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  • 是可以实现线性计算的,numpy库提供了矩阵运算,可以实现求取矩阵特征向量,scipy也可以实现numpy库提供的矩阵运算功能,是对numpy库提供矩阵运算的扩展,本文介绍python中计算矩阵特征向量的两种方法:1、使用numpy...

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    python作为编程中较为简单的编程方法,是可以实现线性计算的,numpy库提供了矩阵运算,可以实现求取矩阵特征向量,scipy也可以实现numpy库提供的矩阵运算功能,是对numpy库提供矩阵运算的扩展,本文介绍python中计算矩阵特征向量的两种方法:1、使用numpy.linalg.eig(a)函数;2、使用scipy.linalg.eig()计算方阵的特征向量(numpy方法的拓展)。

    一、使用numpy.linalg.eig(a)函数

    参数:

    a:想要计算奇异值和右奇异值的方阵。

    返回值:

    w:特征值。每个特征值根据它的多重性重复。这个数组将是复杂类型,除非虚数部分为0。当传进的参数a是实数时,得到的特征值是实数。

    v:特征向量。

    使用实例>>> from numpy import linalg as LA

    >>> a = np.array([[1, 1j], [-1j, 1]])

    >>> w, v = LA.eig(a)

    >>> w; v

    array([  2.00000000e+00+0.j,   5.98651912e-36+0.j]) # i.e., {2, 0}

    array([[ 0.00000000+0.70710678j,  0.70710678+0.j        ],

    [ 0.70710678+0.j        ,  0.00000000+0.70710678j]])

    >>> a = np.array([[1 + 1e-9, 0], [0, 1 - 1e-9]])

    >>> # Theor. e-values are 1 +/- 1e-9

    >>> w, v = LA.eig(a)

    >>> w; v

    array([ 1.,  1.])

    array([[ 1.,  0.],

    [ 0.,  1.]])

    二、使用scipy.linalg.eig()计算方阵的特征向量(numpy方法的拓展)

    1、语法格式print('Eig:',lg.eig(arr)) #求矩阵arr的特征向量

    2、使用实例#coding:utf-8

    from __future__ import division

    from scipy import linalg as la

    from scipy import optimize

    import sympy

    import numpy as np

    sympy.init_printing()

    import matplotlib.pyplot as plt

    # 使用scipy求解矩阵特征值

    A = np.array([[1, 3, 5], [3, 5, 3], [5, 3, 9]])

    evals, evecs = la.eig(A)

    eigvalues = la.eigvalsh(A)

    以上就是python中计算矩阵特征向量的两种方法,希望能对你有所帮助哟~

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  • 旋转矩阵也叫方向余弦旋转矩阵是一个 3 x3 阶的矩阵,矩阵的列表示载体坐标系中的单位矢量在参考坐标系中的投影。2. 旋转向量也叫轴角任意旋转都可以用一个旋转轴和一个旋转角刻画。旋转向量可以由罗德里格斯公式...

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    姿态的四种表达方式

    1. 旋转矩阵也叫方向余弦旋转矩阵是一个 3 x3 阶的矩阵,矩阵的列表示载体坐标系中的单位矢量在参考坐标系中的投影。

    2. 旋转向量也叫轴角任意旋转都可以用一个旋转轴和一个旋转角刻画。旋转向量可以由罗德里格斯公式转换成旋转矩阵

    3. 欧拉角从一个坐标系到另一个坐标系的变换可以通过依次绕不同坐标轴的3次连续转动来定义,从物理角度看欧拉角表示法可能是最简单的方法之一。

    4. 四元数四元数姿态表示法,通过绕参考坐标系中两个矢量的单次转动来实现一个坐标系到另一个坐标系的转换。四元数是一个具有四个元素的矢量表达式,各个元素为矢量方向和转动大小的函数。

    旋转矩阵(方向余弦)

    旋转矩阵的推倒过程

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    77604b5fe3fa0ec4adda8bcd59ee7ce4.png

    87b7020c5bcc59e0c6afe5a449272061.png

    0d92b08d0bf1523be3084ad92ff74a3f.png

    Eigen中的旋转矩阵

    //  旋转矩阵
    Eigen::Matrix3d rotation_matrix;
    // 绕 Z 轴旋转 45 度的旋转矩阵 sin45 = cos45 = 0.707107
    rotation_matrix << 0.707107, -0.707107, 0,
                       0.707107,  0.707107, 0,
                       0,         0,        1;
    std::cout << "rotation_matrix =n" << rotation_matrix << std::endl;
    /*
     * rotation_matrix =
     * 0.707107   -0.707107   0
     * 0.707107    0.707107    0
     * 0           0         1
     */
    

    Eigen中的旋转向量(轴角)

    // 旋转矩阵转换为旋转向量
    Eigen::AngleAxisd rotation_vector;
    rotation_vector.fromRotationMatrix(rotation_matrix);
    std::cout << "rotation_vector " << "angle is: " << rotation_vector.angle() << " axis is: "
              << rotation_vector.axis().transpose() << std::endl;
    /*
     * rotation_vector angle is: 0.785398 axis is: 0 0 1
     */
    // 弧度转角
    cout << 0.785398 * 180 / M_PI << endl; // 45
    

    欧拉角

    欧拉角是描述刚体姿态的三个角,欧拉角有静态和动态两种,静态的是绕静止的惯性坐标系三个轴进行旋转,而动态的在旋转过程中旋转坐标轴会发生变化,除了第一次旋转是绕惯性系的坐标轴进行之外,后续两次旋转都是动态的,并且前面旋转的角度对后面的旋转轴是有影响的,按照不同的轴顺序进行旋转得到的欧拉角也是不同的,旋转变换可以归结为若干个沿着坐标轴旋转的组合,组合个数不超过三个并且两个相邻的旋转必须沿着不同坐标轴,总共有12种旋转方式,分别是XYZ、XZY、XYX、XZX、YXZ、YZX、YXY、YZY、ZXY、ZYX、ZXZ、ZYZ。ROS里面URDF采用的是XYZ(rpy),规定右手坐标系中,物体旋转的正方向是右手螺旋方向。
    在右手直角坐标系中,从原点看,沿每一根轴的顺时针方向定义为这根轴的正向转动,负向转动正好相反,即为逆时针方向。

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    必须记住的是,当绕不同的轴系作一系列转动时,载体姿态的变化不仅是绕每根轴转动角度的函数,而且还是转动顺序的函数。

    左半图转动的顺序:先绕俯仰轴 y 转动 90 再绕偏航轴 z 转动 90 最后绕俯仰轴 y 转动 90

    依次完成转动后,可以看到绕横滚轴 x 发生了 90 的净转动。

    右半图中转动的顺序正好相反虽然转动结束时,载体的横滚轴仍对准在原来的方向,但横滚轴 x 发生了 -90 的净转动。

    各个轴的转动顺序是不可交换的。很明显,如不考虑轴系的转动顺序,在计算姿态时将会引起很大的误差。

    2189eff58b527dd28074fa06a519ea89.png

    Eigen中的欧拉角

    // 旋转矩阵转换为欧拉角
    // "2" represents the z axis and "0" the x axis "1" the y axis
    // 动轴: ZYX顺序,即先绕x轴roll旋转,再绕y轴pitch旋转,最后绕z轴yaw旋转,
    Eigen::Vector3d euler_angles = rotation_matrix.eulerAngles(2, 1, 0);
    // 默认向量都是列向量,所以为了书写和显示方便,转置成行向量
    std::cout << "yaw(z) pitch(y) roll(x) = " << euler_angles.transpose() << std::endl;
    /*
     *  yaw(z) pitch(y) roll(x) = 0.785398  -0  0
     */
    cout << 0.785398 * 180 / M_PI << endl; // 45
    

    Eigen中的四元数

    // 找不到不带奇异性的三维向量描述方式,四元数是紧凑的,没有奇异性
    // 旋转矩阵转换为四元数
    Eigen::Quaterniond quaterniond = Eigen::Quaterniond(rotation_matrix);
    std::cout << "quaternion from rotation matrix = n" << quaterniond.coeffs() << std::endl;
    /*
     * quaternion from rotation matrix =
     * 0
     * 0
     * 0.382684
     * 0.92388
     */
    std::cout << "quaterniond x: " << quaterniond.x() << std::endl;
    std::cout << "quaterniond y: " << quaterniond.y() << std::endl;
    std::cout << "quaterniond z: " << quaterniond.z() << std::endl;
    std::cout << "quaterniond w: " << quaterniond.w() << std::endl;
    /*
     * quaternion2 x: 0
     * quaternion2 y: 0
     * quaternion2 z: 0.382684
     * quaternion2 w: 0.92388
     */
    

    四种位姿可视化

    视觉SLAM十四讲实践笔记之四种位姿可视化

    2bdc51bc20bee387d7163bc45399da90.png

    变换矩阵

    // 变换矩阵
    Eigen::Isometry3d transform_matrix = Eigen::Isometry3d::Identity();
    transform_matrix.rotate(rotation_matrix);
    transform_matrix.pretranslate(Eigen::Vector3d(1, 3, 4));
    std::cout << "Transform matrix = n" << transform_matrix.matrix() << std::endl;
    /*
     * Transform matrix =
     * 0.707107 -0.707107         0         1
     * 0.707107  0.707107         0         3
     *        0         0         1         4
     *        0         0         0         1
     */
    

    用变换矩阵进行坐标变换

    视觉SLAM十四讲实践之坐标系之间的欧式变换

    // 坐标变换
    Eigen::Vector3d v_src(1, 0, 0);
    Eigen::Vector3d v_tar;
    v_tar = transform_matrix * v_src;
    std::cout << "(1,0,0) after rotation = " << v_tar.transpose() << std::endl;
    // (1,0,0) after rotation = 1.70711 3.70711  4
    

    位姿的估计和优化

    视觉SLAM十四讲实践之Sophus下的位姿表示和更新优化

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  • tensorflow的表示类似于numpy,习惯python表达,容易将向量矩阵弄混,记录下两者区别 case1: 对于numpy矩阵: numpy和tensor表达如下: A = np.array([[1,-1,2], [3,2,0]]) A_tf = tf.constan([[1,-1,2], [3...

    tensorflow的表示类似于numpy,习惯python的表达,容易将向量和矩阵弄混,记录下两者区别

    case1: 对于numpy矩阵:

    在这里插入图片描述
    numpy和tensor的表达如下:

    A = np.array([[1,-1,2], [3,2,0]])
    A_tf = tf.constan([[1,-1,2], [3,2,0]])
    

    注意是两对中括号,少了一对则是向量

    case2: 单列的数组,构建方法

    在这里插入图片描述
    numpy和tensor的表达如下:

    A = np.array([[2], [1], [3]])
    A_tf = tf.constan([[2], [1], [3]])
    

    也可以通过行向量转置获得相关列向量

    v = np.transpose(np.array([[2,1,3]]))
    

    具体的一些numpy公式计算可以参考:
    https://www.numpy.org.cn/article/basics/numpy_matrices_vectors.html#%E5%BA%94%E7%94%A8%EF%BC%9A%E5%A4%9A%E5%85%83%E7%BA%BF%E6%80%A7%E5%9B%9E%E5%BD%92

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  • 1.矩阵的几种表示方法 &gt;&gt; A=[1 2 3;4 5 6;7 8 9]//例如1和2之间可以是空格,也可以是逗号 A =    1 2 3  4 5 6  7 8 9   &gt;&gt; B=[-1 -2 -3;-4 -5 -6;-7 -8 -9] B = ...

    1.4矩阵的表示

    1.矩阵的几种表示方法

    >> A=[1 2 3;4 5 6;7 8 9]//例如1和2之间可以是空格,也可以是逗号

    A =

     

         1     2     3

         4     5     6

         7     8     9

     

    >> B=[-1 -2 -3;-4 -5 -6;-7 -8 -9]

    B =

     

        -1    -2    -3

        -4    -5    -6

        -7    -8    -9

     

    >> C=[A B;B A]//矩阵可以组合表示

    C =

     

         1     2     3    -1    -2    -3

         4     5     6    -4    -5    -6

         7     8     9    -7    -8    -9

        -1    -2    -3     1     2     3

        -4    -5    -6     4     5     6

        -7    -8    -9     7     8     9

     

    >> B=[1 2 3;4 5 6]

    B =

     

         1     2     3

         4     5     6

     

    >> C=[6 7 8;9 10 11]

    C =

     

         6     7     8

         9    10    11

     

    >> A=B+i*C//从这里可以看出:数值变量*矩阵=数值变量*矩阵中每一个元素

    A =

     

       1.0000 + 6.0000i   2.0000 + 7.0000i   3.0000 + 8.0000i

       4.0000 + 9.0000i   5.0000 +10.0000i   6.0000 +11.0000i

     

    2.冒号表达式(非常重要)

    >> T=0:1:5//初始值:步长:终止值

    T =

     

         0     1     2     3     4     5

     

    >> T=0:5//步长默认是1

    T =

     

         0     1     2     3     4     5

     

    3.linspace函数

    >> X=linspace(0,pi,6)//linspace(初始值, 终止值, 变量个数)

    X =

     

             0    0.6283    1.2566    1.8850    2.5133    3.1416

     

    4.结构矩阵

    1,2,3是元素,x1,x2,x3是成员变量

    >> a(1).x1=10;a(1).x2='liu';a(1).x3=[11 21;34 78];

    >> a(2).x1=12;a(2).x2='wang';a(2).x3=[34 191;27 578];

    >> a(3).x1=14;a(3).x2='cai';a(3).x3=[13 890;67 231];

    >> a

    a =

    1x3 struct array with fields:

     

        x1

        x2

        x3

     

     

    1.5矩阵元素的引用

     

    1.A(x,y)和A(x)

    A=[1 2 3;4 5 6];

    >> A(4,5)=10//没有(4,5)这个元素,但是不会报错

    A =

     

         1     2     3     0     0

         4     5     6     0     0

         0     0     0     0     0

         0     0     0     0    10

     

     

     

    >> A(3) //A(3)中的3是指序列号(按列),m*n的矩阵对应序列号是(j-1)*m+i

    ans =

     

         0

    >> A(10)

    ans =

     

         6

     

    2. A(x,y)和A(x)的转化

    >> A=[1:3;4:6]//此处用了冒号表达式

    A =

     

         1     2     3

         4     5     6

     

    >> D=sub2ind(size(A),[1 2;2 2],[1 1;3 2])// sub2ind:将下标转化成序列号

    D =

     

         1     2

         6     4

     

    >> [i,j]=ind2sub(size(A),2)//将序列号转换成下标

    i =

     

         2

    j =

     

         1

    3 .冒号表达式引用矩阵元素

    >> A=[1 2 3 4 5;6 7 8 9 10;11 12 13 14 15]

    A =

     

         1     2     3     4     5

         6     7     8     9    10

        11    12    13    14    15

     

    >> A(1:2,:)//:表示全体

     

    ans =

     

         1     2     3     4     5

         6     7     8     9    10

     

    >> A(2:3,1:2:5)//1:2:5代表第1,3,5列

    ans =

     

         6     8    10

        11    13    15

     

    >> A=[1 2 3 4 5;6 7 8 9 10;11 12 13 14 15;16 17 18 19 20];

    >> A(end,:)//end代表最后一行或者列

    ans =

     

        16    17    18    19    20

     

    4.删除矩阵元素

    >> A=[]//将元素全部删除

    A =

     

         []

     

    >> A=[1 2 3 0 0;7 0 9 2 6;1 4 -1 1 8]

    A =

     

         1     2     3     0     0

         7     0     9     2     6

         1     4    -1     1     8

     

    >> A(:,[2,4])=[]//将第2,4列的全部元素删除

    A =

     

         1     3     0

         7     9     6

         1    -1     8

     

    5.改变矩阵的m*n=p*q

    >> B=reshape(A,1,9)

    B =

     

         1     7     1     3     9    -1     0     6     8

     

    >> C=A(:)//代表将元素在一列表示出来,在理解下标和序列号时用

    C =

     

         1

         7

         1

         3

         9

        -1

         0

         6

         8

     

     

     

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  • 文本的向量表示

    2020-07-07 17:14:29
    Bag-of-words模型是信息检索领域常用文档表示方法。在文本特征生成过程中,对于一个文档,词袋模型忽略其单词顺序和语法、句法等要素,将其仅仅看作是若干个词汇集合,文档中每个单词出现都是独立,不依赖于...
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空空如也

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向量的矩阵表示方法