0 =0 =0 θ = 9 0 ∘ \theta=90^\circ θ=90。同时也可以计算 θ \theta θ 的值: θ = a r c c o s a ⃗ ⋅ b ⃗ ∣ a ⃗ ∣ ∣ b ⃗ ∣ \theta=arccos\frac {\vec a \cdot \vec b}{|\vec a||\vec b|} θ=arccosa b a b
    2. 投影 ∣ a ⃗ ∣ cos ⁡ θ = a ⃗ ⋅ b ⃗ ∣ b ⃗ ∣ |\vec a|\cos\theta=\frac {\vec a \cdot \vec b}{|\vec b|} a cosθ=b a b 表示 a ⃗ \vec a a b ⃗ \vec b b 上的投影。
      对偶性 a ⃗ ⋅ b ⃗ = ∣ a ⃗ ∣ ( ∣ b ⃗ ∣ cos ⁡ θ ) = ∣ b ⃗ ∣ ( ∣ a ⃗ ∣ cos ⁡ θ ) \vec a \cdot \vec b=|\vec a|(|\vec b|\cos\theta)=|\vec b|(|\vec a|\cos\theta) a b =a (b cosθ)=b (a cosθ)
      ∣ a ⃗ ∣ ( ∣ b ⃗ ∣ cos ⁡ θ ) |\vec a|(|\vec b|\cos\theta) a (b cosθ) 的理解是 a ⃗ \vec a a 的长度与 b ⃗ \vec b b a ⃗ \vec a a 上的投影的乘积;
      ∣ b ⃗ ∣ ( ∣ a ⃗ ∣ cos ⁡ θ ) |\vec b|(|\vec a|\cos\theta) b (a cosθ) 的理解是 b ⃗ \vec b b 的长度与 a ⃗ \vec a a b ⃗ \vec b b 上的投影的乘积;
      而这两个是相等的。

    二、叉乘(外积)

    在这里插入图片描述
    上面的公式,就是求三阶行列式。

    几何意义:
    1. 上面如果不把 i ⃗ , j ⃗ , k ⃗ \vec i,\vec j,\vec k i ,j ,k 的具体指带入公式,而是写成 a ⃗ × b ⃗ = m i ⃗ + n j ⃗ + l k ⃗ \vec a \times \vec b=m\vec i+n\vec j+l\vec k a ×b =mi +nj +lk 的形式,向量 ( m , n , l ) (m,n,l) (m,n,l) 就是一个同时垂直 a ⃗ \vec a a b ⃗ \vec b b 的向量,如下图:
      在这里插入图片描述
    2. 对于二维向量, a ⃗ = ( x 1 , y 1 ) , b ⃗ = ( x 2 , y 2 ) \vec a=(x_1,y_1),\vec b=(x_2,y_2) a =(x1,y1)b =(x2,y2),按照上面的公式得:
      a ⃗ × b ⃗ = ∣ x 1 y 1 x 2 y 2 ∣ = x 1 y 2 − x 2 y 1 \vec a \times \vec b=\begin{vmatrix} x_1 & y_1 \\ x_2 & y_2 \\ \end{vmatrix}=x_1y_2-x_2y_1 a ×b =x1x2y1y2=x1y2x2y1,设这个数值为 m m m
      则, ∣ m ∣ = ∣ a × b ∣ = ∣ a ∣ ∣ b ∣ sin ⁡ θ |m|=|a×b|=|a| |b|\sin\theta m=a×b=absinθ θ \theta θ a ⃗ \vec a a b ⃗ \vec b b 的夹角)
      且,|m| = a ⃗ \vec a a b ⃗ \vec b b 构成的平行四边形的面积 ,如下图:
      在这里插入图片描述
    3. 判断向量的相对位置(顺逆时针)
      a ⃗ \vec a a b ⃗ \vec b b 如图所示:

    在这里插入图片描述
    如果让 a ⃗ \vec a a 以最小角度转到 b ⃗ \vec b b 的方向,是顺时针还是逆时针呢,从图中很容易看出,但怎么用数字判断呢?
    仍然是 m = a ⃗ × b ⃗ = x 1 y 2 − x 2 y 1 m=\vec a \times \vec b=x_1y_2-x_2y_1 m=a ×b =x1y2x2y1
    m > 0 m>0 m>0 a ⃗ \vec a a 逆时针转到 b ⃗ \vec b b 的角度 < 18 0 ∘ <180^\circ <180
    m < 0 m<0 m<0 a ⃗ \vec a a 逆时针转到 b ⃗ \vec b b 的角度 > 18 0 ∘ >180^\circ >180
    m = 0 m=0 m=0 a ⃗ \vec a a b ⃗ \vec b b 共线。

    直观记忆如下图:
    在这里插入图片描述
    m > 0 m>0 m>0 b ⃗ \vec b b 在蓝色部分;
    m < 0 m<0 m<0 b ⃗ \vec b b 在红色部分;
    m = 0 m=0 m=0 b ⃗ \vec b b 在分界线上(与 a ⃗ \vec a a 共线 )。

    三、扩展(坐标系引发的顺逆指针分不清事件)

    我们平时默认的坐标系是这样的:
    在这里插入图片描述
    但有时候的坐标系是这样的(比如数字图像中):
    在这里插入图片描述
    可以发现,同样的 a ⃗ = ( 2 , 1 ) \vec a=(2,1) a =(2,1) 转到 b ⃗ = ( 1 , 2 ) \vec b=(1,2) b =(1,2) ,在上面的坐标系中就是逆时针,而在下面的坐标系中就是顺时针,所以为了统一说明,定义了 “正旋转” : x x x 轴旋转到 y y y 轴的方向。
    所以,上面利用向量叉乘判断向量相对位置的性质描述应该为:
    m > 0 m>0 m>0 a ⃗ \vec a a 正旋转到 b ⃗ \vec b b 的角度 < 18 0 ∘ <180^\circ <180
    m < 0 m<0 m<0 a ⃗ \vec a a 正旋转到 b ⃗ \vec b b 的角度 > 18 0 ∘ >180^\circ >180
    m = 0 m=0 m=0 a ⃗ \vec a a b ⃗ \vec b b 共线。
    而那张直观记忆图只在我们平时默认的坐标系中才成立。

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